平面彎曲1-梁的內(nèi)力

1、梁 的 內(nèi) 力 INTERNAL FORCES IN THE BEAM 1 工程實際中的彎曲問題 2 梁的荷載和支座反力 3 梁的內(nèi)力及其求法 4 內(nèi)力圖 5 彎矩、剪力、荷載集度之間的關(guān)系 6 疊加法作剪力圖和彎矩圖1 工程實際中的彎曲問題 梁在垂直于其軸線的荷載作用下要變彎，其梁在垂直于其軸線的荷載作用下要變彎，其軸線由原來的直線變成曲線，這種變形叫做彎曲軸線由原來的直線變成曲線，這種變形叫做彎曲變形。產(chǎn)生彎曲變形的構(gòu)件稱為受彎構(gòu)件。變形。產(chǎn)生彎曲變形的構(gòu)件稱為受彎構(gòu)件。AB一、平面彎曲的基本概念F2F1 The member of which the deformation is mai

2、nly bending is generally called beam(梁梁).M工程實例 建筑工程中的各類梁、火車軸、水壓作用下的水建筑工程中的各類梁、火車軸、水壓作用下的水槽壁等。槽壁等。橋式吊梁橋式吊梁火車軸火車軸 平面彎曲：梁的軸線在變形后仍保持在同一平面平面彎曲：梁的軸線在變形后仍保持在同一平面(荷載作用面荷載作用面)內(nèi)，即梁的軸線成為一條平面曲線。內(nèi)，即梁的軸線成為一條平面曲線。 (a)ABF2F1 (c)對稱（平面）彎曲(Planar bending) 對稱平面對稱平面 F2F1 (b)2 梁的荷載和支座反力 一、梁的荷載 1 集中力：作用在微小局部上的橫向力；集中力：作用在微

3、小局部上的橫向力； 2 集中力偶：作用在通過梁軸線的平面（或與該面集中力偶：作用在通過梁軸線的平面（或與該面平行的平面）內(nèi)的力偶。平行的平面）內(nèi)的力偶。MeF3 分布荷載：分布荷載：沿梁長連續(xù)分布的橫向力沿梁長連續(xù)分布的橫向力。荷載集度：荷載集度：用用q(x)表示表示 分布荷載的大小分布荷載的大小 均布荷載均布荷載非均布荷載非均布荷載q(x)q(x)=C二、梁的支座及支座反力支座形式1 固定鉸約束固定鉸約束2 可動鉸約束可動鉸約束3 固定支座固定支座RFRyFRxFRyFRxFRM 計算簡圖 確定梁的確定梁的“計算簡圖計算簡圖” 包含：包含： 以梁的軸線經(jīng)代替實際的梁；以梁的軸線經(jīng)代替實際的梁

4、； 以簡化后的支座代替實際的支座；以簡化后的支座代替實際的支座； 實際支承實際支承理想支承理想支承 以簡化后的荷載代替實際的荷載。以簡化后的荷載代替實際的荷載。 三、梁的分類 按支座情況按支座情況 簡支梁：一端固定鉸，一端可動鉸簡支梁：一端固定鉸，一端可動鉸外伸梁：一端或兩端向外伸出的簡支梁外伸梁：一端或兩端向外伸出的簡支梁懸臂梁：一端固定支座，另一端自由懸臂梁：一端固定支座，另一端自由 按支座反力的求解方法 靜定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；靜定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；ABAMAFAzFAxFAyFAxFB 超靜定梁：僅用平衡方程不能求出全部未知反超靜定梁：僅用平衡方程不能求出

5、全部未知反力的梁。力的梁。FF 按梁的橫截面 等截面梁：橫截面沿梁的長度沒有變化；等截面梁：橫截面沿梁的長度沒有變化； 變截面梁：橫截面沿梁的長度有變化。變截面梁：橫截面沿梁的長度有變化。汽車鋼板彈簧汽車鋼板彈簧魚腹梁魚腹梁3 梁的內(nèi)力及其求法 一、求梁的內(nèi)力的方法截面法0yF0OMM內(nèi)力的形式及名稱剪力剪力彎矩彎矩N或或kNNm或或kNm11QFMFQFRAaAAFRAFRB laF1F20yF0OMRARA0MFaMFa內(nèi)力的求法BF1FRAF2FQ M?RAQQRA0FFFFMFQFRAaA內(nèi)力的正負號剪力剪力彎矩彎矩MM M M FQFQ順時針轉(zhuǎn)為正順時針轉(zhuǎn)為正逆時針轉(zhuǎn)為負逆時針轉(zhuǎn)為負

6、上壓下拉為正上壓下拉為正上拉下壓為負上拉下壓為負FQFQ 例例1 圖示簡支梁受兩個集中力作用，已知圖示簡支梁受兩個集中力作用，已知F1=12kN，F(xiàn)2=10kN，試計算指定截面試計算指定截面1-1、2-2的內(nèi)力的內(nèi)力。0BM0yFRR120ABFFFFR15kNAFR7kNBF解：(1) 求支座反力12R2.51.530AFFF BAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m(2)求1-1截面上的內(nèi)力 0yF0OM1R1110.509kN mAMFFM FRAAFQ1M11mF10.5mkN301Q1Q1RAFFFFBAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m (

7、3)求2-2截面上的內(nèi)力 0yF0OM1222R1.507m2k.0N5AFFMMFF2F1AM2FQ2FRARA12Q2Q207kNFFFFF RA12Q2FFFF1R2221.50.5AFMFFQ2RBFF BAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m 結(jié)論： 1 梁的任一橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面左梁的任一橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（側(cè)（或右側(cè)或右側(cè)）所有豎向力（包括斜向外力的豎向分力、）所有豎向力（包括斜向外力的豎向分力、約束反力）的代數(shù)和；且截面左邊向上（約束反力）的代數(shù)和；且截面左邊向上（右邊向下右邊向下）的外力使截面產(chǎn)生正號的剪力。的外力使截面產(chǎn)生

8、正號的剪力。 2 梁的任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面左梁的任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（側(cè)（或右側(cè)或右側(cè)）所有豎向力對該截面形心力矩的代數(shù)和）所有豎向力對該截面形心力矩的代數(shù)和（包括外力偶、約束反力偶）；且截面左邊順時針（包括外力偶、約束反力偶）；且截面左邊順時針（右邊逆時針右邊逆時針）的力矩使截面產(chǎn)生正號的彎矩。）的力矩使截面產(chǎn)生正號的彎矩。RA12Q2FFFF1R2221.50.5AFMFFF2F1M2FQ2FRAMFQ 例例2 試利用上述結(jié)論寫出圖示梁試利用上述結(jié)論寫出圖示梁1-1截面上的剪力和截面上的剪力和彎矩的表達式。彎矩的表達式。M RBFsin2 Fql1F2l

9、ceqleMfFRBbfFsin2eF 1qF1FRBlbcMeF2de11fMFQQF 例例3 求圖示簡支梁求圖示簡支梁1-1與與2-2截面的剪力和彎矩截面的剪力和彎矩。0BMR68 4.512 31.5AF R15kNAF0AMR68 1.512 34.5BF R29kNBFFRB解：(1)求支座反力FRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m(2)求求1-1截面的剪力截面的剪力FQ1、彎矩彎矩M1根據(jù)根據(jù)1-1截面截面左側(cè)左側(cè)的外力計算可得的外力計算可得：1M1MR1587kNAFFR22 1.526kN mAFF R37kNBqFR32.5426kN mBqF根

10、據(jù)根據(jù)1-1截面截面右側(cè)右側(cè)的外力計算可得的外力計算可得可見計算結(jié)果完全相同可見計算結(jié)果完全相同。Q1FQ1FFRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m (3) 求求2-2截面的剪力截面的剪力FQ2、彎矩彎矩M2 根據(jù)根據(jù)2-2截面右側(cè)的外力計算可得截面右側(cè)的外力計算可得：2MR1.511kNBqF R1.50.751.530kN mBqFQ2FFRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m4 內(nèi)力圖剪力圖和彎矩圖 為了形象地看到內(nèi)力的變化規(guī)律，通常將剪力、彎為了形象地看到內(nèi)力的變化規(guī)律，通常將剪力、彎矩沿梁長的變化情況用圖形表示出來

11、，這種表示剪力矩沿梁長的變化情況用圖形表示出來，這種表示剪力和彎矩變化規(guī)律的圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。和彎矩變化規(guī)律的圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。 xMM 函數(shù)圖形 具體作法是：具體作法是： 剪力方程：剪力方程： 彎矩方程：彎矩方程： xFFQQ 例例4 求作圖示受均布荷載作用的簡支梁的剪力圖和求作圖示受均布荷載作用的簡支梁的剪力圖和彎矩圖彎矩圖。 解：(1)求支座反力RR2ABqlFF QFx xMR2AlFqxqxR22AxqFxqxx lx(2)列出剪力方程和彎矩方程 取距左端為取距左端為x處的任一截面，此截面的剪力和彎矩處的任一截面，此截面的剪力和彎矩表達式分別為表達式分別為:xFR

12、AFRBBqlA Q2lFxqx xlxqxM2(3)畫剪力圖、彎矩圖，標出特征值FQ圖ql/2ql/2ql2/8M圖xFRAFRBBqlA 例例5 簡支梁受一集中力簡支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶和一集中力偶Me=ql2作作用，試作出其剪力圖和彎矩圖用，試作出其剪力圖和彎矩圖。 分析分析： 1-1、2-2截截面上的剪力面上的剪力 結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)梁中間受力較復(fù)雜時，剪力方程和彎當(dāng)梁中間受力較復(fù)雜時，剪力方程和彎矩方程不可能用一個統(tǒng)一的函數(shù)式來表達，必須分矩方程不可能用一個統(tǒng)一的函數(shù)式來表達，必須分段段 列出其表達式。列出其表達式。 分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷分段是以集中力

13、、集中力偶的作用位置及分布荷載的起點和終點為界載的起點和終點為界(分段點如何確定？分段點如何確定？) 1122（ ? ）3344BA(O)lCDF Mel/3l/3 解：(1)求支座反力R5AFqlR4BFql QR5AFxFql R5AM xFxql x (2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和彎矩方程 AC段FRAFRBBA(O)lCDF Mel/3l/3 CD段段 QFx xM QFx xMR4AFFql 2R334AFxFxlqlql xR4AFFql 2R344AeFxFxlMqlqlx DB段段 FRAFRBBA(O)lCDF Mel/3l/3ql5ql4253ql23ql243

14、ql Q544qlFxqlql qlxqlqlxqlxqlxM4443522(3)畫剪力圖、彎矩圖，標出特征值 FQ圖M圖圖R5AFqlR4BFql1122BA(O)CDFRAFRBlF Mel/3l/3 結(jié)論： 當(dāng)梁上荷載有變化時，剪力方程和彎矩方程當(dāng)梁上荷載有變化時，剪力方程和彎矩方程不可能用一個統(tǒng)一的函數(shù)式來表達，必須分段列出不可能用一個統(tǒng)一的函數(shù)式來表達，必須分段列出其表達式。分段是以其表達式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置集中力、集中力偶的作用位置及分布荷載的起點和終點及分布荷載的起點和終點為界。為界。 剪力圖和彎矩圖一般是連續(xù)的，且左右兩端的剪力圖和彎矩圖一般是連續(xù)的，且左右兩

15、端的剪力和彎矩剪力和彎矩為零為零（從零開始，到零結(jié)束從零開始，到零結(jié)束） 。在集。在集中力作用處剪力圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中中力作用處剪力圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力的大小，方向與集中力的方向相同；在有集中力力的大小，方向與集中力的方向相同；在有集中力偶作用的地方彎矩圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集偶作用的地方彎矩圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力偶的大小，方向為中力偶的大小，方向為“順下逆上順下逆上”。 5 彎矩、剪力、荷載集度之間的關(guān)系 一、彎矩、剪力、荷載集度之間的關(guān)系 QddM xFxx QddFxq xx 0 xq Q544qlFxqlql qlxqlqlxqlxqlxM4443

16、522BA(O)CDlF Mel/3l/30yF QQQdd0FxFxFxq xx QddFxq xx0OM Qdddd02xM xM xM xFxxq xx QddM xFxx 22ddM xq xx即：彎矩對即：彎矩對x的導(dǎo)數(shù)等于梁上相應(yīng)位置截面上的剪力。的導(dǎo)數(shù)等于梁上相應(yīng)位置截面上的剪力。 即：剪力對即：剪力對x的導(dǎo)數(shù)等于梁上相應(yīng)位置分布荷載的集度的導(dǎo)數(shù)等于梁上相應(yīng)位置分布荷載的集度 。 Bq(x)xdxlAq(x)dxFQ(x)+dFQ(x)FQ(x) M(x)+dM(x)M(x) 二、剪力圖、彎矩圖的規(guī)律q 0 0 0 0 0MM 剪力為零的截面或其左、右側(cè)剪力的正負號改變的截面 Q

17、0Fx 0dxxdM該截面的彎矩有極大值；該截面的彎矩有極大值；該截面的彎矩有極小值。該截面的彎矩有極小值。Q0Fx MQ0F M結(jié)論： “+”“-” “-”“+” 結(jié)論（規(guī)律）： (2)當(dāng)梁的支承情況當(dāng)梁的支承情況對稱對稱，荷載，荷載反對稱反對稱時，則彎矩時，則彎矩圖永為圖永為反對稱反對稱圖形，剪力圖永為圖形，剪力圖永為對稱對稱圖形。圖形。 (1)當(dāng)梁的支承情況當(dāng)梁的支承情況對稱對稱，荷載也，荷載也對稱對稱時，則彎矩時，則彎矩圖永為圖永為對稱對稱圖形，剪力圖永為圖形，剪力圖永為反對稱反對稱圖形；圖形；FQ圖M圖CBAq/2EIlABCEIlq/2q/2 例例7 圖示左端外伸梁，外伸端圖示左端

18、外伸梁，外伸端A作用一集中力偶作用一集中力偶Me=qa2，BA段所受荷載的分布集度為段所受荷載的分布集度為q，試利用微分試利用微分關(guān)系作梁的剪力圖、彎矩圖關(guān)系作梁的剪力圖、彎矩圖。0yF0AMRA76FqaRB116Fqa解：(1)求支座反力三、畫剪力圖、彎矩圖的簡便方法Bq3aAMeCaFRAFRB(2)作剪力圖(3)作彎矩圖aqqax6767maxMRB116FqaRA76Fqa2721211211611611611qaaaqaqax7/6qa11/6qa=121/72qa2FQ圖M圖MeMmaxBq3aAMeCaFRAFRB2m2m2mFRA=5kNFRB=4kNP=3kNM1=2kNm

19、M2=6kNmq=1kN/m2mBA+466683222FQ (kN)M(kNm) 作用梁的內(nèi)力圖作用梁的內(nèi)力圖例例8 試作出圖試作出圖(a)示簡支梁的剪力圖和彎矩圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。 A(O)Fl/2DEaa/2BlF/2F/2A(O)aa/2BlaqQFMqqaaaqa22/qa22/qaqaqaqa2qaqa3qa2qa22qa22qa22qaq2qaa2aaQFMqa5qaACBD6 疊加法作剪力圖和彎矩圖 Q21elaFlllxxMFq 222exMllxxM xqla xFl Q12eMllFxxaFlq 222elaaxFxMlxxMlqlx Q12eMllFxxaFlq

20、 2212elaaxFlxxMllxxMqBqACMeDlbaF 結(jié)論結(jié)論：q、F、Me共同作用共同作用時產(chǎn)生的內(nèi)力等于時產(chǎn)生的內(nèi)力等于q、F、Me分別分別單獨作用單獨作用時產(chǎn)生的內(nèi)力之時產(chǎn)生的內(nèi)力之和和。 因此，當(dāng)梁上有幾種（或幾個）荷載作用時，可以因此，當(dāng)梁上有幾種（或幾個）荷載作用時，可以先分別計算每種（或每個）荷載單獨作用時的梁的反先分別計算每種（或每個）荷載單獨作用時的梁的反力和內(nèi)力，然后將這些分別計算所得的結(jié)果代數(shù)相加力和內(nèi)力，然后將這些分別計算所得的結(jié)果代數(shù)相加得梁的反力和內(nèi)力。這種方法稱為得梁的反力和內(nèi)力。這種方法稱為疊加法。 將上面的剪力方程和彎矩方程寫成如下的統(tǒng)一將上面的剪

21、力方程和彎矩方程寫成如下的統(tǒng)一形式：形式： Q123eFxqFM eMFqxM321OOO12+OOO12+1 疊加原理成立的前提條件：疊加原理成立的前提條件：（1）小變形）小變形（2）材料滿足虎克定理（線性本構(gòu)關(guān)系）材料滿足虎克定理（線性本構(gòu)關(guān)系）當(dāng)變形為微小時，可采用變當(dāng)變形為微小時，可采用變形前尺寸進行計算。形前尺寸進行計算。1、疊加原理疊加原理：當(dāng)梁在各項：當(dāng)梁在各項荷載作用下某一橫截面上荷載作用下某一橫截面上的彎矩等于各荷載單獨作的彎矩等于各荷載單獨作用下同一橫截面上的彎矩用下同一橫截面上的彎矩的代數(shù)和。的代數(shù)和。2、區(qū)段疊加法作彎矩圖區(qū)段疊加法作彎矩圖： 設(shè)簡支梁同時承受跨間荷設(shè)簡

22、支梁同時承受跨間荷載載q與端部力矩與端部力矩MA、MB的作用的作用。其彎矩圖可由簡支梁受端部。其彎矩圖可由簡支梁受端部力矩作用下的直線彎矩圖與跨力矩作用下的直線彎矩圖與跨間荷載單獨作用下簡支梁彎矩間荷載單獨作用下簡支梁彎矩圖疊加得到。即：圖疊加得到。即：+MAMBM0+MAMBM0彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力 xMxMxM0BMAAqMBlB 注意注意：這里所說的彎矩疊加，是縱坐標的疊加這里所說的彎矩疊加，是縱坐標的疊加而不是指圖形的拚合。而不是指圖形的拚合。d圖中的縱坐標如同圖中的縱坐標如同M圖的縱圖的縱坐標一樣，也是垂直于桿軸線坐標一樣，也是垂直于桿軸線AB。（1）選定外力的不連續(xù)點）選定外力的不連續(xù)

23、點(如如集中力、集中力偶的作用點，集中力、集中力偶的作用點，分布力的起點和終點等分布力的起點和終點等)為控為控制截面，求出控制截面的彎矩制截面，求出控制截面的彎矩值。值。 （2）分段畫彎矩圖。當(dāng)控）分段畫彎矩圖。當(dāng)控制截面之間無荷載時，該段彎制截面之間無荷載時，該段彎矩圖是直線圖形。當(dāng)控制截面矩圖是直線圖形。當(dāng)控制截面之間有荷載時，用疊加法作該之間有荷載時，用疊加法作該段的彎矩圖。段的彎矩圖。 例七例七 作圖示簡支梁的彎矩圖作圖示簡支梁的彎矩圖。利用內(nèi)力圖的特性和彎矩圖利用內(nèi)力圖的特性和彎矩圖疊加法，將梁彎矩圖的一般疊加法，將梁彎矩圖的一般作法作法歸納如下歸納如下：彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力2FCl/2

24、ABFl/2l/22/FlM2/Fl2/Fl4/Fl作業(yè)作業(yè)： P114 習(xí)題習(xí)題5-1 5-2 5-3 5-6 5-7 5-8 (思考思考)5-9 5-11 5-121 q(x)=0 QFxC Q10Fx 結(jié)論結(jié)論: :彎矩圖為一水平直線彎矩圖為一水平直線 。FQM+lABMe Q20FxC 結(jié)論結(jié)論: :剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率的絕對值等于的絕對值等于FS一斜直線一斜直線 （）。（）。lFABFQFMFl- Q30FxClFABFQF-MFl+ 結(jié)論結(jié)論: :剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率的絕對值剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率的絕對值等于等于FS一斜直線一斜直線 （）。（）。 2 q(x)0 結(jié)論結(jié)論:剪力圖為斜率等于剪力圖為斜率等于q的的 一斜直線（）一斜直線（） ，彎矩，彎矩圖為拋物線（開口向下）。圖為拋物線（開口向下）。BqlAM圖FQ圖ql/2ql/2 3 q(x)0 結(jié)論結(jié)論:剪力圖為斜率等于剪力圖為斜率等于