Chapter1解析函數(shù)(1)

1、武新慧武新慧20142014年年2 2月月2424日日數(shù)學(xué)物理方法 姓名：武新慧姓名：武新慧 聯(lián)系方式：聯(lián)系方式： 手機(jī)：手機(jī)：1819075205818190752058 QQQQ： 357369396357369396 電子郵箱：電子郵箱： 一、自我介紹：一、自我介紹： 二、課程簡(jiǎn)介：專業(yè)基礎(chǔ)課二、課程簡(jiǎn)介：專業(yè)基礎(chǔ)課 二、課程簡(jiǎn)介：專業(yè)基礎(chǔ)課二、課程簡(jiǎn)介：專業(yè)基礎(chǔ)課1 1、特點(diǎn)：、特點(diǎn)：（1 1）重要：）重要：承前承前啟后啟后高等數(shù)學(xué)線性代數(shù)普通物理理論物理凝聚態(tài)物理應(yīng)用物理信號(hào)與系統(tǒng)電路原理電磁場(chǎng)與電磁波數(shù)學(xué)物理方法能靈活地應(yīng)用數(shù)能靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和技巧求學(xué)理論和技巧求解方程解方程對(duì)

2、背景知識(shí)對(duì)背景知識(shí)要求極高要求極高能用物理基本概念和規(guī)能用物理基本概念和規(guī)律建立正確的物理模型律建立正確的物理模型和描述方程和描述方程數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)物理物理（2 2）難學(xué)：）難學(xué)：2 2、正確的學(xué)習(xí)方法：、正確的學(xué)習(xí)方法：（1 1）認(rèn)真聽講，記好筆記；）認(rèn)真聽講，記好筆記；（4 4）多動(dòng)手動(dòng)腦，強(qiáng)化理解。）多動(dòng)手動(dòng)腦，強(qiáng)化理解。（3 3）勤學(xué)多問，獨(dú)立完成作業(yè)；）勤學(xué)多問，獨(dú)立完成作業(yè)；3 3、內(nèi)容：、內(nèi)容：7272學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)（2 2）及時(shí)復(fù)習(xí)，多讀參考書；）及時(shí)復(fù)習(xí)，多讀參考書；4 4、考核方式：平時(shí)、考核方式：平時(shí)30%+30%+閉卷考試閉卷考試70%70% 二、課程簡(jiǎn)介：專業(yè)基礎(chǔ)課二、課程簡(jiǎn)介：

3、專業(yè)基礎(chǔ)課數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)積分變換積分變換數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)與特殊函數(shù)解析函數(shù)解析函數(shù)復(fù)變函數(shù)積分復(fù)變函數(shù)積分復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)留數(shù)定理留數(shù)定理拉普拉斯變換拉普拉斯變換傅里葉變換傅里葉變換數(shù)學(xué)物理定解問題數(shù)學(xué)物理定解問題積分變換法積分變換法格林函數(shù)法格林函數(shù)法二階常微分方程級(jí)數(shù)解法二階常微分方程級(jí)數(shù)解法理論物理、空氣動(dòng)力學(xué)、理論物理、空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、彈性理論、天流體力學(xué)、彈性理論、天體物理等。體物理等。信號(hào)與系統(tǒng)、電路原理、信號(hào)與系統(tǒng)、電路原理、數(shù)字信號(hào)處理、數(shù)字圖像數(shù)字信號(hào)處理、數(shù)字圖像處理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)處理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理

4、論物理、凝聚理論物理、凝聚態(tài)物理、應(yīng)用物態(tài)物理、應(yīng)用物理、電磁場(chǎng)與電理、電磁場(chǎng)與電磁波的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)磁波的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)分離變數(shù)法分離變數(shù)法球函數(shù)球函數(shù)柱函數(shù)柱函數(shù)5 5、目標(biāo)：、目標(biāo)：（1 1）對(duì)）對(duì)常見問題常見問題建立起清晰的建立起清晰的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)物理物理圖像：圖像：方程及其求解方程及其求解方程建立方程建立賦予解物理意義賦予解物理意義波動(dòng)問題波動(dòng)問題熱傳導(dǎo)問題熱傳導(dǎo)問題靜電場(chǎng)問題靜電場(chǎng)問題如何建立方程？如何建立方程？如何求解方程？如何求解方程？如何賦予解物理意義？如何賦予解物理意義？（2 2）培養(yǎng)綜合分析問題的能力：）培養(yǎng)綜合分析問題的能力：經(jīng)常分析各種方法的異同，融會(huì)貫通知識(shí)。經(jīng)常分析各種方法的異同

5、，融會(huì)貫通知識(shí)。（3 3）加強(qiáng)計(jì)算能力的訓(xùn)練，強(qiáng)化對(duì)概念的理解。）加強(qiáng)計(jì)算能力的訓(xùn)練，強(qiáng)化對(duì)概念的理解。三、參考教材：三、參考教材：1 1 胡嗣柱，倪光炯，數(shù)學(xué)物理方法（第二版），高等教育出版社，胡嗣柱，倪光炯，數(shù)學(xué)物理方法（第二版），高等教育出版社，20022002年年2 2 郭敦仁，數(shù)學(xué)物理方法（第二版），人民教育出版社，郭敦仁，數(shù)學(xué)物理方法（第二版），人民教育出版社，19911991年年3 3 四川大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)（第四冊(cè)），人民教育出版社，四川大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)（第四冊(cè)），人民教育出版社，19791979年年4 4 吳崇試，數(shù)學(xué)物理方法，北京大學(xué)出版社，吳崇試，數(shù)學(xué)物理方法，北京

6、大學(xué)出版社，19991999年年5 5 彭芳麟，數(shù)學(xué)物理方程的彭芳麟，數(shù)學(xué)物理方程的MATLABMATLAB解法與可視化，清華大學(xué)出版社，解法與可視化，清華大學(xué)出版社，20042004年年6 6 姚端正，數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)指導(dǎo)，科學(xué)出版社，姚端正，數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)指導(dǎo)，科學(xué)出版社，20032003年年7 7 周紹森，數(shù)學(xué)物理方法解題指導(dǎo)，江西人民出版社，周紹森，數(shù)學(xué)物理方法解題指導(dǎo)，江西人民出版社，19841984年年第一篇：復(fù)變函數(shù)論第一篇：復(fù)變函數(shù)論 復(fù)變函數(shù)理論被人譽(yù)為19世紀(jì)最獨(dú)特的創(chuàng)造，這個(gè)新的數(shù)學(xué)分支統(tǒng)治了19世紀(jì)。幾乎像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了18世紀(jì)那樣，曾被稱為“19世紀(jì)的數(shù)學(xué)享

7、受世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受”，也曾被稱為抽象科學(xué)最和諧 的理論之一。 復(fù)數(shù)的發(fā)展復(fù)數(shù)的發(fā)展 早在早在16世紀(jì)，對(duì)一元二次、一元三次代數(shù)方程的求解時(shí)，世紀(jì)，對(duì)一元二次、一元三次代數(shù)方程的求解時(shí)，就引入了虛數(shù)的基本思想。就引入了虛數(shù)的基本思想。 但是對(duì)虛數(shù)的本質(zhì)還缺乏認(rèn)識(shí)。“虛數(shù)”這個(gè)名詞是由十七世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒（Descartes）正式取定的?！疤摂?shù)”代表的意思是“虛假的數(shù)虛假的數(shù)”，“實(shí)際不存在的數(shù)實(shí)際不存在的數(shù)”，后來(lái)還有人“論證”虛數(shù)應(yīng)該被排除在數(shù)的世界之外。由此給虛數(shù)披上了一層神秘的外衣. 復(fù)數(shù)概念的進(jìn)化史是數(shù)學(xué)史中最奇特的一個(gè)篇章，那就是數(shù)系的歷史發(fā)展完全沒有按照教科書所描述的邏輯連續(xù)性。

8、 人們沒有等待實(shí)數(shù)的邏輯基礎(chǔ)建立之后，才去嘗試新的征程。在數(shù)系擴(kuò)張的歷史過(guò)程中，往往許多中間地帶尚未得到完全認(rèn)識(shí)，而天才的直覺隨著勇敢者的步伐已經(jīng)到達(dá)了遙遠(yuǎn)的前哨陣地。 十八世紀(jì)末至十九世紀(jì)初，挪威測(cè)量學(xué)家威塞爾 (Wessel)、瑞士的工程師阿爾甘（Argand）以及德國(guó)的數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）等都對(duì)“虛數(shù)”(也稱為“復(fù)數(shù)”)給出了幾何解釋，并使復(fù)數(shù)得到了實(shí)際應(yīng)用. 特別地, 在十九世紀(jì)，有三位代表性人物，即柯西（Cauchy，17891857）、維爾斯特拉斯（Weierstrass，18151897）、黎曼（Rieman，18261866）?？挛骱途S爾斯特拉斯分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函

9、數(shù)，黎曼研究復(fù)變函數(shù)的映像性質(zhì)，經(jīng)過(guò)他們的不懈努力，終于建立了系統(tǒng)的復(fù)變函數(shù)論.復(fù)變函數(shù)論解除了實(shí)數(shù)領(lǐng)域中的若干禁區(qū)，比如：復(fù)變函數(shù)論解除了實(shí)數(shù)領(lǐng)域中的若干禁區(qū)，比如：負(fù)數(shù)不能開偶數(shù)次方；負(fù)數(shù)不能開偶數(shù)次方；負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；指數(shù)函數(shù)無(wú)周期性；指數(shù)函數(shù)無(wú)周期性；正弦、余弦函數(shù)的絕對(duì)值不能超過(guò)正弦、余弦函數(shù)的絕對(duì)值不能超過(guò)1； 實(shí)數(shù)領(lǐng)域?qū)崝?shù)領(lǐng)域復(fù)數(shù)領(lǐng)域復(fù)數(shù)領(lǐng)域 第一篇第一篇 復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)論1.1 1.1 復(fù)數(shù)的基本概念復(fù)數(shù)的基本概念一、復(fù)數(shù)：一、復(fù)數(shù)：ixiyze代數(shù)式cos +i sin三角式指數(shù)式0 xy,P x ycossiniei歐拉公式：21ii 為虛數(shù)單位， Reco

10、sxz實(shí)部 Real Part ： Imsinyz虛部 Imaginary Part ： 第一章第一章 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)22zxy模 module ：Arg(z)arctanarg( )2(0, 1, 2)arg( )0yxzkkz 輻角 argument angle ：輻角主值：，2復(fù)共軛：復(fù)共軛：*cossincossinizxiyiie注意：復(fù)數(shù)的無(wú)序性注意：復(fù)數(shù)的無(wú)序性 實(shí)數(shù)可以比較大小，是有序的，但復(fù)數(shù)不能比較大小，實(shí)數(shù)可以比較大小，是有序的，但復(fù)數(shù)不能比較大小，即復(fù)數(shù)是無(wú)序的即復(fù)數(shù)是無(wú)序的. . 盡管復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部均為實(shí)數(shù)，但盡管復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部均為實(shí)數(shù)，但是由于復(fù)數(shù)是實(shí)部和虛部

11、通過(guò)虛單位聯(lián)系起來(lái)，從而是是由于復(fù)數(shù)是實(shí)部和虛部通過(guò)虛單位聯(lián)系起來(lái)，從而是不能比較大小的不能比較大小的. .?：復(fù)數(shù)為什么不能比較大??？復(fù)數(shù)為什么不能比較大小？復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的推廣，若復(fù)數(shù)能比較大小，則它的大復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的推廣，若復(fù)數(shù)能比較大小，則它的大小順序關(guān)系必須小順序關(guān)系必須遵循實(shí)數(shù)順序關(guān)系遵循實(shí)數(shù)順序關(guān)系的有關(guān)性質(zhì)。的有關(guān)性質(zhì)。,0,0ab cacbcab cacbc在實(shí)數(shù)中，若，；若，.i0ii0, ii ii 0,-10,.我們用復(fù)數(shù) 和 來(lái)說(shuō)明.對(duì)于非零復(fù)數(shù)即0，若根據(jù)實(shí)數(shù)不等式的性質(zhì)，兩邊同乘以“大于零”的 ，得即矛盾i0,也矛盾。 由此可見，在復(fù)數(shù)域中不能夠定義大小關(guān)由此可見，在復(fù)

12、數(shù)域中不能夠定義大小關(guān)系，即系，即兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小. 二、復(fù)數(shù)運(yùn)算二、復(fù)數(shù)運(yùn)算 1212112212121221121212iiixiyxiyx xy yi x yx yzzeee 乘：1122121212211111222222222222121122iiix xy yi x yx yxiyxiyxiyxiyxiyxiyxyzzeee除：121212zzxxi yy加減： cossinnninnzenin乘方：11122122cossin0,1,1kiiknnnnnzeekkiknnn開方：103,ixyixy例1：設(shè)3求實(shí)數(shù) 與 。解：101010312+22ii3

13、10102cossin66i101062ie51032ie10552cossin33i512512 3 i3xyi512,511 3xy ?iiii思考：如何求 和2222=,=kkiiiei e答案： 例2：求1的n次方根，并討論根在復(fù)平面單位圓周上的位置。2 i110,1,2,1kknnknekn解：設(shè) 的 次方根為，根據(jù)開方公式有 ww2+1, 1.n 當(dāng)時(shí)，其兩根為 對(duì)應(yīng)于單位圓與實(shí)軸的兩個(gè)交點(diǎn).1nnn方根的幾何意義：這 個(gè)方根是以原點(diǎn)為中心， 為半徑的圓的內(nèi)接正 邊形的 個(gè)頂點(diǎn).例3：試證明下列恒等式并解釋其幾何意義.22222222zzz111zzz解：2212112221212

14、221212= ()() = ()() =()()zzxiyxiyxxi yyxxyy2212112221212221212= ()() = ()() =()()zzxiyxiyxxi yyxxyy22222222121211111222zzzzxyxyzz 1z2z12zz12zzyx幾何意義：平行四邊形對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和。 1.2 1.2 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)：以復(fù)數(shù)為自變量的函數(shù)。一、復(fù)變函數(shù)：以復(fù)數(shù)為自變量的函數(shù)。 ,wf zu x yiv x yzxiy二、區(qū)域：滿足一定條件的點(diǎn)集，用來(lái)描述復(fù)變函數(shù)的定義域。二、區(qū)域：滿足一定條件的點(diǎn)集，用來(lái)描述復(fù)變函數(shù)的定義域。

15、鄰域，內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，鄰域，內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，區(qū)域區(qū)域全由內(nèi)點(diǎn)組成全由內(nèi)點(diǎn)組成具有連通性具有連通性0z內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)外點(diǎn)邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)閉區(qū)域閉區(qū)域 單值函數(shù)單值函數(shù)（一個(gè)（一個(gè)z 一個(gè)一個(gè)w）指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：zx iyxi yeee e三角函數(shù)：三角函數(shù)：sin2cos2i zi zi zi zeezieez 雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)：sinh2cosh2zzzzeezeez 多值函數(shù)多值函數(shù)（一個(gè)（一個(gè)z 多個(gè)多個(gè)w）根式函數(shù)：根式函數(shù)：1122122cossin0,1,1kiiknnnnneekkiknnnz冪函數(shù)：冪函數(shù)：lnzze反三角函數(shù)：反三角函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)：2lnlnl

16、nln20, 1, 2,ikizeeikk L 1.3 1.3 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 00+-D,0zlimlimzzf zzf zwf zzzwf zf zfzz 對(duì)區(qū)域 內(nèi)的單值函數(shù)若極限存在，且與的方式無(wú)關(guān)，則稱函數(shù)在 點(diǎn)可導(dǎo)，記作： uvvf zyCRvx 、 可微u可導(dǎo)x滿足條件uy證明：證明： 0limzf zfzz （1）必要性：）必要性：0dy 0dx df zdzduidvdxidy00uvixdyxxvuiydxyy沿平行于 軸方向，即：沿平行于 軸方向，即： f z可導(dǎo)條件 fzdfduidvuv存在存在、 可微Q=-uvxyuvvuiiCRuvxxyyyx條件：

17、 （2）充分性：）充分性： f z條件可導(dǎo)uududxdyxyuvvvdvdxdyxy、可 微 , Quuvvdfduidvdxdyidxdyxyxy=-uvxyCRuvyx條件：Quvvudfdxdyidxdyxxxxuvuvidxiidyxxxxuvidxidyxx 0limzf zfzz uvidzxx df zdzuvixx fzf z存在，即可導(dǎo)例：試推導(dǎo)極坐標(biāo)系下例：試推導(dǎo)極坐標(biāo)系下C-R方程。方程。,( )( , )( , )izef zuiv 解：0000=0(, )(, )( , )( , )lim(, )( , )(, )( , )lim(, )( , )(, )( , )

18、lim()iiiiiizz edfuivuivdzeuuvvieeuuvvieeuvi 沿徑向趨于 時(shí)： -ie法一：法一：0-0=0( ,)( , )( ,)( , )lim1()iiiizz i edfuuvvidzi ei eviue 沿橫向趨于 時(shí)： 11uvuv -1()()iiuvviuiee11uvuv ，法二：從直角坐標(biāo)關(guān)系出發(fā)法二：從直角坐標(biāo)關(guān)系出發(fā)sincosyx=cossincossinuuxuyuuvvxyxyyx =cossin =cossinvvxvyvvuuxyxyyx (sincos )(cossin )uuuvvvxyyx 同理， ， 一、解析函數(shù)：在一區(qū)域內(nèi)

19、處處可導(dǎo)的函數(shù)。一、解析函數(shù)：在一區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)的函數(shù)。 f(z)為解析函數(shù)為解析函數(shù) （1）函數(shù)在某點(diǎn)解析，則必在該點(diǎn)可導(dǎo)。 （2）函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則不一定在該點(diǎn)解析。 （3）函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)與解析是不等價(jià)的，但是函數(shù)在某 區(qū)域上可導(dǎo)與解析是等價(jià)的。1.4 解析函數(shù)解析函數(shù)u和和v可微且滿足可微且滿足C-R條件。條件。 注意： 復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)解析復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)解析 某點(diǎn)可導(dǎo)某點(diǎn)可導(dǎo) 某點(diǎn)極限存在某點(diǎn)極限存在 某點(diǎn)連續(xù)某點(diǎn)連續(xù) 例例1：判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)？在何處解析？：判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)？在何處解析？ 1Re;2;3Rezf zzf zef zzz。 解：解： 1,0ux v1000uv

20、xxuvyyQuvxy 函數(shù)f z =Re z 處處不可導(dǎo)，處處不解析。 2cos,sinxxuey veycossinsincosxxxxuveyeyxxuveyeyyy Quvxyuvyx u、v可微且滿足C-R條件Q z函數(shù)f z =e 處處可導(dǎo)，處處解析。 23,uxvxy20uvxyxxuvxyyQ00uvxxyuvyyx 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，0 xy雖然u、v可微，C-R條件僅當(dāng)時(shí)滿足Q 函數(shù)f z =zRe z 僅在z=0處可導(dǎo)，在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。 cos z例2：f z =cos z 是解析函數(shù)嗎？f z =呢？z解： - f z = sinzQ f z 處處可導(dǎo)，故f z 為解析

21、函數(shù) 2-cos0zzzzQsinzf z =僅在處不存在 cos0zzzf z =在除外的區(qū)域上為解析函數(shù) 例例3：已知某解析函數(shù)的實(shí)部是：已知某解析函數(shù)的實(shí)部是：22,yxyxu 求該解析函數(shù)及其虛部。求該解析函數(shù)及其虛部。 分析：曲線積分法，湊全微分法，分析：曲線積分法，湊全微分法，不定積分法不定積分法uvxyCRuvyx 條件：直角坐標(biāo)22uvxxyuvyyx 22vxyvyx 對(duì)對(duì)y積分，將積分，將x視作參數(shù)：視作參數(shù)：2( )2( )vxdyxxyx 對(duì)對(duì)x求導(dǎo)：求導(dǎo)：2( )vyxx2vyx( )0 x ( )xC2vxyC 222( )(2)f zxyixyCziC 例例4：已

22、知某解析函數(shù)的實(shí)部是：已知某解析函數(shù)的實(shí)部是：22222,yxyxyxu 求該解析函數(shù)及其虛部。求該解析函數(shù)及其虛部。 分析：分析：uvxyCRuvyx 條件：直角坐標(biāo)11uvCRuv 條件：極坐標(biāo)dxddyd 0 xydd dyddx 解：解：222242cossincossincos2,xyu Q3cos212uv Q 22cos212,sin2vvg 331sin2sin222uvg Q 20:1,sin2ggCCvC 積分常數(shù) 22222,cos2sin211if zuivf ziCiCeiCz Q1、共軛調(diào)和函數(shù)：、共軛調(diào)和函數(shù)：二、解析函數(shù)的物理解釋：保守場(chǎng)的勢(shì)二、解析函數(shù)的物理解

23、釋：保守場(chǎng)的勢(shì) 為解析函數(shù)yxivyxuzf, 12uvxyCRuvyx 條件 12xy 12yx222222220,0,uuu x yxyvvv x yxy為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù)解析函數(shù)的實(shí)部和虛部互為共軛調(diào)和函數(shù)解析函數(shù)的實(shí)部和虛部互為共軛調(diào)和函數(shù)2、正交曲線族：、正交曲線族：0uvxyuvuvuvxxyyyx ，Q120,uvuvu x yCv x yC 和為相互正交的曲線族QQ靜電場(chǎng)的勢(shì)滿足拉普拉斯方程，且等勢(shì)面電場(chǎng)線可用解析函數(shù)的實(shí)部或虛部描述靜電場(chǎng)的等勢(shì)面和電場(chǎng)線uv1,u x yc2,v x ycijkxyz 令，稱為梯度矢量例5：研究電偶極子(Dipole)所產(chǎn)生的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度

24、。設(shè)在 (a,b)處有點(diǎn)電荷+q ,在 (-a,-b)處有點(diǎn)電荷-q ,則在電荷所在平面上任何一點(diǎn)的電勢(shì)為解：根據(jù)電勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)的微分關(guān)系，已知等勢(shì)線，可繪制出電場(chǎng)線。011,4qVrr2222960,19 10 ,2 10 ,1.5,1.54rxaybrxaybqab 其中， clear ; clf;q=2e-6;k=9e9;a=1.5;b=-1.5;x=-6:0.6:6;y=x;X,Y=meshgrid(x,y);rp=sqrt(X-a).2+(Y-b).2); rm=sqrt(X+a).2+(Y+b).2);V=q*k*(1./rp-1./rm); % 計(jì)算電勢(shì)Ex,Ey=gradient(-V); %計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度AE=sqrt(Ex.2+Ey.2);Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE; %場(chǎng)強(qiáng)歸一化cv=linspace(min(min(V),max(max(