第3章 1-3 平面問題的直角坐標(biāo)解答

1、第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答 3.1 3.1 逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法多項(xiàng)式解答多項(xiàng)式解答n求解任何一個(gè)體力為常量的問題，只需要找到一個(gè)雙調(diào)和函數(shù)(應(yīng)力函數(shù))，如果它滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件，則就是該問題的解答。024422444yyxxysysxyxsxysxfmfmyxyfxxfyxyyyxx22222,n所以問題簡(jiǎn)化為只求一個(gè)未知量雙調(diào)和函數(shù)如此求出的應(yīng)力必然滿足平衡方程“試算法”求解思路的討論n1. 找一個(gè)雙調(diào)和函數(shù)，看它能夠滿足什么邊界條件。然后肯定：把這個(gè)邊界條件加到物體上，則根據(jù)唯一性定理，這個(gè)雙調(diào)和函數(shù)所對(duì)應(yīng)的解答就是正確解。n2. 所謂逆解法和半逆解法本質(zhì)上是

2、一種由根據(jù)的猜測(cè)。它們能夠成立的根本條件是唯一性定理。平面問題的多項(xiàng)式解答平面問題的多項(xiàng)式解答( (逆解法逆解法) )n（3 3）結(jié)論：線性函數(shù)對(duì)應(yīng)于無荷載的情況，所以）結(jié)論：線性函數(shù)對(duì)應(yīng)于無荷載的情況，所以應(yīng)力應(yīng)力函數(shù)函數(shù) 的線性項(xiàng)不影響應(yīng)力分布，研究問題時(shí)可舍去。的線性項(xiàng)不影響應(yīng)力分布，研究問題時(shí)可舍去。（2 2）根據(jù)（）根據(jù)（2 22323）求出應(yīng)力分量）求出應(yīng)力分量 ；00022222yxyfxxfyxyyyxx1. 一次函數(shù)一次函數(shù)cbyax無體積力，考察其能解決的問題。無體積力，考察其能解決的問題。（1 1）檢查）檢查是否滿足是否滿足024422444yyxx能被滿足能被滿足04（

3、4 4）二次式解決的問題小結(jié)）二次式解決的問題小結(jié)n能解決圖（能解決圖（a a）的問題）的問題考察其能解決的問題考察其能解決的問題bxy)3(按照以上步驟很容易得到結(jié)果按照以上步驟很容易得到結(jié)果應(yīng)力分量應(yīng)力分量cxyyx, 0, 0能滿足的邊界條件為能滿足的邊界條件為cffcffxcyyxycyyycxxyxcxx.), 0), 0)2ax對(duì)于對(duì)于xy0（a）2a0;2; 0 xyyxa能解決圖（）的問題能解決圖（）的問題能解決圖（）的問題能解決圖（）的問題對(duì)于對(duì)于bxy對(duì)于2cybxyyx, 0; 00; 0;2xyyxc（）xy0（）yx02c三次函數(shù)三次函數(shù)n2 2）根據(jù)（）根據(jù)（2 2

4、2323）求出應(yīng)力分量）求出應(yīng)力分量 ；3ay（體力不計(jì)）考察它能解決什么問題（體力不計(jì)）考察它能解決什么問題1 1）檢查）檢查是否滿足是否滿足024422444yyxx帶入計(jì)算后可以知道顯然帶入計(jì)算后可以知道顯然滿足相容方程滿足相容方程00622222yxyfxayxfyxyyyxxxyL2h2h03 3）用應(yīng)力邊界條件）用應(yīng)力邊界條件(2-15)(2-15)邊邊確定相對(duì)應(yīng)的面力分量。確定相對(duì)應(yīng)的面力分量。na a）檢查上、下邊界（主邊界）檢查上、下邊界（主邊界）102mlhy由：由：ysysxyxsxysxfmfmxhyxyyhyyfmfm2200 xyff說明上、下邊界沒有面力。說明上、

5、下邊界沒有面力。b b）檢查左、右邊界（次邊界）檢查左、右邊界（次邊界）0, 0yxff06xyyxay0由：由：ysysxyxsxysxfmfmyLxxyxLxxyxxyxxxffff001106yxfayf06yxfayf02h2hxyL解決矩形截面梁純彎曲問題解決矩形截面梁純彎曲問題3.2矩形截面梁的純彎曲-逆解法 一一. . 計(jì)算模型計(jì)算模型矩形截面梁，不計(jì)體力矩形截面梁，不計(jì)體力考察兩種情形：考察兩種情形：1 1）寬度遠(yuǎn)小于深度）寬度遠(yuǎn)小于深度和長(zhǎng)度（平面應(yīng)力）和長(zhǎng)度（平面應(yīng)力）2 2）寬度遠(yuǎn)大于深度）寬度遠(yuǎn)大于深度和長(zhǎng)度（平面應(yīng)變）和長(zhǎng)度（平面應(yīng)變）取單位寬度梁研究：令單位寬度上力

6、偶的矩為取單位寬度梁研究：令單位寬度上力偶的矩為M M注：這里假設(shè)已知兩端的力矩注：這里假設(shè)已知兩端的力矩M M，采用逆解法求解。，采用逆解法求解。M M的量綱為的量綱為 力力長(zhǎng)度長(zhǎng)度/ 長(zhǎng)度長(zhǎng)度 =力力 ）1yzhM0LLxMy2h2h1.1.逆解法框圖逆解法框圖選擇應(yīng)力函數(shù)?04嗎滿足YES求應(yīng)力分量NO滿足幾何邊界條件？YES結(jié)論NO2.2.步驟（已知面力）步驟（已知面力）a）假設(shè)一個(gè)應(yīng)力函數(shù)）假設(shè)一個(gè)應(yīng)力函數(shù)；b）檢查）檢查是否滿足是否滿足04c）根據(jù)（）根據(jù)（223）求應(yīng)力分量）求應(yīng)力分量；d）檢查所求應(yīng)力分量）檢查所求應(yīng)力分量能滿足什能滿足什么樣的應(yīng)力邊界條件（么樣的應(yīng)力邊界條件（

7、2-15）邊邊。一一. . 逆解法逆解法e)e)得出函數(shù)得出函數(shù)能解決何種問題能解決何種問題二二. . 求應(yīng)力求應(yīng)力3 3）根據(jù)（）根據(jù)（2 22323）求出應(yīng)力分量）求出應(yīng)力分量 ；1 1）假設(shè)應(yīng)力函數(shù)）假設(shè)應(yīng)力函數(shù)；3ay2 2）檢查）檢查是否滿足（是否滿足（2-242-24）容容024422444yyxx顯然滿足顯然滿足00622222yxyfxayxfyxyyyxx三三. . 邊界條件邊界條件1）檢查上、下邊界（主邊界）檢查上、下邊界（主邊界）,2hyysysxyxsxysxfmfmxhyxyyhyyff220000準(zhǔn)確滿足準(zhǔn)確滿足b）檢查左、右邊界（次邊界）檢查左、右邊界（次邊界）L

8、x0 xLxxyf滿足滿足1, 0ml0, 1,ml1yzhM0LLxMy2h2h要求當(dāng)要求當(dāng) 時(shí)時(shí)Lx00222222dyMydydyhhLxxyhhLxxhhLxx021606223222222222dyMahdyayydydyaydyhhLxxyhhhhLxxhhhhLxx滿足滿足滿足滿足Ly0 xL32hMa 故所求應(yīng)力分量故所求應(yīng)力分量：yIMhMyyhMayx3121326600 xyy（31）與材力完全相同與材力完全相同yx分布規(guī)律分布規(guī)律xM1）組成梁端力偶的面力必須按線性分布，解答才是完全精確的。按其它形式分布有誤差。（即解答為圣維南原理意義下的精確解）。2）由圣維南原理，不

9、同的面力分布形式，解答只在兩端有誤差。（對(duì)于Lh的梁）離兩端較遠(yuǎn)處，解答是有實(shí)用價(jià)值的。對(duì)于L與h尺寸差不多的梁，（3-1）則無實(shí)用價(jià)值。（用簡(jiǎn)單多項(xiàng)式不能獲得有用解答）3) 材料力學(xué)的公式在梁端一般是不適用的。討論討論3-3 純彎曲梁的位移分量1 1求應(yīng)變分量求應(yīng)變分量：由物理方程由物理方程0 xyyxyEIMyEIM）（1221)(1)(1xyxyxyyyxxGEE00 xyyxyIM0yuxvyEIMyvyEIMxuxyyx由由(1)(1)、(2)(2)積分：積分：xfyEIMvyfyxEIMu221u u、v v必須滿足必須滿足式式xvyu將將u u、v v代入代入 dxxdfdyyd

10、fxEIM21二二. . 求位移分量求位移分量：用幾何方程積分用幾何方程積分改寫為：改寫為： dyydfdxxdfxEIM12要使上式成立，必有要使上式成立，必有 dxxdfxEIM2dyydf1 為常量為常量 022012vxxEIMxfuyyf其中其中u0，v0為常量為常量故：故：其中其中 、 u0，v0為常數(shù)，須由約束條件求出為常數(shù)，須由約束條件求出022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu討論：討論：n1. 1. 證明平面假設(shè)是正確的證明平面假設(shè)是正確的xy由ouyxyEIMu無論約束情況如何（即無論約束情況如何（即 、uo、vo取何值）鉛垂線段的轉(zhuǎn)角取何值）鉛垂線段的轉(zhuǎn)角xE

11、IMyu對(duì)于同一截面，對(duì)于同一截面，x為常量為常量也為常量，即橫截面保持平面也為常量，即橫截面保持平面2 2、梁的各縱向纖維的曲率、梁的各縱向纖維的曲率由02222vxxEIMyEIMv小變形時(shí)小變形時(shí)EIMxv221與材力結(jié)果一致與材力結(jié)果一致三三. . 滿足約束條件滿足約束條件n1 1）簡(jiǎn)支梁）簡(jiǎn)支梁按約束確定位移中待定常數(shù)按約束確定位移中待定常數(shù)Lyx代入位移條件后得：代入位移條件后得：LEIMvu2;0;000位移分量位移分量：022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu梁的撓曲線方程：梁的撓曲線方程：xxLEIMvy)(2|0由約束條件由約束條件0|0yLxv0|00yxu0|

12、00yxv22)(2)2(yEIMxxLEIMvyLxEIMu（33）2 2）懸臂梁）懸臂梁n（1 1）假設(shè)截面中點(diǎn)）假設(shè)截面中點(diǎn)A A無位移無位移且過該點(diǎn)的截面法線不轉(zhuǎn)動(dòng)且過該點(diǎn)的截面法線不轉(zhuǎn)動(dòng)xyL022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu在梁右端（在梁右端（x=Lx=L）：）：對(duì)于對(duì)于y y的任何值的任何值22hyh要求要求：0u0v多項(xiàng)式解答無法滿足，在工程實(shí)際中難以實(shí)現(xiàn)。多項(xiàng)式解答無法滿足，在工程實(shí)際中難以實(shí)現(xiàn)。端部?jī)煞N約束：設(shè)某一點(diǎn)不移動(dòng)，某一條線段不轉(zhuǎn)動(dòng)端部?jī)煞N約束：設(shè)某一點(diǎn)不移動(dòng)，某一條線段不轉(zhuǎn)動(dòng)。0|0yLxu0|0yLxv00yLxxvoo1dxxyA以（以（1 1

13、）為例研究）為例研究：0|0yLxu0|0yLxv00yLxxv代入后代入后：0020020EIMLvLEIMLu222)(2)(yEIMxLEIMvyxLEIMu位移分量：位移分量：odyyxAEIMLEIMLvu2; 0200梁軸線的撓度方程：梁軸線的撓度方程：20)(2|xLEIMvy轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程：)(|0 xLEIMdxdvy注：注：1)1)對(duì)于平面應(yīng)變問題：對(duì)于平面應(yīng)變問題：1,12EE2)2)若以若以0|0yLxu0|0yLxv00yLxyu代入，確定為移分量，結(jié)果如何？請(qǐng)同學(xué)們代入，確定為移分量，結(jié)果如何？請(qǐng)同學(xué)們自己推出。自己推出。二二. .半逆解法：半逆解法：n1.1.半逆解法框圖半逆解法框圖由邊界條件選擇某應(yīng)力的函數(shù)式?04嗎滿足YES求應(yīng)力分量NO滿足邊界條件嗎?YES結(jié)論NOd