積分變換(Laplace)

1、1第第2 2章章 Laplace變換變換2 Fourier變換在許多領(lǐng)域中發(fā)揮著重要的作用變換在許多領(lǐng)域中發(fā)揮著重要的作用,但是在通常意義下，但是在通常意義下，F(xiàn)ourier變換存在的條件需要變換存在的條件需要實函數(shù)實函數(shù)f (t)在在(- ,+ )上上絕對可積絕對可積. 很多常見的初等很多常見的初等函數(shù)函數(shù)(例如，常數(shù)函數(shù)、多項式函數(shù)、正弦與余弦例如，常數(shù)函數(shù)、多項式函數(shù)、正弦與余弦函數(shù)等函數(shù)等)都不滿足這個要求都不滿足這個要求. 另外，很多以時間另外，很多以時間t 為為為自變量的函數(shù)，為自變量的函數(shù)，當(dāng)當(dāng)t0時，往往沒有定義，或者時，往往沒有定義，或者不需要知道不需要知道t0的情況的情況.

2、 因此因此, Fourier變換在實際變換在實際應(yīng)用中受到一些限制應(yīng)用中受到一些限制. 3 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f (t)在在t0時沒有定義或者不需時沒有定義或者不需要知道時要知道時, 可以認(rèn)為當(dāng)可以認(rèn)為當(dāng)t0時收斂, 而且有011ede0ststtss 1 ( )(Re( )0).u tss所以 L10例2 求指數(shù)函數(shù) f (t)=e kt 的拉氏變換(k為實數(shù)).()00 ( )e ededktsts k tf tttL()()0011edes k ts k ttsksk 這個積分在Re(s)k時收斂, 而且有其實k為復(fù)數(shù)時上式也成立, 只是收斂區(qū)間為 Re(s)Re(k)1e (Re( ).kt

3、sksk所以 L根據(jù)拉氏變換的定義, 有11練習(xí)練習(xí): 求單位斜坡函數(shù)求單位斜坡函數(shù) 的拉氏變換的拉氏變換 。 0,0,0ttt u ttt 0( )Lstttedt 011= 0ststteedtss 21 0Re ss 解解21( )( )ttu ts 122.拉氏變換的存在定理 若函數(shù)f (t)滿足:(1) 在t 0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù);(2) 當(dāng)t時, f (t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù), 即存在常數(shù) M 0及c 0, 使得|f (t)| M e ct, 0 t c上一定存在, 并且在Re(s) c的半平面內(nèi), F(s)為解析函數(shù).13MMectf (t)tO14說明：由條件2

4、可知, 對于任何t值(0t0 (即 c+e = c1c), 則 | f (t)est| Meet.00( )eded.sttMf ttMtee所以注1:大部分常用函數(shù)的Laplace變換都存在(常義下);注2:存在定理的條件是充分但非必要條件. 15例3 求 f (t)=sinkt (k為實數(shù)) 的拉氏變換0jj0(j )(j )0022sinsined1(ee)ed2jjeded2j11Re( )02jjstktktstsk tsk tktktttttkssksksk,（）L22sinkktskL同理可得22cossktskL16例例4 求求( ) (1)nf ttn 的的Laplace變換

5、變換. 解解 如果如果n是正整數(shù)是正整數(shù), 則有則有1! (Re( )0).Lnnntss 方法方法, 可求出可求出當(dāng)當(dāng)1n 不是正整數(shù)時不是正整數(shù)時, 利用復(fù)變函數(shù)論的利用復(fù)變函數(shù)論的11(1) (Re( )0),Lnntnss 其中其中0(1)dnxnx ex 是是 函數(shù)函數(shù).1!nnnts 17設(shè)設(shè)( )f t是以是以T 為周期的函數(shù)為周期的函數(shù), 即即 ()( ) (0),f tTf tt 且在一個周期內(nèi)分段連續(xù)，則且在一個周期內(nèi)分段連續(xù)，則 周期函數(shù)和周期函數(shù)和d d 函數(shù)的函數(shù)的Laplace變換變換01 ( )( )d .1LTstsTf tf t ete 這就是這就是周期函數(shù)的

6、周期函數(shù)的Laplace變換公式變換公式. 18例例5 求全波整流函數(shù)求全波整流函數(shù)( )sinf tt 的的Laplace變換變換. 01 ( )sin d1Lstsf tet te 2211111111sssseeeses所以由所以由( )f t的周期的周期,T tf (t)o 2 19包含單位脈沖函數(shù)包含單位脈沖函數(shù)( ),td d積分理解為廣義函數(shù)下積分理解為廣義函數(shù)下如果滿足如果滿足Laplace變換存在條件的函數(shù)變換存在條件的函數(shù)( )f t在在0t 處有界時，積分處有界時，積分 0 ( )( )dLstf tf t et 的下限取的下限取0 或或0 不影響其結(jié)果不影響其結(jié)果. 如

7、果在如果在0t 處處的積分時，取的積分時，取 0 與與0 是不同的是不同的. 因為因為 0 ( )( )d ,Lstf tf t et 000 ( )( )d( )d ( ).LLststf tf t etf t etf t 201.如果如果( )f t在在0t 附近有界或在通常意義下附近有界或在通常意義下2.如果如果在在0t 處包含了單位脈沖函數(shù)時處包含了單位脈沖函數(shù)時, 則則00( )d0,stf t et 即即 ( ) ( ).LLf tf t 因此把因此把0t 上定義的函數(shù)延拓到上定義的函數(shù)延拓到0t 上上, 00( )d0,stf t et 即即 ( ) ( );LLf tf t 可

8、積時，可積時，并且把并且把Laplace變換定義為變換定義為 0 ( ) ( )( )d .LLstf tf tf t et 21例例6求單位脈沖函數(shù)求單位脈沖函數(shù)( ) td d的的Laplace變換變換. 解因為解因為 ( ) ( )d(0),t f ttfd d ( ) ( )LLttd dd d 0( )dstt etd d ( )d1.stt etd d 所以所以 1t d22例例8.求求 ( )( )( ) (0)ttf tete ut d d 的的Laplace變換變換(其中其中( )u t為單位階躍函數(shù)為單位階躍函數(shù)). 0 ( )( )( )dLttstf teteu t e

9、t d d ()()00( )ddststt etet d d ()011.s tessss 由由Laplace變換的定義，當(dāng)變換的定義，當(dāng)Re( ) s 時，時， 23常用函數(shù)的常用函數(shù)的 Laplace變換變換 122221,Re( )!,11,Re( )0cos,Re( )0sin,Re( )0 ( )1.LLLLLLktmmeskskmtmZssssktsskkktssktd d 242 Laplace變換的性質(zhì)與計算 1 1221122111221 1221.( )( ) (1,2),( )( )( )( ),( )( )( )( )iif tF sia f ta f ta F sa

10、 F sbF sb F sb f tb f t線性性：則LLL假定在這些性質(zhì)中, 凡是要求拉氏變換的函數(shù)都滿足拉氏變換存在定理中的條件, 并且把這些函數(shù)的增長指數(shù)都統(tǒng)一地取為c。在證明性質(zhì)時不再重述這些條件。252.微分性質(zhì):( )( ) Re( ),( )( )(0)Re( )f tF sscf tsF sfsc則LL( )12(1)( )( )(0)(0)(0)1,2,Re( )nnnnnfts F ssfsffnsc L 此性質(zhì)可以使我們有可能將f (t)的微分方程轉(zhuǎn)化為F(s)的代數(shù)方程.特別當(dāng) 時，有 10000nfff nnfts F sL26例2 求 的拉氏變換（m為正整數(shù)）。

11、mf tt 10000,!mmfffftm由于而 ()1! ;mftmmu tms一方面 LLL mts另一方面；mmL fL t111!(Re( )0).mmsmmsssmmL tL t2722coscos(0)(0),LLtstsff 練習(xí)：練習(xí)： 求求( )cosf tt 的的Laplace變換變換. 解因為解因為2(0)1, (0)0, ( )cos t,ffft 22coscos,LLtsts所以所以22cos.Lsts 使用同樣方法，可得使用同樣方法，可得 22sin.Lts 參見上節(jié)例參見上節(jié)例3, 3, 與這里方法不同與這里方法不同 根據(jù)根據(jù) 和線性性質(zhì)和線性性質(zhì) 28練習(xí)：求

12、練習(xí)：求2( )sinf ttt 的的Laplace變換變換. 解根據(jù)線性性質(zhì)可得解根據(jù)線性性質(zhì)可得2sinL tt 2sinLLtt 3222!.ss 291( )( )( )()( )( )( 1)( )nnnnnFstf tt f tFs LL11( )( )Re( )( )( )( )( )F stf tscF stf tF sf tt LLL象函數(shù)的微分性質(zhì):3222222 326cos1cos( )()ssk stktktssksk 2LL例： 求 (k為實數(shù)) 的拉氏變換. 2cosf ttkt30例例3：求：求( )sinf ttt 的的Laplace變換變換. d sinsi

13、ndLLttts 22222d2.d()ssss 使用同樣方法，可得使用同樣方法，可得22222d coscos.d()LLstttss 根據(jù)像函數(shù)的微分性質(zhì)根據(jù)像函數(shù)的微分性質(zhì) 313. 積分性質(zhì):0( )( )Re,( )( )tf tF sscF sf t dts則LL0001dd( )d( )tttnttf ttF ssn 次L例: 求 的拉氏變換. 0costf ttdt220111coscos11tstdttss ssLL32象函數(shù)積分性質(zhì): 則( )( )f tF sL0000( )d( )ed d( )ed d1( )ed( )( )edtsststsstF ssf ttf t

14、tf tttf tf tttt L( )( )d .sf tF sstL( ),dd( )dnsssnf tssF sst次一般地 有L33221sinh ,1sinh1d111111dln2112111ln.21ssstststssssssss因由積分性質(zhì):LL例4 求函數(shù)sinh( )tf tt的拉氏變換.34 4.()( )( )0,0 ,f tF stf t平移性 延遲性 ：則L函數(shù)f (tt)與f (t)相比, f (t)從t = 0開始有非零數(shù)值.而 f (tt)是從t =t 開始才有非零數(shù)值. 即延遲了一個時間t. 從它的圖象講, f (tt)是由f (t)沿 t 軸向右平移t

15、而得, 其拉氏變換也多一個因子est.Ottf(t)f(tt)()( )( )Re( )ssf tef teF ssctttLL351 ( ),1 ()su tsu testt已知根據(jù)延遲性質(zhì)LL例: 求函數(shù)ttttttu10)(的拉氏變換.1u(tt)ttO365.( )( ) Re( ),f tF ssc位移性：則L2222sin,e sin,Re( )()atkktskkktsasak已知由位移性質(zhì)得LL例: 求 的拉氏變換. sintf tekt 1()Re()()ttef tF sscF sef t LL371 ( ),1e ,Re( )atu tssasa已知由位移性質(zhì)得LL例:

16、求 的拉氏變換. tf te38練習(xí)：求練習(xí)：求 sinLatteat和和 cos.Latteat2222 sin.()Lastatsa 故根據(jù)位移性質(zhì)故根據(jù)位移性質(zhì) 22 22 ()sin.()Lata sateatsaa 使用同樣方法，可得使用同樣方法，可得 2222 222 2()(2 )cos.()()Latsaas sateatsaasaa 因為因為 393 Laplace逆變換 前面主要討論了由已知函數(shù)f (t)求它的象數(shù)F(s), 但在實際應(yīng)用中常會碰到與此相反的問題,即已知象函數(shù)F(s)求它的象原函數(shù) f (t). 本節(jié)就來解決這個問題. 由拉氏變換的概念可知, 函數(shù) f (t

17、)的拉氏變換, 實際上就是 f (t)u(t)et 的傅氏變換. ()00( ) ( )( ) ( )( )( )ttj tjtstf t u t ef t u t eedtf t edt sjf t edtF sF40因此, 按傅氏積分公式, 在f (t)的連續(xù)點就有jjj(j)0j( ) ( )e1( ) ( )eeded21ed( )ed21(j )ed,02ttttf t u tfufFttt tttttt(j)1( )(j )ed,02tf tFt等式兩邊同乘以et, 則41(j)jj1( )(j )ed,021j,1( )( )e d ,0.2jstf tFts djf tF ss

18、 t 令ds,有 積分路線中的實部 有一些隨意, 但必須滿足的條件就是etf (t)u(t)的0到正無窮的積分必須收斂. 計算復(fù)變函數(shù)的積分通常比較困難, 但是可以用留數(shù)方法計算.右端的積分稱為拉氏反演積分.421jj1( ),(Re( )lim( )0,01( )( )Res( ),.2jnsnststkkF sssF stf tF s e dsF s es 定理：若在全平面只有有限個奇點s均在左側(cè) ，且則時RO實軸虛軸LCR+jRjR為奇點解析4321( ).(1)F ss s例1 求的逆變換0,1,ss為一級極點為二級極點 21021( )Re,0Re,11d1elime(1)d11li

19、mee1( ee )1e (1)(0).ststststssstststttf ts F s es F s ess stssttt 4421( ).(1)F sss例2 求的逆變換221111( )(1)1F ssssss121( )(1)f tss所以L1e(0).ttt -1-1-121-11= LLLsss+1454 卷積 1. 卷積的概念：兩個函數(shù)的卷積是指1212( )( )( )()df tf tff tttt如果f1(t)與f2(t)都滿足條件: 當(dāng)t0時, f1(t)=f2(t)=0, 則上式可以寫成：0121212120120( )( )( )()d( )()d( )()d(

20、 )()d .tttf tf tff tff tff tff ttttttttttttt46()0000002:eedeed1eedeeede1eee1e(e1)1(e1)ttata tataattttataaaattataatatatattaataataataattttttttttttt 例147卷積定理： 121122( ),( )Laplacef tf tf tFftF設(shè)滿足變換存在定理條件，且s ,s ,LL 12121211212( )( )( )( ).f tftf tftF sF sF sF sf tft則或：LLLL注：卷積公式可用來計算逆變換或卷積.48例2 1221( ),

21、( )(1)F sF sss求L11122111( )sin1F sttss 解法 ：LLL1112200000112( )sin1sin()cos()cos()cos()sin()sintttttF sttsstddttts dsttsttttttttttttt 解法 ：LLL49例31221( ),( ) .(25)F sF sss求L22 21122221112222()01( ),(1)2 1121sin2(1)222211( )(1)2(1)2111sin2sin2(sin2 )(sin2()2241(cos(42 )cos2 )8tttttttF sseetssF sssetete

22、etdettttttttLLLLL01sin22 cos2 .16ttdetttt50的逆變換。求）章，例練習(xí)：電路（)22(1)(9-14142ssssF)sincos1 (21tetett答案：51的逆變換。求）章，例練習(xí)：電路（) 52)(2(2)(11-1414ssssFttee5 . 2254答案：525 Laplace變換的應(yīng)用 對一個系統(tǒng)進(jìn)行分析和研究, 首先要知道該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, 也就是要建立該系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式. 所謂線性系統(tǒng), 在許多場合, 它的數(shù)學(xué)模型可以用一個線性微分方程來描述, 或者說是滿足疊加原理的一類系統(tǒng). 這一類系統(tǒng)無論是在電路理論還是在自動控制理論的研究中

23、, 都占有很重要的地位. 本節(jié)將應(yīng)用拉氏變換來解線性微分方程.53微分方程的拉氏變換解法微分方程的拉氏變換解法首先取拉氏變換將微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程, 解代數(shù)方程求出象函數(shù), 再取逆變換得最后的解. 如下圖所示.象原函數(shù)(微分方程的解)象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程取拉氏逆變換取拉氏變換解代數(shù)方程54例1 求解 。( ) 2 ( ) 3 ( )(0)0, (0) 1ty ty ty teyy22( )( ) ,Laplace1( )(0)(0)2( )(0)3 ( )11( ) 1 2( ) 3 ( )12( )(1)(1)(3)Y sy ts Y ssyysY syY sss Y ssY sY sssY ssss 令方程兩邊取變換，L552( )(1)(1)(3)311884113sY sssssss3131( )488ttty teee 56例2 求解 。( )2 ( )2 ( )2cos(0)(0)0ty ty ty tetyy222222112222( )( ) ,Laplace2(1)( )(0)(0)2( )(0)2 ( )(1)12(1)2(1)( )2( )2 ( )( )(1)1(1