行列式的性質(zhì)及展開計(jì)算

1、11a12a22a21a2211aa .2112aa 二階行列式的計(jì)算二階行列式的計(jì)算二元線性方程組二元線性方程組,2221121122212111aaaaababDDx .2221121122111122aaaababaDDx .,22221211212111bxaxabxaxa的解為的解為333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)元素的乘積冠以負(fù)號(hào)322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 11a111

2、213212223313233aaaaaaaaa21a31a12a22a32an階行列式的定義階行列式的定義1 2121 212111212122212( 1).nnni iiiinii iinnnnnna aaaaaaaaDaaa 2 2由由n n 個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)組組成成的的 n n 階階行行列列式式等等于于所所有有取取自自不不同同行行不不同同列列的的 n n 個(gè)個(gè)元元素素的的乘乘積積的的代代數(shù)數(shù)和和記記作作定義定義).det(ija簡記作簡記作的元素的元素稱為行列式稱為行列式數(shù)數(shù))det(ijijaa上三角行列式上三角行列式12111222000nnnnaaaaaa1122.nna aa 下三角

3、行列式下三角行列式11222112000nnnnaaaaaa1122.nna aa 12.n 12n 對(duì)角行列式對(duì)角行列式特別的，特別的，第二節(jié)第二節(jié) 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例三、小結(jié)三、小結(jié)一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì) 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. TDD記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211改變書寫方向改變書寫方向121321112333332221aDaa

4、aaaaaa 213121321122333132TaDaaaaaaaa 112233122331132132a a aa a aa a a 132231122133112332.a a aa a aa a a112233132132122331a a aa a aa a a 132231112332122133.a a aa a aa a a112131122232132333aaaaaaaaa 111213aaa212223aaa證明：證明：nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnnnnTbbbbbbbbbD212222111211 設(shè)設(shè)則則jiijab ), 2

5、, 1,(nji 由行列式定義由行列式定義 nnnjjjnjjjjjjTbbbD21212121)()1( Daaannnjjjnjjjjjj 21212121)()1( 說明說明：行列式中行與列地位相同，對(duì)行成立的性質(zhì)：行列式中行與列地位相同，對(duì)行成立的性質(zhì) 對(duì)列也成立，反之亦然。對(duì)列也成立，反之亦然。 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). .111213212223313233aaaDaaaaaa 1112131313233212223aaaDaaaaaa 交換交換2，3行行111213212223313233aaaDaaaaaa 11223312233

6、1132132a a aa a aa a a 132231122133112332.a a aa a aa a a111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132a a aa a aa a a 132231122133112332.a a aa a aa a a1112131313233212223aaaDaaaaaa 111213313233212223aaaaaaaaa 113121aaa123222aaa113223123321133122a a aa a aa a a 133221113322123123a a aa a aa a aD 1

7、11213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132a a aa a aa a a 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). .證明：證明：設(shè)設(shè)nnnntnttsnssnaaaaaaaaaaaaD21212111211 交換交換s、t 兩行，得兩行，得nnnnsnsstnttnaaaaaaaaaaaaD212121112111 s行行t行行由行列式定義可知，由行列式定義可知，D中任一項(xiàng)中任一項(xiàng)可以寫成可以寫成ntsntsnjtjsjjjjjjaaaa111)()1( 因?yàn)橐驗(yàn)閚stntsnjsjtjjnjtjsjjaaaa

8、aaaa1111 （2）（1）顯然這是顯然這是1D中取自不同行、不同列的中取自不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積，而且個(gè)元素的乘積，而且（2）式右端的）式右端的n個(gè)元素是按它們在個(gè)元素是按它們在1D中所處的行標(biāo)為自然順序中所處的行標(biāo)為自然順序排好的。因此排好的。因此nstnstnjsjtjjjjjjaaaa111)()1( 是是1D中的一項(xiàng)。中的一項(xiàng)。（3）因?yàn)?，排列因?yàn)?，排列ntsjjjj1與排列與排列nstjjjj1的的奇偶性相反，所以項(xiàng)（奇偶性相反，所以項(xiàng)（1）與項(xiàng)（）與項(xiàng)（3）相差一符號(hào)，這就證明）相差一符號(hào)，這就證明了了D的任一項(xiàng)的反號(hào)是的任一項(xiàng)的反號(hào)是1D中的項(xiàng)，同樣可以證明中的項(xiàng)，同

9、樣可以證明1D中的中的任一項(xiàng)的反號(hào)也是任一項(xiàng)的反號(hào)也是D中的項(xiàng)。中的項(xiàng)。因此，因此，DD1記法記法 行列式的第行列式的第s行：行：sr行列式的第行列式的第s列：列：sc交換交換s、t兩行：兩行：tsrr 交換交換s、t兩列：兩列：tscc 例如例如推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零此行列式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 . 0 D,DD ,571571 266853.825825 361567567361266853 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用

10、數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kk111221121iiinnnnnnaaaakakakaaa121112112iiinnnnnnaaaaaaaaak 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面子可以提到行列式符號(hào)的外面性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素成比性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零例，則此行列式為零證明證明12121112112iiinnnnnniiinaaakaaaaaaakaka12111211212nnnnniiiniiinaaaaaaaaaaaak . 0 .33323123222113121

11、153531026aaaaaaaaa11121321222331323335621350aaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa, 1 15)3(2 .30 1112132122233132335532335aaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa352 () 性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和. . (34)(52)612763851(486)9542D 則則D等于下列兩個(gè)行列式之和：等于下列兩個(gè)行列式之和：例如例如1271276386385955954263452

12、6142684D 性質(zhì)性質(zhì)5動(dòng)畫演示動(dòng)畫演示.127051127051 131 2 2 2201131 222175 201131 )2( 2)2( 175 njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變列式不變例如例如3211128211D 212cc 721112011

13、8 例例二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值化為上三角形行列式，從而算得行列式的值jikrr 3111131111311113D 3111131111311113D 6666131111311113111113116113111131111020060020000248. 解解1234rrrr16r 21rr 31rr 41rr 例例2 2 計(jì)算行列式計(jì)算行列式abbbbabbDbbabbbba 解解3333abbbbababbabbababbba D將第將第2,3,4列都加到第列都加到第1列得列

14、得 11311bbbabbabbabbba 10003000000bbba baba ba b 33 () .ab a b 例例3 3 計(jì)算計(jì)算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna (行列式中行與列具有同行列式中行與列具有同等的地位等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立同樣成立). 計(jì)算行列式

15、常用方法：計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義利用定義;(2)利用利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值列式的值三、小結(jié)三、小結(jié)行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 12342341134124123 01111011211011110Ex1.123413411014121123160123401131002220111 1234234113412412312340113100044000411111011311011110 11110100300100001 0111101121101111031113011310131103 1111101131

16、1011110 311130113101311011110100300100001 11111011311011110 311130113101311011110100300100001 11111011311011110 3111301131013110 21413121252327025 10212110112030321Ex2. 12222222422322224 35211105313132413 10212110112030321102101320222032126 1322041075 13222232113212111321 214131212523270258156215072

17、51241132125320725 1241056201500725(3)3521110513132413D 解：解：3521110513132413D 04510041213130213 4510412213 25102 212113 0342 018113 40 4222232222222221 242321rrrrrr2000010022220001 (4) 解解: 12r2r2000010022200001 = - 4.思考題：思考題：35211105,13132413D 設(shè)設(shè)求求11121314AAAA解：解：11121314AAAA1105131324131111 4 例例nD00

18、1030100211111 箭形行列式箭形行列式目標(biāo)：把第一列化為目標(biāo)：把第一列化為0011a成三角形行列式成三角形行列式.nccccn12311123nini21111100200030000)11( !2 niinEx.4321xaaaaxaaaaxaaaaxD )4 , 3 , 2 , 1,( iaxi（可以化為箭形行列式）（可以化為箭形行列式）14131312rrrrrrrr axxaaaxxaaxxaaaax 413121100000)()(4321axaxaxax 10010101001143211 axaaxaaxaaxx4321cccc 41)(iiax1000010000104324211axaaxaaxaaxaaxxii 414211)(iiiiaxaxaaxx 證證21211Daa21aa）式成立）式成立時(shí)（時(shí)（當(dāng)當(dāng)12 n例例證明范德蒙德證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式1222212111112111().nnnijj i nnnnnaaaDaaaaaaaa ) 1 (行列式的每列都是某一個(gè)數(shù)的不同方冪，且自上而下方冪次數(shù)由0遞增至n-1設(shè)對(duì)階假假（1）1）于于 3范3范德德蒙蒙行行列列式式成成立立，1234422221234333312341111aa