第七章蒙特卡羅

1、計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 1/92 第七章第七章 隨機(jī)過程與蒙特卡羅方法隨機(jī)過程與蒙特卡羅方法7.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述7.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生7.3 用用M-C方法計算定積分方法計算定積分7.4 鏈?zhǔn)椒磻?yīng)的模擬鏈?zhǔn)椒磻?yīng)的模擬計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 2/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述Monte Carlo 方法方法(M-C方法方法): 隨機(jī)取樣隨機(jī)取樣

2、(random sampling) 統(tǒng)計模擬統(tǒng)計模擬(statistic simulation) 統(tǒng)計試驗統(tǒng)計試驗(statistic testing) 二十世紀(jì)四十年代中期，由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計二十世紀(jì)四十年代中期，由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計算機(jī)的發(fā)明，提出的一種以概率統(tǒng)計理論為指導(dǎo)的一類非常算機(jī)的發(fā)明，提出的一種以概率統(tǒng)計理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計算方法。重要的數(shù)值計算方法。 蒙特卡羅方法是使用隨機(jī)數(shù)（偽隨機(jī)數(shù)）來解決很多計蒙特卡羅方法是使用隨機(jī)數(shù)（偽隨機(jī)數(shù)）來解決很多計算問題的方法。與它對應(yīng)的是確定性算法。算問題的方法。與它對應(yīng)的是確定性算法。 蒙特卡羅方法在金融工程學(xué)，宏觀

3、經(jīng)濟(jì)學(xué)，計算物理學(xué)蒙特卡羅方法在金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，計算物理學(xué)（如粒子輸運計算、量子熱力學(xué)計算、空氣動力學(xué)計算）等（如粒子輸運計算、量子熱力學(xué)計算、空氣動力學(xué)計算）等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 3/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述蒙特卡羅方法的提出蒙特卡羅方法的提出 1777年，法國數(shù)學(xué)家巴夫昂年，法國數(shù)學(xué)家巴夫昂(Georges Louis Leclere de Buffon，17071788)提出用投針實驗提出用投針實驗的方法求圓周率的方法求圓周率

4、。這被認(rèn)為是蒙特卡羅方法的思。這被認(rèn)為是蒙特卡羅方法的思想起源。想起源。 在平滑桌面上劃一組相距為在平滑桌面上劃一組相距為S的平行線，向此桌面隨意地的平行線，向此桌面隨意地投擲長度投擲長度L=S的細(xì)針，從針與平行線相交的概率就可以得的細(xì)針，從針與平行線相交的概率就可以得到到的數(shù)值。的數(shù)值。 計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 4/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述數(shù)學(xué)統(tǒng)計理論的簡單計算：數(shù)學(xué)統(tǒng)計理論的簡單計算：設(shè)針與平行線的垂直方向的夾角為設(shè)針與平行線的垂直方向的夾角為針在與平行線垂直的方向上

5、投影的長度為針在與平行線垂直的方向上投影的長度為cosL細(xì)針與平行線相交的概率細(xì)針與平行線相交的概率coscosLS由于由于是在是在0, 區(qū)間均勻分布的，區(qū)間均勻分布的，cos的平均值為的平均值為 2002112coscoscosddd 計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 5/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述假如在假如在N次投針中，有次投針中，有M次和平行線相交次和平行線相交細(xì)針與平行線相交的概率就近似為細(xì)針與平行線相交的概率就近似為2MN即即2NM上述投針法受到實驗條件的制約，精度不是很好

6、。上述投針法受到實驗條件的制約，精度不是很好。 MN實驗者實驗者年份年份投計次數(shù)投計次數(shù)的實驗值的實驗值沃爾弗沃爾弗185050003.1596斯密思斯密思185532043.1553?？怂垢？怂?89411203.1419拉查里尼拉查里尼190134083.1415929計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 6/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述投針法的計算精度與以下幾個因素有關(guān)：投針法的計算精度與以下幾個因素有關(guān)：1. 平行線間距必須保證為一個常數(shù)值，并在所要求的誤差范平行線間距必須保證為一

7、個常數(shù)值，并在所要求的誤差范圍內(nèi)與針長相等。圍內(nèi)與針長相等。2. 正確地判斷臨界狀態(tài)下的針與平行線的相交也非易事。正確地判斷臨界狀態(tài)下的針與平行線的相交也非易事。3. 還必須保證針的投擲位置和角度的分布是均勻分布的。為還必須保證針的投擲位置和角度的分布是均勻分布的。為保證角度分布的均勻性，可以在投針的時候，讓針迅速旋保證角度分布的均勻性，可以在投針的時候，讓針迅速旋轉(zhuǎn)，并采用非常平的、摩擦系數(shù)是各向同性的桌面。轉(zhuǎn)，并采用非常平的、摩擦系數(shù)是各向同性的桌面。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 7/927.1 蒙特卡羅蒙特卡

8、羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述實用的蒙特卡羅方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)時實用的蒙特卡羅方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)時研制原子彈的研制原子彈的“曼哈頓計劃曼哈頓計劃”， 由烏拉姆由烏拉姆(Stanislaw Ulam)和諾伊曼和諾伊曼(John von Neumann)首先提出。首先提出。Monte Carlo-Monaco(摩納哥摩納哥)-賭城賭城 計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 8/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述 M-C方法既可以用于隨機(jī)性問題，也可用于確方法既可以用于隨機(jī)性

9、問題，也可用于確定性問題。定性問題。隨機(jī)性問題隨機(jī)性問題: 核系統(tǒng)臨界條件模擬、反應(yīng)堆模擬以核系統(tǒng)臨界條件模擬、反應(yīng)堆模擬以及粒子輸運計算、量子熱力學(xué)計算等。及粒子輸運計算、量子熱力學(xué)計算等。確定性問題確定性問題: 計算過于復(fù)雜而難以得到解析解或者計算過于復(fù)雜而難以得到解析解或者根本沒有解析解的問題，如多重積分等。根本沒有解析解的問題，如多重積分等。蒙特卡羅方法的應(yīng)用蒙特卡羅方法的應(yīng)用計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 9/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述 當(dāng)所求解問題是某種隨機(jī)事件出現(xiàn)的概

10、率，或者是某當(dāng)所求解問題是某種隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率，或者是某個隨機(jī)變量的期望值時，通過某種個隨機(jī)變量的期望值時，通過某種“實驗實驗”的方法，以這種的方法，以這種事件出現(xiàn)的事件出現(xiàn)的頻率頻率估計這一隨機(jī)事件的估計這一隨機(jī)事件的概率概率，或者得到這個隨，或者得到這個隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問題的解。機(jī)變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問題的解。 M-C方法針對待求問題，可以根據(jù)物理現(xiàn)象本身的統(tǒng)計方法針對待求問題，可以根據(jù)物理現(xiàn)象本身的統(tǒng)計規(guī)律，或人為構(gòu)造一合適的依賴隨機(jī)變量的概率模型，使某規(guī)律，或人為構(gòu)造一合適的依賴隨機(jī)變量的概率模型，使某些隨機(jī)變量的統(tǒng)計量為待求問題的解，進(jìn)行大統(tǒng)計量些隨機(jī)變

11、量的統(tǒng)計量為待求問題的解，進(jìn)行大統(tǒng)計量(N)的統(tǒng)計實驗方法。的統(tǒng)計實驗方法。M-C方法的基本思想：方法的基本思想： M-C 方法理論依據(jù)方法理論依據(jù)1.大數(shù)法則：大數(shù)法則：均勻分布均勻分布的算術(shù)平均值收斂的算術(shù)平均值收斂于真值于真值2.中心極限定理：中心極限定理：置信水平下的統(tǒng)計誤差置信水平下的統(tǒng)計誤差計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 10/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述M-C方法是由隨機(jī)變量方法是由隨機(jī)變量X的簡單子樣的簡單子樣X1，X2，XN算術(shù)平算術(shù)平均值，作為所求解的近似值。均值

12、，作為所求解的近似值。1.大數(shù)法則大數(shù)法則11NNiiXXN由大數(shù)法則可知，如果由大數(shù)法則可知，如果X1，X2，XN為為獨立同分布獨立同分布，且具，且具有有限期望值（有有限期望值（E(X)），則），則 lim1NNPXE X即隨機(jī)變量即隨機(jī)變量X的簡單子樣的算術(shù)平均值的簡單子樣的算術(shù)平均值 ，當(dāng)子樣數(shù)，當(dāng)子樣數(shù)充分充分大時，以概率大時，以概率1 1收斂于它的期望值收斂于它的期望值E(X)。NX計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 11/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述中心極限定理解決了中心極限

13、定理解決了M-C方法近似值與真值的誤差問題。方法近似值與真值的誤差問題。2.中心極限定理中心極限定理220()( )xE Xf x dx f(x)是是X的分布密度函數(shù)。則當(dāng)?shù)姆植济芏群瘮?shù)。則當(dāng)N充分大時，有如下的近似式充分大時，有如下的近似式2/202()12tNPXE XedtN 其中其中稱為置信度，稱為置信度，1 1稱為置信水平。稱為置信水平。如果隨機(jī)變量序列如果隨機(jī)變量序列X1，X2，XN獨立同分布，且具有有限獨立同分布，且具有有限非零的方差非零的方差2 ，即：，即：計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 12/927

14、.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述()NXE XN 近似地以概率近似地以概率1成立成立N 通常，通常，蒙特卡羅方法的誤差蒙特卡羅方法的誤差定義為定義為上式表明，不等式上式表明，不等式與置信度與置信度是一一對應(yīng)的，根據(jù)問題的要求確定出置信水是一一對應(yīng)的，根據(jù)問題的要求確定出置信水平后，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，就可以確定出平后，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，就可以確定出 。0.50.050.003 0.67451.963兩點說明兩點說明：(1)MC(1)MC方法的誤差為概率誤差，這與其它數(shù)值計算方法是有區(qū)別的。方法的誤差為概率誤差，這與其它數(shù)值計算方法是有區(qū)別的。(2)(2)誤差中的均方差誤差

15、中的均方差是未知的，必須使用其估計值來代替，在計算所是未知的，必須使用其估計值來代替，在計算所求量的同時，可計算出估計值。求量的同時，可計算出估計值。221111()NNiiiiSXXNN計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 13/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述減小估計的均方差減小估計的均方差：比如降低一半，那誤差就減小一半，比如降低一半，那誤差就減小一半，這相當(dāng)于這相當(dāng)于N增大四倍的效果。增大四倍的效果。減小誤差的方法減小誤差的方法增大試驗次數(shù)增大試驗次數(shù)N：在在固定固定的情況下，要把精度

16、提高一個的情況下，要把精度提高一個數(shù)量級，試驗次數(shù)數(shù)量級，試驗次數(shù)N N需增加兩個數(shù)量級。因此，單純增大需增加兩個數(shù)量級。因此，單純增大N N不是一個有效的辦法。不是一個有效的辦法。當(dāng)給定置信度當(dāng)給定置信度()后，后，誤差誤差由由和和N決定。決定。N一般來說，降低方差，往往會使觀察子樣的時間增加。一般來說，降低方差，往往會使觀察子樣的時間增加。所以，一種方法的優(yōu)劣，所以，一種方法的優(yōu)劣，需要由方差和觀察一個子樣的費用（使需要由方差和觀察一個子樣的費用（使用計算機(jī)的時間）兩者來衡量用計算機(jī)的時間）兩者來衡量。這就是。這就是MC方法中效率的概念。方法中效率的概念。它定義為它定義為2c ，其中，其中

17、c 是觀察一個子樣的平均費用。顯然是觀察一個子樣的平均費用。顯然2c越小越小，方法越有效，方法越有效。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 14/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述 M-C 方法求解問題的基本步驟方法求解問題的基本步驟1.構(gòu)造或描述概率過程，建立隨機(jī)模型。構(gòu)造或描述概率過程，建立隨機(jī)模型。2.實現(xiàn)從已知概率分布抽樣，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列模擬實現(xiàn)從已知概率分布抽樣，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列模擬隨機(jī)過程。隨機(jī)過程。3.建立各種估計量，對隨機(jī)數(shù)的分布做統(tǒng)計性處理。建立各種估計量，對隨機(jī)數(shù)的分布做統(tǒng)計性

18、處理。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 15/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述1.構(gòu)造或描述概率過程，建立隨機(jī)模型。構(gòu)造或描述概率過程，建立隨機(jī)模型。 對于本身就具有隨機(jī)性質(zhì)的問題，如粒子輸運問題，對于本身就具有隨機(jī)性質(zhì)的問題，如粒子輸運問題，主要是正確描述和模擬這個概率過程。主要是正確描述和模擬這個概率過程。 對于本來不具有隨機(jī)性質(zhì)的確定性問題，如計算定積對于本來不具有隨機(jī)性質(zhì)的確定性問題，如計算定積分，就必須事先構(gòu)造一個人為的概率過程，它的某些參量分，就必須事先構(gòu)造一個人為的概率過程，

19、它的某些參量正好是所要求問題的解，即要將不具有隨機(jī)性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)正好是所要求問題的解，即要將不具有隨機(jī)性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性質(zhì)的問題。化為隨機(jī)性質(zhì)的問題。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 16/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述2.實現(xiàn)從已知概率分布抽樣，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列模實現(xiàn)從已知概率分布抽樣，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列模擬隨機(jī)過程。擬隨機(jī)過程。 由于各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分由于各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分布構(gòu)成的，因此就可以產(chǎn)生已知概率分布的隨機(jī)變量。這布構(gòu)成的，因此就可

20、以產(chǎn)生已知概率分布的隨機(jī)變量。這就成是就成是M-C方法模擬實驗的基本手段，這也是蒙特卡羅方方法模擬實驗的基本手段，這也是蒙特卡羅方法被稱為隨機(jī)抽樣的原因。法被稱為隨機(jī)抽樣的原因。 最簡單、最基本、最重要的一個概率分布是最簡單、最基本、最重要的一個概率分布是0，1上的上的均勻分布，隨機(jī)數(shù)就是具有這種均勻分布的隨機(jī)變量。隨均勻分布，隨機(jī)數(shù)就是具有這種均勻分布的隨機(jī)變量。隨機(jī)數(shù)序列就是具有這種分布的總體的一個簡單子樣，也就機(jī)數(shù)序列就是具有這種分布的總體的一個簡單子樣，也就是一個具有這種分布的相互獨立的隨機(jī)數(shù)序列。是一個具有這種分布的相互獨立的隨機(jī)數(shù)序列。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin

21、Institute of Technology Yangkun 17/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述3.建立各種估計量，對隨機(jī)數(shù)的分布做統(tǒng)計性處建立各種估計量，對隨機(jī)數(shù)的分布做統(tǒng)計性處理。理。 一般說來，構(gòu)造了概率模型并能從中抽樣后，即實現(xiàn)一般說來，構(gòu)造了概率模型并能從中抽樣后，即實現(xiàn)模擬實驗后，我們就要確定一個隨機(jī)變量，作為所要求的模擬實驗后，我們就要確定一個隨機(jī)變量，作為所要求的問題的解，我們稱它為無偏估計。問題的解，我們稱它為無偏估計。 建立各種估計量，相當(dāng)于對模擬實驗的結(jié)果進(jìn)行考察建立各種估計量，相當(dāng)于對模擬實驗的結(jié)果進(jìn)行考察和登記，從中得到問題的解。和

22、登記，從中得到問題的解。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 18/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述 M-C方法優(yōu)點：方法優(yōu)點：1 能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性的物理過程。能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性的物理過程。 蒙特卡羅方法可以部分代替物理實驗，甚至可以得到物蒙特卡羅方法可以部分代替物理實驗，甚至可以得到物理實驗難以得到的結(jié)果。理實驗難以得到的結(jié)果。 用蒙特卡羅方法解決實際問題，可以直接從實際問題本用蒙特卡羅方法解決實際問題，可以直接從實際問題本身出發(fā)，而不從方程或數(shù)學(xué)表達(dá)式出發(fā)。它具有直觀

23、、形身出發(fā)，而不從方程或數(shù)學(xué)表達(dá)式出發(fā)。它具有直觀、形象的特點。象的特點。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 19/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述2 受幾何條件限制小。受幾何條件限制小。 在具有隨機(jī)性質(zhì)的問題中，若系統(tǒng)形狀很復(fù)雜，一般難在具有隨機(jī)性質(zhì)的問題中，若系統(tǒng)形狀很復(fù)雜，一般難以用確定的數(shù)值方法求解，而使用蒙特卡羅方法，不會有原以用確定的數(shù)值方法求解，而使用蒙特卡羅方法，不會有原則上的困難。則上的困難。3 收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)。收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)。 由誤差定義可知，在給定置

24、信水平情況下，由誤差定義可知，在給定置信水平情況下，MC方法的誤方法的誤差與問題本身的維數(shù)無關(guān)。維數(shù)的變化，只引起抽樣時間及差與問題本身的維數(shù)無關(guān)。維數(shù)的變化，只引起抽樣時間及估計量計算時間的變化，不影響誤差。這一特點，決定了蒙估計量計算時間的變化，不影響誤差。這一特點，決定了蒙特卡羅方法對多維問題的適應(yīng)性。特卡羅方法對多維問題的適應(yīng)性。 而一般數(shù)值方法，比如計算定積分時，計算時間隨維數(shù)而一般數(shù)值方法，比如計算定積分時，計算時間隨維數(shù)的冪次方而增加，而且由于分點數(shù)與維數(shù)的冪次方成正比，的冪次方而增加，而且由于分點數(shù)與維數(shù)的冪次方成正比，需占用相當(dāng)數(shù)量的計算機(jī)內(nèi)存，這些都是一般數(shù)值方法計算需占用

25、相當(dāng)數(shù)量的計算機(jī)內(nèi)存，這些都是一般數(shù)值方法計算高維積分時難以克服的問題。高維積分時難以克服的問題。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 20/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述4 程序結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)。程序結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)。 計算機(jī)上進(jìn)行蒙特卡羅方法計算時，程序結(jié)構(gòu)簡單，分計算機(jī)上進(jìn)行蒙特卡羅方法計算時，程序結(jié)構(gòu)簡單，分塊性強，易于實現(xiàn)。塊性強，易于實現(xiàn)。1 收斂速度慢。收斂速度慢。 蒙特卡羅方法的收斂速度為蒙特卡羅方法的收斂速度為O(N-1/2) ，一般不容易得到精，一般不容易得到精確度較

26、高的近似結(jié)果。對于維數(shù)少（三維以下）的問題，不確度較高的近似結(jié)果。對于維數(shù)少（三維以下）的問題，不如其它方法好。如其它方法好。 M-C方法缺點：方法缺點：2 誤差具有概率性。誤差具有概率性。 由于蒙特卡羅方法的誤差是在一定置信水平下估計的，由于蒙特卡羅方法的誤差是在一定置信水平下估計的，所以它的誤差具有概率性，而不是一般意義下的誤差。所以它的誤差具有概率性，而不是一般意義下的誤差。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 21/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述3 計算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關(guān)。計算結(jié)果與

27、系統(tǒng)大小有關(guān)。 例如在粒子輸運問題中：經(jīng)驗表明，只有當(dāng)系統(tǒng)的大小例如在粒子輸運問題中：經(jīng)驗表明，只有當(dāng)系統(tǒng)的大小與粒子的平均自由程可以相比較時（一般在十個平均自由程與粒子的平均自由程可以相比較時（一般在十個平均自由程左右），蒙特卡羅方法計算的結(jié)果較為滿意。但對于大系統(tǒng)左右），蒙特卡羅方法計算的結(jié)果較為滿意。但對于大系統(tǒng)或小概率事件的計算問題，計算結(jié)果往往比真值偏低?；蛐「怕适录挠嬎銌栴}，計算結(jié)果往往比真值偏低。在使用蒙特卡羅方法時，可以考慮把蒙特卡羅方法在使用蒙特卡羅方法時，可以考慮把蒙特卡羅方法與解析（或數(shù)值）方法相結(jié)合，取長補短，既能解與解析（或數(shù)值）方法相結(jié)合，取長補短，既能解決解析（

28、或數(shù)值）方法難以解決的問題，也可以解決解析（或數(shù)值）方法難以解決的問題，也可以解決單純使用蒙特卡羅方法難以解決的問題。決單純使用蒙特卡羅方法難以解決的問題。 下面利用兩個例子說明下面利用兩個例子說明M-C 方法的基本思想。方法的基本思想。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 22/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述 1 用用M-C 方法求圓周率方法求圓周率 設(shè)圓的半徑為設(shè)圓的半徑為r，圓心位于，圓心位于(r,r)處，且內(nèi)切于處，且內(nèi)切于邊長為邊長為2r的正方形，的正方形， 如圖示。如圖示。 正方

29、形的面積為：正方形的面積為： 圓的面積為：圓的面積為：24sSr2rSr y 2r r x 0 r 2r圖(11.1) M-C方法舉例 srSS計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 23/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述用用M-C方法計算圓面積的基本思想是隨機(jī)地在正方法計算圓面積的基本思想是隨機(jī)地在正方形范圍內(nèi)畫點，若一共點了方形范圍內(nèi)畫點，若一共點了N點，而落在圓內(nèi)點，而落在圓內(nèi)的點數(shù)為的點數(shù)為M，當(dāng)，當(dāng)N足夠大時，正方形和圓的面積足夠大時，正方形和圓的面積關(guān)系為：關(guān)系為：則圓周率為：則圓周

30、率為：rsSMSN4MN y 2r r x 0 r 2r圖(11.1) M-C方法舉例計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 24/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述計算方法：計算方法：1 產(chǎn)生兩個隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生兩個隨機(jī)數(shù)xi和和yi，且滿足，且滿足02 02iixryr2 作如下判斷作如下判斷222+iixryrr若上式滿足，則表明此點落在圓內(nèi)，若上式滿足，則表明此點落在圓內(nèi)，M值增值增1，重復(fù)步驟重復(fù)步驟1，共產(chǎn)生，共產(chǎn)生N組隨機(jī)數(shù)，統(tǒng)計組隨機(jī)數(shù)，統(tǒng)計M值，即值，即可以計算出可以計算出。計計計算算

31、算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 25/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述從以上分析可以看出，以下兩點非常重要：從以上分析可以看出，以下兩點非常重要：1 兩個隨機(jī)數(shù)都必須是在矩形范圍內(nèi)兩個隨機(jī)數(shù)都必須是在矩形范圍內(nèi)均勻分布均勻分布的隨機(jī)數(shù)的隨機(jī)數(shù)。2 隨機(jī)數(shù)的個數(shù)隨機(jī)數(shù)的個數(shù)N必須足夠大，以確保一定的必須足夠大，以確保一定的精度，否則由于漲落現(xiàn)象會使誤差很大，精度，否則由于漲落現(xiàn)象會使誤差很大， 這是這是統(tǒng)計方法自身的規(guī)律。統(tǒng)計方法自身的規(guī)律。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Instit

32、ute of Technology Yangkun 26/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述Matlab隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)函數(shù)函數(shù)格式：格式：rand(n)：產(chǎn)生：產(chǎn)生nn隨機(jī)數(shù)矩陣隨機(jī)數(shù)矩陣rand(m,n) ：產(chǎn)生：產(chǎn)生mn隨機(jī)數(shù)矩陣隨機(jī)數(shù)矩陣rand：產(chǎn)生：產(chǎn)生1個隨機(jī)數(shù)個隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生產(chǎn)生a,b區(qū)間區(qū)間隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)：a+(b-a)*rand(m,n)隨機(jī)函數(shù)性質(zhì)隨機(jī)函數(shù)性質(zhì)隨機(jī)函數(shù)隨機(jī)函數(shù)均勻分布均勻分布0,1rand(m,n)均勻分布均勻分布a,bunifrnd(a,b,m,n)指數(shù)分布指數(shù)分布(1,)exprnd(,m,n)正態(tài)分布正態(tài)分布(,)normrnd(,

33、m,n)二項分布二項分布(a,p)binornd(n,p,m,n1)泊松分布泊松分布()poissrd(,m,n)randunifrnd(a,b,m,n)計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 27/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述 100: 3.240000 1000: 3 3.144000100000: 3.140920y=find(x)尋找滿足條件的元素坐標(biāo)，默認(rèn)非尋找滿足條件的元素坐標(biāo)，默認(rèn)非0計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute o

34、f Technology Yangkun 28/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 29/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述 2 用用M-C 方法模擬氫原子電子云方法模擬氫原子電子云氫原子氫原子S 態(tài)的波函數(shù)只是半徑態(tài)的波函數(shù)只是半徑r 的函數(shù)，與的函數(shù)，與及及無關(guān)。無關(guān)。概率密度：概率密度：2s單位厚度球殼：單位厚度球殼：24 rdr徑向概率密度：徑向概率密度：224sDr計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Instit

35、ute of Technology Yangkun 30/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述1 氫原子的基態(tài)即氫原子的基態(tài)即1S 態(tài)（態(tài)（n=1,l=0,m=0）：）：玻爾半徑：玻爾半徑：122314rarDea10.529aA最大概率：最大概率：max1.02D最大半徑：最大半徑：02.5rAD收斂處的收斂處的r值值玻爾半徑處玻爾半徑處計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 31/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述2 氫原子的氫原子的2S 態(tài)（態(tài)（n=2,l=0,m=

36、0）：）：12231128rarrDeaa最大概率：最大概率：max0.361D最大半徑：最大半徑：010rA計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 32/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述3 氫原子的氫原子的3S 態(tài)（態(tài)（n=3,l=0,m=0）：）：1222323111418272()381rarrrDeaaa最大概率：最大概率：max0.192D最大半徑：最大半徑：020rA計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 33/9

37、27.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述 氫原子電子云的模擬，是依據(jù)上述概率密度氫原子電子云的模擬，是依據(jù)上述概率密度分布函數(shù)，用繪圖點的密度來描述電子的概率分分布函數(shù)，用繪圖點的密度來描述電子的概率分布密度。布密度。1 產(chǎn)生一個電子隨機(jī)軌道半徑產(chǎn)生一個電子隨機(jī)軌道半徑0rDr RAN2 由由r 計算出計算出D(r) 0maxDDDRAN具體做法如下：具體做法如下：00rr3 產(chǎn)生一個隨機(jī)的概率判據(jù)產(chǎn)生一個隨機(jī)的概率判據(jù) max00DD 計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 34/927.1 蒙特卡羅蒙

38、特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述4 進(jìn)行判斷，如果下式成立，則返回步驟進(jìn)行判斷，如果下式成立，則返回步驟10( )D rD2 RAND5 產(chǎn)生一個隨機(jī)的角度值產(chǎn)生一個隨機(jī)的角度值cos sinxryr6 按下列坐標(biāo)繪點按下列坐標(biāo)繪點027 返回步驟返回步驟1計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 35/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述注意以下兩點：注意以下兩點：1 點數(shù)要足夠多，這樣才能繪出分布規(guī)律較明顯點數(shù)要足夠多，這樣才能繪出分布規(guī)律較明顯的電子云圖，這與統(tǒng)計規(guī)律是一致的。的電子云圖

39、，這與統(tǒng)計規(guī)律是一致的。2 點數(shù)又不能過多，那樣會造成處處都是很密點數(shù)又不能過多，那樣會造成處處都是很密的點，反使分布規(guī)律不明顯。的點，反使分布規(guī)律不明顯。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 36/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 37/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technolo

40、gy Yangkun 38/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 39/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 40/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 41/927.1 蒙特卡羅蒙特卡羅(M-C)

41、方法應(yīng)用概述方法應(yīng)用概述計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 42/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)除統(tǒng)計規(guī)律外無任何其它規(guī)律可循。除統(tǒng)計規(guī)律外無任何其它規(guī)律可循。1.相互獨立，分布均勻。相互獨立，分布均勻。2.隨機(jī)數(shù)數(shù)列是不可預(yù)計的，因而也不可能重復(fù)產(chǎn)生兩個隨機(jī)數(shù)數(shù)列是不可預(yù)計的，因而也不可能重復(fù)產(chǎn)生兩個相同的隨機(jī)數(shù)數(shù)列。相同的隨機(jī)數(shù)數(shù)列。 3.隨機(jī)數(shù)只能用某些隨機(jī)數(shù)只能用某些隨機(jī)物理過程隨機(jī)物理過程來產(chǎn)生。例如：放射來產(chǎn)生。例如：放射性衰變、電子設(shè)備的熱噪音、宇宙射線的觸發(fā)時間等等。性衰變、電子設(shè)備

42、的熱噪音、宇宙射線的觸發(fā)時間等等。 計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 43/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)（偽隨機(jī)數(shù)）贗隨機(jī)數(shù)（偽隨機(jī)數(shù)）按照某種算法給出的似乎隨機(jī)出現(xiàn)的數(shù)。按照某種算法給出的似乎隨機(jī)出現(xiàn)的數(shù)。贗隨機(jī)數(shù)的品質(zhì)：贗隨機(jī)數(shù)的品質(zhì)：1.周期足夠大，周期足夠大， 可使在整個使用過程中不致于表可使在整個使用過程中不致于表現(xiàn)出其周期性?，F(xiàn)出其周期性。2.均勻分布的隨機(jī)數(shù)，既要求數(shù)的出現(xiàn)是隨機(jī)的，均勻分布的隨機(jī)數(shù)，既要求數(shù)的出現(xiàn)是隨機(jī)的，又要求數(shù)的分布是均勻的。又要求數(shù)的分布是均勻的。不滿足相互獨立

43、，可能具有周期性。可重復(fù)，數(shù)不滿足相互獨立，可能具有周期性?？芍貜?fù)，數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生，必須通過統(tǒng)計檢驗。學(xué)方法產(chǎn)生，必須通過統(tǒng)計檢驗。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 44/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生1 平方取中法平方取中法比較早的方法，由馮比較早的方法，由馮諾依曼提出。諾依曼提出。 把一個把一個2S位的十進(jìn)制數(shù)自乘，得到位的十進(jìn)制數(shù)自乘，得到4s位十位十進(jìn)制數(shù)（位數(shù)不足，前面用進(jìn)制數(shù)（位數(shù)不足，前面用0補齊），保留中間補齊），保留中間2S位，參與下一次運算，最后用位，參與下一次運算，最后用102S除，就得除

44、，就得到到0，1之間的隨機(jī)數(shù)。之間的隨機(jī)數(shù)。7.2.1 贗贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 45/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生2112222322445 41360368 00241354 01168333 640368 69894388 0 1354833343886xxxxxxxxx0.6406 0.03680.13540.83330.4388 計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 46/927.2 贗隨機(jī)

45、數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生平方取中法遞推公式為：平方取中法遞推公式為：2221211210int 1010int1010sssiiisiisxxxxx0為種子，一般取不等于為種子，一般取不等于1000或或1100的的4位十位十進(jìn)制數(shù)進(jìn)制數(shù)計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 47/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生2221211210int 1010int1010sssiiisiisxxxxfix(x)：對：對x朝朝0方向取整方向取整計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technolo

46、gy Yangkun 48/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生2 冪剩余法冪剩余法比較常用的方法比較常用的方法。冪剩余法按下列公式產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)：冪剩余法按下列公式產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)：1intiiicxxcxNN上式中上式中x0、c、N的確定，決定了隨機(jī)數(shù)的優(yōu)劣。的確定，決定了隨機(jī)數(shù)的優(yōu)劣。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 49/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生 a N的取值的取值12mNm為數(shù)據(jù)二進(jìn)制數(shù)的字長（位數(shù)）為數(shù)據(jù)二進(jìn)制數(shù)的字長（位數(shù)）PC(16bit)：m=161152232768mNUNIX (32bi

47、t) ：m=32131222147483648mN計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 50/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生 b c的取值的取值83cMM為任意正整數(shù)。為任意正整數(shù)。統(tǒng)計性較好統(tǒng)計性較好cNx0一般取奇數(shù)，是偶數(shù)周期的一般取奇數(shù)，是偶數(shù)周期的2倍。倍。c x0的取值的取值計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 51/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生064,5,2Ncx12345 25 264 int10645 105 1

48、064 int50645 505 5064 int58645 585 5864 int3464xxxx 1intiiicxxcxNN計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 52/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生56785 345 3464 int42645 425 4264 int18645 185 1864 int26645 265 2664 int624xxxx 8028Txx計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 53/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的

49、產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生064,15Ncx123456789101112131415165,25,61,4953,9,45,3337,57,29,1721,41,113,xxxxxxxxxxxxxxxx160116xxT計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 54/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生冪剩余法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的值域為：冪剩余法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的值域為：0,1ixN若獲得若獲得0，1的隨機(jī)數(shù)，只需除以的隨機(jī)數(shù)，只需除以N-1，也就可以，也就可以獲得任意值域的隨機(jī)數(shù)。獲得任意值域的隨機(jī)數(shù)。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Har

50、bin Institute of Technology Yangkun 55/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生實用的隨機(jī)數(shù)生成程序必須滿足的條件：實用的隨機(jī)數(shù)生成程序必須滿足的條件：1.足夠長的的周期足夠長的的周期2.具有真正隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計性質(zhì)具有真正隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計性質(zhì)7.2.2 贗贗隨機(jī)統(tǒng)計性檢驗隨機(jī)統(tǒng)計性檢驗 周期性比較容易檢驗和判斷，統(tǒng)計性質(zhì)的周期性比較容易檢驗和判斷，統(tǒng)計性質(zhì)的優(yōu)劣判斷較難，常用的方法有兩種：優(yōu)劣判斷較難，常用的方法有兩種：1.頻數(shù)分布檢驗頻數(shù)分布檢驗2.行程頻數(shù)檢驗行程頻數(shù)檢驗計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technolo

51、gy Yangkun 56/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生頻數(shù)檢驗：統(tǒng)計直方圖頻數(shù)檢驗：統(tǒng)計直方圖ki為第為第i 個個子區(qū)間子區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的隨機(jī)數(shù)個數(shù)，即頻數(shù)。內(nèi)出現(xiàn)的隨機(jī)數(shù)個數(shù)，即頻數(shù)。1 頻數(shù)分布檢驗頻數(shù)分布檢驗平均頻數(shù)：隨機(jī)數(shù)值域內(nèi)隨機(jī)數(shù)個數(shù)的平均平均頻數(shù)：隨機(jī)數(shù)值域內(nèi)隨機(jī)數(shù)個數(shù)的平均11MiikkM均勻分布的隨機(jī)數(shù)均勻分布的隨機(jī)數(shù)ikkM:子區(qū)間數(shù)目子區(qū)間數(shù)目計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 57/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生bar(x,y,width)為為y中的每個元素在中的每個元素在x設(shè)

52、定的位置處設(shè)定的位置處繪制一個條帶，繪制一個條帶，width設(shè)置條帶設(shè)置條帶寬寬度，度，x的間隔為的間隔為1，默認(rèn)為，默認(rèn)為0.8。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 58/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 59/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生行程：連續(xù)單調(diào)上升或單調(diào)下降的隨機(jī)數(shù)個數(shù)。行程：連續(xù)單調(diào)上升或單調(diào)下降的隨機(jī)數(shù)個數(shù)。下列為下列為01區(qū)間的隨機(jī)數(shù)區(qū)間的隨機(jī)數(shù)2 行程頻數(shù)檢驗行程頻數(shù)檢驗0.

53、134,0.578,0.135,0.235,0.345,0.687,0.876,0.734k=1k=1k=4k=1計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 60/927.2 贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生對于真正的隨機(jī)數(shù)，行程對于真正的隨機(jī)數(shù)，行程k出現(xiàn)的期望值為：出現(xiàn)的期望值為：k=115112N k=21111460N kN-1 232131343 !N kkkkkkN為隨機(jī)數(shù)個數(shù)為隨機(jī)數(shù)個數(shù)計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 61/927.2 贗隨機(jī)

54、數(shù)的產(chǎn)生贗隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生檢查的方法：檢查的方法： 統(tǒng)計統(tǒng)計出給定隨機(jī)數(shù)序列中出現(xiàn)的各種行程長出給定隨機(jī)數(shù)序列中出現(xiàn)的各種行程長度的次數(shù)，并與上述期望值比較，與之接近則隨度的次數(shù)，并與上述期望值比較，與之接近則隨機(jī)性較好。機(jī)性較好。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 62/927.3 用用M-C方法計算定積分方法計算定積分 計算多重積分是蒙特卡羅方法的重要應(yīng)用領(lǐng)計算多重積分是蒙特卡羅方法的重要應(yīng)用領(lǐng)域之一。蒙特卡羅方法是用隨機(jī)試驗的方法計算域之一。蒙特卡羅方法是用隨機(jī)試驗的方法計算定積分。定積分。常用方法：常用方法：1.隨機(jī)

55、投點法隨機(jī)投點法2.平均值法平均值法計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 63/927.3 用用M-C方法計算定積分方法計算定積分就是求右圖中陰影部分面積就是求右圖中陰影部分面積計算定積分計算定積分10( ) 0( )1f x dxf x1 建立隨機(jī)模型建立隨機(jī)模型 作邊長為作邊長為1的正方形，面積的正方形，面積:1sS 一一隨機(jī)投點法隨機(jī)投點法計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 64/927.3 用用M-C方法計算定積分方法計算定積分2 產(chǎn)生隨機(jī)點

56、（產(chǎn)生隨機(jī)點（xi，yi） (xi，yi) 落在正方形內(nèi)落在正方形內(nèi)0101iixy3 若若yi滿足下列條件滿足下列條件(xi，yi)落在陰影區(qū)內(nèi)落在陰影區(qū)內(nèi)( )iiyf x計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 65/927.3 用用M-C方法計算定積分方法計算定積分4 重復(fù)步驟重復(fù)步驟2-3 統(tǒng)計落在陰影區(qū)內(nèi)的隨機(jī)點數(shù)統(tǒng)計落在陰影區(qū)內(nèi)的隨機(jī)點數(shù)M，以及全部，以及全部隨機(jī)點數(shù)隨機(jī)點數(shù)N5 利用陰影部分面積和矩形面積關(guān)系，即可求出利用陰影部分面積和矩形面積關(guān)系，即可求出積分值積分值10( )sMMf x dxSNN計計計算

57、算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 66/927.3 用用M-C方法計算定積分方法計算定積分做變量替換：做變量替換：對于一般形式的積分：對于一般形式的積分： ( ) bag y dyLg yM 01 01yaba xxgLML hh原積分轉(zhuǎn)換為：原積分轉(zhuǎn)換為： 1100( )xbaabag y dyba LbaMLhdxba LbaLxMfdx計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué)7.3 用用M-C方法計算定積分方法計算定積分120413.141592653589793dxx例例7.3.1 利用隨機(jī)投點法計算下列定積分利用隨機(jī)投點法計算

58、下列定積分計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué)7.3 用用M-C方法計算定積分方法計算定積分10 01( )bagLhhMLg y dyba LbaMLhdx計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 69/927.3 用用M-C方法計算定積分方法計算定積分按照大數(shù)法則，可以用按照大數(shù)法則，可以用n取較大值的算術(shù)平均值取較大值的算術(shù)平均值Jn對對J進(jìn)進(jìn)行估計：行估計：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量x在在0,1上均勻分布，則上均勻分布，則f(x)的數(shù)學(xué)期望為：的數(shù)學(xué)期望為： 101 01( )( ) g0 xE f xf x g x dxf x

59、dxJxotherwise 11nniiJf xn二二平均值法平均值法 因此，只要抽取足夠多的隨機(jī)點，即當(dāng)因此，只要抽取足夠多的隨機(jī)點，即當(dāng)n足夠大時，足夠大時，Jn就就是積分是積分J的一個無偏估計值。的一個無偏估計值。 1011( ) 0( )1niif x dxf xf xn計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 70/927.3 用用M-C方法計算定積分方法計算定積分直接抽樣相應(yīng)的方差為：直接抽樣相應(yīng)的方差為： 2120 f xJdx可見，當(dāng)可見，當(dāng)f(x)在其定義域內(nèi)變化較大時，方差較大。在其定義域內(nèi)變化較大時，方差較大。 11*00( )( )f xg x dxfx g x dxg x重要抽樣法重要抽樣法將積分稍作變換：將積分稍作變換：適當(dāng)選取偏倚分布密度函數(shù)適當(dāng)選取偏倚分布密度函數(shù)g(x)，使得，使得f*(x)在定義域內(nèi)變在定義域內(nèi)變化比較平坦?；容^平坦。計計計算算算物物物理理理學(xué)學(xué)學(xué) Harbin Institute of Technology Yangkun 71/927.3 用用M-C方法計算定積分方法計算定積分*( )fx定義：定義：則原積分變?yōu)榍髣t原積分變?yōu)?/p>