中國人民大學(xué)題庫答案詳解-高等統(tǒng)計(jì)

1、、多項(xiàng)選擇題1.有關(guān)樣本的分布,以下陳述正確的選項(xiàng)是：ABCA.如果樣本Xi,Xn獨(dú)立同分布來自 Gamma分布,=在大樣本下有近似的正態(tài)分 布；中央極限定理B.如果樣本Xi,Xn獨(dú)立同分布來自 N內(nèi)b2,* =%在大樣本情況下有精確分布N出b2/n;原分布為正態(tài)分布C.如果樣本Xi,Xn獨(dú)立同分布來自N出b 2,即使樣本量不大,又=也服從正態(tài)分布； 原分布為正態(tài)分布D.如果樣本Xi,Xn來自任意分布,在大樣本情況下,由Xi,Xn組成的數(shù)據(jù)有近似的正態(tài)分布；不符合中央極限定理樣本均值2.有關(guān)檢驗(yàn)的p值,下面說法正確的選項(xiàng)是：BCA. 一般為0,0.i之間的一個很小的概率；P值一般0,iB.接受

2、備擇假設(shè)的最小顯著性水平；C.如果p值小于顯著性水平,那么拒絕零假設(shè)；D.樣本統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù).P值是概率值不是分布3.請問以下哪些方法可以用來判斷數(shù)據(jù)可能背離正態(tài)分布：BA. Q-Q圖上,如果數(shù)據(jù)和基線之間幾乎吻合；要利用qq圖鑒別樣本數(shù)據(jù)是否近似于正態(tài)分布,只需要看QQ圖上的點(diǎn)是否近似的在一條直線附近,而且,該直線的斜率為標(biāo)準(zhǔn)差,截距為均值. B. Kolmogrov-Smirnov 正態(tài)檢驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)量所對應(yīng)的p值小于0.05; P值小于0.05拒絕原假設(shè),即正態(tài)分布不成立C.對數(shù)據(jù)直方圖做光滑后沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)有很大的發(fā)散趨勢；通過形狀是否為正態(tài)鐘形來判斷D. x 2擬合優(yōu)度檢驗(yàn),統(tǒng)計(jì)量的值

3、偏小.卡方統(tǒng)計(jì)量偏小那么不拒絕原假設(shè)H:分布為正態(tài)4,假設(shè)抽樣誤差為5,總體標(biāo)準(zhǔn)差為40,如果樣本量足夠大,正態(tài)分布的 0.975 分位數(shù)近似為2,要估計(jì)總體均值的95%的置信區(qū)間所需要白樣本量大概為：BA i56 B 256 C 356 D 456.Ii工01n= = 4*i600/25 = 256 5.關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn),給定一組獨(dú)立同分布的隨機(jī)樣本,給定顯著性水平,如下理 解正確的選項(xiàng)是：DA.單邊檢驗(yàn)拒絕,雙邊檢驗(yàn)一定拒絕；B.雙邊檢驗(yàn)接受,一定有一個單邊檢驗(yàn)是拒絕的；C.單邊檢驗(yàn)拒絕,雙邊檢驗(yàn)一定拒絕.D.雙邊檢驗(yàn)拒絕,一定有一個單邊檢驗(yàn)是拒絕的；在顯著性水平一定的情況下例如a =0.05

4、 ,對于單側(cè)檢驗(yàn)時仍使用a進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷,雙側(cè)檢驗(yàn)?zāi)敲从胊 /2進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷,同樣條件下雙尾檢測區(qū)域小、效率更低6 .某汽車生產(chǎn)廠家為增加某型號汽車的銷售量,采用促銷手段,促銷一個月 后,分別收集了 8個銷售點(diǎn)處促銷前一個月和促銷后一個月該車型的銷售輛,如果不考慮其他影響銷售量因素,僅通過觀察和分析這些樣本數(shù)據(jù), 是否認(rèn)為這次促銷有助于提升汽車的銷售量.請將適宜的可用于分析該類問題的檢驗(yàn)過程選出來：C銷售點(diǎn)代號：12345678促銷前輛：90 83 10597 110 7855123促銷后輛：97 80 11093 123 8457110A.兩樣本Z檢驗(yàn)B.兩樣本t檢驗(yàn)C.單一樣本t檢驗(yàn)D.單一

5、樣本Z檢驗(yàn)同一樣本即8個銷售點(diǎn)做不同實(shí)驗(yàn)進(jìn)行均值比擬,且當(dāng)前為小樣本8或“0),f(x, a , 3 )=0 ( x0),f(x, a , 3 )=0 (x30時二者相差很小；當(dāng) n一8聯(lián)系：隨看自由度增大t分布趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；當(dāng) 時二者重合.t分布是依自由度而變的一組曲線區(qū)別：正態(tài)分布是與自由度無關(guān)的一條曲線;t分布較正態(tài)分布頂部略低而尾部稍高10 .解釋假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間的區(qū)別假設(shè)檢驗(yàn)與置信區(qū)間都是根據(jù)樣本信息推斷總體參數(shù),二者可相互轉(zhuǎn)換,形成對偶性, 都是統(tǒng)計(jì)推斷的重要內(nèi)容.主要區(qū)別：1參數(shù)估計(jì)是根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)的真值； 假設(shè)檢驗(yàn)是根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)對總體參數(shù)的先驗(yàn)假設(shè)是

6、否成立；2區(qū)間估計(jì)通常求得的是以樣本估計(jì)值為中央的雙側(cè)置信區(qū)間,而假設(shè)檢驗(yàn)以假設(shè)總體參數(shù)值為基準(zhǔn),不僅有雙側(cè)檢驗(yàn)也有單側(cè)檢驗(yàn)；3區(qū)間估計(jì)立足于大概率,通常以較大的把握程度置信水平1-“去保證總體參數(shù)的置信區(qū)間.而假設(shè)檢驗(yàn)立足于小概率,通常是給定很小的顯著性水平a去檢驗(yàn)對總體參數(shù)的先驗(yàn)假設(shè)是否成立.11 .統(tǒng)計(jì)推斷與數(shù)據(jù)匯總之間有哪些重要的區(qū)別？描述統(tǒng)計(jì)是指統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的搜集、整理、顯示和分析等,統(tǒng)計(jì)推斷是利用樣本信息和概率 論對總體的數(shù)量特征進(jìn)行估計(jì)和檢驗(yàn)等.12 .中位數(shù)檢驗(yàn)與均值t檢驗(yàn)之間的區(qū)別與聯(lián)系需要指出的是,我們現(xiàn)在處理的數(shù)據(jù),大局部是對稱的數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)符合或者近似符合正態(tài) 分布.這時候,

7、均值平均數(shù)、中位數(shù)是一樣的,從而中位數(shù)檢驗(yàn)與均值 t檢驗(yàn)相同.只有在數(shù)據(jù)分布偏態(tài)不對稱的情況下,才會出現(xiàn)均值、中位數(shù)的區(qū)別 .所以說,如果是正態(tài)的話,用哪個統(tǒng)計(jì)量都行.如果偏態(tài)的情況/I別嚴(yán)重的話 ,可以用中位數(shù)檢驗(yàn).三、計(jì)算題25分一Hardy-Weinberg平衡問題中,父代有兩種基因 M和N, M在種群中的分布 為b1, p現(xiàn)在測量到了子代基因分布為：MN總量頻數(shù)3425001871029a)請根據(jù)這些數(shù)據(jù)求父代的一p的極大似然估計(jì);一(10分)b)請給出p的置信區(qū)間的求解公式,并解釋；(15分)【解】a)設(shè)父代樣本X服從b(1,p),L(p)Jnyv-Zt 師叱芍i(p)=孤)=格公)

8、8=口最大似然估計(jì)為：p = *1卬由于Hardy-Weinberg平衡,群體的基因頻率在一代一代繁殖傳代中保持不變.從而子代的基因型頻率分別為 p2,2P(1-p),(1-p)2,從而p2=r陌,p=Jl.加=0.58 “b)當(dāng)樣本數(shù) n足夠多時父代基因M的頻率近似服從正態(tài)分布N(p,p(1-p)/n) , (p-p)/SQRT(p(1-p)/n)N(0,1),從而(p-p)/SQRRp(1-p)/n)N(0,1)從而參數(shù)p的置信區(qū)間為(p-可/2SQRTp(1-p)/n), p+ 區(qū)？SQRTp(1-p)/n)(二)用possion (入)分布參數(shù)人的極大似然估計(jì)的漸進(jìn)分布求置信區(qū)問.【解

9、】L( X)=n(e-xXxi)/x i!= e -n x 入/l(入)=-n 入 +；%n 入-第.M口 l(入)=-n+ -/入=0口一r r ,人 y最大似然估計(jì)為：入 =/n.當(dāng)n充分大時,入 漸進(jìn)正態(tài) N (入,入/n ),(入-入)/SQRT(入/n) sN(0,1)從而(入-入)/SQRT(入 /n) sN(0,1) 從而參數(shù)入的置信區(qū)間為(；-隰/2 SQRT( X /n), X +/2 SQRT( X /n)(三)X1, X 2,Xn是從兩點(diǎn)分布 Bernoulli(1,p)中抽取出來的獨(dú)立同分布樣本：1.求(1-p)2的極大似然估計(jì)(10分).2. 1中的估計(jì)量是無偏估計(jì)嗎

10、？如果是有偏的,請給出(1-p)2的一個無偏估計(jì).(15分)【解】1.設(shè)總體X服從b(1,p),L(p) =%,)戶(小l(p) = _-P)=冷；-(生)6=.最大似然估計(jì)為：p =匕3/4 = x(1-p)2的最大似然估計(jì)為(1-p)2=(1-X )22. nXyrtx尸1 ； s b(n,p)E(nX )=np,D(nX )=np(1-p),/ E(X2)=(E(X-) 2+D(X),而 D(X)=D(X)/n _E(1-X )2=E(1+X 2-2X )=1+ p(n-1)p+1)-2pP厘= (1-p)2+*l- H “是有偏估計(jì),其中(1-p)2=1-X-S2為無偏估計(jì),事實(shí)上:

11、“E(1-p)2)=1-E(X )-E(S2)=1-p-1! 1 E( - nX2)=(1-p)2(四)X1,Xn是從正態(tài)分布N( /)中抽取的獨(dú)立隨機(jī)變量,請答復(fù)1)計(jì)算E( S2/b2) , S2是樣本方差；(10分)2)請?jiān)谒械男问綖?aX1+bX2的估計(jì)量中,找到2科的最小方差無偏估計(jì)；(10分)E(Xi2)=(r2+ F,E(X2)= + 2E( S2/ b 2)= =(舊中-叫的)1 / 2 = 1(2) E(aX1+bX2)=(a+b)尸2 以V(aX+bX2)=(a 2+b2) a 2當(dāng)a+b=2的條件下,a=b=1方差最小,使得(a2+b2)(r2最小,X1+X2為2的最小

12、方差無偏估計(jì).四、論述題：25分一研究者想了解某種電子設(shè)備產(chǎn)品在一年的各個季節(jié)里被購置的情況是否 存在不同.如果用銷售量來解釋這一問題,對這一問題可能提出的最簡單的零3年的銷假設(shè)可能是什么？在這一假設(shè)之下,研究者調(diào)查了有關(guān)這種產(chǎn)品過去 售量2070萬臺.表1某種電子設(shè)備產(chǎn)品在過去 3年中的銷售量季節(jié)O (萬) EOi-Ei(Oi-Ei)2【4-明,495春季夏季秋季冬季總計(jì)50349158120701 .解釋表頭字母的含義；2 .請將上面的表格填寫完整.2.如果x 23,0.95=7.81,請給出你的推斷過程和據(jù)此可能的結(jié)論.解：1.這一問題可能提出的最簡單的零假設(shè)可能是Ho：各個季節(jié)里被購置

13、的情況是相同.表小卡方統(tǒng)計(jì)量.季節(jié)O 萬EOi-Ei(Oi-Ei)2的春季495517.5-22.5506.250.98夏季503517.514.5210.250.41秋季491517.5-26.5702.251.36冬季581517.563.54032.257.79總計(jì)2070207010.54O表示各個季度觀察次數(shù),E表示各個季度的理論次數(shù),2.2 X 2(3,0.95) = 7.81 ,3.由于x拒絕原假設(shè),認(rèn)為各個季節(jié)里被購置的情況是顯著差異的.二研究者想了解某地區(qū)的醫(yī)院出院人數(shù)DISC和床位量BEDN,調(diào)查了 21家醫(yī)院數(shù)據(jù),分為甲級(I)和乙級(II)兩類如下:等級IIIIIIII

14、IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIDISC912436242734404322BEDN6264676972711111612421 .如果我們感興趣的問題是醫(yī)院出院人數(shù)小于400的比例估計(jì),請給出通過抽取樣本研究這一問題的統(tǒng)計(jì)推斷問題和估計(jì)量；2 .如果假定p來自先驗(yàn)分布beta(a,b),請先根據(jù)甲級醫(yī)院估計(jì)出a和b,再給出對乙級醫(yī)院p的后驗(yàn)估計(jì)計(jì)算公式和計(jì)算結(jié)果；3 .如果將床位量按(0,70,(71,110以及(110,150分為大,中,小,請給出用來判斷床 位數(shù)和出院人數(shù)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)模型和解答.1 .設(shè)隨機(jī)變量X表示出院人數(shù),可以引進(jìn)隨機(jī)變量Yi = I(X i4

15、00)=1,X400那么Yb(1,p),醫(yī)院出院人數(shù)小于 400的比例估計(jì)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)分布中參數(shù)p的估計(jì).l(p)F)A2 139764698825.965 0.0103 *Residuals 18 21088911716Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01* 0.05.0.1 1床位數(shù)對出院人數(shù)有有顯著影響.(b)線性回歸：設(shè)變量y為出院人數(shù),自變量x為床位量的等級變量,假設(shè)滿足線性回歸模型：y=a+bx+e, eN(0, 一),利用最小二乘可得 a,b的參數(shù)估計(jì),利用 R計(jì)算的 y=c(91,240,255,233,315,200,266,120,228,362,4

16、14,518,389,535,273,440,431,534,426,505 ,322)x=c(0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2)a=lm(yx);summary(a)AAA結(jié)果是：y=a+bx=218.12+104.85x(Intercept)218.1241.165.299 4.09e-05 *x104.8529.823.516 0.00231 *Signif. codes: 0*0.001* 0.01 * 0.05Residual standard error: 105.7 on 19 degrees of freedomMultiple

17、 R-squared: 0.3942, Adjusted R-squared: 0.3623F-statistic: 12.36 on 1 and 19 DF, p-value: 0.002311最小二乘法即到達(dá)最小的Bo和Bi為：PJXp -V yrBi=三研究者想了解某種產(chǎn)品在四家商場中購置是否存在不同.如果用銷售量 來解釋這一問題,對這一問題可能提出的最簡單的零假設(shè)可能是什么？在這一 假設(shè)之下,研究者調(diào)查了有關(guān)這種產(chǎn)品過去 2年的銷售量196萬臺.表1某種產(chǎn)品在過去2年中的銷售量解釋表頭字母的含義；2.請將上面的表格填寫完整.3.如果x 23,0.95=7.81,請給出你的推斷過程和據(jù)此

18、可能的結(jié)論.【解】1.這一問題可能提出的最簡單的零假設(shè)可能是Ho：各個季節(jié)里被購置的情況是相同.嚴(yán)石O表示各個商場觀察銷售量,E表示各個商場的理論銷售量, 表示卡方統(tǒng)計(jì)量.2.季節(jié)O 萬EOi-Ei(Oi-Ei)20 -A984949240149B6749183246.61C6.45.61總計(jì)196196101.673.由于 x 2 X 2(3,0.95)=7.81 , 拒絕原假設(shè),認(rèn)為各個商場銷售量的情況是顯著差異的.(四)某種感冒沖劑規(guī)定每包重量為12克,超重或過輕都是嚴(yán)重問題.質(zhì)檢員抽取25包沖劑稱重檢驗(yàn),得到平均每包的重量為11.85克,標(biāo)準(zhǔn)差s=0.6克.假定產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布(a =0.05).(za/2=1.96,t a/2=1.71)(1) 感冒沖劑的每包重量是否符合標(biāo)準(zhǔn)要求？(寫出詳細(xì)的檢驗(yàn)過程)(2) 檢驗(yàn)結(jié)論能否證實(shí)感冒沖劑的每包重量符合標(biāo)準(zhǔn)要求？為什么？(3) 上述檢驗(yàn)結(jié)論可能犯哪一類錯誤？說明這一錯誤的實(shí)際含義.(4) 根據(jù)上述檢驗(yàn)計(jì)算出的 p=0.223,解釋這個P值的具體含義.(1)由題意需要檢驗(yàn)假設(shè)：Ho：斤-=12 Hi:(1 w 0拒絕域：ABS(x - p) /(s/V) ) t /2(n-1)t 8/2 =1.71, (10=12, n=25,s=0.6 由樣本計(jì)算 x=11.85,即有