-復變函數(shù)的積分(復變函數(shù))

1、數(shù)學學院數(shù)學學院作業(yè)：作業(yè)：P100:2;4;6;數(shù)學學院數(shù)學學院復 習1）定積分2）重積分3）第一類曲線積分4）第二類曲線積分1.各種積分的概念01( )dlim();nbkkakf xxfx 01( ,)dlim(,);nkkkkDf x yf 01( , )dlim(,);nkkkkCf x ysfs 01ddlim(,)(,).nkkkkkkkCP xQ yPxQy 數(shù)學學院數(shù)學學院定理 設平面單連域則下列四個命題等價 ,d,d0;CP x yxQ x yy 1. )()(ddBAyQxP2. 積分路徑無關；4. .dddyQxPu 2,RP QC2.積分與路徑無關).(),(, yx

2、xQyP3. 數(shù)學學院數(shù)學學院1.1 復變函數(shù)積分的概念定義3.1011,nnAzzzzB 11,2,kkzzkn 上任取 一點 (1,2, ),kkn 1(),nnkkkSfz 1kkkzzz 1,2,.kn oxy0Az nBz 1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ( )f z是C上的復變函數(shù). 01( )dlim().nkkCkf zzfz C是閉曲線，經常記作 ( )d .Cf zz 數(shù)學學院數(shù)學學院1.2 積分的存在條件與計算方法定理3.1 設C C是分段光滑(或可求長)的有向曲線 :( ),;( )C zz ttf z 在C C上連續(xù)，則 Cyvxudd dd .Civ xu

3、 y( )dCf zz ( )( )( )( ) du t x tv t y tt ( )( )( )( ) d .v t x tu t y tt ( ) ( )df z t z tt Cf z dz ( )( , )( , )f zu x yiv x y zxiy ddCv xu y Cyvxudd數(shù)學學院數(shù)學學院例例1 設設 C是復平面上以是復平面上以z0為起點為起點, z為終點的分段光滑為終點的分段光滑(或可求長或可求長)曲線，則曲線，則 01d.Czzz 例例2 計算計算其中其中C:|z|=1,方向為逆時針方向方向為逆時針方向.解解2() (dd )Cxiyxi y 2dCzz 22(

4、)d2dCxyxxy y 22()d2dCixyyxy x ( 22 )dDyyx (22 )dDixx 0. 數(shù)學學院數(shù)學學院例例3 計算積分計算積分 101d()nCzzz (n是整數(shù)是整數(shù)), 其中C C是圓周:01 zz 的正向. rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0, 0, 0,2nni重要結論：積分值與圓周的中心、半徑無關重要結論：積分值與圓周的中心、半徑無關.zxyor0z 解解0:,02 ,iC zze 101d()nCzzz 2(1)0dii niee 20dinie 數(shù)學學院數(shù)學學院1.3 復變函數(shù)積分的性質(1)( )d( )d ;CCf zzf zz ;d)(

5、d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf(4) 設設C1的終點是的終點是C2的起點的起點, C=C1+C2, 則則(k是復常數(shù));(2) ( )d( )dCCkf zzkf zz 12( )d( )d( )d ;CCCf zzf zzf zz(5) 設曲線設曲線C的長度為的長度為L, 函數(shù)函數(shù)f (z)在在C上滿足上滿足( )d( ) d.CCf zzf zsML( ),f zM 則則數(shù)學學院數(shù)學學院例4 計算積分 Re dCz z 與 d ,Cz z 其中 為 (1) 從原點到 的直線段； (2) 拋物線 上從原點到 的弧段； (3) 從原點沿x軸到1, 再從1到 的折線. xy

6、o0z 解解dddCCx zx xix y()(dd )Cxiyxi y ddddCCx xy yiy xx y重要問題：在什么條件下積分值與路線無關重要問題：在什么條件下積分值與路線無關? ?與路徑有關與路徑有關! !與路徑無關與路徑無關! !1i 2yx 1i C1i 數(shù)學學院數(shù)學學院數(shù)學學院數(shù)學學院定理3.23.2 (Cauchy積分定理積分定理) 設設f (z)在在簡單閉曲線簡單閉曲線 C上以上以以及由它所圍成的區(qū)域以及由它所圍成的區(qū)域D內處處內處處解析解析，則，則( )d0.Cf zz 2.1 柯西-古薩基本定理又叫柯西-古薩基本定理.定理定理3.3 f(z)如果在單連通域如果在單連

7、通域B內解析，則沿內解析，則沿B內任意一內任意一( )d0.Cf zz 定理定理3.4 f(z)如果在簡單閉曲線如果在簡單閉曲線C上連續(xù)，在其所圍的上連續(xù)，在其所圍的B( )d0.Cf zz 封閉曲線C C，有內解析，則D為單連通域數(shù)學學院數(shù)學學院定理3.5 解析函數(shù)f(z)f(z)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中曲線不經過f(z)f(z)的奇點.( )d( )dCLf zzf zz ABy xoC()z0zL2.2 閉路變形原理閉路變形原理ABCBAL 0f z dz 數(shù)學學院數(shù)學學院DC它們互不包含,定理3.6 設C是多連通區(qū)域D內一條簡單閉曲線,

8、1(1)( )d( )d ,knCCkf zzf zz 12,nC CC為邊界的閉區(qū)域含于D內. 12,nC C CC1C2C3C若f在D內解析，則(2)( )d0.f zz 11112nCCCC2.32.3復合閉路定理復合閉路定理在C 內部的n條簡單閉曲線,也互不相交,數(shù)學學院數(shù)學學院例6 計算積分 2121d .(1)zizz z 例例5解解| | 11d23zzz y xoC()z0z0y xoC()z0ii 解解2221(1)zzz z 211zzz 1| |22zi 數(shù)學學院數(shù)學學院例7 計算積分其中 為包含圓周221d ,zzzz 在內的任意分段光滑正向簡單閉曲線.1z 例8 計算積分 d ,zezz 其中 由正向圓周2z 和負向圓周1z 組成.例9 求積分其中 為含z0的 101d ,nzzz 任意分段光滑的簡單曲線, n為整數(shù). 數(shù)學學院數(shù)學學院例7 計算積分其中G為包含圓周221d ,zzzz 在內的任意分段光滑正向簡單閉曲線.1z 解解(1)(1)zzz z 111zz y xo ()z01|1z (1)d(1)zzzz z 11( +)d1zzz 22ii數(shù)學學院數(shù)學學院例8 計算積分