多級火箭建模

1、1 1 為什么要用三級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星為什么要用三級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，以說明為什么不能用一級火箭而必須用多構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，以說明為什么不能用一級火箭而必須用多級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級火箭系統(tǒng)？級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級火箭系統(tǒng)？ 1 1、為什么不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星、為什么不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星? ? （1 1）衛(wèi)星能在軌道上運(yùn)動的最低速度）衛(wèi)星能在軌道上運(yùn)動的最低速度 假設(shè)：假設(shè)：（i i） 衛(wèi)星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星衛(wèi)星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星 在此軌道上作勻速圓周運(yùn)動。在此軌道上作勻速圓周運(yùn)動。 （ii

2、ii）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi)）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi) 星的引力忽略不計。星的引力忽略不計。 分析：分析：根據(jù)牛頓第三定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為根據(jù)牛頓第三定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為: 2kmFr在地面有在地面有: :2kmmgR得得: : k=gR2 R R為地球半徑，為地球半徑，約為約為64006400公里公里 故引力故引力: : 2RFmgr假設(shè)(ii)dmm-dmvu-v假設(shè)(i)衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運(yùn)動的向心力衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運(yùn)動的向心力故又有故又有: :2mFr從而從而: :gRr設(shè)設(shè)g=9.81g=9.81米米/

3、/秒秒2 2，得，得: : 衛(wèi)星離地面高度衛(wèi)星離地面高度 ( (公里公里) )衛(wèi)星速度衛(wèi)星速度 ( (公里公里/ /秒秒) )100100200200400400600600800800100010007.807.807.697.697.587.587.477.477.377.377.867.86（2 2）火箭推進(jìn)力及速度的分析）火箭推進(jìn)力及速度的分析 假設(shè)：假設(shè)：火箭重力及空氣阻力均不計火箭重力及空氣阻力均不計 分析：分析：記火箭在時刻記火箭在時刻t的質(zhì)量和速度分別為的質(zhì)量和速度分別為m(t)和和(t) 2()( )()dmm ttm ttOtdt 有：有：記火箭噴出的氣體相對于火箭的速度為

4、記火箭噴出的氣體相對于火箭的速度為u（常數(shù)），（常數(shù)）， 由動量守恒定理：由動量守恒定理： 2( ) ( )() ()()( ( )dmm ttm tttttOttudt 0 0和和m m0 0一定的情況下，一定的情況下，火箭速度火箭速度(t)(t)由噴發(fā)由噴發(fā)速度速度u u及質(zhì)量比決定。及質(zhì)量比決定。 ddmmudtdt 故：故：由此解得：由此解得：00( )ln( )mtum t( (1) ) （2 2）火箭推進(jìn)力及速度的分析）火箭推進(jìn)力及速度的分析 現(xiàn)將火箭現(xiàn)將火箭衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分：衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分： （i）mP（有效負(fù)載，如衛(wèi)星）（有效負(fù)載，如衛(wèi)星）（ii）mF（燃料質(zhì)

5、量）（燃料質(zhì)量）（iii）mS（結(jié)構(gòu)質(zhì)量（結(jié)構(gòu)質(zhì)量如外殼、燃料容器及推進(jìn)器）。如外殼、燃料容器及推進(jìn)器）。 最終質(zhì)量為最終質(zhì)量為mP + mS ，初始速度為，初始速度為0，所以末速度：所以末速度：lnOPSmumm根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性能，能，u只能達(dá)到只能達(dá)到3公里公里/秒，即使秒，即使發(fā)射空殼火箭，其末速度也不發(fā)射空殼火箭，其末速度也不超過超過6.6公里公里/秒。秒。 目前根本不目前根本不可能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星可能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星火箭推進(jìn)力在加速整個火箭時，其火箭推進(jìn)力在加速整個火箭時，其實際效益越來越低。如果將結(jié)構(gòu)質(zhì)實際效益越來越低。如果將結(jié)構(gòu)質(zhì)量

6、在燃料燃燒過程中量在燃料燃燒過程中不斷減少，那不斷減少，那么末速度能達(dá)到要求嗎？么末速度能達(dá)到要求嗎？2 2、理想火箭模型、理想火箭模型 假設(shè)：假設(shè)： 記結(jié)構(gòu)質(zhì)量記結(jié)構(gòu)質(zhì)量mS在在mS + mF中占的比例為中占的比例為，假設(shè)火，假設(shè)火箭能隨時拋棄無用的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以箭能隨時拋棄無用的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以與與（1-）的比例同時減少。）的比例同時減少。 建模建模: : 由由 2( ) ( )() ()( )(1)( ( )()dmdmm ttm tttttttutOtdtdt 得到：得到：(1)dvdmmudtdt 解得：解得： 0( )(1)ln( )mtum t 理想火箭與一

7、級火箭最大的區(qū)別在于，當(dāng)火箭燃料理想火箭與一級火箭最大的區(qū)別在于，當(dāng)火箭燃料耗盡時，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為耗盡時，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為mP， 所以最終速度為：所以最終速度為： 0(1)lnPmum只要只要m0足夠大，我們可以足夠大，我們可以使衛(wèi)星達(dá)到我們希望它具使衛(wèi)星達(dá)到我們希望它具有的任意速度。有的任意速度?？紤]到空氣阻力和重力等因素，估考慮到空氣阻力和重力等因素，估計（按比例的粗略估計）發(fā)射衛(wèi)星計（按比例的粗略估計）發(fā)射衛(wèi)星要使要使=10.5公里公里/秒才行，則可推秒才行，則可推算出算出m0/ mp約為約為51,即發(fā)射一噸重的即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星大約需要衛(wèi)星大約需要

8、50噸重的理想火箭噸重的理想火箭 3 3、理想過程的實際逼近、理想過程的實際逼近多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng) 記火箭級數(shù)為記火箭級數(shù)為n，當(dāng)?shù)?，?dāng)?shù)趇級火箭的燃料燒盡時，第級火箭的燃料燒盡時，第i+1級火級火箭立即自動點火，并拋棄已經(jīng)無用的第箭立即自動點火，并拋棄已經(jīng)無用的第i級火箭。用級火箭。用mi表示第表示第i級火箭的質(zhì)量，級火箭的質(zhì)量，mP表示有效負(fù)載。表示有效負(fù)載。 先作如下假設(shè)：先作如下假設(shè)： （i）設(shè)各級火箭具有相同的）設(shè)各級火箭具有相同的 ,即即i級火箭中級火箭中mi為結(jié)構(gòu)為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，（質(zhì)量，（1-）mi為燃料質(zhì)量。為燃料質(zhì)量。 （ii）設(shè)燃燒級初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不

9、變，設(shè)燃燒級初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不變，并記比值為并記比值為k k。 考慮二級火箭：考慮二級火箭： 由由1式，當(dāng)?shù)谝患壔鸺紵陼r，其末速度為：式，當(dāng)?shù)谝患壔鸺紵陼r，其末速度為： 12212lnPPmmmummm當(dāng)?shù)诙壔鸺急M時，末速度為：當(dāng)?shù)诙壔鸺急M時，末速度為： 2122222122lnlnPPPPPPmmmmmmmuummmmmmm該假設(shè)有點強(qiáng)加該假設(shè)有點強(qiáng)加的味道，先權(quán)作的味道，先權(quán)作討論的方便吧討論的方便吧又由假設(shè)（又由假設(shè)（ii），），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，代入上式，仍設(shè)仍設(shè)u=3公里公里/秒，且為了計算方便，近似取秒，且為了計算方便，近似

10、取=0.1，則可，則可得：得： 1222122113ln0.10.111PPPPmmmmmmmmmm2113ln6ln0.110.11kkkk要使要使2=10.5公里公里/秒，則應(yīng)使秒，則應(yīng)使: 10.5615.750.11kek即即k11.2，而，而: 12149PPmmmm類似地，可以推算出三級火箭：類似地，可以推算出三級火箭： 1232333123233lnPPPPPPmmmmmmmmmummmmmmmmm在同樣假設(shè)下在同樣假設(shè)下: : 33113ln9ln0.110.11kkkk要使要使3=10.5公里公里/秒，則秒，則(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而，而（m1+

11、m2+ m3+ mP）/ mP77。 三級火箭比二級火箭三級火箭比二級火箭幾乎節(jié)省了一半幾乎節(jié)省了一半 是否三級火箭就是最省是否三級火箭就是最省呢？最簡單的方法就是呢？最簡單的方法就是對四級、五級等火箭進(jìn)對四級、五級等火箭進(jìn)行討論。行討論?？紤]考慮N N級火箭：級火箭： 記記n級火箭的總質(zhì)量（包含有效負(fù)載級火箭的總質(zhì)量（包含有效負(fù)載mP）為）為m0 ，在，在相同的假設(shè)下可以計算出相應(yīng)的相同的假設(shè)下可以計算出相應(yīng)的m0/ mP的值，見表的值，見表3-2n（級數(shù)）（級數(shù)）1 2 3 4 5 （理想）（理想） 火箭質(zhì)量（噸）火箭質(zhì)量（噸）/ 149 77 65 60 50表3-2由于工藝的復(fù)雜性及每

12、節(jié)火箭由于工藝的復(fù)雜性及每節(jié)火箭都需配備一個推進(jìn)器，所以使都需配備一個推進(jìn)器，所以使用四級或四級以上火箭是不合用四級或四級以上火箭是不合算的，三級火箭提供了一個最算的，三級火箭提供了一個最好的方案。好的方案。當(dāng)然若燃料的價錢很便宜當(dāng)然若燃料的價錢很便宜而推進(jìn)器的價錢很貴切且而推進(jìn)器的價錢很貴切且制作工藝非常復(fù)雜的話，制作工藝非常復(fù)雜的話，也可選擇二級火箭。也可選擇二級火箭。4 4、火箭結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計、火箭結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計 3 3中已經(jīng)能說過假設(shè)中已經(jīng)能說過假設(shè)(ii)(ii)有點強(qiáng)加的味道；現(xiàn)去掉該有點強(qiáng)加的味道；現(xiàn)去掉該假設(shè)假設(shè)，在各級火箭具有相同在各級火箭具有相同的粗糙假設(shè)下，來討論火箭的粗

13、糙假設(shè)下，來討論火箭結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計。結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計。 W1=m1+ mn+ mP W2=m2+ mn+ mPWn= mn+ mPWn+1= mP記記應(yīng)用（應(yīng)用（3.113.11）可求得末速度：）可求得末速度： 1212231lnnnnnWWWumWmWmW1121,nnnWWkkWW記記112121ln1111nnnnnWWWWuWWWW則則11211 21231nnnWWWWk kkWWWW又又問題化為，在問題化為，在n一定的條件下，求使一定的條件下，求使k1 k2kn最小最小 1ln(1)(1)nnkkukk解條件極值問題：解條件極值問題： 12121min. .(1)(1)nnnk kk

14、k kkstCkk或等價地求解無約束極值問題：或等價地求解無約束極值問題： 12121min(1)(1)nnnk kkk kkaCkk可以解出最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計應(yīng)滿足：可以解出最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計應(yīng)滿足： 12nkkk火箭結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計討論火箭結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計討論中我們得到與假設(shè)（中我們得到與假設(shè)（ii）相符的結(jié)果，這說明前相符的結(jié)果，這說明前面的討論都是有效的！面的討論都是有效的！2 2 空中防撞系統(tǒng)的模型設(shè)計空中防撞系統(tǒng)的模型設(shè)計 在約在約10,000米高空的某邊長米高空的某邊長160公里的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架公里的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機(jī)作水平飛行。區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計算機(jī)記錄其

15、飛機(jī)作水平飛行。區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計算機(jī)記錄其數(shù)據(jù)，以便進(jìn)行飛行管理。當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣時，數(shù)據(jù)，以便進(jìn)行飛行管理。當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣時，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計算并判斷是否會與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。如記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計算并判斷是否會與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。如果會碰撞，則應(yīng)計算如何調(diào)整各架（包括新進(jìn)入的）飛機(jī)飛行的方向角。果會碰撞，則應(yīng)計算如何調(diào)整各架（包括新進(jìn)入的）飛機(jī)飛行的方向角。以避免碰撞。現(xiàn)假定條件如下：以避免碰撞?，F(xiàn)假定條件如下： （1）不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于）不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于8公里公里 （2）飛

16、機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過）飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過30度度 （3）所有飛機(jī)飛行速度均為每小時）所有飛機(jī)飛行速度均為每小時800公里公里 （4）進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)區(qū)域邊緣時，與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的距離應(yīng)在）進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)區(qū)域邊緣時，與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的距離應(yīng)在 60 公里以上公里以上 （5）最多需考慮）最多需考慮6架飛機(jī)架飛機(jī) （6）不必考慮飛機(jī)離開此區(qū)域后的狀況。）不必考慮飛機(jī)離開此區(qū)域后的狀況。 請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學(xué)模型。列出計算步驟，對請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學(xué)模型。列出計算步驟，對以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計算（方向角誤差不超過以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計算（方向角誤差

17、不超過0.01度）。要求飛機(jī)飛行方向角度）。要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小。調(diào)整的幅度盡量小。 設(shè)該區(qū)域設(shè)該區(qū)域4 4個頂點的座標(biāo)為個頂點的座標(biāo)為（0,00,0）,(160,0),(160,160),(0,160),(160,0),(160,160),(0,160)。 記錄數(shù)據(jù)為：記錄數(shù)據(jù)為： 飛機(jī)編號飛機(jī)編號 橫座標(biāo)橫座標(biāo)X 縱座標(biāo)縱座標(biāo)Y 方向角（度）方向角（度） 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新進(jìn)入新進(jìn)入 0 0 52 注：方向角指飛行方向與注：方向角指飛行方向與X軸正向的夾角

18、。軸正向的夾角。 試根據(jù)實際應(yīng)用背景對你的模型進(jìn)行評價與推廣。試根據(jù)實際應(yīng)用背景對你的模型進(jìn)行評價與推廣。1 1 問題的實際背景問題的實際背景 空中交通管制問題中抽象出來的。空中交通管制是?？罩薪煌ü苤茊栴}中抽象出來的。空中交通管制是保證飛機(jī)飛行安全以及提高飛行效率的重要手段。設(shè)想在證飛機(jī)飛行安全以及提高飛行效率的重要手段。設(shè)想在一繁忙的航空港附近或主要航線的交叉地帶，經(jīng)常有不一繁忙的航空港附近或主要航線的交叉地帶，經(jīng)常有不同航向、不同高度層的飛機(jī)在飛行，如何調(diào)度它們，使同航向、不同高度層的飛機(jī)在飛行，如何調(diào)度它們，使它們在飛行過程中互不相碰，就構(gòu)成了交通管制系統(tǒng)要它們在飛行過程中互不相碰，就

19、構(gòu)成了交通管制系統(tǒng)要解決的主要問題。解決的主要問題。 目前航空界采取的一種方案是，把空間區(qū)域按高度分目前航空界采取的一種方案是，把空間區(qū)域按高度分層（例如以層（例如以600米間隔為一層），然后設(shè)定一水平坐標(biāo)米間隔為一層），然后設(shè)定一水平坐標(biāo)系，規(guī)定飛行方向角在系，規(guī)定飛行方向角在0度到度到180度之間的飛機(jī)在偶數(shù)度之間的飛機(jī)在偶數(shù)層飛行，方向角在層飛行，方向角在180度至度至360度之間的飛機(jī)在奇數(shù)層度之間的飛機(jī)在奇數(shù)層飛行。這樣使得在同一層內(nèi)飛機(jī)的航向基本一致，而航飛行。這樣使得在同一層內(nèi)飛機(jī)的航向基本一致，而航向相反的飛機(jī)在不同層次飛行。如果在同一層內(nèi)飛行的向相反的飛機(jī)在不同層次飛行。如果

20、在同一層內(nèi)飛行的飛機(jī)仍有航線沖突，則令其中一架上升（或下降），以飛機(jī)仍有航線沖突，則令其中一架上升（或下降），以避免碰撞。避免碰撞。2 2 合理的假設(shè)合理的假設(shè) （1 1）每每架飛機(jī)可視為區(qū)域內(nèi)的一個幾何點。因為飛機(jī)的架飛機(jī)可視為區(qū)域內(nèi)的一個幾何點。因為飛機(jī)的長度與區(qū)域的大小相比可以忽略不計；長度與區(qū)域的大小相比可以忽略不計； （2 2）忽略飛機(jī)調(diào)整方向的反應(yīng)時間，即認(rèn)為從控制中心）忽略飛機(jī)調(diào)整方向的反應(yīng)時間，即認(rèn)為從控制中心發(fā)出指令到飛機(jī)調(diào)整完畢是瞬時的；發(fā)出指令到飛機(jī)調(diào)整完畢是瞬時的； （3 3）暫不考慮飛機(jī)的轉(zhuǎn)彎半徑及由拐彎導(dǎo)致的時間的延）暫不考慮飛機(jī)的轉(zhuǎn)彎半徑及由拐彎導(dǎo)致的時間的延遲，即認(rèn)為飛機(jī)在區(qū)域內(nèi)做直線或折線飛行；遲，即認(rèn)為飛機(jī)在區(qū)域內(nèi)做直線或折線飛行； （4 4）區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)已滿足互不相撞的條件，即認(rèn)為從第）區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)已滿足互不相撞的條件，即認(rèn)為從第一架飛機(jī)開始，每當(dāng)有一架新飛機(jī)進(jìn)入到該區(qū)域，則作及時一架飛機(jī)開始，每當(dāng)有一架新飛機(jī)進(jìn)入到該區(qū)域，則作及時的調(diào)整，以保證區(qū)域內(nèi)飛機(jī)互不相撞；的調(diào)整，以保證區(qū)