二面角的求法_ppt

1、232666 34 地軸赤道平面地球軌道面(黃道平面)南極北極 1、掌握二面角的定義法；、掌握二面角的定義法；2、掌握二面角的三垂線法；、掌握二面角的三垂線法；3、掌握二面角的垂面法、掌握二面角的垂面法;4、掌握二面角的射影面積法、掌握二面角的射影面積法; 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角這條直線叫做二面角的棱的棱, 這兩個(gè)半平面叫做二面角的面這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí):l2、二面角的表示方法、二面角的表示方法AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCDABCEFD

2、二面角二面角CAB E1、定義、定義 ABP l二面角的平面角必須滿足二面角的平面角必須滿足： 3）角的兩邊都要垂直于二面角的棱角的兩邊都要垂直于二面角的棱 1）角的頂點(diǎn)在棱上角的頂點(diǎn)在棱上 2）角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi) 二面角的平面角的范圍二面角的平面角的范圍: 0180 二面角的大小用它的平面角的大小來度量二面角的大小用它的平面角的大小來度量 以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)點(diǎn), 在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線兩條射線, 這兩條射線所成的角叫這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。做二面角的平面角。A1B1 P1 注意注

3、意: :(與頂點(diǎn)位置無關(guān)與頂點(diǎn)位置無關(guān)) APB= A1P1B1?ABCDA1B1C1D1例1、 如上圖，長方體AC1中， AB=3，BC=1，CC1= 3，求平面A1BC與平面ABCD 平面C1AB與平面ABCD 所成二面角的大小 ？解ABBC，A1BBC連接A1B、D1C，A1BA就是二面角A1-BC-A 的平面角，又在RtA1AB中 tan A1BA=A1A/AB=333 A1BA=30。二面角A1-BC-A為30。 連接C1B、D1A，BCAB， BC1 ABC1BC就是二面角C1AB-C 的平面角，又在RtA1AB中 tan C1BC=C1C/BC= C1BC =60。二面角A1-B

4、C-A為60。 一、幾何法：一、幾何法：1、定義法、定義法:以二面角的棱以二面角的棱a a上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)O O為端點(diǎn)，在兩為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于個(gè)面內(nèi)分別作垂直于a a 的兩條射線的兩條射線OA,OBOA,OB，則則AOBAOB就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。aOAB2、射影面積法、射影面積法:如圖所示，如圖所示， AD 平面平面M， 設(shè)設(shè) AHD= 是二面角是二面角A-BC-D的平面角，的平面角， 由由cos =AD/AH可得，可得， ABC與它在過其與它在過其底邊底邊BC的平面的平面M上的射影上的射影 DBC以及兩者以及兩者所成的二所成的二面角面角 之間的關(guān)系：之間

5、的關(guān)系：ABCDHMcosDBCABCSSSS射練習(xí)1、已知在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)（1）求證：AF平面PEC；（2）求PC與平面ABCD所成角的大?。唬?）求二面角P一EC一D的大小?練習(xí)練習(xí)2 2【解】法一：【解】法一：(1)如圖，取如圖，取CD中點(diǎn)中點(diǎn)O，連接，連接OB，OM，則則OBCD，OMCD.又平面又平面MCD平面平面BCD，則，則MO平面平面BCD.2分分所以所以MOAB，A、B、O、M四點(diǎn)共面延長四點(diǎn)共面延長AM，BO相交于相交于E, 則則AEB就是就是AM與平面與平面BCD所成的角所

6、成的角.4分分(2)CE是平面是平面ACM與平面與平面BCD的交線的交線由由(1)知，知，O是是BE的中點(diǎn)，則四邊形的中點(diǎn)，則四邊形BCED是菱形是菱形作作BFEC于于F，連接，連接AF，則，則AFEC，AFB就是二面就是二面角角AECB的平面角，設(shè)為的平面角，設(shè)為.8分分?例2、已知二面角、已知二面角 l ，A為面為面 內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)，A到到 的的距離為距離為 2 ，到，到 l 的距離為的距離為 4。求求二面角二面角 l 的大小。的大小。 lA .DO作業(yè)、如圖，PAB是邊長為2的正三角形,AD平面PAB,BCAD,ADBC .又點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段AD上，且MNPC.(1)求線

7、段AM的長；(2)求二面角PMCN的大小.2NABMPCD練習(xí)練習(xí)2、如圖，在四面體、如圖，在四面體ABCD中，平面中，平面ABC平面平面ACD，ABBC，AC=AD=2,BC=CD=1.()求四面體求四面體ABCD的體積的體積;()求二面角求二面角 C-AB-D 的平面角的正切值的平面角的正切值.解法一：（I）如答（20）圖1，過D作DFAC垂足為F，故 由 平 面 A B C 平 面 A C D ， 知 D F 平 面 A B C ， 即 D F是 四 面 體 A B C D 的 面 A B C 上 的 高 ， 設(shè) G 為 邊 C D 的 中 點(diǎn) ，則由AC=AD，知AGCD，從而2222

8、1152().221115.224A GA CC GA GC DA CD FC DA GD FA C由得2213,3,.22ABCRt ABCABACBCSAB BC中故四面體ABCD的體積 15.38ABCVSDF例例3 3如圖如圖P P為二面角為二面角 內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)，PA,PBPA,PB,且且PA=5PA=5，PB=8PB=8，AB=7AB=7，求這二面角的度數(shù)。，求這二面角的度數(shù)。 過過PA、PB的平面的平面PAB與與 棱棱 交于交于O點(diǎn)點(diǎn)PA PA PB PB 平面PABAOB為二面角的平面角又PA=5，PB=8，AB=721cosP由余弦定理得由余弦定理得P= 60 AOB=120

9、 這二面角的度數(shù)為這二面角的度數(shù)為120解：解：ABPO一、幾何法：一、幾何法：1、定義法、定義法:以二面角的棱以二面角的棱a a上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)O O為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于分別作垂直于a a 的兩條射線的兩條射線OA,OBOA,OB，則，則AOBAOB就是就是此二面角的平面角此二面角的平面角。aOAB在一個(gè)平面在一個(gè)平面 內(nèi)選一點(diǎn)內(nèi)選一點(diǎn)A A向另一平面向另一平面 作垂線作垂線ABAB，垂足為垂足為B B，再過點(diǎn)，再過點(diǎn)B B向棱向棱a a作垂線作垂線BOBO，垂足，垂足 為為O O，連結(jié)連結(jié)AOAO，則，則AOBAOB就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。3

10、、垂面法、垂面法:過二面角內(nèi)一點(diǎn)過二面角內(nèi)一點(diǎn)A作作AB 于于B，作，作AC 于于C，面，面ABC交棱交棱a于點(diǎn)于點(diǎn)O，則，則BOC就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。aABCO2、三垂線法、三垂線法:ABOa4、射影面積法、射影面積法:如圖所示，如圖所示， AD 平面平面M， 設(shè)設(shè) AHD= 是二面角是二面角A-BC-D的平面角，的平面角， 由由cos =AD/AH可得，可得， ABC與它在過其與它在過其底邊底邊BC的平面的平面M上的射影上的射影 DBC以及兩者以及兩者所成的二所成的二面角面角 之間的關(guān)系：之間的關(guān)系：ABCDHMcosDBCABCSSSS射幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明：定義法是選擇

11、一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)（一般為這個(gè)面的一個(gè)定義法是選擇一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)（一般為這個(gè)面的一個(gè)頂點(diǎn)）向棱作垂線，再由垂足在另一個(gè)面內(nèi)作棱的垂線。頂點(diǎn)）向棱作垂線，再由垂足在另一個(gè)面內(nèi)作棱的垂線。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好計(jì)算，不是此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好計(jì)算，不是我們首選的方法我們首選的方法。三垂線法是從一個(gè)平面內(nèi)選一點(diǎn)（一般為這個(gè)面的一個(gè)三垂線法是從一個(gè)平面內(nèi)選一點(diǎn)（一般為這個(gè)面的一個(gè)頂點(diǎn)）向另一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線，連結(jié)這頂點(diǎn)）向另一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線，連結(jié)這個(gè)點(diǎn)和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，計(jì)個(gè)點(diǎn)和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，計(jì)算簡便，所以我們常用此法。算簡便，所以我們常用此法。垂面法需在二面角之間找一點(diǎn)向兩面作垂線，因?yàn)檫@垂面法需在二面角之間找一點(diǎn)向兩面作垂線，因?yàn)檫@一點(diǎn)不好選擇，所以此法一般不用一點(diǎn)不好選擇，所以此法一般不用。以上三種方法作平面角都需寫出作法、證明、指出平面角