大學物理第5章角動量守恒定律

1、5.1 質(zhì)點的角動量 角動量定理1.質(zhì)點的角動量 L rp r mv 稱為質(zhì)點相對參考點O的角動量或動量矩mLrpOsinsinrmvrpL第5章 角動量 角動量守恒定律例：求從A點自由下落質(zhì)點在任意時刻的角動量vmroRrA任意時刻 t， 有 221t grt gmvmp（1） 對 A 點的角動量0321ggmtprLARrr（2） 對 O 點的角動量prRprLO)(t gmRpRgRRmgtLOm2. 質(zhì)點的角動量定理 角動量的時間變化率dtpdrpdtrdprdtddtLd)(v mvrF 力矩定義：對O點力矩MrF質(zhì)點的角動量定理dLMdtrF 大小Fr質(zhì)點對某固定點所受的合外力矩等

2、于它對該點角動量的時間變化率sinFrM FrrMOA3角動量守恒定律0外M則0dLdt或L常矢量若對某一固定點，質(zhì)點所受合外力矩為零，, 則質(zhì)點對該固定點的角動量矢量保持不變。若dLMdt質(zhì)點的角動量定理r mv例：質(zhì)點做勻速直線運動中，對0點角動量是否守恒？pmvrLOArsinrmvoLrm v例. 試利用角動量守恒定律:1) 證明關(guān)于行星運動的開普勒定律: 任一行星和太陽之間的聯(lián)線,在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等, 即掠面速度不變.(2) 說明天體系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu).(1) 行星對太陽O的角動量的大小為sintsmrLlimt0sinmvrprL其中是徑矢 r 與行星的動量 p 或速度

3、v 之間的夾角.s表示t時間內(nèi)行星所走過的弧長, 則有2sinsrsrr表示從O到速度矢量 v 的垂直距離, 則有OAvBrSr用證明dtdmtmLlim0t22 時間內(nèi)行星與太陽間的聯(lián)線所掃過的面積, 如圖中所示.其中 是tdtdmtmLt22lim0 d /dt 稱為掠面速度. 由于萬有引力是有心力, 它對力心O的力矩總是等于零,所以角動量守恒, L=常量, 行星作平面運動, 而且常量mLdtd2這就證明了掠面速度不變, 也就是開普勒第二定律.OA1vCDB2v1rS2r1r2r(2)角動量守恒說明天體系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu)天體系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu)5.2 質(zhì)點系的角動量定理mimjm1iFjFj

4、ifijfOirjr質(zhì)點系角動量1()niiiiLLrp第i個質(zhì)點角動量的時間變化率()iiiijijdLrFfdt()iiiijiiijdLrFrfdtMM外內(nèi)M外iiirFM內(nèi)()iijiijrf0dLMdt外質(zhì)點系的角動量定理0M外時質(zhì)點系的角動量守恒iiLL常矢量例.兩個同樣重的小孩，各抓著跨過滑輪繩子的兩端。一個孩子用力向上爬，另一個則抓住繩子不動。 若滑輪的質(zhì)量和軸上的摩擦都可忽略，哪一個小孩先到達滑輪？兩個小孩重量不等時情況又如何？hhm1m2 解：把每個小孩看成一個質(zhì)點，以滑輪的軸為參考點，把兩個小孩看成一個系統(tǒng)。 此系統(tǒng)的總角動量為)(21vvmRLv1左邊孩子向上的速度；v

5、2右邊孩子向上的速度；此系統(tǒng)所受外力矩：只有兩個小孩所受重力矩，彼此抵消。 （內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)角動量。）因此整個系統(tǒng)角動量守恒。R設(shè)兩個小孩起初都不動，即0, 002010tLvv 以后，雖然 v1 ,v2 不再為零，但總角動量繼續(xù)為零，即v1 ,v2 隨時保持相等，所以他們將同時到達滑輪。若兩個小孩重量不等，即21mm 系統(tǒng)所受外力矩,)12gRmmM （外系統(tǒng)總角動量RvmvmL)(2211仍設(shè)起初兩個小孩都不動，0, 002010tLvv由角動量定理,)(12dtdLgRmmM外若0, 0:21LdtdLmm有212211, 0vvvmvm輕的升得快；)(21vvmRLhhm1m2R例.

6、光滑水平桌面上放著一質(zhì)量為M的木塊, 木塊與一原長為L0, 勁度系數(shù)為k的輕彈簧相連, 彈簧另一端固定于O點. 當木塊靜止于A處時, 彈簧保持原長, 設(shè)一質(zhì)量為m的子彈以初速 v0水平射向M并嵌在木塊中. 當木塊運動到 B (OBOA)時, 彈簧的長度為L. Mm0LLAOB0vBv求木塊在B點的速度 vB的大小和方向.解: (1) m和M相撞時,系統(tǒng)的動量守恒AvMmmv)(0(2) AB, 只有彈力作功, 機械能守恒2021221221)()()(LLkvMmvMmBA(3) AB, 彈力對O點的力矩為零, 對O點角動量守恒sin)()(0LvMmLvMmBA2/ 1202022)()(M

7、mLLkvMmmvB212020200)()(arcsinmMLLkvmLvmLk5.3 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(1)平動: 在運動過程中剛體上的任意一條直線在各個時刻的位置都相互平行ABABB A剛體的平動任意質(zhì)元運動都代表整體運動(2) 定軸轉(zhuǎn)動 剛體所有質(zhì)元都繞一固定直線（定軸）做圓周運動1.剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動用質(zhì)心運動代表剛體的平動（質(zhì)心運動定理）2 用角量描述轉(zhuǎn)動1) 角位移 : 在 t 時間內(nèi)剛體轉(zhuǎn)動角度2)角速度 : 0limtdtdt 3)角加速度 :220limtddtdtdt z剛體定軸轉(zhuǎn)動角速度的方向按右手螺旋法則確定vra切向分量 tdvdarrdtdt法向分量 22nvar

8、rzvOP 線量與角量關(guān)系rdSr dddS勻變速直線運動ddtddtdSvdtdvadt0vvat2012Sv tat2202vvaS勻變速定軸轉(zhuǎn)動0t2012tt22025.4 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理 角動量守恒dLMdt外質(zhì)點系的角動量定理Z軸分量zdLMdtz:im質(zhì)元iF對O點的力矩ioiiMrFoiioiizrFrF（垂直z軸）?oiiiiizirFrFrFirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizr（垂直z軸）izMMzsiniiirF?zizLLiir FsiniziiiMrF1.剛體對轉(zhuǎn)軸的力矩和角動量ioii iLrmvoiirvii oiiLm r v si

9、niziLLiLizLsini oi imr vizi iiLm rv sinioirrim質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的垂直距離iivr2()i im r 剛體到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量2zi iiJmr2()zi iiLmrzdLMdtz?zzdLdMJdtdtz對固定軸MJirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizrzJ2.剛體對定軸的角動量守恒角動量定理1 質(zhì)點由微分式M dtdL積分式221121tLtLM dtdLLL2 質(zhì)點系由dtLdM外微分式M dt dL外積分式221121tLtLMdtdLLL外3 定軸轉(zhuǎn)動剛體zd JdLdMJdtdtdtz(軸)積分221121ttMdtJdJJ軸這里

10、iiLL定軸轉(zhuǎn)動剛體角動量守恒0M軸合外當時21JJ恒量dLMdt若轉(zhuǎn)動慣量有變化，則有：2211JJ恒量1.剛體定軸轉(zhuǎn)動定律MJ軸外與牛頓第二定律對比amF外剛體到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量2i iiJmr 轉(zhuǎn)動慣量的物理意義:(1). 剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度(2). 轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量有關(guān)(3). J 在質(zhì)量一定的情況下與質(zhì)量的分布有關(guān)(4). J與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)對比剛體的角動量和質(zhì)點的動量LJmvp 與對應mJ5.5 定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動中的功和能2.轉(zhuǎn)動慣量的計算2i iiJm r稱為剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量對質(zhì)量連續(xù)分布剛體dmrJ2線分布 dxdm面分布dsdm體分布dvdm是質(zhì)量的線密

11、度是質(zhì)量的面密度是質(zhì)量的體密度例: 一均勻細棒長 l 質(zhì)量為 m1) 軸 z1 過棒的中心且垂直于棒2) 軸 z2 過棒一端且垂直于棒求: 上述兩種情況下的轉(zhuǎn)動慣量OdxxZ 1dxdm解: 設(shè)棒質(zhì)量的線密度2222121)11mldxxJllZ20231)22mldxxJlz12zzJJ所以只有指出剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量才有意義2l2lxdxdmdx OZ 2l 有關(guān)轉(zhuǎn)動慣量計算的幾個定理1） 平行軸定理2mhJJczh式中式中: :關(guān)于通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量cJm 是剛體質(zhì)量, h 是 c 到 z 的距離zJ是對平行于質(zhì)心軸的一個軸的轉(zhuǎn)動慣量zC2） 轉(zhuǎn)動慣量疊加，如圖CBAzJJJJ式中:

12、是A球?qū)軸的轉(zhuǎn)動慣量AJBJ是B棒對z軸的轉(zhuǎn)動慣量cJ是C球?qū)軸的轉(zhuǎn)動慣量3） 回轉(zhuǎn)半徑任意剛體的回轉(zhuǎn)半徑 mJRG式中: J 是剛體關(guān)于某一軸的轉(zhuǎn)動慣量, m 是剛體的質(zhì)量是剛體的質(zhì)量) (2GRmJ ACzBo2zGR2l2312mlJZmJRZG2例:73. 1312lmmlG 不是質(zhì)心CG 轉(zhuǎn)動慣量的計算例: 求半徑為 R,總質(zhì)量為 m的均勻圓盤繞垂直于盤面通過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量 如下圖:解:2RmdmrJz2dsrR02Rrdrr022RrdrRmr0222221mRRrdsZ質(zhì)量面密度剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應用Rm1m2am1gm2gT解：11m gTma22Tm gm a1212(

13、)m gm gmm a1212mmagmm對否？T1T2T12TT否則滑輪勻速轉(zhuǎn)動，而物體加速運動T1T2111m gTma222Tm gm a12TR TRJaR轉(zhuǎn)動定律線量與角量關(guān)系212JMR121212mmagmmMM例1：質(zhì)量為M，半徑為R的均勻圓盤形定滑輪上繞一輕繩，繩的兩端分別懸掛質(zhì)量為m1和m2的物體，m1 m2，滑輪與軸間無摩擦，繩與滑輪間無相對滑動。求物體的加速度a 。l例2.已知：勻質(zhì)桿m，長 一端O固定，當由水平位置自由下落到時求：?F?F 解：mgC1cos2Mmgl質(zhì)心運動定理MJ21cos213mglml3 cos2glddtddddtdd3 cos2gl003

14、cos2gddl 3 singl轉(zhuǎn)動定律1F2F1sinnFmgma2costmgFma212nal3 sin2g2tla3 cos4glmOl15sin2Fmg21s4Fmgco2212FFF2199sin14mg21cos10sinFtgF質(zhì)心運動定理1sinnFmgma2costmgFma212nal3 sin2g2tla3 cos4gmgC1F2FlmOlF例3:一半徑為R，質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間的摩擦系數(shù)為 。令圓盤以0繞中心軸旋轉(zhuǎn)后，問經(jīng)過多少時間才停止轉(zhuǎn)動？2Rmrrmd2dmgrMzddmgR32解:RzrgrM02d2043gRtRg34 0

15、 ? 0 ?摩擦力的和?MJvOlMm0v?例4.已知：勻質(zhì)桿M，長 一端懸掛于固定點O，子彈m，水平速度 , 射入不復出l0v求：?解：對M， m系統(tǒng)0M軸外系統(tǒng)角動量守恒2013Mmv lmvlJmvlMlvl033vmmM l射入后瞬間cos |FdrcosFrdOdrFvP|drcosMFr21dJddt21Jd22211122JJ剛體的剛體的轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能212kEJ定軸轉(zhuǎn)動動能定理定軸轉(zhuǎn)動動能定理dAF drdA Md21kkA EE力矩作功力矩作功212KiiiEmv21()2iiimr221()2i iimr212J21AMd3.轉(zhuǎn)動中的功和能例：質(zhì)量為m，長為 l 的均勻直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，可以在豎直平面內(nèi)運動。初始時，棒靜止在水平位置。求它由此自由下擺角時的角速度和角加速度。COxyzgm解: 定軸轉(zhuǎn)動定律1cos2Ml m gMJd3 cosd2gl動能定理2221126kEJml3 cos2gl23 singld3cosd2gtl23 singl01dsin2AMmgl0kkEE22106ml