離散傅里葉變換V學習教案

1、會計學1離散離散(lsn)傅里葉變換傅里葉變換V第一頁，共100頁。第1頁/共100頁第二頁，共100頁。10NnknNWnxkX分析式：101NKknNWkXNnx綜合式：)/2(NjNeWkXnxDTFS 第2頁/共100頁第三頁，共100頁。11kXnxDTFS 2121KXbkXanxbnxaDTFS 22kXnxDTFS 第3頁/共100頁第四頁，共100頁。N=12043218765kXWmnxkmNDFT lkXnxWDFTnlN N=12043218765第4頁/共100頁第五頁，共100頁。10NkknNWkXnxN10NnnkNWnXkxNkXnxDTFS kxNnXDTF

2、S 10NnknNWnxkX101NKknNWkXNnx第5頁/共100頁第六頁，共100頁。213KXkXkX10213Nmmnxmxnx10123Nmmnxmxnx第6頁/共100頁第七頁，共100頁。10213Nmmnxmxnx1010213) (NnNmknNmnxmxWkX10NnknNWnxkX第7頁/共100頁第八頁，共100頁。1010213) (NnNmknNmnxmxWkXknNNnNmWmnxmxkX102101310213NmkmNkXWmxkXkXWmnxkmNDTFS 102121NmDTFSkXkXmnxmx212101kXkXkXWmxNmkmN第8頁/共100

3、頁第九頁，共100頁。10213Nmmnxmxnxmmnxmxnx213兩個周期序列的周期卷積過程兩個周期序列的周期卷積過程 （1）畫出）畫出 和和 的圖形；的圖形； （2）將）將 翻轉(zhuǎn)翻轉(zhuǎn),得到得到)0()(22mxmx)(2mx)(1mx)(2mx第9頁/共100頁第十頁，共100頁。0N-NN0-N第10頁/共100頁第十一頁，共100頁。0N-NN0-N0第11頁/共100頁第十二頁，共100頁。0N-NN0-N0第12頁/共100頁第十三頁，共100頁。0N-NN0-N0第13頁/共100頁第十四頁，共100頁。0N-NN0-N0第14頁/共100頁第十五頁，共100頁。0N-NN0

4、-N0第15頁/共100頁第十六頁，共100頁。0N-NN0-N0第16頁/共100頁第十七頁，共100頁。0N-NN0-N0第17頁/共100頁第十八頁，共100頁。0N-NN0-N0第18頁/共100頁第十九頁，共100頁。0N-NN0-N0第19頁/共100頁第二十頁，共100頁。rrNnxnx其它，010,Nnnxnx為模以Nnxnx)(Nnxnx第20頁/共100頁第二十一頁，共100頁。其它，010,NkkXkX)()(NkXNkXkX為模以knNNnWnxkX10knNNkWkXNnx101求和求和(qi h)只涉及到一個周期只涉及到一個周期其它，010,10NkWnxkXknN

5、Nn其它，010,110NnWkXNnxknNNk第21頁/共100頁第二十二頁，共100頁。xn=0；knNNnWnxkX10knNNkWkXNnx101kXnxDFT 第22頁/共100頁第二十三頁，共100頁。04 )(, 0,10, 5, 0, 511)5/2(240)5/2(其他keeekXkjkjnnkj0第23頁/共100頁第二十四頁，共100頁。-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 kXj（e ） X k02-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k X k55第24頁/共100頁第二十五頁，共100頁243.24

6、1.241.241 X k-100100.40.40.20.2 X k第25頁/共100頁第二十六頁，共100頁。一：線性一：線性二：序列二：序列(xli)(xli)的循的循環(huán)移位環(huán)移位三：對偶性三：對偶性四：對稱性四：對稱性五：循環(huán)卷積五：循環(huán)卷積第26頁/共100頁第二十七頁，共100頁。 123123312x nxnxnax nbxnxnDFTXkaXkbXk兩個有限長序列和線性組合如下：則的為：第27頁/共100頁第二十八頁，共100頁。 12221112012220,01,01NknNnNknNnDFTXkx n WkNDFTXkxn WkN1122211222若xn的長度為N x

7、n的長度為N 且NN則xn的N 點是：x n的N 點是： 11221212DFTDFTDFTx nXkxnXkax nbxnaXkbXk 若且則第28頁/共100頁第二十九頁，共100頁。 1x n 2xn+ 312xnx nxnDFTDFTDFT 1Xk 2Xk 312X k=DFTx nxn 1x nDFTDFTDFTDFTDFTDFT第29頁/共100頁第三十頁，共100頁。00.20.40.60.811.21.41.6-5051000.20.40.60.811.21.41.6-202400.20.40.60.811.21.41.6-5051015 1Xk 2Xk+00.20.40.60

8、.811.21.41.6-5051015 12DFTx nxn 12XkXk 1Xk 1Xk 2Xk 1Xk 12X kX k第30頁/共100頁第三十一頁，共100頁。jnjdeXennxdjeXnx DFTx nX k 若： 1(2/)11DFTjk N mx nDFTx nXkeX k 令是一個有限長序列并且設其為：第31頁/共100頁第三十二頁，共100頁。 11111( )( )( )( )DFTNNDFTNNx nxnX kXkx nx nxnXkXk 定義一個周期序列 (2/)112 ( )/12 ( )/(2/)X X X X( )NNjk N mjkN mjkN mjk N

9、mkekx nkekee的傅里葉級數(shù)的系數(shù)：注意：第32頁/共100頁第三十三頁，共100頁。(2/)1X X jk N mkek1 () Nx nx nmxnm11 () ,01 0, Nx nxnmnNx n其它 DFTkmNx nmWX k 傅里葉級數(shù)的性質(zhì)：第33頁/共100頁第三十四頁，共100頁。043218765N=12043218765N=12043218765043218765第34頁/共100頁第三十五頁，共100頁。(2/)() ,01XDFTjk N mNDFTxnmnNeK循環(huán)移位的性質(zhì)：第35頁/共100頁第三十六頁，共100頁。 ( ) X X( ) NNx nx

10、nkk推導過程：構(gòu)造周期序列： X X DFTDFTx nkNxknNxk DFT從而：由式Xn給出的對偶性，得第36頁/共100頁第三十七頁，共100頁。 1111111 ,01X 0, () ,01X 0, Nx nX nx nX nx nDFSX kNxkx nDFTNxkkNkNxkkNk如果定義周期序列，它的一個周期是有限長序列，則的系數(shù)是。因此的是其它等效為：其它第37頁/共100頁第三十八頁，共100頁。 () ,01() DFTDFTNNDFTx nX kX nNxkkNNxkkN對于，對偶性可以表述為：若：則：序列就是Nx將變量反轉(zhuǎn)且以 為模移位的情況第38頁/共100頁第三

11、十九頁，共100頁。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n x n102 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 kRe()jX eRe X k5DFT的對偶關(guān)系的對偶關(guān)系(gun x)例題例題實有限長序列xnkxn對應DFT X 的實部第39頁/共100頁第四十頁，共100頁。02 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k5Im()jX eIm X kkxn對應DFT X 的虛部02 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k5Im()jX eIm X kkxn對應DFT X 的虛部 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n1Re Re x nX n1

12、1111x1xn對偶序列 n=Xn的實部第40頁/共100頁第四十一頁，共100頁。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n-3.08-0.730.733.081Im Im x nX nx1xn對偶序列 n=Xn的虛部 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n-3.08-0.730.733.081Im Im x nX nx1xn對偶序列 n=Xn的虛部 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k110 10 () X kxk10 x1xn對偶序列 n的DFT第41頁/共100頁第四十二頁，共100頁。周期序列周期序列(xli)共軛對稱分共軛對稱分量量)()(21)()(

13、21)(*NNenNxnxnxnxnx周期序列周期序列(xli)共軛反對稱分共軛反對稱分量量 )()(21)()(21)(*NNonNxnxnxnxnx對稱性對稱性同樣同樣(tngyng)，有，有)()()()()()()(*nxnxnxnxnxnxnxooeeoe第42頁/共100頁第四十三頁，共100頁。實部虛部虛部 x n*xn實部偶對稱(duchn)虛部奇對稱(duchn)黃色箭頭(jintu)表示原點e* xn+x -n /2x n+ +第43頁/共100頁第四十四頁，共100頁。 x n*xno* xn-x -n /2x n- -實部奇對稱(duchn)虛部偶對稱(duchn)實部

14、虛部虛部-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.5-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.52-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.5-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.52黃色(hungs)箭頭表示原點第44頁/共100頁第四十五頁，共100頁。e x no xn+-8-6-4-202468-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-8-6-4-202468-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-8-6-4-202468-1-0.8-0.6-0

15、.4-0.200.20.40.60.81-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.5-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.52oex n+x n第45頁/共100頁第四十六頁，共100頁。-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.5-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.52-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.5-8-6-4-202468-2-1.5-1-0.500.511.52oex n+x n x n實部虛部虛部兩者相同兩者相同(xin tn)(xin tn)第46頁/

16、共100頁第四十七頁，共100頁。周期共軛對稱周期共軛對稱(duchn)分量分量 （實數(shù)時，稱為周期偶分量）（實數(shù)時，稱為周期偶分量） )()()(21)()()(*nRnNxnxnRnxnxNNNNeep由于由于(yuy)()()()()()()()()()(nRnxnRnxnRnxnxnRnxnxNoNeNoeN所以所以(suy)()()(nxnxnxopep有限長序列可分解為兩個長度相同的兩個分量有限長序列可分解為兩個長度相同的兩個分量)()()(21)()()(*nRnNxnxnRnxnxNNNNoop周期共軛反對稱分量周期共軛反對稱分量 （實數(shù)時，稱為周期奇分量）（實數(shù)時，稱為周期奇

17、分量） 第47頁/共100頁第四十八頁，共100頁。共軛特性共軛特性(txng)證明證明(zhngmng)： kXnxDFT kRkXnxNNDFT * 10)(NnnkNWnxkX 10*)(NnnkNWnxkX10*)()(NnnkNWnxnxDFTkl10*)(NnnlNNWnxlX第48頁/共100頁第四十九頁，共100頁。 kx nX第49頁/共100頁第五十頁，共100頁。 * kx nX第50頁/共100頁第五十一頁，共100頁。-2-1.5-1-0.50-3-2-101234實 部-2-1.5-1-0.50-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51虛 部00.5

18、11.52-3-2-101234實 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虛 部 kX-2-1.5-1-0.50-3-2-101234實 部-2-1.5-1-0.50-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51虛 部相同(xin tn)！ kX實部偶對稱實部偶對稱(duchn)(duchn)虛部奇對稱虛部奇對稱(duchn)(duchn) *NNXkRk第51頁/共100頁第五十二頁，共100頁。共軛特性共軛特性(txng)證明證明(zhngmng)： kXnxDFT kXnxDFTN* 10)(NnnkNWnxkX 10*)(NnnkNWnxkX10

19、*)(NnnkNNWnxnxDFTnl 10*NnklNNWlxkX第52頁/共100頁第五十三頁，共100頁。00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91實 部00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91虛 部00.511.52-3-2-101234實 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虛 部 kx nX第53頁/共100頁第五十四頁，共100頁。00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91實 部00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80

20、.91虛 部 *x nNxn第54頁/共100頁第五十五頁，共100頁。 *kDFTNxnX -2-1.5-1-0.5000.10.20.30.40.50.60.70.80.91實 部-2-1.5-1-0.50-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10虛 部第55頁/共100頁第五十六頁，共100頁。00.511.52-3-2-101234實 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虛 部00.511.52-3-2-101234實 部00.511.52-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51虛 部00.511.52

21、-3-2-101234實 部00.511.52-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51虛 部相同(xin tn)！ kX *kX kX實部相同實部相同(xin tn)(xin tn)虛部關(guān)于虛部關(guān)于X X軸翻轉(zhuǎn)軸翻轉(zhuǎn)第56頁/共100頁第五十七頁，共100頁。5.共軛對稱共軛對稱(duchn)特性之三特性之三)()()()(21)(Re)()(*kXkRkNXkXnxDFTnxDFTkXepNNN，則如果證明證明(zhngmng)：)()()()(21)()()(21)()(21)(Re)()(21)(Re*kXkRkNXkXkRkNXkXnxDFTnxDFTnxDFTnxn

22、xnxepNNNNN圓周共軛對稱分量。的該序列復數(shù)序列實部的DFTDFT *第57頁/共100頁第五十八頁，共100頁。( )( )x nX k第58頁/共100頁第五十九頁，共100頁。 1Re kx nX第59頁/共100頁第六十頁，共100頁。00.511.52-3-2-101234實 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虛 部-2-1012-1.5-1-0.50-2-1012-5-4-3-2-1012345 epkkXX第60頁/共100頁第六十一頁，共100頁。-2-1012-1.5-1-0.50-2-1012-5-4-3-2-1012345 epkX-

23、2-1012-1.5-1-0.50-2-1012-5-4-3-2-10123453jXe兩者一樣(yyng)！第61頁/共100頁第六十二頁，共100頁。6.共軛對稱共軛對稱(duchn)特性之四特性之四)()()()(21)(Im)()(*kXkRkNXkXnxjDFTnxDFTkXopNNN，則如果證明證明(zhngmng)：)()()()(21)()()(21)()(21)(Im)()(21)(Im*kXkRkNXkXkRkNXkXnxDFTnxDFTnxjDFTnxnxnxjopNNNNN圓周共軛反對稱分量。的該序列的復數(shù)序列虛部乘以DFTDFTj*第62頁/共100頁第六十三頁，共1

24、00頁。Im x n00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91DFT Im * jx nDFTIm *jx n X k =DFT x n-10-50510-6-4-20246-10-50510-0.500.511.522.53 opXk第63頁/共100頁第六十四頁，共100頁。7.共軛對稱共軛對稱(duchn)特性之五、六特性之五、六)()(Im)()(RenxDFTkXjnxDFTkXopep，同樣，可證明：8.X(k)圓周共軛對稱圓周共軛對稱(duchn)分量與圓周共軛反對稱分量與圓周共軛反對稱(duchn)分量的對稱分量的對稱(duchn)性性)()(

25、)() 1 (kXkXkXopep、)()()()()()()3()()()()()()()2(*kRkNXkRkXkXkXkRkNXkRkXkXkXNNopNNopopopNNepNNepepep、第64頁/共100頁第六十五頁，共100頁。00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91實 部00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91虛 部 x nDFT 00.511.52-3-2-101234實 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虛 部DFT xn（ ） Xk Re( )( )epX kDFT

26、xn第65頁/共100頁第六十六頁，共100頁。epep DFT xnxn虛部為虛部為0 000.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91實 部00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91虛 部00.511.52-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9實 部00.511.52-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5虛 部ep x nxn第66頁/共100頁第六十七頁，共100頁。00.511.52-3-2-101234實 部00.511.52-1-0.500.511.522.5

27、33.54虛 部 X kDFT x n00.511.52-3-2-101234實 部epDFT xn 的實部為 XK的實部，虛部為0。即：epDFT xn虛部為虛部為0 0Re( )( )epX kDFT xn第67頁/共100頁第六十八頁，共100頁。 x nDFT DFT xn（ ） Xk Im( )( )opjX kDFT xn第68頁/共100頁第六十九頁，共100頁。00.511.52-3-2-101234實 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虛 部 x n00.511.5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91實 部00.511.

28、5200.10.20.30.40.50.60.70.80.91虛 部實部為實部為0 0 op2 Xkxn -2-1012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81實 部-2-101200.10.20.30.40.50.60.70.80.91虛 部op xn第69頁/共100頁第七十頁，共100頁。00.511.52-3-2-101234實 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虛 部00.511.52-3-2-101234實 部00.511.52-1-0.500.511.522.533.54虛 部實部為實部為0 0DFT xn（ ）opDFT

29、xn 的虛部和的虛部和 的的虛部相同虛部相同(xin tn)(xin tn)，實部，實部為為0 0。即：。即：opDFT xnDFT xn（ ）Im( )( )opjX kDFT xn第70頁/共100頁第七十一頁，共100頁。9.實、虛序列的對稱實、虛序列的對稱(duchn)特性特性 當x(n)為實序列(xli)時，根據(jù)特性之三，則 X(k)=Xep(k)又據(jù)Xep(k)的對稱性：)()()(*kRkNXkXNNepep 當x(n)為純虛序列時，根據(jù)(gnj)特性之四，則 X(k)=Xop(k)又據(jù)Xop(k)的對稱性：)()()(*kRkXkXNNopop)()()(*kRkNXkXNN)

30、()()(*kRkXkXNN第71頁/共100頁第七十二頁，共100頁。13120 ,01Nmx nx m x nmnN13120 ( ) () ,01NNNmx nxmxnmnN13120 () ,01NNmx nx m xnmnN31 x nx n2 x n32 x nx n1 x n13210 () NNmx nx m xnm第72頁/共100頁第七十三頁，共100頁。0N-NN0-N第73頁/共100頁第七十四頁，共100頁。0N-NN0-N0第74頁/共100頁第七十五頁，共100頁。0NN01 1 1 1 0 0 0 00 3 6 5 4 3 2 1第75頁/共100頁第七十六頁，

31、共100頁。0001 1 1 1 0 0 0 00 1 2 3 4 5 6 36 第76頁/共100頁第七十七頁，共100頁。0001 1 1 1 0 0 0 03 0 1 2 3 4 5 66 6第77頁/共100頁第七十八頁，共100頁。0001 1 1 1 0 0 0 06 3 0 1 2 3 4 56 6 10第78頁/共100頁第七十九頁，共100頁。0001 1 1 1 0 0 0 05 6 3 0 1 2 3 46 6 10 14第79頁/共100頁第八十頁，共100頁。0001 1 1 1 0 0 0 04 5 6 3 0 1 2 36 6 10 14 18第80頁/共100頁第八十一頁，共100頁。0001 1 1 1 0 0 0 03 4 5 6 3 0 1 26 6 10 14 18 18第81頁/共100頁第八十二頁，共100頁。0001 1 1 1 0 0 0 02 3 4 5 6 3 0 16 6 10 14 18 18 14第82頁/共100頁第八十三頁，共100頁。0001 1 1 1 0 0 0 01 2 3 4 5 6 3 06 6 10 14 18 18