概率論C第五章5-2

1、5.2 中心極限定理中心極限定理 中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景 在實(shí)際問題中許多隨機(jī)變量是由相互獨(dú)立隨機(jī)在實(shí)際問題中許多隨機(jī)變量是由相互獨(dú)立隨機(jī)因素的綜合（或和因素的綜合（或和) )影響所形成的影響所形成的. .例如：炮彈射擊的例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因就受著許多隨機(jī)因素（如瞄準(zhǔn)，空氣素（如瞄準(zhǔn)，空氣阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的. .每個(gè)每個(gè)隨機(jī)隨機(jī)因素的對(duì)因素的對(duì)彈著點(diǎn)（隨機(jī)變量和）彈著點(diǎn)（隨機(jī)變量和）所起的作用都是很所起的作用都是很小的小的. .那么那么彈著點(diǎn)服從怎樣分布哪彈著點(diǎn)服從怎樣分布哪

2、 ？ 現(xiàn)在我們就來研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有現(xiàn)在我們就來研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題的規(guī)律性問題. . 當(dāng)當(dāng)n無限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？無限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？ 由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，故我們，故我們不研究不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量機(jī)變量. nkknknkkknXDXEXY111)()(正態(tài)分布正態(tài)分布的極限分布是否為標(biāo)準(zhǔn)的極限分布是否為標(biāo)準(zhǔn)討論討論nY 在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做布這一

3、類定理都叫做中心極限定理中心極限定理.即考慮一、中心極限定理一、中心極限定理 xnnXPxFniinnn 1lim)(lim定理定理1（獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布i.i.d.下的中心極限定理下的中心極限定理），則隨機(jī)變量之和，則隨機(jī)變量之和方差方差布，且具有數(shù)學(xué)期望和布，且具有數(shù)學(xué)期望和相互獨(dú)立，服從同一分相互獨(dú)立，服從同一分設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量), 2 , 1()(,)(:,221 kXDXEXXXkkn nnXYnkkn 1滿足滿足對(duì)于任意對(duì)于任意的分布函數(shù)的分布函數(shù)xxFn)(的標(biāo)準(zhǔn)化變量的標(biāo)準(zhǔn)化變量 nkkX1 x-2t -dte212 )(x 注注).1 , 0(;),(,11211Nnn

4、XnnNXnXnkknkknkk近似地近似地近似地近似地有有和與其標(biāo)準(zhǔn)化變量分別和與其標(biāo)準(zhǔn)化變量分別充分大時(shí)，隨機(jī)變量之充分大時(shí)，隨機(jī)變量之當(dāng)當(dāng)布的隨機(jī)變量之和布的隨機(jī)變量之和、定理表明，獨(dú)立同分、定理表明，獨(dú)立同分 )1 , 0(),(22NnXnNX近似地近似地近似地近似地或或?yàn)闉槎ɡ淼牧硪环N形式可寫定理的另一種形式可寫、獨(dú)立同分布中心極限、獨(dú)立同分布中心極限 nkkXnX11其中其中 3、雖然在一般情況下，我們很難求出、雖然在一般情況下，我們很難求出 的分的分布的確切形式，但當(dāng)布的確切形式，但當(dāng)n很大時(shí)，可以求出近似分布很大時(shí)，可以求出近似分布. nkkX1定理定理2（李雅普諾夫（李雅普

5、諾夫(Liapounov)定理定理), 2 , 1( ,)(,)(,221 kXDXEXXXkkkkn 有數(shù)學(xué)期望和方差：有數(shù)學(xué)期望和方差：相互獨(dú)立，它們具相互獨(dú)立，它們具設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 nkknB122 記記 nkkknXEBn12201 時(shí)，時(shí)，使得當(dāng)，使得當(dāng)若存在正數(shù)若存在正數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化變量：的標(biāo)準(zhǔn)化變量：則隨機(jī)變量之和則隨機(jī)變量之和 nkkX1nnkknkknkknkknkknBXXDXEXZ 11111)()( ，滿足，滿足對(duì)于任意對(duì)于任意的分布函數(shù)的分布函數(shù)xxFn)( xBXPxFnnknkkknnn11lim)(lim x-2t -dte212 )(x Remark :分別

6、近似服從分別近似服從很大時(shí)很大時(shí)在在及其標(biāo)準(zhǔn)化變量及其標(biāo)準(zhǔn)化變量、定理中隨機(jī)變量之和、定理中隨機(jī)變量之和,11nZXnnkk )1 , 0(;),(211NZBNXnnnkknkk近似地近似地近似地近似地 .21個(gè)基本原因個(gè)基本原因中所占的重要地位的一中所占的重要地位的一率論率論是為什么正態(tài)分布在概是為什么正態(tài)分布在概似服從正態(tài)分布，這就似服從正態(tài)分布，這就很大時(shí)，就近很大時(shí)，就近，當(dāng)，當(dāng)和和定理?xiàng)l件，隨即變量之定理?xiàng)l件，隨即變量之要滿足要滿足無論服從什么分布，只無論服從什么分布，只、隨機(jī)變量、隨機(jī)變量nXXnkkk 定理定理3( (棣莫佛拉普拉斯（棣莫佛拉普拉斯（ DeMoivre-Lapl

7、ace定理）定理）)1 (limxpnpnpPnn 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 (n=1,2,)(n=1,2,)服從參數(shù)服從參數(shù)n,p(0p1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，有，有n dtext2221)(x 證證之和，之和，分布的諸隨機(jī)變量分布的諸隨機(jī)變量服從同一服從同一個(gè)相互獨(dú)立、個(gè)相互獨(dú)立、分解成為分解成為由第四章知識(shí)知可將由第四章知識(shí)知可將nnXXXn,)10(21 nkknX1 即有即有 1 , 0,)1(), 2 , 1(1 ippiXPnkXiikk的分布律為的分布律為其中其中 定理表明定理表明，當(dāng)，當(dāng)n很大，很大，0p1920)設(shè)第設(shè)第i只元件的壽命為只元件的壽命為Xi

8、 , i=1,2, ,161解答：解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理由中心極限定理,近似近似N(0,1)4001600YP(Y1920)=1-P(Y 1920) =1- (0.8)40016001920( 1-=1-0.7881=0.21192 在一個(gè)罐子中在一個(gè)罐子中,裝有裝有10個(gè)編號(hào)為個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的球，從的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼. 否則次取到號(hào)碼第001kXk 設(shè)設(shè)，k=1,2, (1) 至少應(yīng)取球多少次才能使至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在0.09-

9、0.11之間的概率至少是之間的概率至少是0.95?(2)用中心極限定理計(jì)算在用中心極限定理計(jì)算在100次抽取中次抽取中,數(shù)碼數(shù)碼“0”出出現(xiàn)次數(shù)在現(xiàn)次數(shù)在7和和13之間的概率之間的概率.（1)解：設(shè)應(yīng)取球解：設(shè)應(yīng)取球n次，次，0出現(xiàn)頻率為出現(xiàn)頻率為nkkXn11, 1 . 0)1(1nkkXnEnXnDnkk09. 0)1(1由中心極限定理由中心極限定理nnXnkk3 . 01 . 01nXnnkk3 . 01 . 0112解答解答：），（近似地近似地10N11. 0109. 01nkkXnP01. 0|1 . 01|1nkkXnP30|3 . 01 . 01|1nnXnPnkk1)30(2n

10、 95. 01)30(2n 欲使欲使975. 0)30(n 即即96. 130n查表得查表得從中解得從中解得3458n即至少應(yīng)取球即至少應(yīng)取球3458次才次才能使能使“0”出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至之間的概率至少是少是0.95.（2）解：在）解：在100次抽取中次抽取中, 數(shù)碼數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為出現(xiàn)次數(shù)為1001kkX由中心極限定理由中心極限定理,），（近似地近似地10N)()(100110011001 kkkkkkXDXEX)1 , 0(N3101001近似地近似地 kkX即即其中其中E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09即在即在100次抽取中，數(shù)碼次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在出現(xiàn)次數(shù)在7和和13之之間間的概率為的概率為0.6826.1001)137(kkXP=0.6826) 13101(1001kkXP) 1() 1 (1) 1 (2四、小結(jié)四、小結(jié)中中心心極極限限定定理理中心極限定理中心極限定理獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布中心極限定理中心極限定理拉