大學(xué)物理振動和波4

1、1一、一、彈性介質(zhì)和波源彈性介質(zhì)和波源（機(jī)械波產(chǎn)生的條件）（機(jī)械波產(chǎn)生的條件）6 波的基本概念波的基本概念第六章第六章 振動和波振動和波 二、二、物體的彈性和波速物體的彈性和波速6.2 波的周期性和波速波的周期性和波速一、一、波長、波速和頻率波長、波速和頻率二、二、縱波和橫波縱波和橫波三、三、 波線、波面、波前波線、波面、波前作業(yè)：作業(yè)：6-13, 14，157 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)一、行波方程：右行波和左行波一、行波方程：右行波和左行波二、二、 波的能量，能流密度波的能量，能流密度6.1 機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播26.1 機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播一、一

2、、彈性介質(zhì)和波源彈性介質(zhì)和波源（機(jī)械波產(chǎn)生的條件）（機(jī)械波產(chǎn)生的條件）彈性介質(zhì)是指由彈性力組合的連續(xù)介質(zhì)。彈性介質(zhì)是指由彈性力組合的連續(xù)介質(zhì)。波源波源波源處質(zhì)點(diǎn)的振動通過彈性介質(zhì)中的波源處質(zhì)點(diǎn)的振動通過彈性介質(zhì)中的彈性力，將振動傳播開去，從而形成機(jī)械波。彈性力，將振動傳播開去，從而形成機(jī)械波。波動（或行波波動（或行波)是振動狀態(tài)的傳播，是能量的是振動狀態(tài)的傳播，是能量的傳播，而不是質(zhì)點(diǎn)的傳播。傳播，而不是質(zhì)點(diǎn)的傳播。第六章第六章 振動和波振動和波 6 波的基本概念波的基本概念3二、二、縱波和橫波：縱波和橫波：橫波橫波振動方向與傳播方向垂直，如電磁波振動方向與傳播方向垂直，如電磁波縱波縱波振動方

3、向與傳播方向相同，如聲波。振動方向與傳播方向相同，如聲波。三、三、波線、波面、波前波線、波面、波前波線波線（或波射線（或波射線)波的傳播方向稱之為波射線或波線。波的傳播方向稱之為波射線或波線。波面波面（或相面、波陣面）（或相面、波陣面）某時刻介質(zhì)內(nèi)振動相位相同的點(diǎn)組成的面某時刻介質(zhì)內(nèi)振動相位相同的點(diǎn)組成的面 稱為波面。稱為波面。波前波前某時刻處在最前面的波面。某時刻處在最前面的波面。4波線波線波面波面波面波面波線波線球面波球面波平面波平面波 6.2 波的周期性和波速波的周期性和波速一、一、 波長、波速和頻率：波長、波速和頻率：波長波長振動相位相同的兩個相鄰波振動相位相同的兩個相鄰波陣面之間的距

4、離是一個波長?；蛘駝雨嚸嬷g的距離是一個波長。或振動在一個周期中傳播的距離，稱為波長，在一個周期中傳播的距離，稱為波長，用用 表示。表示。 在各向同性均勻介質(zhì)在各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波陣面垂中，波線與波陣面垂直直.5波速波速單位時間某種一定的振動狀態(tài)單位時間某種一定的振動狀態(tài)(或振動相位或振動相位)所傳播的距離稱為波速所傳播的距離稱為波速 ，也稱之相速，也稱之相速 。u頻率頻率單位時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)振動的次數(shù)單位時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)振動的次數(shù)T1 Tu1 表示波在空間的周期性表示波在空間的周期性表示波在時間上的周期性表示波在時間上的周期性u通過波速通過波速 聯(lián)系起來聯(lián)系起來波的周期波的周期T：波傳過一個波長

5、的時間，或一個：波傳過一個波長的時間，或一個完整的波通過波線上某一點(diǎn)所需要的時間叫完整的波通過波線上某一點(diǎn)所需要的時間叫做波的周期做波的周期T。6二、二、物體的彈性和波速物體的彈性和波速機(jī)械波的傳播速度完全取決于介質(zhì)的機(jī)械波的傳播速度完全取決于介質(zhì)的彈性性質(zhì)彈性性質(zhì)和和慣性性質(zhì)慣性性質(zhì)。即介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)的密度。即介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)的密度,亦即決定于這種波在媒質(zhì)中傳播的機(jī)構(gòu)。亦即決定于這種波在媒質(zhì)中傳播的機(jī)構(gòu)。 Tut * 對于對于柔軟的繩索和弦線柔軟的繩索和弦線中橫波波速為中橫波波速為 T為繩索或弦線中張力為繩索或弦線中張力;為質(zhì)量線密度為質(zhì)量線密度 * 細(xì)長的棒細(xì)長的棒狀媒質(zhì)中縱波波

6、速為狀媒質(zhì)中縱波波速為 Yul Y 為媒質(zhì)的楊氏彈性模量為媒質(zhì)的楊氏彈性模量;為質(zhì)量密度為質(zhì)量密度 7 Nut * 各向同性均勻固體各向同性均勻固體媒質(zhì)橫波波速媒質(zhì)橫波波速N為媒質(zhì)的切變彈性模量為媒質(zhì)的切變彈性模量;為質(zhì)量密度為質(zhì)量密度 在同一種固體媒質(zhì)中，橫波波速比縱波波速小些。在同一種固體媒質(zhì)中，橫波波速比縱波波速小些。* 理想氣體縱波波速理想氣體縱波波速M(fèi)RTPut M為氣體的質(zhì)量；為氣體的質(zhì)量； R為氣體的摩爾常數(shù)。為氣體的摩爾常數(shù)。T為熱力學(xué)溫度；為熱力學(xué)溫度；是氣體的比熱容比是氣體的比熱容比 模量模量87 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)以橫波為例說明平面簡諧波的波函數(shù)。以橫波

7、為例說明平面簡諧波的波函數(shù)。已知已知O點(diǎn)振動表達(dá)式：點(diǎn)振動表達(dá)式：)cos(0 tAyxypuOx 0 y表示各質(zhì)點(diǎn)在表示各質(zhì)點(diǎn)在Y方向上的方向上的位移，位移，A是振幅，是振幅， 是角頻是角頻率或叫圓頻率，率或叫圓頻率， 為為O點(diǎn)在點(diǎn)在零時刻的相位。零時刻的相位。O點(diǎn)運(yùn)動傳到點(diǎn)運(yùn)動傳到 p點(diǎn)需用點(diǎn)需用 uxt 一、行波方程：右行波和左行波一、行波方程：右行波和左行波9)(cos),(0 uxtAtxy)cos(),( xtAtxy 20 22 TTuk； 22 T uuT 定義定義 為角波數(shù)為角波數(shù)k也即也即p點(diǎn)的相位落后于點(diǎn)的相位落后于O點(diǎn)相位：點(diǎn)相位： 。這就是這就是右行波右行波的波方程。

8、的波方程。 x2T/2Tu/相位落后相位落后 ，所以，所以 p點(diǎn)的運(yùn)動方程：點(diǎn)的運(yùn)動方程：ux xypuOx10)(cos),(uxtAtxy 因此下述幾式等價：因此下述幾式等價：cos),( xtAtxy2 )(cos),( xtAtxy 2)(cos),(utxAtxy 2)(cos),(utxkAtxy T/2Tu/11)()(cos),(02 xxttAttxxy)(cos022 xtuxtA),(),(txyttxxy 若這兩處相位相同，則有：若這兩處相位相同，則有：)cos(),(02 xtAtxy02 )(xtu 可見波速就是相位傳播的速度可見波速就是相位傳播的速度12左行波的波

9、函數(shù)：左行波的波函數(shù)：)(cos),(0 uxtAtxy)(cos),(0 utxkAtxy也即也即p點(diǎn)的相位超前于點(diǎn)的相位超前于O點(diǎn)相位：點(diǎn)相位：所以所以 p點(diǎn)的運(yùn)動方程，點(diǎn)的運(yùn)動方程，也也就是左行波的波方程：就是左行波的波方程： xux2 p點(diǎn)運(yùn)動傳到點(diǎn)運(yùn)動傳到 O 點(diǎn)需用點(diǎn)需用時間：時間： uxt xypuOx13一條長線的質(zhì)量線密度為一條長線的質(zhì)量線密度為 今用今用一水平力一水平力 將它張緊，并使其上產(chǎn)生橫波將它張緊，并使其上產(chǎn)生橫波向左傳播，在向左傳播，在t=0的波形如圖所示的波形如圖所示mkg/.21051 NF6 例題：例題：求：振幅求：振幅，波長波長，波速波速和和波的周期波的周

10、期波函數(shù)及質(zhì)元振動波函數(shù)及質(zhì)元振動速度表達(dá)式速度表達(dá)式mmA4010042.,. smFu/.20105162 suT0202040. 20 0 tm04.0m4 .0m2 .0 xyu解：解：14)(sin),(0 uxtAttxyy vsmxtttxyy/)5100cos(6 .12),( v注意：質(zhì)元振動速度與注意：質(zhì)元振動速度與波傳播速度的不同。波傳播速度的不同。mxt)cos(.2510010402 )cos( xtTAy222 20 0 tm04.0m4 .0m2 .0 xyu15例題例題 6.4 有一平面波在均勻介質(zhì)中以速度有一平面波在均勻介質(zhì)中以速度u=20m/s沿直線沿直線傳

11、播，已知在傳播路徑上的某點(diǎn)傳播，已知在傳播路徑上的某點(diǎn)A的振動方程為的振動方程為米米）(costy 41034 (1)求以求以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的波動表達(dá)式。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的波動表達(dá)式。(2)求以距求以距A點(diǎn)點(diǎn)5米處的米處的B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的波函數(shù)。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的波函數(shù)。(3)求求B、C兩點(diǎn)的相位差。兩點(diǎn)的相位差。xB8米米5米米AC米）)(20(4cos1034xty5 xxxou x ou)(cosuxty541034 16)(cosuxty541034 )cos( 541034xtysmu/20 )(BCCBxxu 4米米）)(cosuxty 41034 58513204 ）(B點(diǎn)相位落后點(diǎn)相位

12、落后C點(diǎn)相位點(diǎn)相位與坐標(biāo)選取無關(guān)。與坐標(biāo)選取無關(guān)。xB8米米5米米ACxou17定義：定義：能量密度單位體積內(nèi)的總機(jī)械能能量密度單位體積內(nèi)的總機(jī)械能)(sinuxtAwwwpk 222 定義：平均能量密度（對時間平均定義：平均能量密度（對時間平均)222022211 AdAT sin 其中其中 T202 dsindtuxtATwT)(sin 22021二、二、 波的能量，能流密度波的能量，能流密度18 *任意時刻，體元中動能與勢能相等，任意時刻，體元中動能與勢能相等， 即動能與勢能同時達(dá)到最大或極小。即動能與勢能同時達(dá)到最大或極小。 即同相的隨時間變化。這不同于孤即同相的隨時間變化。這不同于孤

13、 立振動系統(tǒng)。立振動系統(tǒng)。 * 能量密度隨時間周期性變化，能量密度隨時間周期性變化， 其周期為波動周期的一半。其周期為波動周期的一半。 T討論：討論： * 能量密度與振幅平方能量密度與振幅平方 、頻率平方、頻率平方 和質(zhì)量密度和質(zhì)量密度 均成正比。均成正比。2A2 因為因為波是能量傳播的一種形式，波是能量傳播的一種形式，下面討論。下面討論。19波動的能量與振動能量是有區(qū)別的。波動的能量與振動能量是有區(qū)別的。孤立振動系統(tǒng)的質(zhì)元動能最大時，孤立振動系統(tǒng)的質(zhì)元動能最大時，勢能最小，總機(jī)械能守恒，不向外傳播能量勢能最小，總機(jī)械能守恒，不向外傳播能量;)(sin tmAmvEk22222121)(cos

14、 tkAkxEp2222121而對于波動來說，由于媒質(zhì)中各部分由彈性力而對于波動來說，由于媒質(zhì)中各部分由彈性力彼此相聯(lián)，使得振動在其中傳播。任一質(zhì)元總彼此相聯(lián)，使得振動在其中傳播。任一質(zhì)元總機(jī)械能隨時間周期性的變化，動能最大時，勢機(jī)械能隨時間周期性的變化，動能最大時，勢能也最大，動能為零時，勢能也為零；能也最大，動能為零時，勢能也為零； 波是能量傳播的一種形式波是能量傳播的一種形式振振動動20PEtXY 極大極大 能能量極量極小小 極小極小振動振動kEY21)(sinuxtVAWk 22221)(sinuxtVAWp 22221對于某一體元，它的能量從零達(dá)到最大，對于某一體元，它的能量從零達(dá)到

15、最大，這是能量的輸入過程，然后又從最大減這是能量的輸入過程，然后又從最大減到零，這是能量輸出的過程，周而復(fù)始。到零，這是能量輸出的過程，周而復(fù)始。平均講來，該體元的能量密度保持不變，平均講來，該體元的能量密度保持不變，2221Aw即媒質(zhì)中并不積累能量。因而它是一個能量傳即媒質(zhì)中并不積累能量。因而它是一個能量傳遞的過程，或者說波是能量傳播的一種形式；遞的過程，或者說波是能量傳播的一種形式；波動的能量沿波速方向傳播；波動的能量沿波速方向傳播；22能流能流 單位時間內(nèi)垂直通過某一截面的單位時間內(nèi)垂直通過某一截面的能量稱為波通過該截面的能流，或叫能通量。能量稱為波通過該截面的能流，或叫能通量。PwSt

16、uWw為截面所在位置的能量密度為截面所在位置的能量密度所以，能流為：所以，能流為：)(sin222uxtASuwSutWPSutu顯然能流是隨時間周期性變化的。但它總為正值顯然能流是隨時間周期性變化的。但它總為正值 能流，能流密度能流，能流密度設(shè)波速為設(shè)波速為 u，在，在 時間內(nèi)通過垂直于波速截面時間內(nèi)通過垂直于波速截面 的能量的能量:S t 23在一個周期內(nèi)能流的平均值稱為平均能流在一個周期內(nèi)能流的平均值稱為平均能流PwSuP uAwuSPI2221 換句話說，能流密度是換句話說，能流密度是單位時間內(nèi)通過垂直于單位時間內(nèi)通過垂直于波速方向的單位截面的波速方向的單位截面的平均能量。平均能量。u

17、AI2221 聲學(xué)中聲強(qiáng)就是聲學(xué)中聲強(qiáng)就是上述定義之一例上述定義之一例 平均能流平均能流能流密度是矢量，其方向與波速方向相同。能流密度是矢量，其方向與波速方向相同。通過垂直于波動傳播方向的單位面積的平均能流通過垂直于波動傳播方向的單位面積的平均能流稱為平均能流密度，通常稱為能流密度或波的強(qiáng)度。稱為平均能流密度，通常稱為能流密度或波的強(qiáng)度。24借助于上式和能量守恒可討論波傳播時振幅的變化：借助于上式和能量守恒可討論波傳播時振幅的變化：在均勻在均勻不吸收能量不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的平面波在行進(jìn)方向的媒質(zhì)中傳播的平面波在行進(jìn)方向上振幅不變。上振幅不變。 平面波和球面波的振幅平面波和球面波的振幅證明：

18、因為證明：因為在一個周期在一個周期T內(nèi)通過內(nèi)通過1S和和2S面的能量應(yīng)該相等面的能量應(yīng)該相等,TSITSI2211 SSS 21TSAuTSAu222212122121 21AA u1S2S所以所以,平面波振幅相等：平面波振幅相等：252224 rS 2211rArA ;2114 rS 所以振幅與離波源的所以振幅與離波源的距離成反比。如果距距離成反比。如果距波源單位距離的振幅波源單位距離的振幅為為A則距波源則距波源r處的振處的振幅為幅為rA球面波球面波由于振動的相位隨距離由于振動的相位隨距離的增加而落后的關(guān)系，的增加而落后的關(guān)系，與平面波類似，球面簡與平面波類似，球面簡諧波的波函數(shù)：諧波的波函數(shù)：)(cosurtrAyTSAuTSAu2222121