傅里葉級數(shù)課件

1、1 傅里葉級數(shù) 一個函數(shù)能表示成冪級數(shù)給研究函數(shù)帶來便利, 但對函數(shù)的要求很高(無限次可導(dǎo)). 如果函數(shù)沒有這么好的性質(zhì), 能否也可以用一些簡單而又熟悉的函數(shù)組成的級數(shù)來表示該函數(shù)呢? 這就是將要討論的傅里葉級數(shù). 傅里葉級數(shù)在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程技術(shù)中都有著非常廣泛的應(yīng)用, 是又一類重要的級數(shù). 一、三角級數(shù)正交函數(shù)系三、收斂定理二、以 為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)2 一、三角級數(shù)正交函數(shù)系 在科學(xué)實驗與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中在科學(xué)實驗與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中, , 常會碰到一常會碰到一 種周期運動種周期運動. . 最簡單的周期運動最簡單的周期運動, , 可用正弦函數(shù)可用正弦函數(shù) sin()(1)yA

2、x 來描述來描述. . 由由(1)(1)所表達(dá)的周期運動也稱為簡諧振動所表達(dá)的周期運動也稱為簡諧振動, , 其中其中A為為振幅振幅. 為為初相角初相角, 為為角頻率角頻率, 于是簡諧于是簡諧 振動振動y 的的周期周期是是 2.T 較為復(fù)雜的周期運動較為復(fù)雜的周期運動, 則則 常常是幾個簡諧振動常常是幾個簡諧振動 sin(),1,2,kkkyAkxkn 11sin().(2)nnkkkkkyyAkx ky2,1,2, ,TTknk 由于簡諧振動由于簡諧振動 的周期為的周期為所以函數(shù)所以函數(shù)(2)(2)周期為周期為T T. . 對無窮多個簡諧振動進(jìn)行疊對無窮多個簡諧振動進(jìn)行疊 加就得到函數(shù)項級數(shù)加

3、就得到函數(shù)項級數(shù) 01sin().(3)nnnAAn x 的疊加：的疊加： 若級數(shù)若級數(shù)(3)收斂收斂, , 則它所描述的是更為一般的周期運則它所描述的是更為一般的周期運 1 1 動現(xiàn)象動現(xiàn)象. 對于級數(shù)對于級數(shù)(3), 只須討論只須討論 (如果如果可可 用用x 代換代換x )的情形的情形. 由于由于 sin()sincoscossin,nnnnxnxnx 所以所以01sin()nnnAAnx 01(sincoscossin).(3 )nnnnnAAnxAnx 00,sin,cos,1,2,2nnnnnnaAAaAb n記記01(cossin).(4)2nnnaanxbnx它是由三角函數(shù)列它是

4、由三角函數(shù)列( (也稱為三角函數(shù)系也稱為三角函數(shù)系) )1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,(5)xxxxnxnx所產(chǎn)生的一般形式的三角級數(shù)所產(chǎn)生的一般形式的三角級數(shù). . 容易驗證容易驗證, ,若三角級數(shù)若三角級數(shù)( (4) )收斂收斂, ,則它的和一定是一則它的和一定是一 個以個以 為周期的函數(shù)為周期的函數(shù). . 2關(guān)于三角級數(shù)關(guān)于三角級數(shù)( (4) )的收斂性有如下定理的收斂性有如下定理: :則級數(shù)則級數(shù)( )可寫成可寫成 3 定理定理 12.1 若級數(shù)若級數(shù)01|(|).2nnnaab收斂收斂, ,則級數(shù)則級數(shù)(4)(4)在整個數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂在整個

5、數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂. . 證證 對任何實數(shù)對任何實數(shù)x, ,由于由于|cossin| |,nnnnanxbnxab根據(jù)優(yōu)級數(shù)判別法根據(jù)優(yōu)級數(shù)判別法, , 就能得到本定理的結(jié)論就能得到本定理的結(jié)論. .為進(jìn)一步研究三角級數(shù)為進(jìn)一步研究三角級數(shù)(4)的收斂性的收斂性, 先討論三角函先討論三角函 數(shù)系數(shù)系 (5) 的特性的特性. 首先容易看出三角級數(shù)系首先容易看出三角級數(shù)系(5)中所中所 其次其次, , 在三角函數(shù)系在三角函數(shù)系(5)中中, , 任何兩個不相同的函數(shù)任何兩個不相同的函數(shù) cosdsind0,(6)nx xnx xcoscosd0 (),sinsind0 (),(7)cossin

6、d0 .mxnx xmnmxnx xmnmxnx x有函數(shù)具有共同的周期有函數(shù)具有共同的周期 2.的乘積在的乘積在 上的積分等于零上的積分等于零, ,即即, 而而(5)中任何一個函數(shù)的平方在中任何一個函數(shù)的平方在 -, 上的積分都上的積分都不等于零不等于零, , 即即 222cosdsind,(8)1 d2nx xnx xx , a b若兩個函數(shù)若兩個函數(shù)與與在在上可積上可積, 且且 ( ) ( )d0baxxx , a b , a b則稱則稱 與與在在上是上是正交正交的的, 或在或在上具有上具有正正 交性交性. 由此三角函數(shù)系由此三角函數(shù)系(4)在在 ,上具有上具有正交性正交性. 或者說或者

7、說(5)是正交函數(shù)系是正交函數(shù)系. . 現(xiàn)應(yīng)用三角函數(shù)系現(xiàn)應(yīng)用三角函數(shù)系(5)的正交性來討論三角級數(shù)的正交性來討論三角級數(shù)(4) 的和函數(shù)的和函數(shù) f 與級數(shù)與級數(shù)(4)的系數(shù)的系數(shù)0,nnaab之間的關(guān)系之間的關(guān)系.定理定理12.2 若在若在-, 上上01( )(cossin)(9)2nnnaf xanxbnx且等式右邊級數(shù)一致收斂且等式右邊級數(shù)一致收斂, , 則有如下關(guān)系式則有如下關(guān)系式: : 1( )cosd ,0,1,2,(10 )naf xnx x na二、以 為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 2 1( )sind ,1,2,(10 )nbf xnx x nb證證 由定理條件由定理條件, 函

8、數(shù)函數(shù) f 在在, 上連續(xù)且可積上連續(xù)且可積. 對對 (9)式逐項積分得式逐項積分得 ( )df xx01d(cosdsind ).2nnnaxanx xbnx x由關(guān)系式由關(guān)系式(6)知知, , 上式右邊括號內(nèi)的積分都等于零上式右邊括號內(nèi)的積分都等于零. . 所以所以 00( )d2,2af xxa即即01( )d .af xx又以又以coskx乘乘(9)式兩邊式兩邊 (k為正整數(shù)為正整數(shù)), 得得0( )coscos2af xkxkx 1(coscossincos).(11)nnnanxkxbnxkx 由級數(shù)由級數(shù)(9)一致收斂一致收斂, ,可得級數(shù)可得級數(shù)(11)(11)也一致收斂也一致

9、收斂. . 于是對級數(shù)于是對級數(shù)(11)逐項求積逐項求積, , 有有 ( )cosdf xkx x01cosd(coscosd2nnakx xanxkx x由三角函數(shù)的正交性由三角函數(shù)的正交性, 右邊除了以右邊除了以ka為系數(shù)的那一為系數(shù)的那一 項積分項積分 2cosdkx x外外, ,其他各項積分都等于其他各項積分都等于0, ,于是得出于是得出: : ( )cosd(1,2,).kf xkx xaksincosd ).nbnxkx x即即1( )cosd(1,2,).kaf xkx xk同理同理, ,(9)式兩邊乘以式兩邊乘以sin kx, ,并逐項積分并逐項積分, , 可得可得 1( )s

10、ind(1,2,).kbf xkx xk2, 由此可知由此可知, 若若f 是以是以 為周期且在為周期且在 上可積的上可積的 nanb函數(shù)函數(shù), 則可按公式則可按公式(10)計算出計算出 和和, 它們稱為函數(shù)它們稱為函數(shù) f (關(guān)于三角函數(shù)系關(guān)于三角函數(shù)系(5) ) 的的傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù), ,以以 f 的傅里的傅里 葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)(9)稱為稱為 f (關(guān)于三角函數(shù)關(guān)于三角函數(shù) 系系) 的的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù), , 記作記作 01( )(cossin).(12)2nnnaf xanxbnx這里記號這里記號“”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級表示上式右邊是左邊函數(shù)

11、的傅里葉級 數(shù)數(shù), , 由定理由定理12.2知道知道: : 若若(9)式右邊的三角級數(shù)在整式右邊的三角級數(shù)在整 個數(shù)軸上一致收斂于和函數(shù)個數(shù)軸上一致收斂于和函數(shù) f , , 則此三角級數(shù)就是則此三角級數(shù)就是 f 的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù), ,即此時即此時(12)式中的記號式中的記號“”可換為可換為 函數(shù)函數(shù) f 出發(fā)出發(fā), , 按公式按公式(10)求出其傅里葉系數(shù)并得到求出其傅里葉系數(shù)并得到 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)(12) , , 這時還需討論此級數(shù)是否收斂這時還需討論此級數(shù)是否收斂. .如果收斂如果收斂, , 是否收斂于是否收斂于 f 本身本身. . 這就是下一段所要這就是下一段所要 敘述的內(nèi)

12、容敘述的內(nèi)容. . 等號等號. 然而然而, 若從以若從以 為周期且在為周期且在 , 上可積的上可積的 2 , , ,x 函數(shù)函數(shù) f 在在 上按段光滑上按段光滑, 則在每一點則在每一點f 的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù)(12)收斂于收斂于f 在點在點x 的左、右極限的的左、右極限的 算術(shù)平均值算術(shù)平均值, , 即即 01(0)(0)(cossin),22nnnaf xf xanxbnx,nna b其中其中為為f 的傅里葉系數(shù)的傅里葉系數(shù). 定理定理12.312.3( (傅里葉級數(shù)收斂定理傅里葉級數(shù)收斂定理) ) 若以若以 為周期的為周期的 2三、收斂定理注注 傅里葉級數(shù)的收斂性質(zhì)與冪級數(shù)相比傅里葉級

13、數(shù)的收斂性質(zhì)與冪級數(shù)相比, , 對對 函數(shù)的要求要低得多函數(shù)的要求要低得多, , 所以應(yīng)用更廣所以應(yīng)用更廣. . 而且即將看到函數(shù)周期性的要求也可以去掉而且即將看到函數(shù)周期性的要求也可以去掉. . 概念解釋概念解釋1. 若若f 的導(dǎo)函數(shù)在的導(dǎo)函數(shù)在 , a b上連續(xù)上連續(xù), 則稱則稱f在在a, b上上光光滑滑. . 2. 如果定義在如果定義在 , a b 上函數(shù)上函數(shù)f 至多有有限個第一類間至多有有限個第一類間 斷點斷點, ,其導(dǎo)函數(shù)在其導(dǎo)函數(shù)在 a, b 上除了至多有限個點外都存上除了至多有限個點外都存 在且連續(xù)在且連續(xù), 并且在這有限個點上導(dǎo)函數(shù)并且在這有限個點上導(dǎo)函數(shù) f 的左、右的左、

14、右 極限存在極限存在, 則稱則稱 f 在在 , a b上上按段光滑按段光滑. 在在a, b上按段光滑的函數(shù)上按段光滑的函數(shù) f , ,有如下重要性質(zhì)有如下重要性質(zhì): : (i) f 在在 , a b上可積上可積. , a b(0)f x (ii) 在在 上每一點都存在上每一點都存在 , 如果在不連續(xù)如果在不連續(xù) ( )(0)f xf x ( )(0)f xf x 點補充定義點補充定義 , 或或 , 則則 還有還有 00()(0)lim(0),(13)()(0)lim(0),ttf xtf xfxtf xtf xfxtf , a b(iii) 在補充定義在補充定義在在上那些至多有限個不存在上那些

15、至多有限個不存在 f f 導(dǎo)數(shù)的點上的值后導(dǎo)數(shù)的點上的值后 ( 仍記為仍記為 ), 在在a, b上可積上可積. 從幾何圖形上講從幾何圖形上講, , 在在 區(qū)間區(qū)間a, b上按段光滑上按段光滑 光滑函數(shù)光滑函數(shù), ,是由有限個是由有限個 多有有限個第一類間多有有限個第一類間 斷點斷點 (圖圖15-1). . 光滑弧段所組成光滑弧段所組成, ,它至它至 151 圖圖Oxb( )yf x 1x2xa3x4xy收斂定理指出收斂定理指出, f 的傅里葉級數(shù)在點的傅里葉級數(shù)在點 x 處收斂于處收斂于 在在f該點的左、右極限的算術(shù)平均值該點的左、右極限的算術(shù)平均值(0)(0);2f xf x而當(dāng)而當(dāng) f 在

16、點在點 x 連續(xù)時連續(xù)時, ,則有則有(0)(0)( ),2f xf xf x即此時即此時f的傅里葉級數(shù)收斂于的傅里葉級數(shù)收斂于 ( )f x. 這樣便有這樣便有 上按段光滑上按段光滑, 則則 f 的傅里葉級數(shù)在的傅里葉級數(shù)在 (,) 上收斂上收斂 于于 f . . 推論推論 若若 f 是以是以 為周期的連續(xù)函數(shù)為周期的連續(xù)函數(shù), 且在且在 , 2所以所以系數(shù)公式系數(shù)公式(10)中的積分區(qū)間中的積分區(qū)間 , 可以改為長可以改為長 221( )cosd0,1,2,(10 )1( )sind1,2,cnccncaf xnx xnbf xnx xn其中其中 c 為任何實數(shù)為任何實數(shù). .注注2 在具

17、體討論函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式時在具體討論函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式時, , 經(jīng)常經(jīng)常 ( , , ) 只給出函數(shù)在只給出函數(shù)在 (或或 )上的解析式上的解析式, 但但注注1 根據(jù)收斂定理的假設(shè)根據(jù)收斂定理的假設(shè), ,f 是以是以 為周期的函數(shù)為周期的函數(shù), , 2nanb度為度為 的任何區(qū)間的任何區(qū)間, 而不影響而不影響 , 的值的值: 2應(yīng)理解為它是定義在整個數(shù)軸上以應(yīng)理解為它是定義在整個數(shù)軸上以 2為周期的函為周期的函 ( , ( , 數(shù)數(shù), 即在即在 以外的部分按函數(shù)在以外的部分按函數(shù)在 上的對上的對 應(yīng)關(guān)系做應(yīng)關(guān)系做周期延拓周期延拓. . 也就是說函數(shù)本身不一定是定也就是說函數(shù)本身不一定是

18、定 義在整個數(shù)軸上的周期函數(shù)義在整個數(shù)軸上的周期函數(shù), , 但我們認(rèn)為它是周期但我們認(rèn)為它是周期 函數(shù)函數(shù). 如如 f 為為 ( , 上的解析表達(dá)式上的解析表達(dá)式, 那么周期延拓那么周期延拓 后的函數(shù)為后的函數(shù)為 ( ),( ,( )(2 ),(21),(21),1,2,.f xxf xf xkxkkk 如圖所示如圖所示. . 因此當(dāng)籠統(tǒng)地說函數(shù)的傅里葉級數(shù)因此當(dāng)籠統(tǒng)地說函數(shù)的傅里葉級數(shù) 時就是指函數(shù)時就是指函數(shù) f 的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù). 例例 1 設(shè)設(shè) , 0,( )0,0,xxf xx求求 f 傅里葉級數(shù)展傅里葉級數(shù)展 152( )yf x 圖圖實實線線與與虛虛線線的的全全體體表表示

19、示Ox( )yf x 3 35y開式開式. .解解 函數(shù)函數(shù) f 及其周期延拓后的圖像如下圖所示及其周期延拓后的圖像如下圖所示, , 顯然顯然 f 是按段光滑的是按段光滑的. . 153 圖圖Oyx( )yf x 3 352 24故由傅里葉級數(shù)收斂定理故由傅里葉級數(shù)收斂定理, , 它可以展開成傅里葉級它可以展開成傅里葉級 數(shù)數(shù). . 由于由于 0011( )dd,2af xxx x 當(dāng)當(dāng)n1時時, , 011( )cosdcosdnaf xnx xxnx x 2000111sinsindcos|xnxnx xnxnnn2221(cos 1)nnnnn， 當(dāng)當(dāng) 為為奇奇數(shù)數(shù)時時, ,0 0， 當(dāng)

20、當(dāng) 為為偶偶數(shù)數(shù)時時, ,011( )sindsindnbf xnx xxnx x 0011coscosd|xnxnx xnn120( 1)1cosdnnx xnn1( 1),nn(,) 所以在開區(qū)間所以在開區(qū)間 上上21( )cossinsin24221cos3sin3.93f xxxxxx在在x 時時, 上式右邊收斂于上式右邊收斂于 (0)( +0)0.222ff 如圖如圖所示所示154 圖圖Oyx( )yf x 3 3 52 242153 圖圖Oyx( )yf x 3 352 2422,0,( )0 ,2.xxf xxxx解解 f 及其周期延拓的及其周期延拓的 圖形如圖圖形如圖15-5

21、所示所示. . 顯然顯然 f 是按段光滑的是按段光滑的, , 因此可以展開成傅里因此可以展開成傅里 葉級數(shù)葉級數(shù). . 155 圖圖Oyx( )yf x 3 32 2例例2 將下列函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)將下列函數(shù)展開成傅里葉級數(shù): : 10 0c 0, 2 在在( )中令中令 , 在在 上計算傅里葉系數(shù)如下上計算傅里葉系數(shù)如下: 2001( )daf xx222011d()dxxxx22272 ,33 201( )cosdnaf xnx x222011cosd()cosdxnx xxnx x2320122sincosxxnxnxnnn24( 1)1,nn201( )sindnbf xnx x22

22、32122sincosxxnxnxnnn222011sind()sindxnx xxnx x2320122cossinxxnxnxnnn2232122cossinxxnxnxnnn 223221( 1).nnnn所以當(dāng)所以當(dāng) (0,)(,2)x時時, 2214( )( 1)1cosnnf xnxn 222118 coscos3cos535xxx 2232 21( 1)sinnnxnnn2223234(34)sinsin2sin3233xxx2sin4.4x當(dāng)當(dāng)x 時時, 由于由于(0)(0)0,2ff所以所以 222211108.(14)1352211( (00)(00)( 40)2 ,22ff -因此因此當(dāng)當(dāng)0 x 或或 時時, 由于由于22222211128.(15)135 由由( (14) )或或( (15) )