學分期中級數復習

1、正項級數. 1內容:數項級數的斂散性根值判別法比值, ).1 (同階或等價的無窮小與關鍵是找式用比較判別法的極限形nu ,).2(與參數的取值范圍有關級數的斂散性通常中含參數 , (3).nu再利用比較判別法估計，利用定積分性質對積分中含積分,).4(nununeupln ,).5(可變形級數比較考慮同數列極限定義等比較判別法的基本性質級數的定義通常可利用級數斂散性斂散性的無通項具體表達式討論某個一般級數, , )().6(變號級數 . 2 ,還是發(fā)散條件收斂判斷其為絕對收斂一般先討論絕對值級數).(C下列結論中正確的是; , , ).(11必絕對收斂則級數收斂若級數nnnnnnbabaA.1

2、1 ,) 1(11, ) 1( :11發(fā)散但收斂反例nnnnnnnn; )(, ).(111必條件收斂則都條件收斂若級數nnnnnnnbabaB. 0) 1() 1( ,) 1() 1(:111111nnnnnnnnnnnn但均條件收斂與反例;,)( ).(11212必發(fā)散則級數發(fā)散若級數nnnnnaaaC.,所以原級數發(fā)散發(fā)散因為加括弧后所成級數.,1000).(1122必發(fā)散則級數若nnnnaaaD. ,21000,21 :1212收斂有級數反例nnnnnnaaa._ )2( , 111收斂于則級數收斂于若級數nnnnnuuSu(2)111112)2( :nnnnnnnuuuu分析1112

3、nnnnuuuSuS)(2112uS 12 :uS 解答的斂散性。的斂散性。）（判別級數判別級數且且若若三、三、 11 ,lim , 0 11 nnnnnnbbbb解：解：考考慮慮其其部部分分和和)11()11()11(13221 nnnbbbbbbS1111 nbb11limbSnn 由條件知道由條件知道故原級數收斂。故原級數收斂。 122)11()1(nnnn四判斷下列級數的斂散性：四判斷下列級數的斂散性：)2(解：解：)11(2)1()11()1(2222 nnnnnn，單單調調遞遞減減且且以以零零為為極極限限顯顯然然)11(222 nn原級數收斂。原級數收斂。由萊布尼茲判別法知，由萊布

4、尼茲判別法知，11)11(2lim22 nnnn又又發(fā)散，發(fā)散，且且 11nn，因此條件收斂。，因此條件收斂。所以原級數不絕對收斂所以原級數不絕對收斂四判斷下列級數的斂散性：四判斷下列級數的斂散性：)3(nnn)3(ln1)3(lnsin 解：解： 1)3(lnsinnnn 收斂，收斂，而等比級數而等比級數n)3(ln1故原級數絕對收斂。故原級數絕對收斂。四判斷下列級數的斂散性：四判斷下列級數的斂散性：)4( 15)1(nnnnn解：解： 用根值判別法，用根值判別法，nnnnnnnnnnn1)(lim)1(lim55 0 1 所以原級數收斂。所以原級數收斂。四判斷下列級數的斂散性：四判斷下列級

5、數的斂散性：)5( 22)11()1(nnnn解：解：nnnnnnnn)11(lim)11()1(lim2 1)11(lim nnn11 e所所以以原原級級數數絕絕對對收收斂斂。四判斷下列級數的斂散性：四判斷下列級數的斂散性：)6()1(11ln aann解：解：nanealnlnln ananeelnlnlnln anln 時時，級級數數發(fā)發(fā)散散。時時，級級數數收收斂斂；所所以以，eaea 五五 若若 1nna是是收收斂斂的的正正項項級級數數，常常數數 21 k，證證明明正正項項級級數數 1nknna必必收收斂斂。 證明：證明： 由于由于knknknnanana212122 也也收收斂斂。所

6、所以以，級級數數 1nknna 都收斂，都收斂，和和由條件知道，由條件知道，knna21六討論交錯級數六討論交錯級數 2ln)1(nnnn )0( 的斂散性。的斂散性。 解：解： xxxfln)( 記記11ln)ln()( xxxxxxf)ln1(1xx , 0)( 1 xfex時時，所所以以，當當 時，單調遞減。時，單調遞減。，當，當從而從而 1lnennn . 0lnlim, 0lnlim nnxxnx即即顯然，顯然，原級數總收斂。原級數總收斂。，另一方面，對于級數另一方面，對于級數 2lnnnn , 10 當當發(fā)散發(fā)散級數級數 2lnnnn , 1 當當收斂收斂級數級數 2lnnnn 綜

7、上所述，綜上所述，, 10 當當條件收斂；條件收斂；級數級數 2lnnnn , 1 當當絕對收斂。絕對收斂。級數級數 2lnnnn . 1)/()(lim).2( ; ).1 ( :),(21 ),(21 , 11111nknkkknnnnnnnnnnnnnwvwvuuwuuvu都發(fā)散和級數證明設條件收斂若級數練習十九/八,2 ,2 ).1 ( :nnnnnnuwuuvu證,)(,11收斂或假定利用反證法nnnnwv,) )2()2(11收斂或則nnnnnnuwuv,1收斂即nnu,矛盾的斂散性判斷級數)0( )(1bbnanbnann例:nbnannnnnbnanu)(limlim :解)1

8、 (型)()1 (limbananbabnnbnba)(baeba級數收斂；時即當,1baeba., 1,1發(fā)散級數成為時當nba級數發(fā)散；時即當,1baeba. 11ln1 23的斂散性判斷級數nnnn例：, :時當解n)121ln(111ln133nnnnn3/432121nnn,2 3/4n又. 11ln1 23收斂所以級數nnnn. )1sin1(cos 1的斂散性判斷級數nnnn例:nnn1sin1cos :解332211! 31111! 211nonnnnon22131non, 31 , 131lim122收斂且nnnnnu.此級數是負項級數. , )(11收斂從而級數收斂nnnnuu. )!2(! 2! 1 1的斂散性判斷級數nnn例:,)!2(!)!2(! 2! 10 :nnvnnnnnu解, 10) 12)(22(1limlim 1nnnvvnnnn又, )!2