1.2微分方程ppt課件

1、例如例如0222dyxyxdxyxy可改寫為可改寫為xyxyxydxdy222故原方程為齊次方程故原方程為齊次方程 。定義定義xyy,xf 則稱這方程為齊次方程。則稱這方程為齊次方程。y,xfdxdy假設(shè)假設(shè)中的函數(shù)中的函數(shù)y,xf的函數(shù)，的函數(shù)， 可寫成可寫成xyxydxdy 在齊次方程在齊次方程 中，中，變量的方程。變量的方程。,xyu 令令就化為變量可分離就化為變量可分離xyxyxy212dxduxudxdyuxy dxduxuu uudxdux 解解22xxyydxdy令令,uxy那么那么,uxy 原方程變?yōu)樵匠套優(yōu)?uudxduxu12.uudxdux1 即即例例1的的通通解解dx

2、dyxydxdyxy 22求方求方程程原方程可寫成：原方程可寫成：dxduxudxdy12xyxy分離變量得分離變量得xdxduu11兩端積分得兩端積分得xCuulnlnCuxuln所給方程的通解為所給方程的通解為CxyylnxyxyCxycCxyeCyyeeyeeey10 總總之之，也也是是該該方方程程的的解解。0 y不不包包含含P-193例例2）的的通通解解（求求022 xyyxyx解解xyxyy 2)(1xuyxyu 令令2211uuxuuuxuuxuy CxxyCxuxdxudu lnarcsinlnarcsin12可化為齊次微分方程的方程可化為齊次微分方程的方程2212 yxyxdx

3、dy 022012yxyx0, 1 yx解解得得：YyXx , 1令令2)1(2121 YXYXdXdYdxdy為齊次微分方程為齊次微分方程YXYXdXdY 22uXYXYu 令令uudXduXudXdY 221uuudXduX 221uuudXduX 2412dXXduuuu14122 dXXduuuu241242 122ln|41|lnCXuu 122| )41(|lnCuuX CuuX )41(22CXYXYX )(41 22CYXYX 224Cyyxx 22)1(4)1(222111cybxacybxadxdy 2121bbaa 若若都可以用上述方法求解都可以用上述方法求解方程方程2分

4、離變量后得分離變量后得 dxxPydy其通解為其通解為: dxxPCey兩邊積分，兩邊積分， dxxPydy得得: 1lnCdxxPy-一階非齊次線性微分方程一階非齊次線性微分方程 xQyxPdxdy（1） ,0 xQ若若 xQyxPdxdy -對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于1的齊次線性微分方程的齊次線性微分方程 0yxPdxdy（2） ,0 xQ若若常數(shù)變易法：常數(shù)變易法： dxxPexuy設(shè)設(shè)為為1的解，的解， ？xu dxxPexuy將將代入代入1），得：），得： xPexuexudxxPdxxP dxxPexuxP xQ即即 ,dxxPexQxu求得求得1的通解為：的通解為： .CdxexQxudxxP

5、 CdxexQeydxxPdxxP ?xQyxPdxdy如如何何解解 dxxPCe dxexQedxxPdxxP對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解 該方程的特解該方程的特解 例例1 求方程求方程 的通解的通解 。25112xxydxdy解解012xydxdy分離變量得分離變量得12xdxydy其通解為其通解為. 12xCy對(duì)應(yīng)齊次方程為對(duì)應(yīng)齊次方程為先求對(duì)應(yīng)齊次方程先求對(duì)應(yīng)齊次方程 的通解的通解設(shè)原方程通解為設(shè)原方程通解為 21xxuy（3）那么那么 將將3式與式與4式式 代入原方程，整理得代入原方程，整理得211 x u1212xux u y（4）法法1 常數(shù)變易法常數(shù)變易法11ln2

6、lnCxy 兩端積分得兩端積分得 ，待定函數(shù)為，待定函數(shù)為Cxu23132原方程通解為原方程通解為Cxxy2313212法法2 公式法公式法,xxydxdy25112 ,xxP12 .xxQ251 CdxexQeydxxPdxxPCdxexedxxdxx1225121 Cdxxxx2252111Cxx2313212例例2 2 1|)32xyyyyx（求求解解初初值值問問題題yyxdydxyyxdydxyxydxdy 22)()(1)()()( CdyeyQexyyQyyPdyyPdyyP1 CdyyyyCdyyeexydyydy)2(2)1( 131|3 yyxCyx解解值值）對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)

7、可可以以不不取取絕絕對(duì)對(duì)）（0( yCyy 10 ,nyxQyxPdxdyn（6）可化為可化為 xQyxPdxdyynn1代入代入6式，可將伯努利方程化為一階線性微分方程：式，可將伯努利方程化為一階線性微分方程： xQnzxPndxdz11ny1求出此方程的通解后，以求出此方程的通解后，以 代代 z，便得方程，便得方程6的通解。的通解。引入新的未知函數(shù)引入新的未知函數(shù),yzn1,dxdyyndxdzn 1,11dxdzyndxdyn 例例1求方程求方程 的通解的通解 。2lnyxaxydxdy 解解得得 xazxdxdzln21121令令,121yyz該方程通解為該方程通解為2ln2xaCxz

8、1y以以 代代 z ，得所求方程通解為：，得所求方程通解為：1ln22xaCyxxazxdxdzln1即即 利用變量替換把一個(gè)較復(fù)雜的微分方程化為較簡(jiǎn)單的微分利用變量替換把一個(gè)較復(fù)雜的微分方程化為較簡(jiǎn)單的微分 方程，是解方程，是解 微分方程的一種常用方法。微分方程的一種常用方法。注注例例 4 解方程解方程.yxdxdy1法法1一階線性微分方程解略）。一階線性微分方程解略）。令令 x + y = u，uudxdu1分離變量得分離變量得dxduuu 1以以 u = x + y 代入即得原方程通解為代入即得原方程通解為Cyxy1ln兩端積分得兩端積分得Cxuu1ln解解, yxdydx把方程變形為把方程變形為法法2那么那么 y = u - x 代入原方程得代入原方程得dxduu111 yyQyPyxdydx, 1,小結(jié)：小結(jié)：1. 齊次方程齊次方程xyy,xfdxdy ,xyu 令令2. 線性微分方程線