回歸分析與預(yù)測

1、回歸分析與預(yù)測變量之間的關(guān)系可以分為函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系兩類，函數(shù)關(guān)系表示變量間一一對應(yīng)的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系則是變量間的某種非確定的依賴關(guān)系相關(guān)關(guān)系雖不確定，但在大量統(tǒng)計資料的基礎(chǔ)上，可以找出相關(guān)關(guān)系變量之間的規(guī)律性，并借助相應(yīng)的函數(shù)來表達這種規(guī)律性，對應(yīng)的函數(shù)稱為回歸函數(shù)這種用函數(shù)的形式來描述與推斷現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系，稱為回歸分析回歸分析回歸參數(shù)的估計參數(shù)的檢驗方程擬合效果評價變量的個數(shù)一元回歸分析多元回歸分析變量之間的形式線性回歸分析非線性回歸分析預(yù)測則是人們根據(jù)歷史的資料和現(xiàn)實，利用已經(jīng)掌握的知識和手段，對事物的未來值進行事前的推測和判斷，為計劃或決策提供依據(jù)預(yù)測點預(yù)測區(qū)間預(yù)測根據(jù)回歸方程返

2、回自變量對應(yīng)的因變量的預(yù)測值根據(jù)回歸方程返回對應(yīng)因變量的預(yù)測區(qū)間1. 一元線性回歸分析與預(yù)測對應(yīng)存在相關(guān)關(guān)系的兩個變量X和Y，其中X為自變量，Y為因變量，可以建立回歸方程：iiXY其中， 為回歸方程常數(shù)項， 為回歸的系數(shù)， 為隨機誤差項 根據(jù)最小二乘法，可以得到 和 的估計值 和niiniiiXXYYXX121)()(XY其中 和 分別為變量 和 的樣本的均值XYXY回歸的參數(shù)方程: iiXY回歸參數(shù)的顯著性檢驗在樣本容量較小時，總體回歸參數(shù)的顯著性檢驗通過對回歸參數(shù)進行t檢驗實現(xiàn)給定原假設(shè) ，對應(yīng)的t統(tǒng)計量為0:0HSt擬合優(yōu)度檢驗擬合優(yōu)度又稱可決系數(shù)，可以用來檢驗回歸方程對觀測數(shù)據(jù)的擬合程

3、度，可以度量方程總體回歸效果的優(yōu)劣對應(yīng)可決系數(shù)為niiniiYYXXR121222)()(例1 應(yīng)用散點圖和趨勢線進行回歸分析某家電廠商需要研究廣告投入的效果，從所有銷售額相似的地區(qū)中隨機選取16個地區(qū)，分別統(tǒng)計該地區(qū)的銷售額和廣告費用數(shù)據(jù)如下表所示，試應(yīng)用散點圖和趨勢線確定銷售額和廣告費用的回歸方程，并給出方程的擬合優(yōu)度16個地區(qū)廣告費用和銷售額(萬元)例2 應(yīng)用LINEST函數(shù)進行回歸分析某年度12個地區(qū)的財政收入和國民生產(chǎn)總值量如下表所示，試給出財政收入與國民生產(chǎn)總值的回歸方程并分析回歸效果某年度12個地區(qū)財政收入與國民生產(chǎn)總值例3 應(yīng)用回歸函數(shù)進行回歸分析某年度12個地區(qū)的財政收入和國

4、民生產(chǎn)總值量如下表所示，試給出財政收入與國民生產(chǎn)總值的回歸方程并分析回歸效果某年度12個地區(qū)財政收入與國民生產(chǎn)總值例4 應(yīng)用回歸分析工具進行回歸分析已有研究表明一種股票的收益率同市場(market)的收益率相關(guān)，下表給出了2004年6月間22個交易日中長江電力(代碼600900)的收益率和整個市場的收益率數(shù)據(jù)，試運用回歸分析工具得到長江電力收益率同市場收益率的回歸方程，并給出回歸殘差圖和線性擬合圖2004年6月22個交易日長江電力的收益率與市場收益率若為點預(yù)測，則 對應(yīng)的預(yù)測值 為和 變量對應(yīng)的一元線性回歸方程為XY需要預(yù)測當(dāng) 時，對應(yīng)的 值XY0XX Y0X0Y00XY若為區(qū)間預(yù)測，則可分為

5、對應(yīng)的預(yù)測值 為預(yù)測的的均值還是個體值0Y若預(yù)測的為均值，真實值為000)|(XXYE兩者之間 的標準差 為SniiXXXXnsS1220)()(1其中，2)(12nYYsniii在給定顯著性水平 下，對應(yīng)的 的置信區(qū)間為若預(yù)測的為個體值，真實值為)|(00XYE兩者之間 的標準差 為llSniilXXXXnsS1220)()(11),(2020StYStY00XY在給定顯著性水平 下，對應(yīng)的 的置信區(qū)間為0Y),(2020llStYStY例5 一元線性預(yù)測某家電廠商需要知道在一定的廣告費用投入下對應(yīng)的銷售額，從所有銷售額相似的地區(qū)中隨機選取12個地區(qū)，分別統(tǒng)計該地區(qū)的廣告費用和銷售額數(shù)據(jù)如下

6、表所示，試預(yù)測當(dāng)投入廣告費用為500萬元時的銷售額，并在0.05的顯著性水平下給出預(yù)測區(qū)間12個地區(qū)銷售額和廣告費用(萬元)2. 多元線性回歸分析與預(yù)測對于因變量Y和 建立多元線性回歸方程其中， 為常數(shù)項， 分別為自變量 的回歸系數(shù)， 為隨機誤差項 nXXX.21、nnXXY.11n.21、nXXX.21、根據(jù)一組樣本，可以得到樣本的回歸方程:將回歸系數(shù)寫成矩陣的形式，則根據(jù)最小二乘法有:nnXXXY.2211Tn.,21TTXYXX1)(其中多元回歸分析的擬合優(yōu)度主要采用可決系數(shù)和調(diào)整可決系數(shù)度量可決系數(shù)為回歸平方和和總平方和的比值:niiniiYYlTSSRSSR12122)(1由于 與自

7、變量的數(shù)目有關(guān)，對于多元線性回歸采用調(diào)整 來度量擬合優(yōu)度2R2RnNNRAjustedR1)1 (122其中，N為觀測次數(shù)，n為自變量的個數(shù)回歸方程的顯著性檢驗，是檢驗可決系數(shù) 是否顯著，對應(yīng)的F統(tǒng)計量值為nNESSNRSSF/1/回歸系數(shù)的顯著性檢驗是檢驗每個自變量是否對因變量有顯著影響，采用t檢驗，對應(yīng)的t統(tǒng)計量為2R其中，j=1,n，給定顯著性水平下可以通過t檢驗自變量 是否對 有著顯著的影響jStjjiXY例6 運用LINEST函數(shù)進行多元線性回歸分析某公司為了研究某種產(chǎn)品的銷售額與廣告費用和促銷費用的關(guān)系，從銷售額相近的銷售點中隨機抽取了12個銷售點的樣本，對應(yīng)12個點的銷售額和廣告

8、費用、促銷費用如下表所示，試給出銷售額與廣告費用和促銷費用的回歸方程，并在0.05的顯著性水平下對方程進行總體的顯著性和回歸系數(shù)的顯著性進行檢驗12個銷售點的銷售額及廣告和促銷費用(萬元)例7 運用回歸分析工具進行多元線性回歸分析某研究人員試圖研究社會零售商品總額的影響因素，選取4個可能的影響因素: 人均可支配收入、國內(nèi)生產(chǎn)總值、固定投資總額和財政收入，對應(yīng)15年間的統(tǒng)計結(jié)果如下表所示，試給出零售商品總額的決定方程，并在0.05的顯著性水平下判斷方程總體的顯著性和哪些因素顯著，并給出自變量的殘差圖15年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)對于因變量Y和自變量 多元線性回歸方程則一組自變量 ，對應(yīng)的因變量的點預(yù)測值為 ，

9、、nXXX.21TfnffXXXX).(21、nnXXXY.2211nnXXXY.2211區(qū)間預(yù)測值分為均值的預(yù)測區(qū)間和個體值的預(yù)測區(qū)間若將 理解為 的預(yù)測值，則在給定顯著性水平 下， 的置信區(qū)間為fY其中，nNYYsniii12)()(fYE)(fYE)(,)(1212TfTffTfTffXXXXstYXXXXstY；N為觀察次數(shù)；n為自變量個數(shù)若將 理解為個體值 的預(yù)測值，則在給定顯著性水平下， 的置信區(qū)間為fYfYfY)(1,)(11212TfTffTfTffXXXXstYXXXXstY例8 多元線性預(yù)測某地區(qū)10年間的零售商品總額、國民生產(chǎn)總值和人口數(shù)如下表所示，若已知明年該省的國民生

10、產(chǎn)總值為60億元，人口數(shù)為3950萬，試給出明年零售商品總額的點預(yù)測值10年間零售商品總額、國民生產(chǎn)總值和人口數(shù)3. 一元非線性回歸分析與預(yù)測如果自變量X和因變量Y的回歸方程為則稱此回歸方程為指數(shù)回歸方程，XeY對于指數(shù)回歸，主要有兩種方法: (1) 繪制散點圖，通過添加趨勢線擬合出指數(shù)回歸曲線，并得到擬合優(yōu)度: (2) 通過兩邊取對數(shù)將其線性化化為一元線性回歸問題:XY)ln()ln(運用一元線性回歸得到回歸參數(shù) 和例9 指數(shù)回歸分析某超市自開業(yè)12年來銷售額如下表所示，試運用兩種指數(shù)回歸方法給出銷售額與年度t的回歸方程12年的銷售額例10 指數(shù)回歸與預(yù)測某超市自開業(yè)12年來銷售額如下表所示

11、，試運用LOGEST函數(shù)給出銷售額與年度的回歸方程，并采用GROWTH函數(shù)預(yù)測第13年的銷售額12年的銷售額如果自變量X和因變量Y的回歸方程為則稱此回歸方程為對數(shù)回歸方程)ln(XY對于對數(shù)回歸，主要有兩種方法: (1) 繪制散點圖，通過添加趨勢線擬合出指數(shù)回歸曲線，并得到擬合優(yōu)度: (2) 將 作為新的自變量直接同 進行一元線性回歸，得到樣本回歸方程fXX 令 ，即可得到相應(yīng)的預(yù)測值 : )ln(XY)ln(XYfY)ln(ffXY例11 對數(shù)回歸分析某研究人員希望研究房地產(chǎn)行業(yè)上市公司2003年中股東總股利與銷售收入之間的關(guān)系，選取有分紅的上市公司總共13家，對應(yīng)總股利和銷售收入如下表所示

12、，試采用對數(shù)回歸給出總股利與銷售收入的回歸方程13家公司的股利和銷售收入(百萬元)如果自變量X和因變量Y的回歸方程為則稱此回歸方程為冪函數(shù)回歸方程，XY 對于冪函數(shù)回歸，主要有兩種方法: (1) 繪制散點圖，通過添加趨勢線擬合出指數(shù)回歸曲線，并得到擬合優(yōu)度: fXX 令 ，即可得到相應(yīng)的點預(yù)測值 : )ln() ln()ln(XYfY(2) 通過兩邊取對數(shù)化為一元線性回歸，得到樣本回歸方程:ffXY 例12 冪函數(shù)回歸分析生產(chǎn)函數(shù)一般可以看作冪函數(shù)，某研究人員統(tǒng)計了采掘行業(yè)20家上市公司2003年的固定資產(chǎn)投資和凈利潤如下表所示，試給出凈利潤和固定資產(chǎn)投資的回歸方程20家公司的凈利潤和固定資產(chǎn)

13、投資(百萬元)如果自變量X和因變量Y的回歸方程為則稱此回歸方程為多項式回歸方程nnXXXY.221對于多項式回歸，主要有兩種方法: (1) 繪制散點圖，通過添加趨勢線擬合出指數(shù)回歸曲線，并得到擬合優(yōu)度: 通過多元線性回歸可得到回歸方程的參數(shù) (2) 令 將樣本回歸方程化為多元線性回歸22XX 221XXY令 ，即可得到多項式回歸方程給出相應(yīng)的點預(yù)測值 : fXX fY221fffXXY例13 多項式回歸分析某研究人員統(tǒng)計了房地產(chǎn)行業(yè)2003年主營業(yè)務(wù)收入和凈利潤的關(guān)系，從中隨即抽取20家上市公司，統(tǒng)計后的主營業(yè)務(wù)收入和凈利潤如下表所示，試采用多項式回歸方程給出凈利潤與主營業(yè)務(wù)收入的關(guān)系20家公司的凈利潤和固定資產(chǎn)投資(百萬元)已有研究認為單個股票的收益率同整個市場的收益率存在關(guān)系，已知深發(fā)展(代碼000001)和整個市場2003年1月至2004年6月18個月的收益率如下表所示，試:(1)給出單個股票的收益率Y同市場組合收益率X的回歸方程(2)當(dāng)市場組合收益率為5%時，給出深發(fā)展收益率的點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測練習(xí)1兩種股票的價格某研究人員需要分析我國固定資產(chǎn)投資狀況的影響因素，選取可能5個影響因素：國內(nèi)生產(chǎn)總值、商品房屋銷售額、財政支出、社會消費品零售總額、進出口總額，統(tǒng)計1987