物理剛體運動

1、4- 1 剛體的平動、轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動剛體的平動、轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動 1. 1. 剛體剛體 剛體是一種特殊的質(zhì)點系，無論它在多大外力剛體是一種特殊的質(zhì)點系，無論它在多大外力作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點間的距離恒保持不變。作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點間的距離恒保持不變。2.2.平動和轉(zhuǎn)動平動和轉(zhuǎn)動 剛體最簡單的運動形式是剛體最簡單的運動形式是平動平動和和轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動。 當(dāng)剛體運動時，如果剛體內(nèi)任何一條給定的直當(dāng)剛體運動時，如果剛體內(nèi)任何一條給定的直線，在運動中始終保持平行，這種運動叫平動。線，在運動中始終保持平行，這種運動叫平動。 剛體平動時，在任意一段時間內(nèi)，剛體中各質(zhì)剛體平動時，在任意一段時間內(nèi)，剛體中各質(zhì)點

2、的位移相同。且在任何時刻，各質(zhì)點的速度和加點的位移相同。且在任何時刻，各質(zhì)點的速度和加速度都相同。速度都相同。所以剛體內(nèi)任何一個質(zhì)點的運動，都可代表整個所以剛體內(nèi)任何一個質(zhì)點的運動，都可代表整個剛體的運動剛體的運動。 剛體運動時，如果剛體的各個質(zhì)點在運動中剛體運動時，如果剛體的各個質(zhì)點在運動中都繞同一直線圓周運動，這種運動就叫做轉(zhuǎn)動，都繞同一直線圓周運動，這種運動就叫做轉(zhuǎn)動，這一直線就叫做轉(zhuǎn)軸。這一直線就叫做轉(zhuǎn)軸。 定軸轉(zhuǎn)動：定軸轉(zhuǎn)動： 剛體上各點都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運剛體上各點都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運動，且在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。動，且在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。特點：特點

3、：(1) 角位移，角速度和角加速度均相同；角位移，角速度和角加速度均相同；(2) 質(zhì)點在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運動，且作圓周運動。質(zhì)點在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運動，且作圓周運動。角位移角位移角速度角速度角加速度角加速度 tdd tdd 4.4.角速度矢量角速度矢量 角速度的方向：與剛體角速度的方向：與剛體轉(zhuǎn)動方向呈右手螺旋關(guān)系。轉(zhuǎn)動方向呈右手螺旋關(guān)系。角速度矢量角速度矢量 在定軸轉(zhuǎn)動中，角速度在定軸轉(zhuǎn)動中，角速度的方向沿轉(zhuǎn)軸方向。的方向沿轉(zhuǎn)軸方向。例例1:1:一飛輪轉(zhuǎn)速一飛輪轉(zhuǎn)速n=1500r/min，受制動后均勻減速，受制動后均勻減速，經(jīng)經(jīng)t=50 s后靜止。（后靜止。（1 1）求角加速度）求角加速度和

4、飛輪從制動開和飛輪從制動開始到靜止所轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)數(shù)始到靜止所轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)數(shù)N；（2 2）求制動開始后）求制動開始后t=25s 時飛時飛輪的速度輪的速度 ；（；（3 3）設(shè)飛輪的半徑）設(shè)飛輪的半徑r=1m，求在，求在t=25s 時邊緣上一點的速度和加速度。時邊緣上一點的速度和加速度。 0vanatarO解解: : （1 1）設(shè)初角度為）設(shè)初角度為 0 0方方向如圖所示，向如圖所示， 0 0=2=21500/60=501500/60=50 rad/s，在在t=50=50S 時刻時刻 =0 =0 ，代入，代入方程方程 = = 0+t 得得220rad/s14. 3rad/s5050 t 從開始制動到靜止，飛輪的角位

5、移從開始制動到靜止，飛輪的角位移 及轉(zhuǎn)及轉(zhuǎn)數(shù)數(shù)N 分別為分別為radatt 125050215050212200轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 625212502 N （2 2）t=25=25s 時飛輪的角速度為時飛輪的角速度為 rad/s5 .78rad/s25rad/s25500 t 的方向與的方向與 0 0相同相同 ；（3 3）t t=25=25s 時飛輪邊緣上一點時飛輪邊緣上一點P 的速度。的速度。rv smrrrvv/5.7890sinsin0 的方向垂直于的方向垂直于 和和 構(gòu)成的平面，如構(gòu)成的平面，如圖所示相應(yīng)的切向加速度和向心加速度分別為圖所示相應(yīng)的切向加速度和向心加速度分別為vr2/14.3smara

6、t 由由232/1016.6smran 邊緣上該點的加速度邊緣上該點的加速度 其中其中 的方向的方向與與 的方向相反，的方向相反， 的方向指向軸心，的方向指向軸心， 的大小的大小為為lnaaa lavnaa23222322/1016. 6/14. 3)1016. 6(smsmaaant 的方向幾乎和的方向幾乎和 相同。相同。ana例例2:2:一飛輪在時間一飛輪在時間t t內(nèi)轉(zhuǎn)過角度內(nèi)轉(zhuǎn)過角度 at+bt3-ct4 , ,式中式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。都是常量。求它的角加速度。解：解：飛輪上某點角位置可用飛輪上某點角位置可用 表示為表示為 at+bt3-ct4將此式對將此式對t

7、t求導(dǎo)數(shù)，即得飛輪角速度的表達(dá)式為求導(dǎo)數(shù)，即得飛輪角速度的表達(dá)式為324343)(ctbtactbtatdtd 角加速度是角速度角加速度是角速度對對t t的導(dǎo)數(shù)，因此得的導(dǎo)數(shù)，因此得dtda 由此可見飛輪作的是變加速轉(zhuǎn)動。由此可見飛輪作的是變加速轉(zhuǎn)動。)43(32ctbtadtd 2126ctbt 4-24-2剛體的角動量剛體的角動量 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量1. 1. 剛體的角動量剛體的角動量 圖為以角速度圖為以角速度 繞定軸繞定軸ozoz轉(zhuǎn)動的一根均勻細(xì)棒。轉(zhuǎn)動的一根均勻細(xì)棒。 把細(xì)棒分成許多質(zhì)點，其中第把細(xì)棒分成許多質(zhì)點，其中第i 個質(zhì)點的質(zhì)量為個質(zhì)點的質(zhì)量為 im 當(dāng)細(xì)棒以當(dāng)

8、細(xì)棒以 轉(zhuǎn)動時，該轉(zhuǎn)動時，該質(zhì)點繞軸的半徑為質(zhì)點繞軸的半徑為ir它相對于它相對于o o點的位矢為點的位矢為iRziRLimiLizLOir iiiivmRL 則則 對對o o點的角動量為：點的角動量為：im因因iiRv，所以所以 的大小為的大小為iLiiiivRmL 從圖中可以看出從圖中可以看出： cosiixLL因此因此 2coscosiiiiiiiiizrmvrmvRmLL 而這個分量而這個分量 實際上就是各質(zhì)點的角動量沿實際上就是各質(zhì)點的角動量沿 軸的分量軸的分量 之和。之和。zLOzziL 對于定軸轉(zhuǎn)動，我們感興趣的只是對于定軸轉(zhuǎn)動，我們感興趣的只是 對沿對沿 軸的分量軸的分量 ，叫做

9、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量。，叫做剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量。OzzLL 剛體對剛體對 點的角動量，等于各個質(zhì)點角動量的點的角動量，等于各個質(zhì)點角動量的矢量和。矢量和。o 式中式中 叫做剛體對叫做剛體對 軸的軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量，用用J表示。表示。2iirm Oz剛體轉(zhuǎn)動慣量剛體轉(zhuǎn)動慣量： 2iirmJ剛體繞定軸的角動量表達(dá)式：剛體繞定軸的角動量表達(dá)式： JLz2. 2. 剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體的轉(zhuǎn)動動能221iivm 剛體的轉(zhuǎn)動動能應(yīng)該是組成剛體的各個質(zhì)點剛體的轉(zhuǎn)動動能應(yīng)該是組成剛體的各個質(zhì)點的動能之和。設(shè)剛體中第的動能之和。設(shè)剛體中第i個質(zhì)點的質(zhì)量為個質(zhì)點的質(zhì)量為 ，速度為速度為 ,則該質(zhì)點的動能為：

10、則該質(zhì)點的動能為：im iv 剛體做定軸轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)點的角速度剛體做定軸轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)點的角速度 相同。相同。設(shè)質(zhì)點設(shè)質(zhì)點 離軸的垂直距離為離軸的垂直距離為 ，則它的線速度，則它的線速度imir因此，整個剛體的動能因此，整個剛體的動能 2222121 iiiiKrmvmEiirv 221 JEK 上式中的動能是剛體因轉(zhuǎn)動而具有的動能，因上式中的動能是剛體因轉(zhuǎn)動而具有的動能，因此叫剛體的轉(zhuǎn)動動能。此叫剛體的轉(zhuǎn)動動能。 式中式中 是剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量是剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量 ，所以上式寫為所以上式寫為2iirmJmrJd2 dm質(zhì)元的質(zhì)量質(zhì)元的質(zhì)量r質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離 剛體的質(zhì)量可認(rèn)為

11、是剛體的質(zhì)量可認(rèn)為是連續(xù)分布連續(xù)分布的，所以上式可的，所以上式可寫成積分形式寫成積分形式3. 3. 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算按轉(zhuǎn)動慣量的定義有按轉(zhuǎn)動慣量的定義有 iimrJ2區(qū)別區(qū)別：平動：平動： 平動動能平動動能 221mv線動量線動量mv轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動： 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能 221 J角動量角動量 JZ轉(zhuǎn)動平面OrAFMrFMZM 沿沿Z Z 軸分量為軸分量為 對對Z Z 軸力矩軸力矩ZMMF sinrFMFrM對對O O 點的力矩點的力矩：F4-3 4-3 力矩力矩 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律1.1.力矩力矩 力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi) 注注 （1 1）在定軸動問題在定軸動問題

12、中，如不加說明，所指的中，如不加說明，所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)力矩是指力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩。的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩。FrM 只能引起軸的只能引起軸的變形變形, 對轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)對轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)。1Fr轉(zhuǎn)動平面1FF2F)(21FFr21FrFrr 是轉(zhuǎn)軸到力作是轉(zhuǎn)軸到力作用線的距離，稱為力臂用線的距離，稱為力臂。sinrd dFrFMZ22sin （2 2） （3 3） 對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，1F在定軸轉(zhuǎn)動中不予考慮。在定軸轉(zhuǎn)動中不予考慮。 （4 4）在轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對在轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用+ +、- -號表示。號表示。轉(zhuǎn)動平面1FF2

13、Fr 2. 2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用牛頓第二定律，可得：應(yīng)用牛頓第二定律，可得：OiFifiiimir對剛體中任一質(zhì)量元對剛體中任一質(zhì)量元im-外力外力iF- -內(nèi)力內(nèi)力ifiiiimafF采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為： iiiiiiiirmamfFsinsinO用用 乘以上式左右兩端：乘以上式左右兩端：ir 2sinsiniiiiiiiirmrfrF 設(shè)剛體由設(shè)剛體由N 個點構(gòu)成，對每個質(zhì)點可寫出上個點構(gòu)成，對每個質(zhì)點可寫出上述類似方程，將述類似方程，將N 個方程左右相加，得：個方程左右相加，得： NiiiNiiiiNiiiirmrfr

14、F1211)(sinsin 根據(jù)內(nèi)力性質(zhì)根據(jù)內(nèi)力性質(zhì)( (每一對內(nèi)力等值、反向、共每一對內(nèi)力等值、反向、共線線, ,對同一軸力矩之代數(shù)和為零對同一軸力矩之代數(shù)和為零) )，得：，得：0sin1 Niiiirf NiiiNiiiirmrF121)(sin得到：得到： 上式左端為剛體所受外力的合外力矩，以上式左端為剛體所受外力的合外力矩，以M M 表表示；右端求和符號內(nèi)的量與轉(zhuǎn)動狀態(tài)無關(guān)，稱為剛示；右端求和符號內(nèi)的量與轉(zhuǎn)動狀態(tài)無關(guān)，稱為剛體轉(zhuǎn)動慣量，以體轉(zhuǎn)動慣量，以J J 表示。于是得到表示。于是得到tJJMdd剛體定軸剛體定軸轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律討論討論： 慣性大小的量度；慣性大小的量度；轉(zhuǎn)動慣量是

15、轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動（1） M M 一定，一定，J J（4 4）J J 和轉(zhuǎn)軸有關(guān)，同一個物體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)軸有關(guān)，同一個物體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn) 動慣量不同。動慣量不同。 （3 3）J J 和質(zhì)量分布有關(guān)；和質(zhì)量分布有關(guān)；（2 2）M M 的符號：使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動正方向加速的符號：使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動正方向加速 的力矩為正；的力矩為正； 例例1:1:一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和和m2的物體的物體1 1和和2 2，m1m1，物體，物體1 1向上運動，向上運動，物體物體2 2向下運動，滑輪以順向下運動，滑輪以順

16、時針方向旋轉(zhuǎn)，時針方向旋轉(zhuǎn)，Mr r的指向的指向如圖所示。可列出下列方如圖所示?？闪谐鱿铝蟹匠坛?JMrTrTamTGamGT12222111式中式中 是滑輪的角加速度，是滑輪的角加速度，a是物體的加速度?；喪俏矬w的加速度?；嗊吘壣系那邢蚣铀俣群臀矬w的加速度相等，即邊緣上的切向加速度和物體的加速度相等，即從以上各式即可解得從以上各式即可解得ra mmmrMgmmrJmmrMgmmar21/121221212 mmmrMgmmmagmT21/212122111 mmmrMgmmmagmT21/212121212 rmmmrMgmmra 21/1212 當(dāng)不計滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令當(dāng)不計滑輪

17、質(zhì)量及摩擦阻力矩即令m=0=0、M =0=0時，有時，有g(shù)mmmmTT1221212 gmmmma1212 上題中的裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測上題中的裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測量重力加速度量重力加速度g g的簡單裝置。因為在已知的簡單裝置。因為在已知m1、 m2 、r和和J的情況下，能通過實驗測出物體的情況下，能通過實驗測出物體1 1和和2 2的加速度的加速度a，再通過加速度把，再通過加速度把g g算出來。在實驗中可使兩物體算出來。在實驗中可使兩物體的的m1和和m2相近，從而使它們的加速度相近，從而使它們的加速度a和速度和速度v都都較小，這樣就能角精確地測出較小，這樣就能角精確地測

18、出a來。來。 例例2:2:一半徑為一半徑為R R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤，平放勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為 ，令圓盤最初以角速度，令圓盤最初以角速度 0 0繞通過中心且垂直盤繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn)，問它經(jīng)過多少時間才停止轉(zhuǎn)動？面的軸旋轉(zhuǎn)，問它經(jīng)過多少時間才停止轉(zhuǎn)動？rRdr d e 解解: :因摩擦力不是集中作用于一點，而是分布因摩擦力不是集中作用于一點，而是分布在整個圓盤與桌子的接觸面上，力矩的計算要用積在整個圓盤與桌子的接觸面上，力矩的計算要用積分法。在圖中，把圓盤分成許多環(huán)形質(zhì)元，每個質(zhì)分法。在圖中，把圓盤分成

19、許多環(huán)形質(zhì)元，每個質(zhì)元的質(zhì)量元的質(zhì)量dm= rd dre，所受到的阻力矩是，所受到的阻力矩是r dmg 。此處此處e是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是3200232RegdrrdegdrredrgdmgrMR 因因m= e R2，代入得，代入得mgRM 32根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律，阻力矩使圓盤減速，即根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律，阻力矩使圓盤減速，即獲得負(fù)的角加速度獲得負(fù)的角加速度.dtdmRJmgR 22132設(shè)圓盤經(jīng)過時間設(shè)圓盤經(jīng)過時間t t停止轉(zhuǎn)動，則有停止轉(zhuǎn)動，則有 0002132dRdtgt由此求得由此求得043 gRt4-4 定軸轉(zhuǎn)動的動能定理定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 1.1.力

20、矩的功力矩的功 當(dāng)剛體在外力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)動而發(fā)生角當(dāng)剛體在外力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)動而發(fā)生角位移時，就稱位移時，就稱力矩對剛體做功力矩對剛體做功。 力力 對對P 點作功：點作功：FrdFdA sindsF 2cosdsF ddrs00 drFrdP因因MFr sin ddMA 0ddMMA力矩作功：力矩作功： 對于剛體定軸轉(zhuǎn)動情形，因質(zhì)點間無相對位對于剛體定軸轉(zhuǎn)動情形，因質(zhì)點間無相對位移，任何一對內(nèi)力作功為零。移，任何一對內(nèi)力作功為零。2.2.定軸轉(zhuǎn)動的動能定理定軸轉(zhuǎn)動的動能定理根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定理根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定理 JdtdM外力矩所做元功為：外力矩所做元功為： dJdtdJddJdtdMddA則

21、物體在則物體在 時間內(nèi)轉(zhuǎn)過角位移時間內(nèi)轉(zhuǎn)過角位移 時時tdtdd 總外力矩對剛體所作的功為：總外力矩對剛體所作的功為： 212221212121 JJdJMdA剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：總外力矩對剛體所做的總外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。例例1:1:如圖，沖床上配置如圖，沖床上配置一質(zhì)量為一質(zhì)量為5000kg5000kg的飛輪，的飛輪， r r1 1=0.3m, r=0.3m, r2 2=0.2m.=0.2m.今用今用轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為900r/min900r/min的電動的電動機(jī)借皮帶傳動來驅(qū)動飛機(jī)借皮帶傳動來驅(qū)動飛輪，已知電動機(jī)的傳動

22、輪，已知電動機(jī)的傳動軸直徑為軸直徑為d=10cmd=10cm。（。（1 1）求飛輪的轉(zhuǎn)動動能。求飛輪的轉(zhuǎn)動動能。2r12r2d解解: :（1 1）為了求飛輪的轉(zhuǎn)動動能，需先求出它的轉(zhuǎn)）為了求飛輪的轉(zhuǎn)動動能，需先求出它的轉(zhuǎn)動慣量和轉(zhuǎn)速。因飛輪質(zhì)量大部分分別布在輪緣上，動慣量和轉(zhuǎn)速。因飛輪質(zhì)量大部分分別布在輪緣上，由圖示尺寸并近似用圓筒的轉(zhuǎn)動慣量公式，得由圖示尺寸并近似用圓筒的轉(zhuǎn)動慣量公式，得 222222213252 . 03 . 05000212mkgmkgrrmJ 皮帶傳動機(jī)構(gòu)中，電動機(jī)的傳動軸是主動輪，皮帶傳動機(jī)構(gòu)中，電動機(jī)的傳動軸是主動輪，飛輪是從動輪。兩輪的轉(zhuǎn)速與輪的直徑成反比，即飛輪

23、是從動輪。兩輪的轉(zhuǎn)速與輪的直徑成反比，即飛輪的轉(zhuǎn)速為飛輪的轉(zhuǎn)速為飛飛電電電電飛飛ddnn 由此得飛輪的角速度由此得飛輪的角速度飛飛電電電電飛飛ddnn602602 這樣飛輪的轉(zhuǎn)動動能是這樣飛輪的轉(zhuǎn)動動能是221 JEkJJFdA49105.01080.934 （2 2）若沖床沖斷）若沖床沖斷0.5mm0.5mm厚的薄鋼片需用沖力厚的薄鋼片需用沖力9.809.80 10104 4N N，所消耗的能量全部由飛輪提供，問沖，所消耗的能量全部由飛輪提供，問沖斷鋼片后飛輪的轉(zhuǎn)速變?yōu)槎啻?？斷鋼片后飛輪的轉(zhuǎn)速變?yōu)槎啻螅?60601090014.3232521 J40055 這就是飛輪消耗的能量，此后飛輪的能

24、量變?yōu)檫@就是飛輪消耗的能量，此后飛輪的能量變?yōu)?JJEk400064940055 JEk 2由由求得此時間的角速度求得此時間的角速度 為為221 JEk而飛輪的轉(zhuǎn)速變?yōu)槎w輪的轉(zhuǎn)速變?yōu)閙in/8.149min/325240006260260rrn 飛飛 解解: : 先對細(xì)棒先對細(xì)棒OAOA所受所受的力作一分析；重力的力作一分析；重力 作作用在棒的中心點用在棒的中心點C C，方向豎，方向豎直向下；軸和棒之間沒有直向下；軸和棒之間沒有摩擦力，軸對棒作用的支摩擦力，軸對棒作用的支承力垂直于棒和軸的接觸承力垂直于棒和軸的接觸面且通過面且通過O O點，在棒的下擺點，在棒的下擺過程中，此力的方向和大過程中

25、，此力的方向和大小是隨時改變的。小是隨時改變的。NG 例例2:2: 一根質(zhì)量為一根質(zhì)量為m m、長為、長為 l l 的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒OAOA（如（如圖），可繞通過其一端的光滑軸圖），可繞通過其一端的光滑軸O O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，今使棒從水平位置開始自由下擺，求細(xì)棒擺到動，今使棒從水平位置開始自由下擺，求細(xì)棒擺到豎直位置時其中點豎直位置時其中點C C和端點和端點A A的速度。的速度。 GAA O 在棒的下擺過程中，對轉(zhuǎn)軸在棒的下擺過程中，對轉(zhuǎn)軸O O而言，支撐力而言，支撐力N N通過通過O O點，所以支撐力點，所以支撐力N N的力矩等于零，重力的力矩等于零，重力G G的的力矩則

26、是變力矩，大小等于力矩則是變力矩，大小等于mg(l /2) cos mg(l /2) cos ，棒轉(zhuǎn)過一極小的角位移棒轉(zhuǎn)過一極小的角位移d d 時，重力矩所作的元時，重力矩所作的元功是功是 dlmgdAcos2在使棒從水平位置下擺到豎直位置過程中，重在使棒從水平位置下擺到豎直位置過程中，重力矩所作的功是力矩所作的功是2cos220lmgdlmgdAA 應(yīng)該指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可應(yīng)該指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可用重力勢能的差值來表示。棒在水平位置時的角用重力勢能的差值來表示。棒在水平位置時的角速度速度 0 00 0，下擺到豎直位置時的角速度為，下擺到豎直位置時的角速度為

27、 ，按力矩的功和轉(zhuǎn)動動能增量的關(guān)系式得按力矩的功和轉(zhuǎn)動動能增量的關(guān)系式得2212 Jlmg由此得由此得Jmgl 代入上式得代入上式得因因231mlJ Jg3 所以細(xì)棒在豎直位置時，端點所以細(xì)棒在豎直位置時，端點A A和中心點和中心點C C的速度的速度分別為分別為gllvA3 gllvC3212 4-6 剛體角動量和角動量守恒定律剛體角動量和角動量守恒定律1. 1. 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動定理： JdtdMz則該系統(tǒng)對該軸的角動量為：則該系統(tǒng)對該軸的角動量為： 由幾個物體組成的系統(tǒng)，如果它們對同一給由幾個物體組成的系統(tǒng)，如果它們對同一給定軸

28、的角動量分別為定軸的角動量分別為 、 、，11 J22 JiiizJL , 2 , 1 i對于該系統(tǒng)還有對于該系統(tǒng)還有 iiiZZJttLMdddd00d JJtMtt tttM0d為為 時間內(nèi)力矩時間內(nèi)力矩M M 對給定軸的沖量矩。對給定軸的沖量矩。0ttt 角動量定理的微分形式：角動量定理的微分形式：在外力矩作用下，從在外力矩作用下，從tt 0角動量角動量00JLz變?yōu)樽優(yōu)镴LZ，則由則由 JdtdMz得得2. 2. 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律 角動量守恒定律：角動量守恒定律：若一個系統(tǒng)一段時間內(nèi)所若一個系統(tǒng)一段時間內(nèi)所受合外力矩受合外力矩M M 恒為零，則此

29、系統(tǒng)的總角動量恒為零，則此系統(tǒng)的總角動量L L 為為一恒量。一恒量。討論：討論：a. .對于繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的剛體，因?qū)τ诶@固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的剛體，因J J 保持不變，當(dāng)保持不變，當(dāng) 合外力矩為零時，其角速度恒定。合外力矩為零時，其角速度恒定。 JL恒量恒量時，時，當(dāng)當(dāng)0 zM時，時，當(dāng)當(dāng)0 zMJ= =恒量恒量= =恒量恒量b. .若系統(tǒng)由若干個剛體構(gòu)成若系統(tǒng)由若干個剛體構(gòu)成, ,當(dāng)合外力矩為零時當(dāng)合外力矩為零時, ,系系 統(tǒng)的角動量依然守恒。統(tǒng)的角動量依然守恒。J J 大大 小小, ,J J 小小 大。大。例例1:1: 一勻質(zhì)細(xì)棒長為一勻質(zhì)細(xì)棒長為l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，可繞通過，可繞通過O的的

30、水平軸轉(zhuǎn)動，如圖。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后，水平軸轉(zhuǎn)動，如圖。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質(zhì)量也為的質(zhì)量也為m ，它與地面的摩擦系數(shù)為，它與地面的摩擦系數(shù)為 。相撞。相撞后物體沿地面滑行后物體沿地面滑行s而停止。求撞后棒的質(zhì)心而停止。求撞后棒的質(zhì)心C 離離地面的最大高度地面的最大高度h，并說明棒在碰撞后將向左擺或，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。向右擺的條件。時，時，當(dāng)當(dāng)0 zM恒量恒量 2211JJLzc.c.若系統(tǒng)內(nèi)既有平動也有轉(zhuǎn)動現(xiàn)象若系統(tǒng)內(nèi)既有平動也有轉(zhuǎn)動現(xiàn)象發(fā)生，若對某一定軸的合外力矩為發(fā)

31、生，若對某一定軸的合外力矩為零零, ,則系統(tǒng)對該軸的角動量守恒。則系統(tǒng)對該軸的角動量守恒。解：解： 這個問題可分為三個階段這個問題可分為三個階段進(jìn)行分析。第一階段是棒自由進(jìn)行分析。第一階段是棒自由擺落的過程。這時除重力外，擺落的過程。這時除重力外，其余內(nèi)力與外力都不作功，所其余內(nèi)力與外力都不作功，所以機(jī)械能守恒。我們把棒在豎以機(jī)械能守恒。我們把棒在豎直位置時質(zhì)心所在處取為勢能直位置時質(zhì)心所在處取為勢能CO零點，用零點，用 表示棒這時的角速度表示棒這時的角速度, ,則則2223121212 mlJlmg（1 1）第二階段是碰撞過程。因碰撞時間極短，自由的第二階段是碰撞過程。因碰撞時間極短，自由的

32、沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以忽略。忽略。這樣，棒與物體相撞時，它們組成的系統(tǒng)所受的對這樣，棒與物體相撞時，它們組成的系統(tǒng)所受的對轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零，所以，這個系統(tǒng)的對的外力矩為零，所以，這個系統(tǒng)的對O軸的角軸的角動量守恒。我們用動量守恒。我們用v表示物體碰撞后的速度，則表示物體碰撞后的速度，則（2 2） 223131mlmvlml式中式中 棒在碰撞后的角速度，它可正可負(fù)。棒在碰撞后的角速度，它可正可負(fù)。 取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。第三階段是物體在碰撞后的第三階段是物體在碰撞

33、后的滑行過程滑行過程。物體作勻減。物體作勻減速直線運動，加速度由牛頓第二定律求得為速直線運動，加速度由牛頓第二定律求得為mamg （3 3）由勻減速直線運動的公式得由勻減速直線運動的公式得asv202 gsv 22 （4）亦即亦即由式（由式（1 1）、（）、（2 2）與（）與（4 4）聯(lián)合求解，即得）聯(lián)合求解，即得lgsgl 233（5）亦即亦即l6l6 s；當(dāng)；當(dāng) 取負(fù)值，則棒向右擺，其條件取負(fù)值，則棒向右擺，其條件為為當(dāng)當(dāng) 取正值，則棒向左擺，其條件為取正值，則棒向左擺，其條件為0233 gsgl 0233 gsgl 亦即亦即l 6 s 棒的質(zhì)心棒的質(zhì)心C C上升的最大高度，與第一階段情上

34、升的最大高度，與第一階段情況相似，也可由機(jī)械能守恒定律求得：況相似，也可由機(jī)械能守恒定律求得：把式（把式（5 5）代入上式，所求結(jié)果為）代入上式，所求結(jié)果為slslh 632223121 mlmgh(6)(6)例例2:2:圖中的宇宙飛船對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為圖中的宇宙飛船對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為J= 2 103kg.m2 ，它以，它以 =0.2rad/s的角速度繞中心軸的角速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。宇航員用兩個切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。宇航員用兩個切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。每個噴管的位置與軸線距離都是旋轉(zhuǎn)。每個噴管的位置與軸線距離都是r=1.5m。兩噴管的噴氣流量恒定，共是兩噴管的噴氣流量恒定，

35、共是 =2kg/s 。廢氣的。廢氣的噴射速率（相對于飛船周邊）噴射速率（相對于飛船周邊）u=50m/s，并且恒定，并且恒定。問噴管應(yīng)噴射多長時間才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。問噴管應(yīng)噴射多長時間才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。rdm/2dm/2u u L0Lg解解: :把飛船和排出的把飛船和排出的廢氣看作一個系統(tǒng)，廢氣看作一個系統(tǒng)，廢氣質(zhì)量為廢氣質(zhì)量為m m。可以。可以認(rèn)為廢氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于認(rèn)為廢氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛船的質(zhì)量，飛船的質(zhì)量，所以原來系統(tǒng)對于飛船中心軸的角動量近似地等于所以原來系統(tǒng)對于飛船中心軸的角動量近似地等于飛船自身的角動量，即飛船自身的角動量，即 JL0 在噴氣過程中，以在噴氣過程中，以dm表示表示dt時間

36、內(nèi)噴出的氣體時間內(nèi)噴出的氣體，這些氣體對中心軸的角動量為，這些氣體對中心軸的角動量為dm r(u+v)，方向與，方向與飛船的角動量相同。因飛船的角動量相同。因u=50m/s遠(yuǎn)大于飛船的速率遠(yuǎn)大于飛船的速率v(= r) ，所以此角動量近似地等于，所以此角動量近似地等于dm ru。在整個噴。在整個噴氣過程中噴出廢氣的總的角動量氣過程中噴出廢氣的總的角動量Lg應(yīng)為應(yīng)為mrurudmLmg 0當(dāng)宇宙飛船停止旋轉(zhuǎn)時，其角動量為零。系統(tǒng)這時當(dāng)宇宙飛船停止旋轉(zhuǎn)時，其角動量為零。系統(tǒng)這時的總角動量的總角動量L1 1就是全部排出的廢氣的總角動量，即就是全部排出的廢氣的總角動量，即mruLLg 1噴射過程中，系統(tǒng)所受的對于飛船中心軸的外力矩噴射過程中，系統(tǒng)所受的對于飛船中心軸的外力矩為零，故系統(tǒng)對于此軸的角動量守恒，即為零，故系統(tǒng)對于此軸的角動量守恒，即L0=L1 ，由此由此mruJ 即即ruJm ssruJmt67. 2505 . 122 . 01023 例例3: 一長為一長為l 、質(zhì)量為、質(zhì)量為m 的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光