2018年全國高考理科數(shù)學(xué)(全國一卷)試題及答案

1、2018年全國普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國一卷)理科數(shù)學(xué)一、選擇題：(本題有12小題，每小題5分，共60分。)I1、設(shè) z=；+ 2i,貝卜 z I =()liA.0 B.?C.1D.v22、已知集合 A=x|x 2-x-20，則 CRA =()A x|-1x2 B 、x|-1 x2C、x|x2 D 、x|x 23、某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖:則下面結(jié)論中不正確的是()A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村

2、建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半4、記&為等差數(shù)列an的前n項和，若3S3 = S2+ S,，a =2, WJa5=()A -12 B 、-10 C 、10 D 、125、設(shè)函數(shù)f (x) =x3+ (a-1 ) x2+ax .若f (x)為奇函數(shù)，則曲線y= f (x)在點(0, 0)處的切線方 程為()A.y= -2x B.y= -x C.y=2x D.y=x6、在？ ABC中,AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則 常二()A 3- - 17.4 AB 4 ACB.1 - - 3一4 AB 4 ACC.3 一 + 1 一4 A

3、B 4 ACD.1 一 +4 AB 4 AC7、某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如右圖。圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為 A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B,則在此圓柱側(cè)面上，從 M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A. 2 yA7B. 2 V5C. 3D. 22E. 設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點(-2,0)且斜率為&的直線與C父于M N兩點，則就 FN =()9.已知函數(shù)f (x)=爐. x Org (x) =f (x) +x+a,若g (x)存在2個零點，則a的取值范圍是A.5B.6C.7D.8()A. -1, 0) B. 0, +8)C. -1, +oo)D

4、. 1, +oo)10 .下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BG直角邊AB, AC. 4ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I ,黑色部分記為H,其余部分記為田。在整個圖形中隨機(jī)取一點，此點取自I , H,m的概率分別記為口，p2, p3,則()A. p 1 = p2B. p 1=p3C. p 2=p3D. p 1=p2+p311 .已知雙曲線C:三-y 2=1, O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交 點分別為M N.若OMW;直角三角形，則I MNI =()A. 3B.3C.D.412 .已知正方體的

5、棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，則a截此正方體所得截面面 積的最大值為()A.B, 一 C. D.:二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。了 - 2 W 013 .若x, y滿足約束條件”7+1之0則z=3x+2y的最大值為.yo14 .記S為數(shù)列an的前n項和.若$ = 2an+1,則1=15 .從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有 種.(用數(shù)字填寫答案)16 .已知函數(shù)f (x) =2sinx+sin2x ,貝U f (x)的最小值是.三.解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721題為必考題，

6、每個試 題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。17 . (12 分)在平面四邊形 ABCDfr, /AD90 , / A=45 , AB=2, BD=5.(1)求 cos/ADB(2)若 DC = z& ,求 BC18 . （12 分）如圖，四邊形ABCM正方形，E, F分別為AR BC的中點，以DF為折痕把？DFCT起，使點C到達(dá)點P的位置，且PF BF .(1)證明：平面PEFL平面ABFD(2)求DP與平面ABF所成角的正弦值.19 . (12 分)?設(shè)橢圓C:行+y 2=1的右焦點為F,過F的直線l與C交于A, B兩點，點M的坐標(biāo)為(2,

7、0)(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：/ OMA=/ OMB.20、(12 分)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品，檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件產(chǎn)品作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品做檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為P (0P1的解集；(2)若xC (0, 1)時不等式f (x) x成立，求a的取值范圍.絕密啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題參考答案、選擇題2.3.4.6. A7. B8.9.10.12. A二、填空題13. 614.631

8、5.1616.3. 32三、解答題17.解:(1)在 AABD 中,由正弦定理得sin ADB由題設(shè)知，_A_sin 45sin2，所以 sin ADB ADB5由題設(shè)知，ADB所以cos ADB12 揚(yáng)255（2）由題設(shè)及（1）知,cos BDCsinADB,25在ABCD中,由余弦定理得所以18.解:(1)BC2BD2DC22 BD25 8DC5cosBDC25.BC 5.由已知可得,BFBFEFBF 平面又BF 平面ABFD ,所以平面PEF平面ABFD .(2)作PH EF ,垂足為H .由（1）得,以H為坐標(biāo)原點,uuuHF的方向為y軸正方向,由（1）可得，DEPE.又 DP 2 ,

9、 DE可得PHEH 32則 H (0,0,0) , P(0,0,), 2D(31, 2,0)，PEF .PH 平面 ABFD .uuu| BF |為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H xyz.uurDP所以PE(1,3,S2 2有.又 PF 1 , EF 2 ,故 PE PF .uurHP (0,0,立）為平面ABFD的法向量. 2uuu urn3_設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則sin 11Hp DPU |之烏.|HP|DP| 34所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為 .19.解：(1)由已知得F(1,0), l的方程為x 1.由已知可得，點 A的坐標(biāo)為(142)或(1三2).，2，

10、2所以AM的方程為y 迎x點或y巫x品. 22(2)當(dāng)l與x軸重合時，OMA OMB 0 .OMB .當(dāng)l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以 OMA當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為y k(x1)(k0) , A(x1,y1)B(X2, y2)，則 X1 V2 , X2直線MA,MB的斜率之和為kMA kMBy1X1 2y2X22由y1k, V2kx2 k 得2 kxix2 3k(x1 kMIB(X12)(x2X2) 4k-2)所以,k(xXi21)代入 2(2k24k2y2 11)x2X2 2 , X1X22k 12 _ 2_4kx 2k 22k2 20.貝 U 2 kxi x

11、23k(Xix2) 4k2k2 1 .3 34k3 4k 12k32 k238k3 4k10.從而kMA綜上，kMBOMA0 ,故 MAOMB .MB的傾斜角互補(bǔ).所以O(shè)MAOMB .20.解：(1) 20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)_ 218217_ 2f (p) C202 p(1 p) 18p (1 p) 2c20P(122C20 P (117/.p) (118 一p).因此10p).令 f (p)0,得 p 0.1.當(dāng) p (0,0.1)時，f (p) 0;當(dāng) p (0.1,1)時，f (p)0 .所以f(p)的最大值點為p00.1.(2)由(1)知，p 0.1.(i)令 Y

12、表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y: B(180,0.1) , X 20 2 25Y ,即X 40 25Y .所以 EX E(40 25Y) 40 25EY 490.(ii)如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費(fèi)為400元.由于EX 400 ,故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.21 .解:(1)f (x)的定義域為(0,)，f(x)/2x ax 1(i)a 2 ,則f (x) 0 ,當(dāng)且僅當(dāng)a2.xf (x) 0,所以f (x)在(0,)單調(diào)遞減.(ii)a 2,令 f (x) 0 得，x(0,24 a a 4-)U(-)時,f(x) 0(a a 42f (x)a0.所以

13、f (x)在(0,-) 2(a-a一4,)單調(diào)遞減，在2(a a 42由由于f (x)的兩個極值點x , x2滿足x2ax0,所以XX2 1x2 ,則x2 1 .由于f(X1) f(X2)X1 X2ln x1ln x2aIn x1In x2kx2x2aX1X221n x2al X2X2所以 f(X1) f(x2)X1 X22等價于.1x2x221nx20.設(shè)函數(shù)g(x)21n x ,由(1)知,g(x)在(0,)單調(diào)遞減，又g(1) 0 ,從而當(dāng)x (1,)時，g(x) 0 .所以-X2X221n x2即 f (X1)Xix222.解：(1)cossin(x1)2得C2的直角坐標(biāo)方程為2y 4

14、.(2)1)知C2是圓心為A( 1,0),半徑為2的圓.由題設(shè)知,G是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為11 , y軸左邊的射線為12.由于aaa4)單調(diào)遞增.2(1)知，f(x)存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng)12與C2有兩個公共點，或12與B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于 11與C2只有一個公共點且C2只有一個公共點且11與C2有兩個公共點.一 4故k -或k 0.經(jīng)檢驗，當(dāng)3 |k 21當(dāng)11與C2只有一個公共點時，A到11所在直線的距離為 2 ,所以1 . 2 1 2 ,k 1k 0時，11與C2沒有公共點；當(dāng)k 4時，11與C2只有一個公共點，12與C2有兩個公共點.3當(dāng)12與C2只有一個公共點時，A到12所在直線的距離為|k 212,所以k2 14 一一一k .經(jīng)檢驗，當(dāng)k 03時，11與C2沒有公共點；當(dāng)k4時，12與C2沒有公共點.3綜上，所求C1的方程為