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1、第第5章章 線性系統(tǒng)的頻域分析法線性系統(tǒng)的頻域分析法 頻率特性是研究控制系統(tǒng)的一種工程方法,應用頻率特性可間接地分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。頻域分析法的突出優(yōu)點是可以通過實驗直接求得頻率特性來分析系統(tǒng)的品質(zhì),應用頻率特性分析系統(tǒng)可以得出定性和定量的結論,并具有明顯的物理含義。頻域法分析系統(tǒng)可利用特性曲線、圖表及經(jīng)驗公式。 5- -1 引引 言言頻率特性分析法的特點:頻率特性分析法的特點:(1)只要求出系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,就可以迅速判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。(2)可以根據(jù)頻率特性曲線的形狀去選擇系統(tǒng)的結構和參數(shù)。(3)頻率特性可由微分方程或傳遞函數(shù)求得,也可以用實驗方法求得。(4)頻率特性法適用于

2、線性定常系統(tǒng)的分析研究,還可以推廣應用于某些非線性控制系統(tǒng)。(5)當系統(tǒng)在某些頻率范圍存在嚴重的噪聲時,應用頻域分析法可以設計出能很好的抑制這些噪聲的系統(tǒng)。 控制系統(tǒng)中的信號可以表示為不同頻率正弦信號的合成,控制系統(tǒng)的頻率特性反映正弦信號作用下系統(tǒng)響應的性能。1、頻率特性的基本概念、頻率特性的基本概念 由圖5-1可得該電路的傳遞函數(shù)為 11)()()(TssUsUsGio5- -2 頻率特性頻率特性ui(t)CRuo(t)圖5-1 RC濾波電路式中 ,為電路時間常數(shù)。 RCT 若) 1.(sin)(tUtuii當初始條件為零時,輸出電壓的拉氏變換為 2211)(11)(sUTssUTssUii

3、o對上式取拉氏反變換,得輸出的時域解為 )arctansin(11)(2222TtTUeTTUtuiTtio當 時,電路的穩(wěn)態(tài)輸出為 t(2) )sin()arctansin(1)(22tUTtTUtuoio式中 TTUUioarctan,122對一般的線性系統(tǒng)(元件),輸入正弦信號對一般的線性系統(tǒng)(元件),輸入正弦信號 , 在在 即穩(wěn)態(tài)情況下,系統(tǒng)輸出必為即穩(wěn)態(tài)情況下,系統(tǒng)輸出必為 亦即穩(wěn)態(tài)輸出也是正弦信號,且亦即穩(wěn)態(tài)輸出也是正弦信號,且 與與 的頻率相同,的頻率相同,僅幅值和相角不一樣。僅幅值和相角不一樣。 tXxsint)sin()(tYty)(ty)(txXYA/ 對輸出輸入正弦信號的

4、幅值比 和相角差作研究發(fā)現(xiàn), 和 只與系統(tǒng)參數(shù)及輸入正弦信號的頻率有關。則 稱為幅頻特性, 稱為相頻特性。A)(A)(對圖5-1RC濾波電路而言TTUUAioarctan)(11)(22 依據(jù)上兩式可計算得出RC電路的幅頻特性和相頻特性數(shù)據(jù)如表5-1。 )/(sradT21T1T2T3T4T5)(A)/()(010.8900.7070.4470.3160.2430.19600- -26.5- -45.0- -63.4- -71.6 - -76.0- -78.7- -90.0 表5-1 幅頻特性和相頻特性數(shù)據(jù) 按表5-1繪出的幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖5-2所示 由表5-1及圖5-2可以看出

5、,當輸入電壓信號的頻率 較低時,輸出電壓與輸入電壓幅值幾乎相等( )時完全相等,兩電壓間的相角滯后不大。隨著 增高,輸出電壓的振幅迅速減小,相角滯后亦隨之增加。當 時,輸出電壓的幅值接近0,而相角滯后90。 0圖5-2 表5-1的頻率特性由于輸入、輸出信號(穩(wěn)態(tài)時)均為正弦函數(shù),因此可用電路理論的符號法表示為復數(shù)形式,即輸入為 ;輸出為 。0jXejYe則輸出與輸入之比為 )(0)(jjjjeAeXYXeYe 綜上所述,可對頻率特性頻率特性作如下定義:線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)(或元件)的頻率特性是零初始條件下穩(wěn)態(tài)輸出正弦信號(或元件)的頻率特性是零初始條件下穩(wěn)態(tài)輸出正弦信號與輸入信號的復數(shù)比。

6、與輸入信號的復數(shù)比。若用 表示,則有 )(jG)185).()()()()(AeAjGj 稱為系統(tǒng)(元件)的頻率特性,它描述了在不同頻率下系統(tǒng)(或元件)傳遞正弦信號的能力。 )(jG 還可以用實數(shù)部分和虛數(shù)部分組成的復數(shù)形式進行描述,即 )(jG)()()(jQPjG 式中 和 分別稱為系統(tǒng)(或元件)的實頻特性和虛頻特性。 )(P)(QP圖5-3 頻率特性在復平面上的表示由圖5-3的幾何關系知,幅頻、相頻特性與實頻、虛頻特性之間的關系為 )()(arctan)()()()()(sin)()()(cos)()(22PQQPAAQAP系統(tǒng)(或元件)的頻率特性可通過實驗方法實驗方法求得。其具體具體做

7、法做法是:對系統(tǒng)(或元件)輸入一個頻率可變的正弦信號 ,不斷改變頻率,并測量相應的輸出穩(wěn)態(tài)值 ,每改變一次,測量并記錄相應的輸入振幅Ui、輸出振幅Uo以及輸出波形的相角滯后(或超前)量 ;然后計算振幅比 對頻率 的函數(shù)關系,并繪成曲線,就可得到該系統(tǒng)(或元件)的tUtuiisin)()sin()(tUtuooioUUA)(幅頻特性 。將相角差 對頻率 的關系繪成曲線,就得到相頻特性 。)(A)(2、頻率特性和傳遞函數(shù)的關系、頻率特性和傳遞函數(shù)的關系 設系統(tǒng)的輸入信號、輸出信號分別為 ,其拉氏變換分別為 ,則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )()(tctr、)()(sCsR、)()()(sRsCsG則 )()

8、()(sRsGsC 也可表示為)(sG)()()()()()(21npspspssNsDsNsG為方便討論,設所有極點為互不相同的實數(shù)。 若輸入信號為正弦函數(shù),即 tAtrsin)(其拉氏變換為 )()(22jsjsAsAsR則 )()()()()(21jsjsApspspssNsCnjsKjsKpsKpsKpsKccnn2211均為待定系數(shù)。 ccnKKKKK,.,21對上式取拉氏反變換可得 tjctjctpntptpeKeKeKeKeKtcn2121)(若系統(tǒng)穩(wěn)定, 的極點均為負實根。當 時得 的穩(wěn)態(tài)分量為 )(sGt)(tctjctjctsseKeKtctc)(lim)(其中 jAjGj

9、sjsjsAsGKjAjGjsjsjsAsGKjscjsc2)()()()(2)()()()(由于 是一個復數(shù),可寫為 jssGjG)()()()()()()(jjGjeAejGjG 和 是共軛的,故 可寫成 )(jG)(jG )(jG )()()(jeAjG)()()(2)(2jcjceAjAKeAjAKjeeRAtctjtjss2)()()()()(sin)(sin)(tUtAAo則 )()(jGAUUio)()(jG因此我們可以看出頻率特性和傳遞函數(shù)的關系為因此我們可以看出頻率特性和傳遞函數(shù)的關系為 )195.()()(jssGjG 實驗表明,對于所有的實際物理系統(tǒng)或元件,當正弦輸入信號

10、的頻率很高時,輸出信號的幅值一定很小。利用這一事實我們可以解釋為什么實際物理元件傳遞函數(shù)分子的階次比分母階次低這個問題。 121)(2ssssG設jjjjjjjG1211121)()(2則0201)(limjjG可得 這與實際情況矛盾。若 的分子階次高于分母階次,它指的是一定頻率范圍內(nèi)的近似傳遞函數(shù)。 )(sG3、頻率特性的幾何表示法、頻率特性的幾何表示法 在工程分析和設計中,通常把線性系統(tǒng)的頻率特性畫成曲線,再運用圖解法進行研究。常用的頻率特性曲線有三種:序序號號名稱名稱圖形常用名圖形常用名坐標系坐標系1幅相頻率特幅相頻率特性曲線性曲線極坐標圖、極坐標圖、Nyquist圖圖極坐標極坐標2對數(shù)

11、幅頻對數(shù)幅頻相相頻頻特性曲線特性曲線對數(shù)坐標圖、對數(shù)坐標圖、Bode圖圖半對數(shù)半對數(shù)坐標坐標3對數(shù)幅相頻對數(shù)幅相頻率特性曲線率特性曲線對數(shù)幅相圖對數(shù)幅相圖 Nichols圖圖對數(shù)幅對數(shù)幅相坐標相坐標一、幅相頻率特性曲線一、幅相頻率特性曲線 幅相頻率特性曲線又稱Nyquist曲線,由于它是在復平面上以極坐標的形式表示,故又稱極坐標圖。 圖圖5-4 極坐標圖的表示方法極坐標圖的表示方法b 極坐標與復平面直角坐標極坐標與復平面直角坐標a極坐標系極坐標系c極坐標圖的表示方法極坐標圖的表示方法 設系統(tǒng)的頻率特性為)()()(jeAjG 根據(jù)表5-1所列數(shù)據(jù),可畫出RC電路的幅相特性曲線如圖5-5所示。

12、圖5-5 RC電路的幅相頻率特性二、對數(shù)頻率特性曲線二、對數(shù)頻率特性曲線 對數(shù)頻率特性曲線又叫Bode曲線。它由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線所組成,是頻率法中應用得最廣泛的一組圖線。 Bode圖是在半對數(shù)坐標紙上繪制出來的。所謂半對數(shù)坐標,是指橫坐標采用對數(shù)刻度,因而刻度是不均勻的,而縱坐標則采用線性的均勻刻度。 Bode圖中,對數(shù)幅頻特性是 的對數(shù)值 和頻率 的關系曲線;對數(shù)相頻特性是 的相角 和頻率 的關系曲線。 )(jG)(lg20jG)(jG 在畫對數(shù)頻率特性曲線時,必須掌握對數(shù)刻度的概念。橫坐標上標的是 的實際值,而坐標上的距離是按 值的常用對數(shù) 的大小來刻度的。因此坐標上任意

13、坐標上任意 的的距離應為距離應為 ,而不是,而不是 lg21、12lglg12圖5-6 對數(shù)分度圖5-6中,P2 至P1點的距離為:11lg10lgP3至P2點的距離為:110lg100lg 12lg20lgP5至P4點的距離為: 頻率 每變化10倍稱為一個十倍頻程或十進程,記作decade或簡寫為dec。每個十進程沿橫坐標走過的間隔為一個單位長度,如圖5-6所示。 對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性的縱坐標為 )(lg20)(AL 稱為對數(shù)幅值,單位是分貝??v坐標按分貝做線性刻度。對數(shù)相頻特性對數(shù)相頻特性的縱坐標為相角 ,單位是度,因不取對數(shù),故采用線性刻度。 )(L)(圖5-1所示的RC電路網(wǎng)絡的對

14、數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性曲線如圖5-7所示。 圖5-7 的對數(shù)幅頻和相頻特性 11jT采用對數(shù)坐標圖的優(yōu)點較多,主要表現(xiàn)在: (1)由于橫坐標采用對數(shù)刻度,將低頻段相對展寬了(低頻段頻率特性的形狀對于控制系統(tǒng)性能的研究具有較重要的意義),而將高頻段相對壓縮了。因此采用對數(shù)坐標既可以拓寬視野,又便于研究低頻段的特性。 (2)當系統(tǒng)由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成時,系統(tǒng)的頻率特性為各環(huán)節(jié)頻率特性的乘積,即 )()()()(21jGjGjGjGn式中 )()()(22)(11)()()()()()()()(21jjnnjjeAjGeAjGeAjGeAjGn則有)()()()(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)()()()()(212121nnnLLLAAAALAAAA)()()()(21n(3)在對數(shù)坐標上,所有典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性乃至系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性均可用分段直線近似表示。若對分段直線進行修正,即可得到精確的特性曲線。 (4)若將實驗所得的頻率特性數(shù)據(jù)整理并用分段直線畫出對數(shù)頻率特

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