材料科學導論-第一章晶體學基礎3

1、 1.6 晶面指數及晶面間距晶面指數及晶面間距現在廣泛使用的用來表示晶面指數的密勒指數是由現在廣泛使用的用來表示晶面指數的密勒指數是由英國晶體學家英國晶體學家W.H.MillerW.H.Miller于于19391939年提出的。年提出的。 1 1、確定確定晶面指數晶面指數的具體步驟如下：的具體步驟如下：1 1）以各晶軸點陣常數為度量單位）以各晶軸點陣常數為度量單位, ,求出晶面與三晶軸的截距求出晶面與三晶軸的截距m,n,pm,n,p；2 2）取上述截距的倒數）取上述截距的倒數1/m,1/n,1/p1/m,1/n,1/p；3 3）將以上三數值簡為比值相同的三）將以上三數值簡為比值相同的三個最小簡

2、單整數個最小簡單整數, ,即即其中其中e e為為m,n,pm,n,p三數的最小公倍數三數的最小公倍數,h,k,l,h,k,l為簡單整數；為簡單整數；4.4.將所得指數括以圓括號將所得指數括以圓括號, (hkl, (hkl) )即為即為密勒指數密勒指數。111:hklhklmnpeeexyz1 1）如果晶面通過原點）如果晶面通過原點, ,可將坐標適當平移可將坐標適當平移, ,再求截距。再求截距。晶面在晶軸上的相對截距系數越大晶面在晶軸上的相對截距系數越大, ,則在晶面指數中與該晶則在晶面指數中與該晶軸相應的指數越小。軸相應的指數越小。2 2）如果晶面平行于晶軸）如果晶面平行于晶軸, ,則晶面指數

3、為。則晶面指數為。3)3)如果晶面與某一晶軸的負端相交如果晶面與某一晶軸的負端相交, ,即在某晶軸的晶面指數即在某晶軸的晶面指數上方加一橫線。如上方加一橫線。如 表示該晶面與表示該晶面與x x軸的截距為負值。軸的截距為負值。4)4)如果晶面相互平行如果晶面相互平行, ,其指數相同其指數相同, ,如如(hkl(hkl) )與與 代表相代表相同的晶面。同的晶面。5 5）等效晶面族：）等效晶面族： 通常用通常用hklhkl 表示對稱性聯系的一組晶面表示對稱性聯系的一組晶面, ,它們稱為等效晶面族。例如它們稱為等效晶面族。例如, ,)( klh110: (110), (110), (110), (11

4、0), (101), (101), (101), (101), (011), (011), (011), (011)2 2、幾點說明、幾點說明)(lkh晶面晶面(hkl(hkl) )中相鄰的兩個晶面之間的垂直距離中相鄰的兩個晶面之間的垂直距離( (晶面間距晶面間距) )用用d d表示表示, ,這個這個d d值是表示由值是表示由(hkl(hkl) )規(guī)定的平面族中相鄰兩個平面規(guī)定的平面族中相鄰兩個平面之間的垂直距離。當點陣常數之間的垂直距離。當點陣常數a a、b b、c c、已知時已知時, , 即可用下列公式算出：即可用下列公式算出： 22 2222 222222sinsinsindV h b

5、ck a cl a b22(coscoscos )hkabc22(coscoscos )kla bc1222(coscoscos)hlab c12222(1 coscoscos2coscoscos )Vabc3 3、晶面間距、晶面間距單斜晶系：dsin(h2/a2k2sin2/b2l2/c22hlcos/ac)-1/2正交晶系：dh2/a2k2/b2l2/c2-1/2四方晶系：d(h2k2)/a2l2/c2-1/2六方晶系：d4(h2hkk2)/3a2l2/c2-1/2立方晶系：222hkladhkl 1.6 晶面指數及晶面間距晶面指數及晶面間距范例范例:abcm/lm/km/h畫出晶面（10

6、0），（110），（111），（201），（211），（321）abc（100）畫出晶面（100），（110），（111），（201），（211），（321）abc畫出晶面（100），（110），（111），（201），（211），（321）abc畫出晶面（100），（110），（111），（201），（211），（321）abc畫出晶面（100），（110），（111），（201），（211），（321）abc畫出晶面（100），（110），（111），（201），（211），（321）abc（200）、（333）等是否存在？具有公因子的晶面不存在 1.7 晶向指數晶向指數1、確定晶向指數的

7、步驟如下：、確定晶向指數的步驟如下： 過原點作一平行于該晶向的直線；過原點作一平行于該晶向的直線； 求出該直線上任一點的坐標求出該直線上任一點的坐標(以以a,b,c為單位為單位)； 把這三個坐標值之比化為最小整數比把這三個坐標值之比化為最小整數比,如如u:v:w; 將所得的指數括以方括號將所得的指數括以方括號u v w。 點陣中穿過若干結點的直線方向稱為晶向，晶向指數用記號u v w表示。2、晶向指數的說明、晶向指數的說明1 1）平行于）平行于x x軸的晶向指數為軸的晶向指數為100100 平行于平行于y y軸的晶向指數為軸的晶向指數為010010 平行于平行于z z軸的晶向指數為軸的晶向指數

8、為001001 2 2）某一指數為負值時，在該指數上加一橫線）某一指數為負值時，在該指數上加一橫線u v wu v w 3)3)相互平行的晶向具有相同的指數，相互平行的晶向具有相同的指數，但但100100和和100100是一條線上的兩個指向相反的方向，不能同等看待是一條線上的兩個指向相反的方向，不能同等看待4 4）uvw 表示由對稱性聯系的一系列等同晶向，組成晶相族表示由對稱性聯系的一系列等同晶向，組成晶相族指數看特征，正負看走向指數看特征，正負看走向面心立方晶胞中的一些晶向及其指數面心立方晶胞中的一些晶向及其指數立方晶系一些重要的晶向指數立方晶系一些重要的晶向指數求求EFOEOHODOGOC

9、OBOA立方晶系：立方晶系：100,010,001等屬于等屬于晶向族晶向族其他晶系（如正交晶系）：其他晶系（如正交晶系）：100,010,001不是等同晶向不是等同晶向3、晶帶、晶帶 在晶體中如果許多晶面同時平行于一個軸向在晶體中如果許多晶面同時平行于一個軸向, ,前前者總稱為一個者總稱為一個晶帶晶帶, ,后者為后者為晶帶軸晶帶軸。 如立方晶體中如立方晶體中(100),(010),(110),(210),(100),(010),(110),(210),和和(120)(120)等晶面同時和等晶面同時和001001晶向平行，因此這些晶面構成了晶向平行，因此這些晶面構成了一個以一個以001001為晶

10、帶軸的晶帶。為晶帶軸的晶帶。 晶帶中的每一個晶面稱為晶帶中的每一個晶面稱為晶帶面晶帶面。用晶帶軸的晶。用晶帶軸的晶向指數代表該晶帶在空間的位置，稱為晶帶符號。向指數代表該晶帶在空間的位置，稱為晶帶符號。4、晶帶定律、晶帶定律晶帶軸晶帶軸uvwuvw與該晶帶的晶面與該晶帶的晶面(hkl)(hkl)之間存在之間存在以下關系（即以下關系（即某晶面屬于某晶帶的條件）：某晶面屬于某晶帶的條件）：huhukvkvlwlw0 0；晶帶軸方向指數可由該晶帶中兩組已知不平行的晶晶帶軸方向指數可由該晶帶中兩組已知不平行的晶面指數定出面指數定出: :（h1 k1 l1h1 k1 l1），（），（h2 k2 L2)h

11、2 k2 L2)u=k1l2-k2l1; v=l1h2-l2h1;w=h1k2-h2k1u=k1l2-k2l1; v=l1h2-l2h1;w=h1k2-h2k1同屬于兩個晶帶的晶面指數同屬于兩個晶帶的晶面指數, ,可由這兩個晶帶軸指可由這兩個晶帶軸指數定出數定出:u1 v1 w1,u2 v2 w2:u1 v1 w1,u2 v2 w2h=v1w2-v2w1; k=w1u2-w2u1; l=u1v2-u2v1h=v1w2-v2w1; k=w1u2-w2u1; l=u1v2-u2v1 1.8 六方晶系晶面指數和晶向指數六方晶系晶面指數和晶向指數六方晶系的晶面指數和晶向指數可以用兩種指數來表示：六方晶

12、系的晶面指數和晶向指數可以用兩種指數來表示：1、密氏指數密氏指數2、密布氏密布氏(Miller-Bravais）指數）指數密氏指數采用三軸坐標系密氏指數采用三軸坐標系(a1,a2,c)，晶面指數和晶向指數的，晶面指數和晶向指數的求法與以前求法與以前相似相似密布氏指數采用四軸坐標系密布氏指數采用四軸坐標系(a1, a2, a3, c),其中，其中，a1, a2, a3軸在同軸在同一平面上一平面上,軸間夾角均為軸間夾角均為120 , 且都與且都與c軸垂直。軸垂直。六方晶系指數六方晶系指數六方晶系的晶向指數和六方晶系的晶向指數和晶面指數同樣可以應用晶面指數同樣可以應用上述方法標定，這時取上述方法標定

13、，這時取a1，a2，c為晶軸，而為晶軸，而a1軸與軸與a2軸的夾角為軸的夾角為120度，度，c軸與軸與a1，a2軸相垂直。軸相垂直。但這種方法標定的晶面但這種方法標定的晶面指數和晶向指數，不能指數和晶向指數，不能顯示六方晶系的對稱性，顯示六方晶系的對稱性，同類型同類型 晶面和晶向，其晶面和晶向，其指數卻不相雷同，往往指數卻不相雷同，往往看不出他們的等同關系?？床怀鏊麄兊牡韧P系。3、六方晶系晶面指數標定六方晶系晶面指數標定根據六方晶系的對稱特點，對六方晶系采用根據六方晶系的對稱特點，對六方晶系采用a1，a2，a3及及c四個晶軸，四個晶軸，a1，a2，a3之間的夾角均為之間的夾角均為120度，這樣，度，這樣，其晶面指數就以其晶面指數就以(h k i l）四個指數來表示。）四個指數來表示。 根據幾何學可知，三維空間獨立的坐標軸最多不超過三根據幾何學可知，三維空間獨立的坐標軸最多不超過三個。前三個指數中只有兩個是獨立的，它們之間存在以個。前三個指數中只有兩個是獨立的，它們之間存在以下關系：下關系：i ( h + k ) 。六方晶系一些晶面的指數六方晶系一些晶面的指數4、六方晶系晶向指數標定六方晶系晶向指數標定六方晶系晶向指數的表示六方晶系晶向指數的表示方法方法(c軸與圖面垂直軸與圖面垂直)