復(fù)變函數(shù)課件四(北京理工大學(xué))

1、S1 我們從導(dǎo)數(shù)與積分的角度研究解析函我們從導(dǎo)數(shù)與積分的角度研究解析函數(shù)均獲得成功于是，我們自然會(huì)想從數(shù)數(shù)均獲得成功于是，我們自然會(huì)想從數(shù)學(xué)分析中選取別的研究角度如學(xué)分析中選取別的研究角度如冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)來(lái)討來(lái)討論解析函數(shù)實(shí)踐證明，這種選擇是成功論解析函數(shù)實(shí)踐證明，這種選擇是成功的的 S2第四章第四章 復(fù)級(jí)數(shù)復(fù)級(jí)數(shù) 首先介紹首先介紹復(fù)數(shù)列和復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂復(fù)數(shù)列和復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的概念和判別法，以及的概念和判別法，以及冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的有關(guān)概的有關(guān)概念和性質(zhì)。念和性質(zhì)。 然后討論解析函數(shù)的然后討論解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)和和羅羅倫級(jí)數(shù)倫級(jí)數(shù)展開定理及其展開式的求法，它展開定理及其展開式的求法，它們是研

2、究解析函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算其積分們是研究解析函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算其積分的重要工具。的重要工具。S31 1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)列的收斂性及其判別法一、復(fù)數(shù)列的收斂性及其判別法二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法三、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑三、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑四四、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)S4復(fù)數(shù)序列復(fù)數(shù)序列就是：就是：這里這里 是復(fù)常數(shù)，是復(fù)常數(shù)， ，該序，該序列簡(jiǎn)單記為列簡(jiǎn)單記為 。根據(jù)。根據(jù) 的有界性來(lái)定義的有界性來(lái)定義 的有界性。的有界性。研究級(jí)數(shù)和序列的基本性質(zhì)，先從復(fù)數(shù)序列開始。研究級(jí)數(shù)和序列的基本性質(zhì)，先從復(fù)數(shù)序列開始。一、一、復(fù)數(shù)

3、序列的收斂性及其判別法復(fù)數(shù)序列的收斂性及其判別法：nnzb Im ,222ibaz nz 12)1(nnninnn21| |nzi baznnn 111)1(nnnR 0101()()() ( )2( )kkkffzdzziz S5定義定義1 設(shè)設(shè) 一復(fù)常數(shù)，如果對(duì)任意一復(fù)常數(shù)，如果對(duì)任意 ，存在，存在 使得當(dāng)使得當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有則稱則稱 極限是極限是 ，或者，或者 收斂且收斂到收斂且收斂到 ，記作記作 1nn |nz0limaann 0 nnzaRe i baz000 0|z z R 110( )(), (1 ,2 ,3 )kk kfzcz zk .lim發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 10nnnn 復(fù)數(shù)

4、列的極限復(fù)數(shù)列的極限 nnzlim0|lim nnz定理定理1 1S6定理定理2 2 復(fù)數(shù)序列復(fù)數(shù)序列 收斂到收斂到 的充分必要條件是：的充分必要條件是： 并且并且11nnnnnnzczczz 011n0 , lim 0 nnnnzczcz 不不 妨妨 設(shè)設(shè) 0 0 . . 因因 為為 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)收收 斂斂 有有 ， 121)1(nnn1C復(fù)數(shù)列收斂與實(shí)數(shù)列收斂的關(guān)系復(fù)數(shù)列收斂與實(shí)數(shù)列收斂的關(guān)系S7.lim0aann 那末對(duì)于任意給定的那末對(duì)于任意給定的, 0 能找到一個(gè)正整數(shù)能找到一個(gè)正整數(shù) 使得當(dāng)使得當(dāng) )( )(00ibaibannn , Nn 證明：證明：如果如果in 從而有從而有)(

5、)(00bbiaann 即即,00 bbaann同理可證：同理可證：0 1 0| | |zzzz S8R 反之反之, , 如果如果 ，那么，那么當(dāng)當(dāng) . 11也也都都收收斂斂及及 nnnnba.lim0bbnn 從而有從而有R R )1 (1 1是是否否收收斂斂？級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nninR 該結(jié)論說(shuō)明該結(jié)論說(shuō)明: : 可將復(fù)數(shù)列的收斂性轉(zhuǎn)化為判別兩可將復(fù)數(shù)列的收斂性轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的收斂性個(gè)實(shí)數(shù)列的收斂性. .所以所以S9解解 (1)令令 ， 則則 ，顯，顯然然 ， 故當(dāng)故當(dāng) ， 。 ibann1, 0 nnbann0n 0na1nb11( ),12f zzz R 例例1 1 判別下列數(shù)列的收斂

6、性和極限判別下列數(shù)列的收斂性和極限 （1） （2） （3）1 nnin R inne (2)(2)顯然當(dāng)顯然當(dāng) 時(shí)時(shí) ， ，因此，因此R nnS 21 (3)由于由于 ，并且，并且 發(fā)散，所發(fā)散，所 以該數(shù)列發(fā)散以該數(shù)列發(fā)散。S10 所謂通項(xiàng)為復(fù)數(shù)所謂通項(xiàng)為復(fù)數(shù) 的的復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是就是 .lim nn前前n項(xiàng)的和項(xiàng)的和 . 1121收收斂斂 nnnnb稱為級(jí)數(shù)的稱為級(jí)數(shù)的部分和部分和.二、二、 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法收斂性及其判別法00()nnnc z z ,nni S11如果該部分和數(shù)列如果該部分和數(shù)列 收斂到收斂到S，則稱上，則稱上述述復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收

7、斂，且稱，且稱 為該級(jí)數(shù)的和，為該級(jí)數(shù)的和，記為記為 如果該部分和數(shù)列如果該部分和數(shù)列 發(fā)散，則稱發(fā)散，則稱復(fù)數(shù)項(xiàng)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散。 nnn00 11nnnnba收收斂斂的的必必要要條條件件是是和和因因?yàn)闉閷?shí)實(shí)數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)01( )nnf z . 的的極極限限存存在在和和nn 級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念說(shuō)明說(shuō)明：與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同：與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同, , 判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本方法是數(shù)斂散性的基本方法是: : .lim SSnn 利利用用極極限限S1200lim,limbbaannnn ,)1(11 zzzn收收斂斂的的必必要要條條件件是是所所以以復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)

8、項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nn ,1時(shí)時(shí)由由于于當(dāng)當(dāng) znS .1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂所所以以當(dāng)當(dāng) z,0limlim innnne 因因?yàn)闉镾13復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系( (定理定理3 3) ) 證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)閕bannn : 極極限限存存在在的的充充要要條條件件根根據(jù)據(jù)nS 1收收斂斂的的充充要要條條件件是是即即， nn )()(2121nnbbbiaaa ()nfz定理定理3 3S14-121nnzzzs nS說(shuō)明說(shuō)明 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題.111絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂與與絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂 nnnnnnb a 兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題兩

9、個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題 1nn| S15102|RzzR 解解32 12sin1( 1)3! 5!(2 1)!nnzz zzzzn 101101( )()2()kkkCfd z ziz 所以原級(jí)數(shù)發(fā)散所以原級(jí)數(shù)發(fā)散. 練習(xí)練習(xí)S16級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件定理定理4 4 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 收斂，那么當(dāng)收斂，那么當(dāng) 時(shí)時(shí)， z124Iici 120Iic . 1是是收收斂斂的的 nn 0lim nn S17注意注意：條件條件 ，該條件只是級(jí)數(shù)，該條件只是級(jí)數(shù)收斂的收斂的必要必要條件，而條件，而不是充分不是充分的，比如級(jí)數(shù)的，比如級(jí)數(shù) 盡管通項(xiàng)盡管通項(xiàng) ，但是它是發(fā)散的。，但是它是發(fā)散

10、的。.0lim0lim nnnnba和和 12nniNn 重要推論重要推論:,11絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂時(shí)時(shí)與與 nnnnba.1絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂也也 nn 0lim nn 不滿足必要條件不滿足必要條件, 所以原級(jí)數(shù)發(fā)散所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí), , 可先考察可先考察, 22nnnnbaba 由由?S18 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂： 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 或或收斂，則稱級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂。1 , nnczM 有有1() ()kkfz Sz (1.5)1() ()kkfz Sz ; 1 11發(fā)發(fā)散散因因?yàn)闉?nnnna 1nn 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)

11、的性質(zhì)( (定理定理5 5) ) 定理定理5 5 如果如果 絕對(duì)收斂，那么絕對(duì)收斂，那么 收斂收斂。S19證明證明由于由于0,cos nnbna 而而01n nnnzzz2221根據(jù)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性根據(jù)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性, , 知知:1 nine例例如如，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)從而從而,1221 nnnnnba S20說(shuō)明說(shuō)明R nzR 0nnz所以所以R 綜上可得綜上可得:S21R S22例例1 1 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 ，并且，并且例例2 2 判別下列級(jí)數(shù)的收斂性判別下列級(jí)數(shù)的收斂性 (2) (3)(2) (3)解解( (1)1)由由 不趨于零，故由推論得該級(jí)數(shù)不趨于零，故

12、由推論得該級(jí)數(shù)發(fā)發(fā)散。散。 (2)(2) , ,其絕對(duì)值級(jí)數(shù)的公比其絕對(duì)值級(jí)數(shù)的公比為為 ，故該級(jí)數(shù)不僅收斂而且是絕對(duì)收斂。故該級(jí)數(shù)不僅收斂而且是絕對(duì)收斂。(1)(1) (3)(3)其實(shí)部級(jí)數(shù)為其實(shí)部級(jí)數(shù)為 ，虛部級(jí)數(shù)為，虛部級(jí)數(shù)為)1.2(00()kkkc z z zzkk 11022202 202(1 ) 2( )c o s( )( )(2)!(1 )4 ( )(2)!nnnnnnnz iz iz in z iz in 0 ) ( NN, ,i baznnn nz0limbbnn | | | | | |21n ( ) , nfz A設(shè)設(shè) 為為區(qū)區(qū)域域 上上的的復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)列列 則則0z

13、S23它們通項(xiàng)的絕對(duì)值當(dāng)它們通項(xiàng)的絕對(duì)值當(dāng)n時(shí)是單調(diào)下降，并且時(shí)是單調(diào)下降，并且趨于零，故由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的判別法知它們是收斂的，趨于零，故由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的判別法知它們是收斂的，從而原復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的。從而原復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的。S24R 例例3 3故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂, , 且為絕對(duì)收斂且為絕對(duì)收斂. .R 因?yàn)橐驗(yàn)樗杂烧?xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知所以由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知: :解解S251.1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)的概念),( )()(!)()(21021100 ndzzzzfinzfcCnnn 0()Sz稱為稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。 0zA ,21 nx稱為該級(jí)數(shù)

14、前稱為該級(jí)數(shù)前n n項(xiàng)的項(xiàng)的部分和部分和. .級(jí)數(shù)前級(jí)數(shù)前n n項(xiàng)的和項(xiàng)的和三、三、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑1( )nnfz S26如果如果 在在 上每一點(diǎn)上每一點(diǎn) ，級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù) 收斂收斂( (于于 ) )，則稱級(jí)數(shù)，則稱級(jí)數(shù) 在在 上收斂上收斂( (于于 ），記為），記為 稱稱 為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù) 的的和函數(shù)和函數(shù)。 nnnnnz c z c z c c z c221 00R o0z10( )z z ,21nnnnx 1()nnf z y, 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z0R S27當(dāng)當(dāng) 時(shí)，得到的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就時(shí)，得到的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是一冪級(jí)數(shù)，即是一冪級(jí)數(shù)，即冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)為為 其中其中z是復(fù)變數(shù)，系

15、數(shù)是復(fù)變數(shù)，系數(shù) 是復(fù)常數(shù)是復(fù)常數(shù). .(1.7)00()kkkc z z S28當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，00z 010kkkkkc zcc zc z 01,| | 1,1| | 1.kkzzzz 發(fā)發(fā)散散，例例 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 收斂區(qū)域?yàn)槭諗繀^(qū)域?yàn)閦:|z|1。 在一般情況下，級(jí)數(shù)在一般情況下，級(jí)數(shù) 是否存在一是否存在一個(gè)圓個(gè)圓 在該圓外部發(fā)散，而在內(nèi)部絕對(duì)收斂呢？在該圓外部發(fā)散，而在內(nèi)部絕對(duì)收斂呢？00()kkkczz 0|,zzRS29AbelAbel第一定理第一定理定理定理6 6 如果冪級(jí)數(shù)如果冪級(jí)數(shù) 在在 處收斂，那處收斂，那么對(duì)于滿足：么對(duì)于滿足： 的任何點(diǎn)的任何點(diǎn)z，此冪級(jí)數(shù)在該點(diǎn)不僅收斂，

16、而且絕對(duì)收，此冪級(jí)數(shù)在該點(diǎn)不僅收斂，而且絕對(duì)收斂斂。 推論推論 若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)z1發(fā)散，則它在滿足發(fā)散，則它在滿足處發(fā)散處發(fā)散 nnnnnz c z c z c c z c221 00R 010| |zzzz .2,200 bbaann 1nninin 1nnininS30證明證明 .nMq 因而存在正數(shù)因而存在正數(shù)M, , )1.1(使對(duì)所有的使對(duì)所有的n, 11nn201(1 )1!2 !znnzezzn 0nnncz 由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知: :)|(| z15R 收斂收斂.0 .nnncz 故故 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)絕絕 對(duì)對(duì) 收收 斂斂另一部分請(qǐng)課后完成另

17、一部分請(qǐng)課后完成S31收斂半徑收斂半徑與冪級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù) 相對(duì)應(yīng)，作一實(shí)系數(shù)的冪級(jí)數(shù)：相對(duì)應(yīng)，作一實(shí)系數(shù)的冪級(jí)數(shù)：其中其中x為實(shí)數(shù)。為實(shí)數(shù)。定理定理7 7 設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù) 的收斂半徑為的收斂半徑為R, , 按照不按照不同情況，有：同情況，有：（i i）如果如果 ，那么當(dāng)，那么當(dāng) 時(shí)，級(jí)時(shí)，級(jí)數(shù)數(shù) 絕對(duì)收斂；當(dāng)絕對(duì)收斂；當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù) 發(fā)散；發(fā)散；(1.6)11(1 )3(1 )3zzz 0R 2(2) i z 0|zzR0kkkc z 00()kkkczz 00()kkkczz 10 1: | |Dr zR S32（iiii）如果）如果 ，那么級(jí)數(shù)，那么級(jí)數(shù) 在復(fù)平在復(fù)平面上的每一點(diǎn)絕對(duì)收斂

18、；面上的每一點(diǎn)絕對(duì)收斂；（iiiiii）如果）如果 ，那么級(jí)數(shù)，那么級(jí)數(shù) 在復(fù)平在復(fù)平面上除去面上除去 外每點(diǎn)均發(fā)散。外每點(diǎn)均發(fā)散。R 00()kkkczz 0| |zz R 00()kkkczz 00()kkkczz S33 在定理在定理7 7 的情況（的情況（i i）中，當(dāng)）中，當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù) 可能發(fā)散，也可能收斂?？赡馨l(fā)散，也可能收斂。 定理定理7 7中的數(shù)中的數(shù) 稱為級(jí)數(shù)稱為級(jí)數(shù) 的的收斂半徑收斂半徑。 稱為它的稱為它的收斂圓盤收斂圓盤。 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù) 的的收斂半徑收斂半徑歸結(jié)為求級(jí)數(shù)歸結(jié)為求級(jí)數(shù) 的的收斂半徑收斂半徑。0|zzR0|n 0|zzR00()kkkczz 00()k

19、kkczz 00()kkkczz 10 1: | |Dr zR S34 定理定理8 8 如果下列條件之一成立，那么如果下列條件之一成立，那么當(dāng)當(dāng)0 l +時(shí)，級(jí)數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù) 的的收斂半徑收斂半徑 ；當(dāng)當(dāng)l=0，R=+；當(dāng)當(dāng)l=+時(shí)，時(shí)，R=0。(1)(2) (3), )() ( 00nnnz z cz fnnin)1(cos lim|kkklc lim|kkklc 00()kkkczz S35收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑由由Abel定理定理:級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)絕對(duì)收斂. .例如例如, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)nz對(duì)任意給定的對(duì)任意給定的 x , 則從某個(gè)則從某個(gè)n開始開始, 有有;, 級(jí)級(jí)

20、數(shù)數(shù)收收斂斂時(shí)時(shí)設(shè)設(shè) z于是于是1( )nnfz 該級(jí)數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)該級(jí)數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù) x 均收斂均收斂.該級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)絕對(duì)收斂該級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)絕對(duì)收斂. .對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù)對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù) , 其收斂半徑的情況有三種其收斂半徑的情況有三種:( )Sz(1) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)級(jí)數(shù) 都收斂都收斂.10 1: | |Dr zR S36此時(shí)此時(shí), 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散. .例如例如, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)R 0A通項(xiàng)不趨于零通項(xiàng)不趨于零, .,級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí) z 如圖如圖:故級(jí)數(shù)發(fā)散故級(jí)數(shù)發(fā)散.(2) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)級(jí)數(shù) 除除 z=0

21、 外都發(fā)散外都發(fā)散.10 1: | |Dr zR (3) 既存在使級(jí)數(shù)既存在使級(jí)數(shù) 發(fā)散的正實(shí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù), 也存在使也存在使級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 收斂的正實(shí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù). 10 1: | |Dr zR 10 1: | |Dr zR S37 f 1 0 1: Czr 0110() ()( ) ()()mmmCCffdd zzz z .01( 3 )1nnzz .210(1 )( 2 ) s i n( 21 ) !nnnzzn 收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)011nn 的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域. 為為中中心心的的圓圓域域以以 a z 1 01() fzz .

22、S380zi 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)3104()( )z if zz 的收斂范圍是的收斂范圍是因此，因此，事實(shí)上，事實(shí)上，在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作不能作出一般的結(jié)論出一般的結(jié)論, 要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.問(wèn)題：?jiǎn)栴}：冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?S39例題例題求收斂域常應(yīng)用到的方法求收斂域常應(yīng)用到的方法變量替換法變量替換法。例例1 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂圓及其收斂區(qū)域。求下列冪級(jí)數(shù)的收斂圓及其收斂區(qū)域。（1） （2）解解 （1）令令 ，則由于，則由于20(2)nnni z nnnnnz c z c z c c z

23、 c221 002121()nniz in ()10( 1 )!() !()1 !nnnnf z ncc z z 11 zS40得其收斂域?yàn)榈闷涫諗坑驗(yàn)?1, 即它的收斂圓即它的收斂圓域是域是 而且在收斂的圓周上處處發(fā)散的。而且在收斂的圓周上處處發(fā)散的。 nnnnnz c z c z c c z c221 00|1 22211( )nnnniizinn 211nn 容易發(fā)生的錯(cuò)誤容易發(fā)生的錯(cuò)誤：令：令 cn= (2+i)n，而得，而得S41（2 2）令）令 ，則得，則得由定理由定理8 8可求出：上式右端級(jí)數(shù)的收斂半徑可求出：上式右端級(jí)數(shù)的收斂半徑 ，并且在并且在 的內(nèi)部是絕對(duì)收斂的，因此原的內(nèi)

24、部是絕對(duì)收斂的，因此原級(jí)數(shù)在級(jí)數(shù)在 時(shí)是絕對(duì)收斂的，而在時(shí)是絕對(duì)收斂的，而在 時(shí)是發(fā)散的。時(shí)是發(fā)散的。另外，由于另外，由于 是收斂的，因此當(dāng)是收斂的，因此當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 原級(jí)數(shù)原級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂。絕對(duì)收斂。| 1z i nc00()( )kkkc z zf z 0|zzR ,R|1z | |1zi 0nL R S42四四. .冪和函數(shù)在收斂圓盤內(nèi)解析冪和函數(shù)在收斂圓盤內(nèi)解析 由以上討論知道，對(duì)于級(jí)數(shù)由以上討論知道，對(duì)于級(jí)數(shù) ，總有，總有一個(gè)收斂圓一個(gè)收斂圓( (或者僅僅為圓心點(diǎn)或者僅僅為圓心點(diǎn)) )存在，使得級(jí)數(shù)存在，使得級(jí)數(shù)在此圓內(nèi)收斂，那么其和函數(shù)在收斂圓內(nèi)是否解在此圓內(nèi)收斂，那么其和函數(shù)在收

25、斂圓內(nèi)是否解析呢？析呢？2| |2 | |i z S43定理定理8 8 設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù) 有收斂圓盤有收斂圓盤 , ,那么冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)那么冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在在 內(nèi)解析，并且可以微分任意多次，內(nèi)解析，并且可以微分任意多次，即即上面右端級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為上面右端級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為R。證明證明：略。：略。R (0,1,2, )n 120nnnRAA 01|zzR R |( )|,nnf zA ( )g zS44 定理定理9 9 設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù) 有收斂圓盤有收斂圓盤 , ,那么在那么在 內(nèi)冪級(jí)數(shù)的和函內(nèi)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)數(shù) 可以逐項(xiàng)積分任意多次，可以逐項(xiàng)積分任意多次，并且每次積分所得到的新級(jí)數(shù)的收斂半徑

26、并且每次積分所得到的新級(jí)數(shù)的收斂半徑為為 即即證明證明：略。：略。( 1 . 8 )0|zzR0 01 000( ) ( ) ( )kkkkkczz cczz czz ( )2zfzz 0 1nAA A C101()d ( 0, 1, 2, )2 ()nnCfcniz 0nnA S45zii 0()nnniiziz 解答解答R 練習(xí)練習(xí) 試求冪級(jí)數(shù)試求冪級(jí)數(shù)0z i , 21 ) 2內(nèi)內(nèi)在在 z的收斂半徑的收斂半徑.2ln(1)z 210 xz S46 為了證明有關(guān)定理，首先介紹下面兩個(gè)引理為了證明有關(guān)定理，首先介紹下面兩個(gè)引理一、有關(guān)逐項(xiàng)積分的兩個(gè)引理一、有關(guān)逐項(xiàng)積分的兩個(gè)引理引理引理1 1

27、（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 和和 沿曲線沿曲線 可積，且在可積，且在 上處處有上處處有如果存在收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)如果存在收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù) 使得在使得在 上有上有那么那么 2 2 泰勒泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)0()()nnCCg zd z fzd z 0()()nnCCgzd zf zd z : )( 11收收斂斂的的充充要要條條件件是是級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnnniba 0( )( )nng zfz (3. 1)0()()nnCCg zd z fzd z z 01zz 1 1, zqz 則則0, (0 , 1 , 2 , )kz c k S47證明證明： 由于由于 收斂，因

28、此當(dāng)收斂，因此當(dāng) 時(shí)，必有時(shí)，必有于是設(shè)曲線于是設(shè)曲線 的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有這就證明了該引理。這就證明了該引理。(0 ,1 ,2 ,)n 01|zzR 010() (),()nnnfzzMzr n R ()01()!nncfzn 0zR 1 R S48引理引理2 2 若若 在正向圓周在正向圓周 上連續(xù)，上連續(xù)，則則（1 1）對(duì)該圓內(nèi)任一點(diǎn)）對(duì)該圓內(nèi)任一點(diǎn)z有有 (2(2）對(duì)該圓外任一點(diǎn)）對(duì)該圓外任一點(diǎn)z有有UR 10z 20(1 )( 4 ) c o s( 2) !nnnzzn S49證明證明： （1）令令 ，由于，由于 ， 因此由等比級(jí)數(shù)的求和公式得：因此由等比級(jí)數(shù)的求和

29、公式得：對(duì)任意滿足對(duì)任意滿足 的點(diǎn)成立。的點(diǎn)成立。 由引理由引理1，只須對(duì)最后所得的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)找出滿，只須對(duì)最后所得的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)找出滿足引理?xiàng)l件的足引理?xiàng)l件的正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)A0+A1+ +An+，然后，然后逐項(xiàng)積分就可得到所證結(jié)果。逐項(xiàng)積分就可得到所證結(jié)果。R 00|1|zzz R (| | 1 )z 1zz11()iizizziz 0:Czr R S50 事實(shí)上事實(shí)上，由函數(shù)，由函數(shù)f ()的連續(xù)性，可設(shè)的連續(xù)性，可設(shè)|f ()|在在圓周圓周|-z0|=r上的上界為正數(shù)上的上界為正數(shù)M，則對(duì)于固定的點(diǎn)，則對(duì)于固定的點(diǎn)z，在該圓周上處處有在該圓周上處處有而而 是收斂的，故所證等式成立。是收斂

30、的，故所證等式成立。| 1zi 11()()|kkknknCCfzd z fzd z S51（2）當(dāng)當(dāng)z 在圓周外時(shí)，顯然在圓周外時(shí)，顯然 對(duì)圓周對(duì)圓周 上的點(diǎn)上的點(diǎn) 成立。這時(shí)有成立。這時(shí)有同樣由引理同樣由引理1可得所證等式。可得所證等式。1001000()()() 1( )1nnnfzfzz zz zz z 00z 0z 0z r L01001( )()()2()nnnCfd z ziz ( )000( )()!nnnfzzzn S52二二. .解析函數(shù)的解析函數(shù)的Taylor展開定理展開定理定理定理1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(z)在圓盤在圓盤 內(nèi)解析，那么內(nèi)解析，那么在在U內(nèi)有內(nèi)有 證明：設(shè)

31、證明：設(shè) 。以。以 為中心在為中心在 內(nèi)作一圓內(nèi)作一圓 ，使得，使得 z 屬于其內(nèi)部，此時(shí)由柯西積分公式有屬于其內(nèi)部，此時(shí)由柯西積分公式有又因又因 在在C上解析，也一定連續(xù)，所以由引理上解析，也一定連續(xù)，所以由引理2 2的結(jié)論（的結(jié)論（1 1）得）得 0:Czr 0()kkkczz . 0n ,111i baz 0zU0()()nnCCg zd z fzd z 1( )( )2Cff zdiz ( )f S53由于由于z是是U內(nèi)的任意一點(diǎn)，證畢。內(nèi)的任意一點(diǎn)，證畢。( )f z ( |1 )z 101) 1()1ln() 5 ( nnnznz0z z c R注注 定理定理1中的冪級(jí)數(shù)稱為函數(shù)中

32、的冪級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f (z) 在點(diǎn)在點(diǎn)z0的的Taylor級(jí)數(shù)展開式級(jí)數(shù)展開式，可以寫為可以寫為 其中其中cn為展開式的為展開式的Taylor系數(shù)系數(shù)，可表示為，可表示為(0)RR )4.1(S54定理定理2 2 函數(shù)函數(shù) 在在 解析的充分必要條件是它在解析的充分必要條件是它在 的某個(gè)鄰域有冪級(jí)數(shù)展開式。的某個(gè)鄰域有冪級(jí)數(shù)展開式。 系系1 1 冪級(jí)數(shù)就是它的和函數(shù)冪級(jí)數(shù)就是它的和函數(shù) 在收斂圓盤中的在收斂圓盤中的Taylor展開式展開式，即，即系系2 2 ( (冪級(jí)數(shù)展開式的唯一性冪級(jí)數(shù)展開式的唯一性) )在定理在定理1 1中，冪級(jí)中，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)數(shù)的和函數(shù)f(z)在收斂圓盤在收斂圓盤U內(nèi)不可

33、能有另一冪級(jí)內(nèi)不可能有另一冪級(jí)數(shù)展開式。數(shù)展開式。0| |zz R 0| |zz R ()000()(),!nnfzcfzcn 0,1,2,n ( )f z( )f zS55三三. .初等函數(shù)的泰勒展開式初等函數(shù)的泰勒展開式1 直接展開法直接展開法：先求出：先求出 ，然后應(yīng)用泰勒，然后應(yīng)用泰勒定理寫出定理寫出泰勒泰勒級(jí)數(shù)及其收斂半徑。級(jí)數(shù)及其收斂半徑。 指數(shù)函數(shù)在指數(shù)函數(shù)在 處的處的泰勒（泰勒（Taylor）展開式）展開式 下列函數(shù)在下列函數(shù)在 處的處的泰勒展開式泰勒展開式 0nnnzc)1 ()1 )(6 (zLnez 0 ,1 ,2 0zi 0zi (| | 1)z ( )0( )!nnf

34、zcn 1| n 41|5z 41|5z 33100()(9)!()!9!nnnz ii nz izn 41|5z S56 為實(shí)常數(shù)為實(shí)常數(shù)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，上式只有有限項(xiàng)，并且是在整時(shí)，上式只有有限項(xiàng)，并且是在整個(gè)復(fù)平面上成立。個(gè)復(fù)平面上成立。 22 100( 1)( 1)sin1()1()(2 )!(21)!nnnnnnz ishz ichz inn 3()z i ( 3 . 8 )1 (|1 ) S57 間接展開法間接展開法：它是根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級(jí)它是根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級(jí) 數(shù)展開式的唯一性給出的。在這里指從上面數(shù)展開式的唯一性給出的。在這里指從上面6個(gè)個(gè) 初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開式出發(fā)，利用

35、冪級(jí)數(shù)初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開式出發(fā)，利用冪級(jí)數(shù)的的 變量替換，逐項(xiàng)微分，逐項(xiàng)積分和四則運(yùn)算等變量替換，逐項(xiàng)微分，逐項(xiàng)積分和四則運(yùn)算等求求 出其出出其出泰勒泰勒級(jí)數(shù)及其收斂半徑。級(jí)數(shù)及其收斂半徑。如：應(yīng)用如：應(yīng)用 ，令，令 ，得，得2z (| | 1)z 0)(nnnazc3( ) sinf zz S58例題例題例例1 求下列函數(shù)在點(diǎn)求下列函數(shù)在點(diǎn) 處的處的泰勒泰勒級(jí)數(shù)展開式及級(jí)數(shù)展開式及其收斂半徑。其收斂半徑。（1） （2）（3） （4）解解 （1） 在在 處為唯一的奇點(diǎn)，并且當(dāng)處為唯一的奇點(diǎn)，并且當(dāng) 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) ，所以函數(shù)在，所以函數(shù)在 處處的的泰勒泰勒級(jí)數(shù)展開式的收斂半徑為級(jí)數(shù)展開式

36、的收斂半徑為 |z1-z0|=|0-i|=1 ，從而在從而在 |z-i|1 時(shí)有時(shí)有令令 應(yīng)用展開式應(yīng)用展開式(6)可得：可得：110110()() ( )( )mmmCCffddzzzz 112() ()f zz i z R 1( )fz pnnnnnncc)1(limlim1 ，因因?yàn)闉閜nnc1 0| 0z z 3()z i . 11 R所以所以0zi 10(1 )()2nnnnnzii 101( 1 ) ( )2nnnnizi 101(9)!1()!9!nnninzzin 10( 1)()2nnnnniz izii S59（2 2）同理可得其）同理可得其在在 處的處的泰勒泰勒級(jí)數(shù)展開式

37、級(jí)數(shù)展開式的收斂半徑為的收斂半徑為 1。 由于由于 , 應(yīng)用展開式（應(yīng)用展開式（3）得）得所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)時(shí)2C0( )()kkkf zczz 341( ) () ( )f zz i f z 1 1()iiz i zz i z s i nzs i ns i n ( )s i n () c o sc o s () s i nzzii zii zii 00z 1npnnz2CS60（3 3）由于）由于 在整個(gè)復(fù)平面上解析，故其收斂在整個(gè)復(fù)平面上解析，故其收斂半徑為半徑為 ，從而，從而應(yīng)用展開式（應(yīng)用展開式（2)(4)2)(4)得得用用直接法直接法也簡(jiǎn)單也簡(jiǎn)單，注意到，注意到0zi R sin2iz

38、izeezi 11rrRR (3.1)S61（4 4） ，其，其TaylorTaylor級(jí)數(shù)收斂半徑為級(jí)數(shù)收斂半徑為1 1，從而從而 在在 處的處的泰勒泰勒級(jí)數(shù)展開式兩端同乘級(jí)數(shù)展開式兩端同乘以以 即可得到即可得到 在在 處的處的泰勒泰勒級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)展開式：展開式：注意注意：顯然不必要將：顯然不必要將 寫成寫成 的多項(xiàng)式再的多項(xiàng)式再來(lái)求來(lái)求 在在 處的處的泰勒泰勒級(jí)數(shù)展開式。級(jí)數(shù)展開式。0|rz zR ，因因?yàn)闉閜nnc1 R 1C1 01 01()( ) 1 zifz ziii NoImageR 1C10(1 )ln ( 1 ),| |11nnnn 0 0 1, , ,kzcc c 1 10(

39、1)()2nnnnniz iz ii S62解解 因?yàn)橐驗(yàn)?是是 0:|U z zR ( )f z001000()()()kkkkkc z zc c z zc z z 可在可在 內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù)，有內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù)，有010000000()( )()()() 1( )()1nnnf zzfffzzzz zzzzz R 2z 11213zzzz 11( )kknknCCf zdsAds 例例2 2 試將試將 在點(diǎn)在點(diǎn) 展成泰勒級(jí)數(shù)。展成泰勒級(jí)數(shù)。C11(2 ) 3z 的唯一有限奇點(diǎn)，所以的唯一有限奇點(diǎn)，所以S63小結(jié)小結(jié)泰勒泰勒( (Taylor) )級(jí)數(shù)的形式？級(jí)數(shù)的形式？ 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)為為其中其

40、中z是復(fù)變數(shù)，系數(shù)是復(fù)變數(shù)，系數(shù) 是復(fù)常數(shù)。是復(fù)常數(shù)。 泰勒級(jí)數(shù)在收斂半徑為泰勒級(jí)數(shù)在收斂半徑為R的收斂圓內(nèi)表示的收斂圓內(nèi)表示了一個(gè)解析函數(shù)；了一個(gè)解析函數(shù)； 如果函數(shù)在半徑為如果函數(shù)在半徑為R的圓內(nèi)解析，則它可的圓內(nèi)解析，則它可在該圓內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù)。在該圓內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù)。R kCS643 3 羅朗羅朗( (Laurent) )級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 本節(jié)主要討論函數(shù)在環(huán)域本節(jié)主要討論函數(shù)在環(huán)域r|z-z0|R內(nèi)的級(jí)數(shù)展開內(nèi)的級(jí)數(shù)展開問(wèn)題，并且討論它在積分計(jì)算中的應(yīng)用，這里問(wèn)題，并且討論它在積分計(jì)算中的應(yīng)用，這里r可以可以為為0，而，而R可以為可以為+，并且稱環(huán)域，并且稱環(huán)域r|z-z0|r1R1NoIma

41、geS74由于由于f(z)在閉圓環(huán)在閉圓環(huán) 上解析，由上解析，由Cauchy積分積分公式得公式得221()2CfIdiz R 01()kkkczz 201001()()()2()kkkCfdzziz f (3 .6 )S75由由Taylor定理證明中的引理定理證明中的引理2 2（1 1） 若若 在正向圓周在正向圓周 上連續(xù)，則對(duì)上連續(xù)，則對(duì)該圓內(nèi)一點(diǎn)該圓內(nèi)一點(diǎn)z有有R 2()(1 )zefzzz ,lim nnD()f )2.1(NoImage11100(1 )(1 )(1 )(1 )33nnnnnnnnzz (3.7)11113 ( 1 )3 ( 1 )33zzz Rr211()1()( )

42、2 2CCf ffz d diziz (3.7)11113 ( 1 )3 ( 1 )33zzz RrDr1NoImageR1 1nn 0( )nnni zi |52ln ( 1 )zId zz nnkknS 2111()C S780 ,1 ,n ,11z ( )f z級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(3.4)(3.4)中，中， 稱為該級(jí)數(shù)的稱為該級(jí)數(shù)的解析部分解析部分，而而 稱為該級(jí)數(shù)的稱為該級(jí)數(shù)的主要部分主要部分。級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)(3.4)(3.4)稱為稱為 在圓環(huán)在圓環(huán)D內(nèi)的內(nèi)的羅朗展開式羅朗展開式。注意注意：由于在圓所圍區(qū)域可能有：由于在圓所圍區(qū)域可能有f( (z) )的奇點(diǎn)，因此，的奇點(diǎn)，因此，不能用不能用Cauc

43、hy公式把系數(shù)記為公式把系數(shù)記為： 1111( 1 )2 (1 ),1 333nnnnzz 01()nnnczz S79 二、羅朗級(jí)數(shù)的性質(zhì)二、羅朗級(jí)數(shù)的性質(zhì)定理定理2 2 若函數(shù)若函數(shù) 在圓環(huán)在圓環(huán)D: : 內(nèi)解析，內(nèi)解析，則該函數(shù)的羅朗級(jí)數(shù)展開式則該函數(shù)的羅朗級(jí)數(shù)展開式 在在D內(nèi)處處絕對(duì)內(nèi)處處絕對(duì)收斂、可以逐項(xiàng)微分和積分，其積分路徑為收斂、可以逐項(xiàng)微分和積分，其積分路徑為D內(nèi)的內(nèi)的任何簡(jiǎn)單閉路，并且其展開式的系數(shù)是唯一的，任何簡(jiǎn)單閉路，并且其展開式的系數(shù)是唯一的，即它的各項(xiàng)系數(shù)即它的各項(xiàng)系數(shù) 一定可以表示為式一定可以表示為式 的形式。的形式。 證明證明：略：略（見書（見書112112頁(yè)頁(yè)

44、）。）。:,0 nnz級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例如如( )f z0|z z 2C f R 2CS80三、函數(shù)的三、函數(shù)的LaurentLaurent展開式展開式理論上應(yīng)該有兩種方法理論上應(yīng)該有兩種方法: : 直接法與間接法直接法與間接法 (1) 直接展開法直接展開法利用定理公式計(jì)算系數(shù)利用定理公式計(jì)算系數(shù)0( | |)zzR n然后寫出然后寫出02z 這種方法只有在找不到更好方法時(shí)才用。這種方法只有在找不到更好方法時(shí)才用。S81根據(jù)根據(jù)解析函數(shù)解析函數(shù)Laurent級(jí)數(shù)展開式的唯一性級(jí)數(shù)展開式的唯一性, , 從從已知的初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)出發(fā)，利用變量替換，已知的初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)出發(fā)，利用變量替換，泰勒級(jí)數(shù)

45、和羅朗級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)微分或者積分運(yùn)算等泰勒級(jí)數(shù)和羅朗級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)微分或者積分運(yùn)算等來(lái)求得所給函數(shù)來(lái)求得所給函數(shù)f (z)在環(huán)域在環(huán)域D的羅朗展開式的羅朗展開式. .(2) 間接展開法間接展開法這一方法成為這一方法成為L(zhǎng)aurent 級(jí)數(shù)展開的常用方法。級(jí)數(shù)展開的常用方法。 S82例例 及及 在在 內(nèi)的羅朗展開式。內(nèi)的羅朗展開式。 nnnnzzc)(0 0()()nnnCCgzd zfzd z 2|z 1z zzSnnnn 11limlim例例 在在 內(nèi)的羅朗展開式內(nèi)的羅朗展開式R 0 | | z z解：解：此時(shí)用此時(shí)用sinz 的的Taylor展式展式,)!()(sin 012121nnnznzS8

46、3)1(1)(zzzf 例例1,1112 zzzzzn都不解析都不解析,而在圓環(huán)域而在圓環(huán)域zz 111及及 nzzzz211內(nèi)都解析內(nèi)都解析.2111nz zzz 則則)1(1)(zzzf .)1 ()1 ()1 (1)1 (121 nzzzz nzzzz) 1 () 1 ( ) 1 ( 1112)1(1)(zzzf )1(1111zzS84242sin(1)13 !5 !(21)!nnzzzzzn 也可以展開成級(jí)數(shù)也可以展開成級(jí)數(shù)：0z, 0 內(nèi)內(nèi)在在 z. )( 2級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展成成將將Laurentzezfz ! 4! 3! 21432zzzzezS85給定函數(shù)給定函數(shù)ze與復(fù)平面內(nèi)的一

47、點(diǎn)與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn) ! 4 ! 3 ! 21143222z z zzz zez以后以后,函數(shù)在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的函數(shù)在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的Laurent展展開式開式回答：回答：不矛盾不矛盾 .Laurent展開式是唯一的展開式是唯一的. .問(wèn)題：?jiǎn)栴}：這與這與laurentlaurent展開式的唯一性是否相矛盾展開式的唯一性是否相矛盾?注意唯一性注意唯一性 : : 指函數(shù)在某一個(gè)給定指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的的圓環(huán)域內(nèi)的(包括包括Taylor展開式作為其特例展開式作為其特例).S86四、典型例題四、典型例題例例1 1 !4!3!211122zzzz: ) 2)(1(1)( 在

48、在圓圓環(huán)環(huán)域域函函數(shù)數(shù) zzzf解解;10)1 z由已知函數(shù)由已知函數(shù) 的展開式的展開式; 21 ) 2 z可以直接得到可以直接得到.2)3 z12z 從從而而S87例例2 2 1,z 由由 于于1112212zz 22112222nnzzz ( )fz 所所 以以內(nèi)解析內(nèi)解析, , 把把 f(z) 在這些區(qū)域內(nèi)展成在這些區(qū)域內(nèi)展成Laurent級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). .解解2si nzz1 znnnzzc )(012(1)z z S88oxy1)(zf21 3 72 4 8z z 211224zz 22sin1 cos(2 )zz 2001 , | | 1 ,1(2 )| | 1 .n nnnni z

49、發(fā)發(fā) 散散 ，R 2 , 0 S891102(1)2ln (1),1nnnnzzn 12oxy12 z 2112121zz nnzzz22212122由由) ( z f于于是是 21111zzz 2222121 zz且仍有且仍有 842111121zzzzznn, 2 ) 3內(nèi)內(nèi)在在 zS902 z12 zzzz211121 24211zzz,121 zz此此時(shí)時(shí)2oxyzzz111111 由由 21111z zz此時(shí)此時(shí))( zf故故S91 24211zzz 21111zzz仍有仍有.731432 zzz解解析析在在0)(zzf為為復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)n )(zfnn為為函函數(shù)數(shù) 1nn S92 這一例子說(shuō)明：這一例子說(shuō)明：同一函數(shù)在不同的圓環(huán)內(nèi)同一函數(shù)在不同的圓環(huán)內(nèi)的羅朗展開式可是不同的！的羅朗展開式可是不同的！S93例例3 3 分別將下列函數(shù)在指定點(diǎn)分別將下列函數(shù)在指定點(diǎn) 的去心鄰域內(nèi)展開的去心鄰域內(nèi)展開成成Laurent級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)0| | zzR （1 1） 22( )c o szizi 22222 2