復變函數課件四(北京理工大學)

1、S1 我們從導數與積分的角度研究解析函我們從導數與積分的角度研究解析函數均獲得成功于是，我們自然會想從數數均獲得成功于是，我們自然會想從數學分析中選取別的研究角度如學分析中選取別的研究角度如冪級數冪級數來討來討論解析函數實踐證明，這種選擇是成功論解析函數實踐證明，這種選擇是成功的的 S2第四章第四章 復級數復級數 首先介紹首先介紹復數列和復數項級數收斂復數列和復數項級數收斂的概念和判別法，以及的概念和判別法，以及冪級數冪級數的有關概的有關概念和性質。念和性質。 然后討論解析函數的然后討論解析函數的泰勒級數泰勒級數和和羅羅倫級數倫級數展開定理及其展開式的求法，它展開定理及其展開式的求法，它們是研

2、究解析函數的性質和計算其積分們是研究解析函數的性質和計算其積分的重要工具。的重要工具。S31 1 復數項級數和冪級數復數項級數和冪級數一、復數列的收斂性及其判別法一、復數列的收斂性及其判別法二、復數項級數的收斂性及其判別法二、復數項級數的收斂性及其判別法三、冪級數及其收斂半徑三、冪級數及其收斂半徑四四、冪級數的運算性質、冪級數的運算性質S4復數序列復數序列就是：就是：這里這里 是復常數，是復常數， ，該序，該序列簡單記為列簡單記為 。根據。根據 的有界性來定義的有界性來定義 的有界性。的有界性。研究級數和序列的基本性質，先從復數序列開始。研究級數和序列的基本性質，先從復數序列開始。一、一、復數

3、序列的收斂性及其判別法復數序列的收斂性及其判別法：nnzb Im ,222ibaz nz 12)1(nnninnn21| |nzi baznnn 111)1(nnnR 0101()()() ( )2( )kkkffzdzziz S5定義定義1 設設 一復常數，如果對任意一復常數，如果對任意 ，存在，存在 使得當使得當 時，有時，有則稱則稱 極限是極限是 ，或者，或者 收斂且收斂到收斂且收斂到 ，記作記作 1nn |nz0limaann 0 nnzaRe i baz000 0|z z R 110( )(), (1 ,2 ,3 )kk kfzcz zk .lim發(fā)發(fā)散散級級數數 10nnnn 復數

4、列的極限復數列的極限 nnzlim0|lim nnz定理定理1 1S6定理定理2 2 復數序列復數序列 收斂到收斂到 的充分必要條件是：的充分必要條件是： 并且并且11nnnnnnzczczz 011n0 , lim 0 nnnnzczcz 不不 妨妨 設設 0 0 . . 因因 為為 級級 數數收收 斂斂 有有 ， 121)1(nnn1C復數列收斂與實數列收斂的關系復數列收斂與實數列收斂的關系S7.lim0aann 那末對于任意給定的那末對于任意給定的, 0 能找到一個正整數能找到一個正整數 使得當使得當 )( )(00ibaibannn , Nn 證明：證明：如果如果in 從而有從而有)(

5、)(00bbiaann 即即,00 bbaann同理可證：同理可證：0 1 0| | |zzzz S8R 反之反之, , 如果如果 ，那么，那么當當 . 11也也都都收收斂斂及及 nnnnba.lim0bbnn 從而有從而有R R )1 (1 1是是否否收收斂斂？級級數數 nninR 該結論說明該結論說明: : 可將復數列的收斂性轉化為判別兩可將復數列的收斂性轉化為判別兩個實數列的收斂性個實數列的收斂性. .所以所以S9解解 (1)令令 ， 則則 ，顯，顯然然 ， 故當故當 ， 。 ibann1, 0 nnbann0n 0na1nb11( ),12f zzz R 例例1 1 判別下列數列的收斂

6、性和極限判別下列數列的收斂性和極限 （1） （2） （3）1 nnin R inne (2)(2)顯然當顯然當 時時 ， ，因此，因此R nnS 21 (3)由于由于 ，并且，并且 發(fā)散，所發(fā)散，所 以該數列發(fā)散以該數列發(fā)散。S10 所謂通項為復數所謂通項為復數 的的復數項級數復數項級數就是就是 .lim nn前前n項的和項的和 . 1121收收斂斂 nnnnb稱為級數的稱為級數的部分和部分和.二、二、 復數項級數的復數項級數的收斂性及其判別法收斂性及其判別法00()nnnc z z ,nni S11如果該部分和數列如果該部分和數列 收斂到收斂到S，則稱上，則稱上述述復數項級數收斂復數項級數收

7、斂，且稱，且稱 為該級數的和，為該級數的和，記為記為 如果該部分和數列如果該部分和數列 發(fā)散，則稱發(fā)散，則稱復數項復數項級數發(fā)散級數發(fā)散。 nnn00 11nnnnba收收斂斂的的必必要要條條件件是是和和因因為為實實數數項項級級數數01( )nnf z . 的的極極限限存存在在和和nn 級數收斂與發(fā)散的概念級數收斂與發(fā)散的概念說明說明：與實數項級數相同：與實數項級數相同, , 判別復數項級判別復數項級數斂散性的基本方法是數斂散性的基本方法是: : .lim SSnn 利利用用極極限限S1200lim,limbbaannnn ,)1(11 zzzn收收斂斂的的必必要要條條件件是是所所以以復復數數

8、項項級級數數 1nn ,1時時由由于于當當 znS .1 時時級級數數收收斂斂所所以以當當 z,0limlim innnne 因因為為S13復數項級數與實數項級數收斂的關系復數項級數與實數項級數收斂的關系( (定理定理3 3) ) 證明證明 因為因為ibannn : 極極限限存存在在的的充充要要條條件件根根據據nS 1收收斂斂的的充充要要條條件件是是即即， nn )()(2121nnbbbiaaa ()nfz定理定理3 3S14-121nnzzzs nS說明說明 復數項級數的收斂問題復數項級數的收斂問題.111絕絕對對收收斂斂與與絕絕對對收收斂斂 nnnnnnb a 兩個實數項級數的收斂問題兩

9、個實數項級數的收斂問題 1nn| S15102|RzzR 解解32 12sin1( 1)3! 5!(2 1)!nnzz zzzzn 101101( )()2()kkkCfd z ziz 所以原級數發(fā)散所以原級數發(fā)散. 練習練習S16級數收斂的必要條件級數收斂的必要條件定理定理4 4 如果級數如果級數 收斂，那么當收斂，那么當 時時， z124Iici 120Iic . 1是是收收斂斂的的 nn 0lim nn S17注意注意：條件條件 ，該條件只是級數，該條件只是級數收斂的收斂的必要必要條件，而條件，而不是充分不是充分的，比如級數的，比如級數 盡管通項盡管通項 ，但是它是發(fā)散的。，但是它是發(fā)散

10、的。.0lim0lim nnnnba和和 12nniNn 重要推論重要推論:,11絕絕對對收收斂斂時時與與 nnnnba.1絕絕對對收收斂斂也也 nn 0lim nn 不滿足必要條件不滿足必要條件, 所以原級數發(fā)散所以原級數發(fā)散.判別級數的斂散性時判別級數的斂散性時, , 可先考察可先考察, 22nnnnbaba 由由?S18 級數級數 絕對收斂絕對收斂： 如果級數如果級數 或或收斂，則稱級數收斂，則稱級數 絕對收斂絕對收斂。1 , nnczM 有有1() ()kkfz Sz (1.5)1() ()kkfz Sz ; 1 11發(fā)發(fā)散散因因為為 nnnna 1nn 絕對收斂級數的性質絕對收斂級數

11、的性質( (定理定理5 5) ) 定理定理5 5 如果如果 絕對收斂，那么絕對收斂，那么 收斂收斂。S19證明證明由于由于0,cos nnbna 而而01n nnnzzz2221根據實數項級數的絕對收斂性根據實數項級數的絕對收斂性, , 知知:1 nine例例如如，級級數數從而從而,1221 nnnnnba S20說明說明R nzR 0nnz所以所以R 綜上可得綜上可得:S21R S22例例1 1 當當 時，級數時，級數 絕對收斂絕對收斂 ，并且，并且例例2 2 判別下列級數的收斂性判別下列級數的收斂性 (2) (3)(2) (3)解解( (1)1)由由 不趨于零，故由推論得該級數不趨于零，故

12、由推論得該級數發(fā)發(fā)散。散。 (2)(2) , ,其絕對值級數的公比其絕對值級數的公比為為 ，故該級數不僅收斂而且是絕對收斂。故該級數不僅收斂而且是絕對收斂。(1)(1) (3)(3)其實部級數為其實部級數為 ，虛部級數為，虛部級數為)1.2(00()kkkc z z zzkk 11022202 202(1 ) 2( )c o s( )( )(2)!(1 )4 ( )(2)!nnnnnnnz iz iz in z iz in 0 ) ( NN, ,i baznnn nz0limbbnn | | | | | |21n ( ) , nfz A設設 為為區(qū)區(qū)域域 上上的的復復變變函函數數列列 則則0z

13、S23它們通項的絕對值當它們通項的絕對值當n時是單調下降，并且時是單調下降，并且趨于零，故由交錯級數的判別法知它們是收斂的，趨于零，故由交錯級數的判別法知它們是收斂的，從而原復數項級數是收斂的。從而原復數項級數是收斂的。S24R 例例3 3故原級數收斂故原級數收斂, , 且為絕對收斂且為絕對收斂. .R 因為因為所以由正項級數的比值判別法知所以由正項級數的比值判別法知: :解解S251.1.函數項級數和冪級數的概念函數項級數和冪級數的概念),( )()(!)()(21021100 ndzzzzfinzfcCnnn 0()Sz稱為稱為復變函數項級數復變函數項級數。 0zA ,21 nx稱為該級數

14、前稱為該級數前n n項的項的部分和部分和. .級數前級數前n n項的和項的和三、三、冪級數及其收斂半徑冪級數及其收斂半徑1( )nnfz S26如果如果 在在 上每一點上每一點 ，級數，級數 收斂收斂( (于于 ) )，則稱級數，則稱級數 在在 上收斂上收斂( (于于 ），記為），記為 稱稱 為級數為級數 的的和函數和函數。 nnnnnz c z c z c c z c221 00R o0z10( )z z ,21nnnnx 1()nnf z y, 0 時時當當 z0R S27當當 時，得到的函數項級數就時，得到的函數項級數就是一冪級數，即是一冪級數，即冪級數冪級數為為 其中其中z是復變數，系

15、數是復變數，系數 是復常數是復常數. .(1.7)00()kkkc z z S28當當 時，時，00z 010kkkkkc zcc zc z 01,| | 1,1| | 1.kkzzzz 發(fā)發(fā)散散，例例 冪級數冪級數 收斂區(qū)域為收斂區(qū)域為z:|z|1。 在一般情況下，級數在一般情況下，級數 是否存在一是否存在一個圓個圓 在該圓外部發(fā)散，而在內部絕對收斂呢？在該圓外部發(fā)散，而在內部絕對收斂呢？00()kkkczz 0|,zzRS29AbelAbel第一定理第一定理定理定理6 6 如果冪級數如果冪級數 在在 處收斂，那處收斂，那么對于滿足：么對于滿足： 的任何點的任何點z，此冪級數在該點不僅收斂，

16、而且絕對收，此冪級數在該點不僅收斂，而且絕對收斂斂。 推論推論 若冪級數若冪級數 在點在點z1發(fā)散，則它在滿足發(fā)散，則它在滿足處發(fā)散處發(fā)散 nnnnnz c z c z c c z c221 00R 010| |zzzz .2,200 bbaann 1nninin 1nnininS30證明證明 .nMq 因而存在正數因而存在正數M, , )1.1(使對所有的使對所有的n, 11nn201(1 )1!2 !znnzezzn 0nnncz 由正項級數的比較判別法知由正項級數的比較判別法知: :)|(| z15R 收斂收斂.0 .nnncz 故故 級級 數數絕絕 對對 收收 斂斂另一部分請課后完成另

17、一部分請課后完成S31收斂半徑收斂半徑與冪級數與冪級數 相對應，作一實系數的冪級數：相對應，作一實系數的冪級數：其中其中x為實數。為實數。定理定理7 7 設級數設級數 的收斂半徑為的收斂半徑為R, , 按照不按照不同情況，有：同情況，有：（i i）如果如果 ，那么當，那么當 時，級時，級數數 絕對收斂；當絕對收斂；當 時，級數時，級數 發(fā)散；發(fā)散；(1.6)11(1 )3(1 )3zzz 0R 2(2) i z 0|zzR0kkkc z 00()kkkczz 00()kkkczz 10 1: | |Dr zR S32（iiii）如果）如果 ，那么級數，那么級數 在復平在復平面上的每一點絕對收斂

18、；面上的每一點絕對收斂；（iiiiii）如果）如果 ，那么級數，那么級數 在復平在復平面上除去面上除去 外每點均發(fā)散。外每點均發(fā)散。R 00()kkkczz 0| |zz R 00()kkkczz 00()kkkczz S33 在定理在定理7 7 的情況（的情況（i i）中，當）中，當 時，級數時，級數 可能發(fā)散，也可能收斂?？赡馨l(fā)散，也可能收斂。 定理定理7 7中的數中的數 稱為級數稱為級數 的的收斂半徑收斂半徑。 稱為它的稱為它的收斂圓盤收斂圓盤。 求級數求級數 的的收斂半徑收斂半徑歸結為求級數歸結為求級數 的的收斂半徑收斂半徑。0|zzR0|n 0|zzR00()kkkczz 00()k

19、kkczz 00()kkkczz 10 1: | |Dr zR S34 定理定理8 8 如果下列條件之一成立，那么如果下列條件之一成立，那么當當0 l +時，級數時，級數 的的收斂半徑收斂半徑 ；當當l=0，R=+；當當l=+時，時，R=0。(1)(2) (3), )() ( 00nnnz z cz fnnin)1(cos lim|kkklc lim|kkklc 00()kkkczz S35收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑由由Abel定理定理:級數在復平面內絕對收斂級數在復平面內絕對收斂. .例如例如, 級數級數nz對任意給定的對任意給定的 x , 則從某個則從某個n開始開始, 有有;, 級級

20、數數收收斂斂時時設設 z于是于是1( )nnfz 該級數對任意的實數該級數對任意的實數 x 均收斂均收斂.該級數在復平面內絕對收斂該級數在復平面內絕對收斂. .對于一個冪級數對于一個冪級數 , 其收斂半徑的情況有三種其收斂半徑的情況有三種:( )Sz(1) 對所有的正實數級數對所有的正實數級數 都收斂都收斂.10 1: | |Dr zR S36此時此時, 級數在復平面內除原點外處處發(fā)散級數在復平面內除原點外處處發(fā)散. .例如例如, 級數級數R 0A通項不趨于零通項不趨于零, .,級級數數發(fā)發(fā)散散時時 z 如圖如圖:故級數發(fā)散故級數發(fā)散.(2) 對所有的正實數級數對所有的正實數級數 除除 z=0

21、 外都發(fā)散外都發(fā)散.10 1: | |Dr zR (3) 既存在使級數既存在使級數 發(fā)散的正實數發(fā)散的正實數, 也存在使也存在使級數級數 收斂的正實數收斂的正實數. 10 1: | |Dr zR 10 1: | |Dr zR S37 f 1 0 1: Czr 0110() ()( ) ()()mmmCCffdd zzz z .01( 3 )1nnzz .210(1 )( 2 ) s i n( 21 ) !nnnzzn 收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑冪級數冪級數011nn 的收斂范圍是以原點為中心的圓域的收斂范圍是以原點為中心的圓域. 為為中中心心的的圓圓域域以以 a z 1 01() fzz .

22、S380zi 冪級數冪級數3104()( )z if zz 的收斂范圍是的收斂范圍是因此，因此，事實上，事實上，在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作不能作出一般的結論出一般的結論, 要對具體級數進行具體分析要對具體級數進行具體分析.問題：問題：冪級數在收斂圓周上的斂散性如何冪級數在收斂圓周上的斂散性如何?S39例題例題求收斂域常應用到的方法求收斂域常應用到的方法變量替換法變量替換法。例例1 求下列冪級數的收斂圓及其收斂區(qū)域。求下列冪級數的收斂圓及其收斂區(qū)域。（1） （2）解解 （1）令令 ，則由于，則由于20(2)nnni z nnnnnz c z c z c c z

23、 c221 002121()nniz in ()10( 1 )!() !()1 !nnnnf z ncc z z 11 zS40得其收斂域為得其收斂域為 1, 即它的收斂圓即它的收斂圓域是域是 而且在收斂的圓周上處處發(fā)散的。而且在收斂的圓周上處處發(fā)散的。 nnnnnz c z c z c c z c221 00|1 22211( )nnnniizinn 211nn 容易發(fā)生的錯誤容易發(fā)生的錯誤：令：令 cn= (2+i)n，而得，而得S41（2 2）令）令 ，則得，則得由定理由定理8 8可求出：上式右端級數的收斂半徑可求出：上式右端級數的收斂半徑 ，并且在并且在 的內部是絕對收斂的，因此原的內

24、部是絕對收斂的，因此原級數在級數在 時是絕對收斂的，而在時是絕對收斂的，而在 時是發(fā)散的。時是發(fā)散的。另外，由于另外，由于 是收斂的，因此當是收斂的，因此當 時，時， 原級數原級數 絕對收斂。絕對收斂。| 1z i nc00()( )kkkc z zf z 0|zzR ,R|1z | |1zi 0nL R S42四四. .冪和函數在收斂圓盤內解析冪和函數在收斂圓盤內解析 由以上討論知道，對于級數由以上討論知道，對于級數 ，總有，總有一個收斂圓一個收斂圓( (或者僅僅為圓心點或者僅僅為圓心點) )存在，使得級數存在，使得級數在此圓內收斂，那么其和函數在收斂圓內是否解在此圓內收斂，那么其和函數在收

25、斂圓內是否解析呢？析呢？2| |2 | |i z S43定理定理8 8 設冪級數設冪級數 有收斂圓盤有收斂圓盤 , ,那么冪級數的和函數那么冪級數的和函數在在 內解析，并且可以微分任意多次，內解析，并且可以微分任意多次，即即上面右端級數的收斂半徑仍為上面右端級數的收斂半徑仍為R。證明證明：略。：略。R (0,1,2, )n 120nnnRAA 01|zzR R |( )|,nnf zA ( )g zS44 定理定理9 9 設冪級數設冪級數 有收斂圓盤有收斂圓盤 , ,那么在那么在 內冪級數的和函內冪級數的和函數數 可以逐項積分任意多次，可以逐項積分任意多次，并且每次積分所得到的新級數的收斂半徑

26、并且每次積分所得到的新級數的收斂半徑為為 即即證明證明：略。：略。( 1 . 8 )0|zzR0 01 000( ) ( ) ( )kkkkkczz cczz czz ( )2zfzz 0 1nAA A C101()d ( 0, 1, 2, )2 ()nnCfcniz 0nnA S45zii 0()nnniiziz 解答解答R 練習練習 試求冪級數試求冪級數0z i , 21 ) 2內內在在 z的收斂半徑的收斂半徑.2ln(1)z 210 xz S46 為了證明有關定理，首先介紹下面兩個引理為了證明有關定理，首先介紹下面兩個引理一、有關逐項積分的兩個引理一、有關逐項積分的兩個引理引理引理1 1

27、（函數項級數的逐項積分函數項級數的逐項積分）設函數設函數 和和 沿曲線沿曲線 可積，且在可積，且在 上處處有上處處有如果存在收斂的正項級數如果存在收斂的正項級數 使得在使得在 上有上有那么那么 2 2 泰勒泰勒(Taylor)級數級數0()()nnCCg zd z fzd z 0()()nnCCgzd zf zd z : )( 11收收斂斂的的充充要要條條件件是是級級數數 nnnnniba 0( )( )nng zfz (3. 1)0()()nnCCg zd z fzd z z 01zz 1 1, zqz 則則0, (0 , 1 , 2 , )kz c k S47證明證明： 由于由于 收斂，因

28、此當收斂，因此當 時，必有時，必有于是設曲線于是設曲線 的長度為的長度為 ，當，當 時，有時，有這就證明了該引理。這就證明了該引理。(0 ,1 ,2 ,)n 01|zzR 010() (),()nnnfzzMzr n R ()01()!nncfzn 0zR 1 R S48引理引理2 2 若若 在正向圓周在正向圓周 上連續(xù)，上連續(xù)，則則（1 1）對該圓內任一點）對該圓內任一點z有有 (2(2）對該圓外任一點）對該圓外任一點z有有UR 10z 20(1 )( 4 ) c o s( 2) !nnnzzn S49證明證明： （1）令令 ，由于，由于 ， 因此由等比級數的求和公式得：因此由等比級數的求和

29、公式得：對任意滿足對任意滿足 的點成立。的點成立。 由引理由引理1，只須對最后所得的函數項級數找出滿，只須對最后所得的函數項級數找出滿足引理條件的足引理條件的正項級數正項級數A0+A1+ +An+，然后，然后逐項積分就可得到所證結果。逐項積分就可得到所證結果。R 00|1|zzz R (| | 1 )z 1zz11()iizizziz 0:Czr R S50 事實上事實上，由函數，由函數f ()的連續(xù)性，可設的連續(xù)性，可設|f ()|在在圓周圓周|-z0|=r上的上界為正數上的上界為正數M，則對于固定的點，則對于固定的點z，在該圓周上處處有在該圓周上處處有而而 是收斂的，故所證等式成立。是收斂

30、的，故所證等式成立。| 1zi 11()()|kkknknCCfzd z fzd z S51（2）當當z 在圓周外時，顯然在圓周外時，顯然 對圓周對圓周 上的點上的點 成立。這時有成立。這時有同樣由引理同樣由引理1可得所證等式?？傻盟C等式。1001000()()() 1( )1nnnfzfzz zz zz z 00z 0z 0z r L01001( )()()2()nnnCfd z ziz ( )000( )()!nnnfzzzn S52二二. .解析函數的解析函數的Taylor展開定理展開定理定理定理1 1 設函數設函數f(z)在圓盤在圓盤 內解析，那么內解析，那么在在U內有內有 證明：設

31、證明：設 。以。以 為中心在為中心在 內作一圓內作一圓 ，使得，使得 z 屬于其內部，此時由柯西積分公式有屬于其內部，此時由柯西積分公式有又因又因 在在C上解析，也一定連續(xù)，所以由引理上解析，也一定連續(xù)，所以由引理2 2的結論（的結論（1 1）得）得 0:Czr 0()kkkczz . 0n ,111i baz 0zU0()()nnCCg zd z fzd z 1( )( )2Cff zdiz ( )f S53由于由于z是是U內的任意一點，證畢。內的任意一點，證畢。( )f z ( |1 )z 101) 1()1ln() 5 ( nnnznz0z z c R注注 定理定理1中的冪級數稱為函數中

32、的冪級數稱為函數f (z) 在點在點z0的的Taylor級數展開式級數展開式，可以寫為可以寫為 其中其中cn為展開式的為展開式的Taylor系數系數，可表示為，可表示為(0)RR )4.1(S54定理定理2 2 函數函數 在在 解析的充分必要條件是它在解析的充分必要條件是它在 的某個鄰域有冪級數展開式。的某個鄰域有冪級數展開式。 系系1 1 冪級數就是它的和函數冪級數就是它的和函數 在收斂圓盤中的在收斂圓盤中的Taylor展開式展開式，即，即系系2 2 ( (冪級數展開式的唯一性冪級數展開式的唯一性) )在定理在定理1 1中，冪級中，冪級數的和函數數的和函數f(z)在收斂圓盤在收斂圓盤U內不可

33、能有另一冪級內不可能有另一冪級數展開式。數展開式。0| |zz R 0| |zz R ()000()(),!nnfzcfzcn 0,1,2,n ( )f z( )f zS55三三. .初等函數的泰勒展開式初等函數的泰勒展開式1 直接展開法直接展開法：先求出：先求出 ，然后應用泰勒，然后應用泰勒定理寫出定理寫出泰勒泰勒級數及其收斂半徑。級數及其收斂半徑。 指數函數在指數函數在 處的處的泰勒（泰勒（Taylor）展開式）展開式 下列函數在下列函數在 處的處的泰勒展開式泰勒展開式 0nnnzc)1 ()1 )(6 (zLnez 0 ,1 ,2 0zi 0zi (| | 1)z ( )0( )!nnf

34、zcn 1| n 41|5z 41|5z 33100()(9)!()!9!nnnz ii nz izn 41|5z S56 為實常數為實常數當當 時，上式只有有限項，并且是在整時，上式只有有限項，并且是在整個復平面上成立。個復平面上成立。 22 100( 1)( 1)sin1()1()(2 )!(21)!nnnnnnz ishz ichz inn 3()z i ( 3 . 8 )1 (|1 ) S57 間接展開法間接展開法：它是根據函數在一點的泰勒級它是根據函數在一點的泰勒級 數展開式的唯一性給出的。在這里指從上面數展開式的唯一性給出的。在這里指從上面6個個 初等函數的泰勒級數展開式出發(fā)，利用

35、冪級數初等函數的泰勒級數展開式出發(fā)，利用冪級數的的 變量替換，逐項微分，逐項積分和四則運算等變量替換，逐項微分，逐項積分和四則運算等求求 出其出出其出泰勒泰勒級數及其收斂半徑。級數及其收斂半徑。如：應用如：應用 ，令，令 ，得，得2z (| | 1)z 0)(nnnazc3( ) sinf zz S58例題例題例例1 求下列函數在點求下列函數在點 處的處的泰勒泰勒級數展開式及級數展開式及其收斂半徑。其收斂半徑。（1） （2）（3） （4）解解 （1） 在在 處為唯一的奇點，并且當處為唯一的奇點，并且當 時，函數時，函數 ，所以函數在，所以函數在 處處的的泰勒泰勒級數展開式的收斂半徑為級數展開式

36、的收斂半徑為 |z1-z0|=|0-i|=1 ，從而在從而在 |z-i|1 時有時有令令 應用展開式應用展開式(6)可得：可得：110110()() ( )( )mmmCCffddzzzz 112() ()f zz i z R 1( )fz pnnnnnncc)1(limlim1 ，因因為為pnnc1 0| 0z z 3()z i . 11 R所以所以0zi 10(1 )()2nnnnnzii 101( 1 ) ( )2nnnnizi 101(9)!1()!9!nnninzzin 10( 1)()2nnnnniz izii S59（2 2）同理可得其）同理可得其在在 處的處的泰勒泰勒級數展開式

37、級數展開式的收斂半徑為的收斂半徑為 1。 由于由于 , 應用展開式（應用展開式（3）得）得所以當所以當 時時2C0( )()kkkf zczz 341( ) () ( )f zz i f z 1 1()iiz i zz i z s i nzs i ns i n ( )s i n () c o sc o s () s i nzzii zii zii 00z 1npnnz2CS60（3 3）由于）由于 在整個復平面上解析，故其收斂在整個復平面上解析，故其收斂半徑為半徑為 ，從而，從而應用展開式（應用展開式（2)(4)2)(4)得得用用直接法直接法也簡單也簡單，注意到，注意到0zi R sin2iz

38、izeezi 11rrRR (3.1)S61（4 4） ，其，其TaylorTaylor級數收斂半徑為級數收斂半徑為1 1，從而從而 在在 處的處的泰勒泰勒級數展開式兩端同乘級數展開式兩端同乘以以 即可得到即可得到 在在 處的處的泰勒泰勒級數級數展開式：展開式：注意注意：顯然不必要將：顯然不必要將 寫成寫成 的多項式再的多項式再來求來求 在在 處的處的泰勒泰勒級數展開式。級數展開式。0|rz zR ，因因為為pnnc1 R 1C1 01 01()( ) 1 zifz ziii NoImageR 1C10(1 )ln ( 1 ),| |11nnnn 0 0 1, , ,kzcc c 1 10(

39、1)()2nnnnniz iz ii S62解解 因為因為 是是 0:|U z zR ( )f z001000()()()kkkkkc z zc c z zc z z 可在可在 內展成泰勒級數，有內展成泰勒級數，有010000000()( )()()() 1( )()1nnnf zzfffzzzz zzzzz R 2z 11213zzzz 11( )kknknCCf zdsAds 例例2 2 試將試將 在點在點 展成泰勒級數。展成泰勒級數。C11(2 ) 3z 的唯一有限奇點，所以的唯一有限奇點，所以S63小結小結泰勒泰勒( (Taylor) )級數的形式？級數的形式？ 冪級數冪級數為為其中其

40、中z是復變數，系數是復變數，系數 是復常數。是復常數。 泰勒級數在收斂半徑為泰勒級數在收斂半徑為R的收斂圓內表示的收斂圓內表示了一個解析函數；了一個解析函數； 如果函數在半徑為如果函數在半徑為R的圓內解析，則它可的圓內解析，則它可在該圓內展成泰勒級數。在該圓內展成泰勒級數。R kCS643 3 羅朗羅朗( (Laurent) )級數級數 本節(jié)主要討論函數在環(huán)域本節(jié)主要討論函數在環(huán)域r|z-z0|R內的級數展開內的級數展開問題，并且討論它在積分計算中的應用，這里問題，并且討論它在積分計算中的應用，這里r可以可以為為0，而，而R可以為可以為+，并且稱環(huán)域，并且稱環(huán)域r|z-z0|r1R1NoIma

41、geS74由于由于f(z)在閉圓環(huán)在閉圓環(huán) 上解析，由上解析，由Cauchy積分積分公式得公式得221()2CfIdiz R 01()kkkczz 201001()()()2()kkkCfdzziz f (3 .6 )S75由由Taylor定理證明中的引理定理證明中的引理2 2（1 1） 若若 在正向圓周在正向圓周 上連續(xù)，則對上連續(xù)，則對該圓內一點該圓內一點z有有R 2()(1 )zefzzz ,lim nnD()f )2.1(NoImage11100(1 )(1 )(1 )(1 )33nnnnnnnnzz (3.7)11113 ( 1 )3 ( 1 )33zzz Rr211()1()( )

42、2 2CCf ffz d diziz (3.7)11113 ( 1 )3 ( 1 )33zzz RrDr1NoImageR1 1nn 0( )nnni zi |52ln ( 1 )zId zz nnkknS 2111()C S780 ,1 ,n ,11z ( )f z級數級數(3.4)(3.4)中，中， 稱為該級數的稱為該級數的解析部分解析部分，而而 稱為該級數的稱為該級數的主要部分主要部分。級數。級數(3.4)(3.4)稱為稱為 在圓環(huán)在圓環(huán)D內的內的羅朗展開式羅朗展開式。注意注意：由于在圓所圍區(qū)域可能有：由于在圓所圍區(qū)域可能有f( (z) )的奇點，因此，的奇點，因此，不能用不能用Cauc

43、hy公式把系數記為公式把系數記為： 1111( 1 )2 (1 ),1 333nnnnzz 01()nnnczz S79 二、羅朗級數的性質二、羅朗級數的性質定理定理2 2 若函數若函數 在圓環(huán)在圓環(huán)D: : 內解析，內解析，則該函數的羅朗級數展開式則該函數的羅朗級數展開式 在在D內處處絕對內處處絕對收斂、可以逐項微分和積分，其積分路徑為收斂、可以逐項微分和積分，其積分路徑為D內的內的任何簡單閉路，并且其展開式的系數是唯一的，任何簡單閉路，并且其展開式的系數是唯一的，即它的各項系數即它的各項系數 一定可以表示為式一定可以表示為式 的形式。的形式。 證明證明：略：略（見書（見書112112頁頁

44、）。）。:,0 nnz級級數數例例如如( )f z0|z z 2C f R 2CS80三、函數的三、函數的LaurentLaurent展開式展開式理論上應該有兩種方法理論上應該有兩種方法: : 直接法與間接法直接法與間接法 (1) 直接展開法直接展開法利用定理公式計算系數利用定理公式計算系數0( | |)zzR n然后寫出然后寫出02z 這種方法只有在找不到更好方法時才用。這種方法只有在找不到更好方法時才用。S81根據根據解析函數解析函數Laurent級數展開式的唯一性級數展開式的唯一性, , 從從已知的初等函數的泰勒級數出發(fā)，利用變量替換，已知的初等函數的泰勒級數出發(fā)，利用變量替換，泰勒級數

45、和羅朗級數的逐項微分或者積分運算等泰勒級數和羅朗級數的逐項微分或者積分運算等來求得所給函數來求得所給函數f (z)在環(huán)域在環(huán)域D的羅朗展開式的羅朗展開式. .(2) 間接展開法間接展開法這一方法成為這一方法成為Laurent 級數展開的常用方法。級數展開的常用方法。 S82例例 及及 在在 內的羅朗展開式。內的羅朗展開式。 nnnnzzc)(0 0()()nnnCCgzd zfzd z 2|z 1z zzSnnnn 11limlim例例 在在 內的羅朗展開式內的羅朗展開式R 0 | | z z解：解：此時用此時用sinz 的的Taylor展式展式,)!()(sin 012121nnnznzS8

46、3)1(1)(zzzf 例例1,1112 zzzzzn都不解析都不解析,而在圓環(huán)域而在圓環(huán)域zz 111及及 nzzzz211內都解析內都解析.2111nz zzz 則則)1(1)(zzzf .)1 ()1 ()1 (1)1 (121 nzzzz nzzzz) 1 () 1 ( ) 1 ( 1112)1(1)(zzzf )1(1111zzS84242sin(1)13 !5 !(21)!nnzzzzzn 也可以展開成級數也可以展開成級數：0z, 0 內內在在 z. )( 2級級數數展展成成將將Laurentzezfz ! 4! 3! 21432zzzzezS85給定函數給定函數ze與復平面內的一

47、點與復平面內的一點 ! 4 ! 3 ! 21143222z z zzz zez以后以后,函數在各個不同的圓環(huán)域中有不同的函數在各個不同的圓環(huán)域中有不同的Laurent展展開式開式回答：回答：不矛盾不矛盾 .Laurent展開式是唯一的展開式是唯一的. .問題：問題：這與這與laurentlaurent展開式的唯一性是否相矛盾展開式的唯一性是否相矛盾?注意唯一性注意唯一性 : : 指函數在某一個給定指函數在某一個給定的圓環(huán)域內的的圓環(huán)域內的(包括包括Taylor展開式作為其特例展開式作為其特例).S86四、典型例題四、典型例題例例1 1 !4!3!211122zzzz: ) 2)(1(1)( 在

48、在圓圓環(huán)環(huán)域域函函數數 zzzf解解;10)1 z由已知函數由已知函數 的展開式的展開式; 21 ) 2 z可以直接得到可以直接得到.2)3 z12z 從從而而S87例例2 2 1,z 由由 于于1112212zz 22112222nnzzz ( )fz 所所 以以內解析內解析, , 把把 f(z) 在這些區(qū)域內展成在這些區(qū)域內展成Laurent級數級數. .解解2si nzz1 znnnzzc )(012(1)z z S88oxy1)(zf21 3 72 4 8z z 211224zz 22sin1 cos(2 )zz 2001 , | | 1 ,1(2 )| | 1 .n nnnni z

49、發(fā)發(fā) 散散 ，R 2 , 0 S891102(1)2ln (1),1nnnnzzn 12oxy12 z 2112121zz nnzzz22212122由由) ( z f于于是是 21111zzz 2222121 zz且仍有且仍有 842111121zzzzznn, 2 ) 3內內在在 zS902 z12 zzzz211121 24211zzz,121 zz此此時時2oxyzzz111111 由由 21111z zz此時此時)( zf故故S91 24211zzz 21111zzz仍有仍有.731432 zzz解解析析在在0)(zzf為為復復常常數數n )(zfnn為為函函數數 1nn S92 這一例子說明：這一例子說明：同一函數在不同的圓環(huán)內同一函數在不同的圓環(huán)內的羅朗展開式可是不同的！的羅朗展開式可是不同的！S93例例3 3 分別將下列函數在指定點分別將下列函數在指定點 的去心鄰域內展開的去心鄰域內展開成成Laurent級數級數0| | zzR （1 1） 22( )c o szizi 22222 2