大學(xué)物理：19-3波函數(shù)、薛定諤方程a

1、一、波函數(shù)：描述具有波粒二象性粒子的運(yùn)動(dòng)函一、波函數(shù)：描述具有波粒二象性粒子的運(yùn)動(dòng)函數(shù)。數(shù)。1）自由粒子的波函數(shù)）自由粒子的波函數(shù)設(shè)一自由粒子，不受外力作用，則粒子作勻速直設(shè)一自由粒子，不受外力作用，則粒子作勻速直線運(yùn)動(dòng)（設(shè)沿線運(yùn)動(dòng)（設(shè)沿X軸），其動(dòng)量、能量保持恒定。軸），其動(dòng)量、能量保持恒定。constE hEconstP ph恒定！恒定！恒定！恒定！從波動(dòng)觀點(diǎn)看來：這種波只能是單色平面波從波動(dòng)觀點(diǎn)看來：這種波只能是單色平面波X19-3波函數(shù)波函數(shù) schroding 方程方程1）自由粒子的波函數(shù)）自由粒子的波函數(shù)constE hEconstP ph恒定！恒定！恒定！恒定！從不確定關(guān)系來研究

2、：從不確定關(guān)系來研究：constP constE 0Px0Et沿整個(gè)沿整個(gè)X軸傳播軸傳播波列長為波列長為 長。長。結(jié)論：自由粒子的結(jié)論：自由粒子的De Brglie波是單色平面波波是單色平面波其波函數(shù)為：其波函數(shù)為：)(20 xtCos依德布羅依德布羅意關(guān)系式意關(guān)系式)/(20phxthECosX其波函其波函數(shù)為：數(shù)為：)(20 xtCos)/(20phxthECos)(20pxEthCos)(10pxEtCos)(10pxEtCos常寫成常寫成復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)：)(0EtPxier當(dāng)粒子沿著當(dāng)粒子沿著 方向傳播時(shí)：方向傳播時(shí)：rZXYkzjyixrkPjPiPPZyx其中：其中：注意：波函數(shù)一般要

3、用復(fù)數(shù)表示！注意：波函數(shù)一般要用復(fù)數(shù)表示！P)(0EtPxie)(0EtrPie三維自由粒子的波函數(shù)三維自由粒子的波函數(shù)二、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)銓釋（波恩二、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)銓釋（波恩BornBorn） 代表什么？只有實(shí)踐才是撿驗(yàn)真代表什么？只有實(shí)踐才是撿驗(yàn)真理的標(biāo)準(zhǔn)，看電子的單縫衍射：理的標(biāo)準(zhǔn)，看電子的單縫衍射：1）大量電子的一次行為：）大量電子的一次行為：U極大值極大值極小值極小值中間值中間值較多電子到達(dá)較多電子到達(dá)較少電子到達(dá)較少電子到達(dá)介于二者之間介于二者之間波強(qiáng)度大，波強(qiáng)度大，220 或大大220 或小小波強(qiáng)度小，波強(qiáng)度小，波強(qiáng)介于二者之間波強(qiáng)介于二者之間粒子的觀點(diǎn)粒子的觀點(diǎn)波動(dòng)的觀點(diǎn)波動(dòng)的觀點(diǎn)

4、統(tǒng)一地看：粒子出現(xiàn)的幾率正比于統(tǒng)一地看：粒子出現(xiàn)的幾率正比于220 或2）一個(gè)粒子多次重復(fù)行為）一個(gè)粒子多次重復(fù)行為較長時(shí)間以后較長時(shí)間以后極大值極大值極小值極小值中間值中間值較多電子到達(dá)較多電子到達(dá)較少電子到達(dá)較少電子到達(dá)介于二者之間介于二者之間波強(qiáng)度大，波強(qiáng)度大，220 或大大220 或小小波強(qiáng)度小，波強(qiáng)度小，波強(qiáng)介于二者之間波強(qiáng)介于二者之間粒子的觀點(diǎn)粒子的觀點(diǎn)波動(dòng)的觀點(diǎn)波動(dòng)的觀點(diǎn)U統(tǒng)一地看：粒子出現(xiàn)的幾率正比于統(tǒng)一地看：粒子出現(xiàn)的幾率正比于220 或結(jié)論結(jié)論：1 1）某時(shí)刻某時(shí)刻t t在空間某點(diǎn)在空間某點(diǎn)r r處粒子出現(xiàn)的幾率處粒子出現(xiàn)的幾率正比于該時(shí)刻、該地點(diǎn)波函數(shù)模的平方。正比于該時(shí)

5、刻、該地點(diǎn)波函數(shù)模的平方。dxdydzdVdW*2202(b)概率：概率：(a)概率密度概率密度t時(shí)刻粒子在某時(shí)刻粒子在某r處單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率。處單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率。t時(shí)刻粒子在體積元時(shí)刻粒子在體積元dv內(nèi)出現(xiàn)的概率。內(nèi)出現(xiàn)的概率。結(jié)論：結(jié)論：2 2）波函數(shù)所描述的是處于相同條件下，大）波函數(shù)所描述的是處于相同條件下，大 量粒子的一次行為和一個(gè)粒子量粒子的一次行為和一個(gè)粒子的的多次多次 重復(fù)行為。重復(fù)行為。 微觀粒子遵循的是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而不是經(jīng)典的決微觀粒子遵循的是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而不是經(jīng)典的決定性規(guī)律。定性規(guī)律。牛頓說：牛頓說：只要給出了初始條件，下一時(shí)刻粒只要給出了初始條件，下一時(shí)刻粒 子的

6、軌跡是已知的，決定性的。子的軌跡是已知的，決定性的。量子力學(xué)說：量子力學(xué)說：波函數(shù)不給出粒子在什么時(shí)刻波函數(shù)不給出粒子在什么時(shí)刻一定到達(dá)某點(diǎn)，只給出到達(dá)各點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)分布；一定到達(dá)某點(diǎn)，只給出到達(dá)各點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)分布；即只知道即只知道| |2大的地方粒子出現(xiàn)的可能性大，大的地方粒子出現(xiàn)的可能性大，| |2小的地方幾率小。一個(gè)粒子下一時(shí)刻出小的地方幾率小。一個(gè)粒子下一時(shí)刻出現(xiàn)在什么地方，走什么路徑是不知道的（非現(xiàn)在什么地方，走什么路徑是不知道的（非決定性的）決定性的）結(jié)論：結(jié)論：3 3）波函數(shù)所代表的波是幾率波。）波函數(shù)所代表的波是幾率波。微觀粒子出現(xiàn)在微觀粒子出現(xiàn)在| |2大的地方，大的地方，| |2小

7、的小的地方粒子出現(xiàn)少；粒子受波函數(shù)所引導(dǎo)，地方粒子出現(xiàn)少；粒子受波函數(shù)所引導(dǎo)，波函數(shù)按波的形式去分配粒子的出現(xiàn)的波函數(shù)按波的形式去分配粒子的出現(xiàn)的幾率。幾率。例）求一個(gè)能量為例）求一個(gè)能量為E、動(dòng)量為、動(dòng)量為P的自由粒子的幾率的自由粒子的幾率 密度。密度。)(的共軛復(fù)數(shù))(0rPEtie)(0rPEtie)(0rPEtieconst20解：解：波函數(shù)為波函數(shù)為且與位置且與位置 無關(guān)。在全空間粒子出現(xiàn)的幾率一樣無關(guān)。在全空間粒子出現(xiàn)的幾率一樣).( tr1VdVW三、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件三、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件1）波函數(shù)具有有限性）波函數(shù)具有有限性在空間是有限函數(shù)在空間是有限函數(shù)2）波函數(shù)是連續(xù)的）

8、波函數(shù)是連續(xù)的只差一微量幾率密度處與處的幾率密度即在)()(rdrrdrrr3）波函數(shù)是單值的）波函數(shù)是單值的粒子在空間出現(xiàn)的幾率只可能是一個(gè)值粒子在空間出現(xiàn)的幾率只可能是一個(gè)值4）滿足歸一化條件）滿足歸一化條件1dVW（歸一化條件）（歸一化條件）因?yàn)榱Ｗ釉谌臻g出現(xiàn)是必然事件因?yàn)榱Ｗ釉谌臻g出現(xiàn)是必然事件（Narmulisation）四、四、Schrding方程方程設(shè)有一作勻速直線運(yùn)動(dòng)的自由粒子沿設(shè)有一作勻速直線運(yùn)動(dòng)的自由粒子沿X軸運(yùn)動(dòng)。軸運(yùn)動(dòng)。(1) 適用條件適用條件 vc，低速微觀粒子，低速微觀粒子（2）自由粒子的）自由粒子的schroding方程方程1）一維自由粒子的）一維自由粒子的s

9、chroding方程方程pkEEE 恒定與不變PE.自由粒子非相對(duì)論條件下總自由粒子非相對(duì)論條件下總動(dòng)能：動(dòng)能：)(0 xPEtixe,其波函數(shù)為：其波函數(shù)為：)2(Eit)3(2222xPx（1）式對(duì)）式對(duì)t求導(dǎo)：求導(dǎo)：（1）式對(duì)）式對(duì)x求二階偏導(dǎo)數(shù)：求二階偏導(dǎo)數(shù)：i式)2(（1）)5(222222mPxmx)4(Eti)2/()3(2m式mPEExk22（4）、（）、（5）式比較：）式比較：)6(2222xmti自由粒子一維含時(shí)薛定諤方程自由粒子一維含時(shí)薛定諤方程)(cos0222 uxtAty222022221)(costyuuxtuAxy 222221tyuxy 平面波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程平面

10、波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程平面波的微分方程平面波的微分方程0 )uxt (cosAy求求t 的二階偏導(dǎo)數(shù)：的二階偏導(dǎo)數(shù)：求求x的二階偏導(dǎo)數(shù)：的二階偏導(dǎo)數(shù)：簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程)tcos(Ax0 0222 xdtxd 簡諧振動(dòng)的微分方程簡諧振動(dòng)的微分方程)7().(22txUmPEx)4(Eti2）勢(shì)場中的薛定諤方程）勢(shì)場中的薛定諤方程若粒子處在勢(shì)場中，勢(shì)能為若粒子處在勢(shì)場中，勢(shì)能為U（x、t），總能量：），總能量：)8().(22txUEmPx將（將（5）式看成一般情況下的特例：）式看成一般情況下的特例：)5(222222mPxmx)9().(2222txUExm由（由（4）式：）式：

11、)10().(2222txUtixm)11().(2222txUxmti勢(shì)場中的一維含勢(shì)場中的一維含時(shí)薛定諤方程時(shí)薛定諤方程)11().(2222txUxmti勢(shì)場中的一維含勢(shì)場中的一維含時(shí)薛定諤方程時(shí)薛定諤方程若為三維粒子，薛定諤方程為：若為三維粒子，薛定諤方程為：).()(22222222tzyxUzyxmti（12）引入拉普拉斯算符引入拉普拉斯算符)13().(222tzyxUmti2222222zyx三維含時(shí)薛定諤方程：三維含時(shí)薛定諤方程：3）定態(tài)薛定諤方程（重點(diǎn)）定態(tài)薛定諤方程（重點(diǎn)）)11().(2222txUxmti勢(shì)場中的一維含勢(shì)場中的一維含時(shí)薛定諤方程時(shí)薛定諤方程若為三維粒子

12、，薛定諤方程為：若為三維粒子，薛定諤方程為：).()(22222222tzyxUzyxmti（12）引入拉普拉斯算符引入拉普拉斯算符)13().(222tzyxUmti2222222zyx三維含時(shí)薛定諤方程：三維含時(shí)薛定諤方程：3）定態(tài)薛定諤方程（重點(diǎn)）定態(tài)薛定諤方程（重點(diǎn)）定態(tài)，勢(shì)函數(shù)不顯含時(shí)間，其幾定態(tài)，勢(shì)函數(shù)不顯含時(shí)間，其幾 率分布也不隨時(shí)間變化。率分布也不隨時(shí)間變化。3）定態(tài)薛定諤方程（重點(diǎn)）定態(tài)薛定諤方程（重點(diǎn)）)14()().(tfzyx).()(2).(1)()(2222222zyxzyxmzyxttftfi)15().().(zyxtzyxU定態(tài)，勢(shì)函數(shù)不顯含時(shí)間，其幾定態(tài)，勢(shì)

13、函數(shù)不顯含時(shí)間，其幾 率分布也不隨時(shí)間變化。率分布也不隨時(shí)間變化。).()(22222222zyxUzyxmti（1414）式代入方程）式代入方程).()(2).(1)()(2222222zyxzyxmzyxttftfi)15().().(zyxtzyxU等式左邊是等式左邊是t的函數(shù)，右邊是坐標(biāo)的函數(shù)，但兩邊的函數(shù)，右邊是坐標(biāo)的函數(shù)，但兩邊又相等，故等式左右兩邊均應(yīng)與又相等，故等式左右兩邊均應(yīng)與x、y、z、t無關(guān)，無關(guān)，現(xiàn)記為現(xiàn)記為E。則：。則：)16()()(Ettftfi其解：其解：)17()(Etietf指數(shù)應(yīng)是無量綱的數(shù)，指數(shù)應(yīng)是無量綱的數(shù)， 的單位是的單位是“焦?fàn)柮虢範(fàn)柮搿?，故故E的

14、單位只能是能量，實(shí)際上是粒子總能量的單位只能是能量，實(shí)際上是粒子總能量E。E).()(2).(12222222zyxzyxmzyx)18().().(EzyxzyxU).()(2).(1)()(2222222zyxzyxmzyxttftfi)15().().(zyxzyxUE).()(22222222zyxzyxm).().(zyxtzyxU)19().(zyxE)20().().().(222zyxEzyxUzyxm)21(0)(222UEm整整理理).(zyx).(zyxUU 定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程)21(0)(222UEm).(zyxEtiezyxtzyx ),(),( 若定態(tài)薛定

15、諤方程已解出為：若定態(tài)薛定諤方程已解出為：則粒子的波函數(shù)：則粒子的波函數(shù)：注意：注意：1）定態(tài)波函數(shù)為一空間坐標(biāo)函數(shù)）定態(tài)波函數(shù)為一空間坐標(biāo)函數(shù) 與一時(shí)間函數(shù)與一時(shí)間函數(shù) 的乘積。的乘積。)(r)(tf2）對(duì)于定態(tài)，除能量）對(duì)于定態(tài)，除能量E有確定值外，其幾有確定值外，其幾 率分布也不隨時(shí)間變化。率分布也不隨時(shí)間變化。222).().()(zyxezyxtrEti二）薛定諤方程應(yīng)用舉例二）薛定諤方程應(yīng)用舉例1）一維勢(shì)阱）一維勢(shì)阱對(duì)此我們提出一個(gè)理想模型，粒子限制在一個(gè)具對(duì)此我們提出一個(gè)理想模型，粒子限制在一個(gè)具有理想反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由運(yùn)動(dòng)有理想反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由運(yùn)動(dòng)

16、但在匣壁處受到強(qiáng)烈的反射，越出需無限大能量但在匣壁處受到強(qiáng)烈的反射，越出需無限大能量0aU, 0,)(xUaxaxx0. 0此稱無限深勢(shì)阱此稱無限深勢(shì)阱若是經(jīng)典粒子，粒子如何運(yùn)動(dòng)？若是經(jīng)典粒子，粒子如何運(yùn)動(dòng)？mE許多情況，粒子束縛許多情況，粒子束縛在一個(gè)很小空間（束在一個(gè)很小空間（束縛態(tài)）?？`態(tài)）。E可取任意值，且各處出現(xiàn)的可取任意值，且各處出現(xiàn)的幾率一樣幾率一樣+mE0)(xUaxaxx0. 0量子力學(xué)對(duì)粒子的分析：量子力學(xué)對(duì)粒子的分析：粒子滿足一維定態(tài)薛定諤方程：粒子滿足一維定態(tài)薛定諤方程：)21(0)(222UEm粒子無法越過勢(shì)阱故只須考慮粒子無法越過勢(shì)阱故只須考慮0 xa區(qū)間的波函數(shù)：

17、區(qū)間的波函數(shù)： ) 1 (02222xxUEmxx )2(02222xEmxx0)(xU令：令：)3(222mEk )4(0222xkdxxd0aUmE )4(0222xkdxxd其解的形式：其解的形式：)5()(ikxikxxDeCe)5()cos()(kxAx )5(cossin)(kxBkxAx由邊界條件：由邊界條件：, 0 x ,0U 00 ,ax ,aU 0a)7(0cos0sin0BA)8(cossin0kaBkaA代入式（代入式（5）(6)0aUmE)3(222mEk )7(0cos0sin0BA)8(cossin0kaBkaA由由(7)式式: B=0由由(8)式式:0sinka

18、A0sinkanka 3 . 2 . 1n3 . 2 . 1n )5(cossin)(kxBkxAx代入式代入式(5) )10(sinxanAx )11(sinEtixeanAx故波函數(shù)故波函數(shù):0aUmE) 3 (222mEk )9(ankmE0aUX3 . 2 . 1n )10(sinxanAx )11(sinEtixeanAx故波函數(shù)故波函數(shù):由歸一化條件由歸一化條件: aadxaxnAdxxdx020221)sin(122aA)12(2aA 代入代入(10)(11)式式:)12(sin2)(xanaxn)13(sin2)(Etinxeanax(定態(tài)波函數(shù)定態(tài)波函數(shù))3 . 2 . 1n

19、)3(222mEk 能量公式：能量公式：由式（由式（3）、式（）、式（9）222)(2anmEk)14(2)(2222manEn3 . 2 . 1n)3(222mEk )13(sin2)(Etinxeanax3 . 2 . 1n)15(sin2)(222axnaxn粒子出現(xiàn)粒子出現(xiàn)的幾率：的幾率：) 9(ank2）粒子在空間不同的地方出現(xiàn)）粒子在空間不同的地方出現(xiàn) 的幾率是不同的。的幾率是不同的。結(jié)論：結(jié)論：1）能量是量子化的，且無）能量是量子化的，且無0值。值。能量最小值：能量最小值：082222221mahmaEaq ap2/0E波粒二象性的波粒二象性的必然結(jié)果！必然結(jié)果！)14(2)(2222manEn)13(sin2)(Etinxeanax)15(sin2)(222axnaxn3 . 2 . 1n3 . 2 . 1nE1E2E3E4a0X2)(xna0X)(xn)(1x)(2x)(3x)(4x22)(x23)(x24)(x21( )x)15(sin2)(222axnaxn注意：注意：粒子在勢(shì)阱中不同地點(diǎn)出現(xiàn)的幾率不一粒子在勢(shì)阱中不同地點(diǎn)出現(xiàn)的幾率不一 樣，不同于經(jīng)典物理學(xué)中的等幾率分布。樣，不同于經(jīng)典物理學(xué)中的等幾率