_格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性

1、3 格林公式曲線積分與路線的無關(guān)性 在計算定積分時, 牛頓-萊布尼茨公式反映了區(qū)間上的定積分與其端點上的原函數(shù)值之間的聯(lián)系; 本節(jié)中的格林公式則反映了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界上的第二型曲線積分之間的聯(lián)系.一、格林公式 二、曲線積分與路線的無關(guān)性 一、格林公式 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 D 的邊界的邊界 L 是由是由一一條條或幾條光滑曲線所或幾條光滑曲線所 組成組成. .邊界曲線的正方邊界曲線的正方向向規(guī)定為規(guī)定為: :當(dāng)人沿邊界當(dāng)人沿邊界行走行走時時, ,區(qū)域區(qū)域 D 總在它的左邊總在它的左邊, , 如圖如圖 21-12 所示所示. 與上述規(guī)定的方向相反的與上述規(guī)定的方向相反的方向稱方向稱2112 圖

2、圖LD.L為為負(fù)方向負(fù)方向, ,記為記為定理定理21. .11 若函數(shù)若函數(shù) ( ,),( ,)P x yQ x y在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D 上上 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則有則有ddd ,LDQPP xQ yxy (1)這里這里 L 為區(qū)域為區(qū)域 D 的邊界曲線的邊界曲線, 并取正方向并取正方向. 公式公式(1)稱為稱為格林公式格林公式. 證證 根據(jù)區(qū)域根據(jù)區(qū)域 D 的不同形狀的不同形狀, 這里這里對以下三種情形對以下三種情形 (i) 若若 D 既是既是 x 型又是型又是 y 型區(qū)域型區(qū)域( (圖圖21-13) ), 則可表為則可表為 作出證明作出證明: :12( )( ),xy

3、xaxb 又可表為又可表為 12( )( ),.yxyy 1( )yx 2( )yx 這里這里和和分分 CAE分別是曲線分別是曲線 和和 CBE的方程的方程. 于是于是 ACBAEB別為曲線別為曲線 和和 的方的方1( )xy 2( )xy 程程, 而而 和和 則則Ox1( )x AbEaBC2( )x yD圖圖 21-1321( )( )dddyyDQQyxxx 21( ),)d( ),)dQyyyQyyy( ,)d( ,)dCBECAEQ x yyQ x yy( ,)d( ,)dCBEEACQ x yyQ x yy( ,)d .LQ x yy同理又可證得同理又可證得 d( ,)d .LDP

4、P x yxy 將上述兩個結(jié)果相加即得將上述兩個結(jié)果相加即得ddd .LDQPP xQ yxy (ii) 若區(qū)域若區(qū)域 D 是由一條是由一條 按段光滑的閉曲線圍成按段光滑的閉曲線圍成,且可用幾段光滑曲線將且可用幾段光滑曲線將D 分成有限個既是分成有限個既是 x 型型 21 14圖圖 3L1D2L1L3D2D又是又是 y 型的子區(qū)域型的子區(qū)域 (如圖如圖21-14), 則則可逐塊按可逐塊按 (i) 得到得到 它們的格林公式它們的格林公式, 然后然后相加即可相加即可. 如圖如圖21-14 所示的區(qū)域所示的區(qū)域 D, 可將它分成三個既是可將它分成三個既是 x 型又是型又是 y 型的區(qū)域型的區(qū)域123

5、,.DDD于是于是 dDQPxy 123dddDDDQPQPQPxyxyxy 123ddddddLLLP xQ yP xQ yP xQ ydd .LP xQ y(iii) 若區(qū)域若區(qū)域 D 由幾條閉曲線由幾條閉曲線 所圍成所圍成, 如圖如圖21-15 所示所示. . 這這 把區(qū)域化為把區(qū)域化為 (ii) 的情形來處的情形來處 2115 圖圖1LD3L2LCABEFG時可適當(dāng)添加線段時可適當(dāng)添加線段 ,AB CE理理. 在圖在圖21-15中添加了中添加了,AB 后后, D 的邊界則由的邊界則由 23,AB L BA AFC CE L ECCEdDQPxy 23( dd )ABLBAAFCCELE

6、CCGAP xQ y231( dd )LLLP xQ ydd .LP xQ y注注1 并非任何單連通區(qū)域都可分解為有限多個既是并非任何單連通區(qū)域都可分解為有限多個既是 xy型又是型又是 型區(qū)域的并集型區(qū)域的并集, 例如由例如由 及及 構(gòu)成構(gòu)成. 由由(ii)知知 CGA31sin,(0,1;1;0;1yxxyxxx 所圍成的區(qū)域便是如此所圍成的區(qū)域便是如此. 注注2 為便于記憶為便于記憶, 格林公式格林公式 (1) 也可寫成下述形式也可寫成下述形式: ddd .LDxyPQP xQ y 注注3 應(yīng)用格林公式可以簡化某些曲線積分的計算應(yīng)用格林公式可以簡化某些曲線積分的計算. . 請看以下二例請看

7、以下二例: : 第一象限部分第一象限部分 (圖圖21-16). 解解 對半徑為對半徑為 r 的四分之一圓域的四分之一圓域 D, 應(yīng)用格林公式應(yīng)用格林公式: : ddLDx y ddd .OAABBOx yx yx y由于由于d0,d0,OABOx yx y因此因此 21dd.4ABDx yr 例例1 計算計算d ,ABx y其中曲線其中曲線 是半徑為是半徑為 r 的圓在的圓在 ABOx2116 圖圖BLADy例例2 計算計算22dd,Lx yy xIxy其中其中 L 為任一不包含原為任一不包含原 點的閉區(qū)域的邊界線點的閉區(qū)域的邊界線.解解 因為因為2222222,()xyxxxyxy 2222

8、222,()yyxyxyxy 它們在上述區(qū)域它們在上述區(qū)域 D 上連續(xù)且相等上連續(xù)且相等, 于是于是 2222d0,Dxyxyxyxy 所以由格林公式立即可得所以由格林公式立即可得0.I 在格林公式中在格林公式中, 令令,Py Qx 則得到一個計算則得到一個計算平平 面區(qū)域面區(qū)域 D 的面積的面積 SD 的公式的公式: : 1ddd .2DLDSx yy x (2)例例3 計算拋物線計算拋物線 2()(0)xyax a 與與 x 軸所圍圖軸所圍圖 形的面積形的面積 (圖圖21-17). 解解 曲線曲線AMO由函數(shù)由函數(shù) ,0, yaxx xaONA0,y 表示表示, 為直線為直線 于是于是 1

9、dd2DSx yy xx2117 圖圖O( ,0)A aNMy11dddd22ONAAMOx yy xx yy x1dd2AMOx yy x011() d22aaxaxxxax020111dd.2246aaaaxxx xa二、曲線積分與路線的無關(guān)性在第二十章在第二十章2 中計算第二型曲線積分的開始兩中計算第二型曲線積分的開始兩 個例子中個例子中, 讀者可能已經(jīng)看到讀者可能已經(jīng)看到, 在例在例1中中, 以以 A 為起點為起點 B 為終點的曲線積分為終點的曲線積分, 若所沿的路線不同若所沿的路線不同, 則其積分則其積分 值也不同值也不同, 但在例但在例2 中的曲線積分值只與起點和終中的曲線積分值只

10、與起點和終 點有關(guān)點有關(guān), 與路線的選取無關(guān)與路線的選取無關(guān). 本段將討論曲線積分在本段將討論曲線積分在 什么條件下什么條件下, 它的值與所沿路線的選取無關(guān)它的值與所沿路線的選取無關(guān). 首先介紹單連通區(qū)域的概念首先介紹單連通區(qū)域的概念. 若對于平面區(qū)域若對于平面區(qū)域 D 內(nèi)任一封閉曲線內(nèi)任一封閉曲線, 皆可不經(jīng)過皆可不經(jīng)過 D 以以外的點而連續(xù)收縮于屬于外的點而連續(xù)收縮于屬于 D 的某一點的某一點, 則稱此平則稱此平面面區(qū)域為區(qū)域為單連通區(qū)域單連通區(qū)域; 否則稱為否則稱為復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域.2118 圖圖1D4D3D2D1D2D3D4D在圖在圖 21-18 中中, 與與是單連通區(qū)域是單連通區(qū)

11、域, 而而與與 則則 是復(fù)連通區(qū)域是復(fù)連通區(qū)域. 單連通區(qū)域也可以這樣敘述單連通區(qū)域也可以這樣敘述: D 內(nèi)任內(nèi)任 一封閉曲線所圍成的區(qū)域只含有一封閉曲線所圍成的區(qū)域只含有 D 中的點中的點. 更通更通 俗地說俗地說, 單連通區(qū)域就是沒有單連通區(qū)域就是沒有“洞洞”的區(qū)域的區(qū)域, 復(fù)連通區(qū)復(fù)連通區(qū) 域則是有域則是有“洞洞”的區(qū)域的區(qū)域. 定理定理21. .12 設(shè)設(shè) D 是單連通閉區(qū)域是單連通閉區(qū)域. 若函數(shù)若函數(shù)( ,),P x y( ,)Q x y 在在 D 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), 且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則以則以 下四個條件兩兩等價下四個條件兩兩等價: (i) 沿沿 D 內(nèi)任一

12、按段光滑封閉曲線內(nèi)任一按段光滑封閉曲線 L, 有有dd0;LP xQ y(ii) 對對 D 中任一按段光滑曲線中任一按段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分 ddLP xQ y與路線無關(guān)與路線無關(guān), 只與只與 L 的起點及終點有關(guān)的起點及終點有關(guān);ddP xQ y ( ,)u x y(iii) 是是 D 內(nèi)某一函數(shù)內(nèi)某一函數(shù)的全微分的全微分, 即在即在 D 內(nèi)有內(nèi)有 ddd ;uP xQ y (iv) 在在 D 內(nèi)處處成立內(nèi)處處成立 .PQyx ARBASB證證 (i)(ii) 如圖如圖 21-19, 設(shè)設(shè) 與與 為聯(lián)結(jié)點為聯(lián)結(jié)點 A, B 的任意兩條按段光滑曲線的任意兩條按段光滑曲線, 由由 (

13、i) 可推得可推得 ddddARBASBP xQ yP xQ yddddARBBSAP xQ yP xQ ydd0,ARBSAP xQ y所以所以dddd .ARBASBP xQ yP xQ y2119 圖圖BARSOx2120 圖圖B0 xADCxxx 0yyyD 內(nèi)任意一點內(nèi)任意一點. 由由 (ii), 曲線積分曲線積分 ddABP xQ y與路線的選擇無關(guān)與路線的選擇無關(guān), 故當(dāng)故當(dāng)( , )B x y在在 D 內(nèi)變動時內(nèi)變動時, 其其 積分值是積分值是( , )B x y的函數(shù)的函數(shù), 即有即有 ( , )dd .ABu x yP xQ y取取x 充分小充分小, 使使 (,),C xx

14、 yD 則函數(shù)則函數(shù) ( ,)u x y對于對于 x 的的偏增量偏增量( (圖圖21-20) ) 00(,)A xy( , )B x y(ii)(iii) 設(shè)設(shè) 為為 D 內(nèi)某一定點內(nèi)某一定點, 為為 (,)( ,)xuu xx yu x y dddd .ACABP xQ yP xQ y因為在因為在 D 內(nèi)曲線積分與路線無關(guān)內(nèi)曲線積分與路線無關(guān), 所以所以 dddddd .ACABBCP xQ yP xQ yP xQ y因直線段因直線段 BC 平行于平行于 x 軸軸, 故故 d0y , 從而由積分從而由積分中中 值定理可得值定理可得 ddxBCuP xQ y( ,)d(,),xxxP t yt

15、P xx yx 01. ( ,)P x y其中其中 根據(jù)根據(jù) 在在 D 上連續(xù)上連續(xù), 于是有于是有 00limlim(,)( ,).xxxuuP xx yP x yxx 同理可證同理可證( ,).uQ x yy 所以證得所以證得 ddd .uP xQ y ( ,),u x y(iii)(iv) 設(shè)存在函數(shù)設(shè)存在函數(shù)使得使得ddd ,uP xQ y 因此因此 ( ,)( ,),( ,)( ,).xyP x yux yQ x yux y于是由于是由 一點處都有一點處都有 ( , )( , ).xyyxPQux yux yyx即即(iv)(i) 設(shè)設(shè) L 為為 D 內(nèi)任一按段光滑封閉曲線內(nèi)任一按段

16、光滑封閉曲線, 記記 L 所圍的區(qū)域為所圍的區(qū)域為. 由于由于 D 為單連通區(qū)域為單連通區(qū)域, 所以區(qū)域所以區(qū)域 含在含在 D 內(nèi)內(nèi). 應(yīng)用格林公式及在應(yīng)用格林公式及在 D 內(nèi)恒有內(nèi)恒有 PQyx 的的 條件條件, 就得到就得到 以及以及 P, Q 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 便可知道便可知道在在 D 內(nèi)每內(nèi)每 ( , ),( , ),xyyxPQux yux yyxddd0.LQPP xQ yxy 上面我們將四個條件循環(huán)推導(dǎo)了一遍上面我們將四個條件循環(huán)推導(dǎo)了一遍, 這就證明了這就證明了 它們是相互等價的它們是相互等價的.應(yīng)用定理應(yīng)用定理21.12 中的條件中的條件(iv)考察第二

17、十章考察第二十章2 中的中的 例例1 與例與例2. 在例在例1中中( ,),( ,).P x yxy Q x yyx 由于由于,1,PQPQxyxyx 故積分與路線有關(guān)故積分與路線有關(guān). 在例在例2 中中( ,),( ,),P x yy Q x yx 由于由于 1,PQyx所以積分與路線無關(guān)所以積分與路線無關(guān).例例4 計算計算 220.5d0.5d,0.5Lxyxxyyxy其中其中 到點到點 D(0,1) 的路徑的路徑(見圖見圖21-21). 分析分析 如果第二型曲線積分在某單連通區(qū)域內(nèi)滿足如果第二型曲線積分在某單連通區(qū)域內(nèi)滿足 與路徑無關(guān)的條件與路徑無關(guān)的條件, ,則可改變積分路徑則可改變積

18、分路徑, ,使易于計算使易于計算. . L 為沿著右半圓周為沿著右半圓周221(0)xyx由點由點 A(0, - -1) 解解 記記 220.5( , ),0.5xyP x yxy 2222 2(0.5)2 (0.5).(0.5)QPxyy xxyxy 220.5( , ).0.5xyQ x yxy 易知除去點易知除去點 E(0.5, 0) 外外, 處處滿足處處滿足 1L(0, 1)A (1, 1),B (1,1),C設(shè)設(shè) 為由點為由點 到點到點 再到點再到點 最最 圖圖 21-21xyO(0, 1)A(1, 1)B(1,1)C(0,1)D1L2LL E220.5d0.5d0.5Lxyxxyy

19、xy1( , )d( , )dLP x yxQ x yy( , )d( , )dABBCCDP x yxQ x yy1LL因為與因為與(0,1)D的折線段的折線段. 后到點后到點 可被包含在某可被包含在某 一不含奇點一不含奇點 E 的單連通區(qū)域內(nèi)的單連通區(qū)域內(nèi), 所以有所以有1102220110.50.51.5ddd(0.5)10.25(0.5)1xyxxyxxyx4arctan0.52arctan2. 注注1 定理定理 21.12 中對中對“單連通區(qū)域單連通區(qū)域”的要求是重要的要求是重要 何不包含原點的單連通區(qū)域何不包含原點的單連通區(qū)域, 已證得在這個區(qū)域內(nèi)已證得在這個區(qū)域內(nèi) 的任何封閉曲線

20、的任何封閉曲線 L 上上, 皆有皆有 22dd0.Lx yy xxy (3)的的. .如本例若取沿如本例若取沿 y 軸由點軸由點 A 到點到點 D 的路徑的路徑 , 雖雖 2L然算起來很簡單然算起來很簡單, ,但卻不可用但卻不可用. .因為任何包含因為任何包含 2LL與與的單連通區(qū)域必定含有奇點的單連通區(qū)域必定含有奇點 E . 又如又如本節(jié)例本節(jié)例 2, ,對任對任 2222( ,),( ,)yxP x yQ x yxyxy 只在剔除原點外的任何區(qū)域只在剔除原點外的任何區(qū)域 D 上有定義上有定義, 所以所以 L 必必 含在某個復(fù)連通區(qū)域內(nèi)含在某個復(fù)連通區(qū)域內(nèi). 這時它不滿足定理這時它不滿足定理

21、 21.12 的條件的條件, 因而就不能保證因而就不能保證(3)式成立式成立. 事實上事實上, 若取若取 L 為繞原點一周的圓為繞原點一周的圓 :cos,sin(02),L xaya 則有則有 倘若倘若 L 為繞原點一周的封閉曲線為繞原點一周的封閉曲線, 則函數(shù)則函數(shù) 注注2 若若 ( ,),( ,)P x yQ x y滿足定理滿足定理21. .12 的條件的條件, 則則 由上述證明可看到二元函數(shù)由上述證明可看到二元函數(shù) ( ,)( ,)d( ,)dABu x yP x yxQ x yy00(,)(,)( ,)d( ,)dB x yA xyP x yxQ x yy具有性質(zhì)具有性質(zhì)d ( ,)( ,)d( ,)d .u x yP x yxQ x yy 22222222200ddcossindd2 .Lx yy xaaxya 例例5 試應(yīng)用曲線積分求試應(yīng)用曲線積分求(2sin )d( cos )dxyxxyy 的原函數(shù)的原函數(shù). . 解解 這里這里( ,)2sin,( ,)cos,P x yxy Q x yxy 在整個平面上成立在整個平面上成立 cos.PQyyx由定理由定理21.12, 曲線積分曲線積分我們也稱我們也稱( ,)u x y為為ddP xQ y 的一個的一個原函數(shù)原函數(shù). (2sin )d( cos )dABxyxxyy為此為此, 取取(0,0),( , ),O