2-3-3-列不定方程解應(yīng)用題題庫(kù)教師版

1、精品文檔12歡在下載2-3-3列不定方程解應(yīng)用題教學(xué)目標(biāo)1、熟練掌握不定方程的解題技巧2、能夠根據(jù)題意找到等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)解方程3、學(xué)會(huì)解不定方程的經(jīng)典例題知識(shí)精講、知識(shí)點(diǎn)說明歷史概述不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一.古希臘的丟番圖早在公元3世紀(jì)就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程.中國(guó)是研究不定方程最早的國(guó)家，公元初的五家共井問題就是一個(gè)不定方程組 問題，公元5世紀(jì)的張丘建算經(jīng)中的百雞問題標(biāo)志著中國(guó)對(duì)不定方程理論有了系統(tǒng)研究.宋代數(shù)學(xué)家 秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來.考點(diǎn)說明在各類競(jìng)賽考試中，不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作為解題的重要

2、 方法貫穿在行程問題、數(shù)論問題等壓軸大題之中.在以后初高中數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中，不定方程也同樣有 著重要的地位，所以本講的著重目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用不定方程這個(gè)工具，并能夠在以后的學(xué)習(xí)中使用這 個(gè)工具解題。二、運(yùn)用不定方程解應(yīng)用題步驟1、根據(jù)題目敘述找到等量關(guān)系列出方程2、根據(jù)解不定方程方法解方程3、找到符合條件的解模塊一、不定方程與數(shù)論【例1】 把2001拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，一個(gè)是 11的倍數(shù)（要盡量?。粋€(gè)是13的倍數(shù)（要盡量大）， 求這兩個(gè)數(shù).【解析】 這是一道整數(shù)分拆的常規(guī)題.可設(shè)拆成的兩個(gè)數(shù)分別為11x和13y,則有：11x 13y 2001 ,要讓x取最小值，y取最大值.可把式子變形

3、為：y 幽口 13 153 12 13x 2x 153 x巴且，可見目且是整數(shù)， 13131313滿足這一條件的x最小為7,且當(dāng)x 7時(shí)，y 148.則拆成的兩個(gè)數(shù)分別是 7 11 77和148 13 1924.23的倍數(shù)，兩人共搬了 300塊磚.問:甲、乙二人搬醇，甲搬的醇數(shù)是 18的倍數(shù)，乙搬的醇數(shù)是 甲、乙二人誰搬的穆多？多幾塊？【解析】設(shè)甲搬的是18x塊，乙捐i的是23y塊.那么18x 23y 300 .觀察發(fā)現(xiàn)18x和300者B是6的倍數(shù)， 所以y也是6的倍數(shù).由于y 300 23 13,所以y只能為6或12.y 6 時(shí) 18x 162,得至U x 9 ;y 12時(shí)18x 24,此時(shí)

4、x不是整數(shù)，矛盾.所以甲搬了 162塊，乙搬了 138塊，甲比乙搬得多，多 24塊.【鞏固】 現(xiàn)有足夠多的5角和8角的郵票，用來付 4.7元的郵資，問8角的郵票需要多少?gòu)?？【解析】設(shè)5角和8角的郵票分別有x張和y張，那么就有等量關(guān)系：5x 8y 47 .嘗試y的取值，當(dāng)y取4時(shí)，x能取得整數(shù)3,當(dāng)y再增大，取大于等于6的數(shù)時(shí)，x沒有自然數(shù) 解.所以8角的郵票需要4張.【例2】（2008年北大附中“資優(yōu)博雅杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽）用十進(jìn)制表示的某些自然數(shù)，恰等于它的各位數(shù)字之和的16倍，則滿足條件的所有自然數(shù)之和為 .【解析】 若是四位數(shù)abCd ,則16 a b c d < 16 36<10

5、00 ,矛盾，四位以上的自然數(shù)也不可能。若是兩位數(shù)ab,則16 a b 10a b ab ,也不可能，故只有三位數(shù) abc.16 a b c 100a 10b c ,化簡(jiǎn)得 28a 2b 5c.由于 2b 5c 7 9 63, 所以 a 1 或b 2. a 1 時(shí)，b 9,c 2,或 b 4,c 4; a 2時(shí)，b 8, c 8. 所以所有自然數(shù)之和為192 144 288 624.模塊二、不定方程與應(yīng)用題【例3】 有兩種不同規(guī)格的油桶若干個(gè)，大的能裝8千克油，小的能裝 5千克油，44千克油恰好裝滿這些油桶.問：大、小油桶各幾個(gè)？【解析】設(shè)有大油桶x個(gè)，小油桶y個(gè).由題意得：8x 5y 44可

6、知8x 44,所以x 0、1、2、3、4、5.由于x、y必須為整數(shù)，所以相應(yīng)的將 x的所有可能值代入方 程，可得x 3時(shí)，y 4這一組整數(shù)解.所以大油桶有3個(gè)，小油桶有4個(gè).小結(jié)這道題在解答時(shí)，也可聯(lián)系數(shù)論的知識(shí)，注意到能被5整除的數(shù)的特點(diǎn)，便可輕松求解.【例4】 在一次活動(dòng)中，丁丁和冬冬到射擊室打靶，回來后見到同學(xué)“小博士”，他們讓“小博士”猜他們各命中多少次.“小博士”讓丁丁把自己命中的次數(shù)乘以5 ,讓冬冬把自己命中的次數(shù)乘以4 ,再把兩個(gè)得數(shù)加起來告訴他，丁丁和冬冬算了一下是31, “小博士”正確地說出了他們各自命中的次數(shù).你知道丁丁和冬冬各命中幾次嗎？【解析】 設(shè)丁丁和冬冬分別命中了

7、x次和y次，則：5x 4y 31 .可見x除以4的余數(shù)為3,而且x不能 超過6,所以x 3, y 4 .即丁丁命中了 3次，冬冬命中了 4次.【鞏固】 某人打靶，8發(fā)共打了 53環(huán)，全部命中在10環(huán)、7環(huán)和5環(huán)上.問：他命中10環(huán)、7環(huán)和5環(huán) 各幾發(fā)？【解析】假設(shè)命中10環(huán)x發(fā)，7環(huán)y發(fā)，5環(huán)z發(fā)，則x y z 8LLLL由可知7y除以5的余數(shù) 10x 7y 5z 53L （2）為3,所以y 4、9如果y為9,則7y 63 53 ,所以y只能為4,代入原方程組可解得 x 1 , z 3.所以他命中10環(huán)1發(fā)，7環(huán)4發(fā)，5環(huán)3發(fā).【例5】 某次聚餐，每一位男賓付 130元，每一位女賓付100元，

8、每帶一個(gè)孩子付 60元，現(xiàn)在有1的成 3人各帶一個(gè)孩子，總共收了 2160元，問：這個(gè)活動(dòng)共有多少人參加（成人和孩子）？1【斛析】設(shè)參加的男兵有 x人，女兵有y人，則由題息得方程：130x 100y - x y 60 2160 ,即150x 120y 2160,化簡(jiǎn)得 5x 4y72.這個(gè)方程有四組解:x4x8x12. x 0, 和y13y8y3 y 18但是由于有1的成人帶著孩子，所以3所以，這個(gè)活動(dòng)共有12 3 - 123x y能被3整除，檢驗(yàn)可知只有后兩組滿足.1一一320人或18 18 24人參力口.3【鞏固】 單位的職工到郊外植樹，其中有男職工，也有女職工，并且有1的職工各帶一個(gè)孩子

9、參加 .男3職工每人種13棵樹，女職工每人種 10棵樹，每個(gè)孩子都種 6棵樹，他們一共種了 216棵樹，那 么其中有多少名男職工？【解析】因?yàn)橛?的職工各帶一個(gè)孩子參加，則職工總?cè)藬?shù)是3的倍數(shù).設(shè)男職工有 x人，女職工有y人.3則職工總?cè)藬?shù)是 x y人，孩子是 上上人.得到方程：13x 10y x y 3 6 216,化簡(jiǎn)得： 35x 4y 72 .因?yàn)槟新毠づc女職工的人數(shù)都是整數(shù)，所以當(dāng)y 3時(shí)，x 12;當(dāng)y 8時(shí)，x 8;當(dāng)y 13, x 4 .其中只有3 12 15是3的倍數(shù)，符合題意，所以其中有12名男職工.【例6】 張師傅每天能縫制 3件上衣，或者9件裙褲，李師傅每天能縫制 2件上

10、衣，或者7件裙褲，兩人20天共縫制上衣和裙褲134件，那么其中上衣是多少件？【解析】如果20天都縫制上衣，共可縫制 3 2 20 100件，實(shí)際上比這多縫制了 134 100 34件，這就要把上衣?lián)Q成裙褲，張師傅每天可多換 9 3 6件，李師傅每天可多換 7 2 5件，設(shè)張師傅 縫制裙褲x天，李師傅縫制裙褲 y天，則：6x 5y 34,整數(shù)解只有x 4, y 2.因此共縫制裙褲 9 4 7 2 50件，上衣共134 50 84件.【鞏固】 小花狗和波斯貓是一對(duì)好朋友，它們?cè)谠缤硪娒鏁r(shí)總要叫上幾聲表示問候.若是早晨見面，小 花狗叫兩聲，波斯貓叫一聲；若是晚上見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫三聲.細(xì)心

11、的小娟對(duì)它 們的叫聲統(tǒng)計(jì)了 15天，發(fā)現(xiàn)它們并不是每天早晚都見面.在這15天內(nèi)它們共叫了 61聲.問：波斯貓至少叫了多少聲？【解析】早晨見面小花狗和波斯貓共叫3聲，晚上見面共叫5聲.設(shè)在這15天內(nèi)早晨見面x次，晚上見面y次.根據(jù)題意有：3x 5y 61 ( x < 15 , y < 15).可以湊出，當(dāng)x 2時(shí)，y 11;當(dāng)x 7時(shí)，y 8;當(dāng)x 12時(shí)，y 5 .因?yàn)樾』ü饭步辛?2 x y 聲，那么 x y越大，小花狗就叫得越多，從而波斯貓叫得越少，所以當(dāng)x 12, y 5時(shí)波斯貓叫得最少，共叫了 1 12 3 5 27(聲).【例7】 甲、乙兩人生產(chǎn)一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品由一個(gè)A

12、配件與一個(gè)B配件組成.甲每天生產(chǎn) 300個(gè)A配件，或生產(chǎn)150個(gè)B配件；乙每天生產(chǎn) 120個(gè)A配件，或生產(chǎn) 48個(gè)B配件.為了在10天內(nèi)生 產(chǎn)出更多的產(chǎn)品，二人決定合作生產(chǎn)，這樣他們最多能生產(chǎn)出多少套產(chǎn)品？【解析】 假設(shè)甲、乙分別有 x天和y天在生產(chǎn)A配件，則他們生產(chǎn) B配件所用的時(shí)間分別為(10 x)天和(10 y)天，那么10天內(nèi)共生產(chǎn)了 A配件(300x 120y)個(gè)，共生產(chǎn)了 B配件150 (10 x) 48 (10 y) 1980 150x 48y個(gè).要將它們配成套，A配件與B配件的數(shù)量應(yīng)相330 28y75此時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品的套數(shù)為300x 120y300330 28y75120y就要

13、使得y最大，而y最大為10,所以最多能生產(chǎn)出1320 81320 8y,要使生產(chǎn)的產(chǎn)品最多,10 1400套產(chǎn)品.等，即 300x 120y 1980 150x 48y ,得至U 75x 28y 330 ,貝U x【鞏固】 某服裝廠有甲、乙兩個(gè)生產(chǎn)車間，甲車間每天能生產(chǎn)上衣16件或褲子20件；乙車間每天能生產(chǎn)上衣18件或褲子24件.現(xiàn)在要上衣和褲子配套， 兩車間合作21天，最多能生產(chǎn)多少套衣服？【解析】假設(shè)甲、乙兩個(gè)車間用于生產(chǎn)上衣的時(shí)間分別為x天和y天，則他們用于生產(chǎn)褲子的天數(shù)分別為(21 x)天和(21 y)天，那么總共生產(chǎn)了上衣 (16x 18y)件，例8【解析】例9【解析】【鞏固】【解

14、析】【鞏固】【解析】生產(chǎn)了褲子 20 (21 x) 24 (21 y) 924 20x 24y件.根據(jù)題意，褲子和上衣的件數(shù)相等，所以16x 18y 924 20x 24 y ,即6x 7y 154,即x 1547y.那么共生產(chǎn)了 16x 18y 16 1547y 18y 410- 2 y 套衣服.663 3要使生產(chǎn)的衣服最多，就要使得y最小，則x應(yīng)最大，而x最大為21,此時(shí)y 4 .故最多可以生一,2 2廣出410- 4 408套衣服. 3 3有一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要36天完成，乙單獨(dú)做需要 30天完成，丙單獨(dú)做需要 48天完成，現(xiàn)在由甲、乙、丙三人同時(shí)做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和

15、乙一直工作至完成，最后完成這項(xiàng)工程也用了整數(shù)天，那么丙休息了 天.設(shè)完成這項(xiàng)工程用了 a天，其間丙休息了 b天.1111591根據(jù)題意可知：一一一 a _b 1, _a 一b 1,化簡(jiǎn)得59a 15b 720.3630484872048由上式，因?yàn)?5b與720都是15的倍數(shù)，所以59a必須是15的倍數(shù)，所以a是15的倍數(shù)，在a b 的條件下，只有 a 15, b 11 一組解，即丙休息了 11天.實(shí)驗(yàn)小學(xué)的五年級(jí)學(xué)生租車去野外開展“走向大自然，熱愛大自然”活動(dòng)，所有的學(xué)生和老師 共306人恰好坐滿了 5輛大巴車和3輛中巴車，已知每輛中巴車的載客人數(shù)在20人到25人之間，求每輛大巴車的載客人數(shù)

16、.設(shè)每輛大巴車和中巴車的載客人數(shù)分別為x人和y人，那么有：5x 3y 306 .由于知道中巴車的載客人數(shù)，也就是知道了y的取值范圍，所以應(yīng)該從 y入手.顯然3y被5除所得的余數(shù)與306被5除所得的余數(shù)相等，從個(gè)位數(shù)上來考慮，3y的個(gè)位數(shù)字只能為1或6,那么當(dāng)y的個(gè)位數(shù)是2或7時(shí)成立.由于y的值在20與25之間，所以滿足條件的 y 22 ,繼而求得x 48,所以大 巴車的載客人數(shù)為48人.實(shí)驗(yàn)小學(xué)的五年級(jí)學(xué)生租車去野外開展“走向大自然，熱愛大自然”活動(dòng)，所有的學(xué)生和老師共306人恰好坐滿了 7輛大巴車和2輛中巴車，已知每輛中巴車的載客人數(shù)在20人到25人之間，求每輛大巴車的載客人數(shù).設(shè)大巴車和中

17、巴車的載客人數(shù)分別為x人和y人，那么有：7x 2y 306.考慮等式兩邊除以 7的余數(shù)，由于306被7除余5 ,所以2y被7除余5 ,符合條件的y有：6、13、20、27,所以y 20,繼而求得x 38,所以大巴車的載客人數(shù)為38人.每輛大汽車能容納 54人，每輛小汽車能容納 36人.現(xiàn)有378人，要使每個(gè)人都上車且每輛車都裝滿，需要大、小汽車各幾輛？設(shè)需要大、小汽車分別為 x輛、y輛，則有：54x 36y 378,可化為3x 2y 21 .可以看出y是3的倍數(shù)，又不超過10,所以y可以為0、3、6或9,將y 0、3、6、9分別代入可知有四組解：x1;或x3;或x5;或x7y 9 y 6 y

18、3 y 0即需大汽車1輛，小汽車9輛；或大汽車3輛，小汽車6輛；或大汽車5輛，小汽車3輛；或大 汽車7輛.小偉聽說小峰養(yǎng)了一些兔和雞，就問小峰：“你養(yǎng)了幾只兔和雞？”小峰說：“我養(yǎng)的兔比雞多,雞兔共24條腿.”那么小峰養(yǎng)了多少兔和雞？這是一道雞兔同籠問題，但由于已知雞兔腿的總數(shù)，而不是雞兔腿數(shù)的差，所以用不定方程求解. 設(shè)小峰養(yǎng)了 x只兔子和y只雞，由題意得：4x 2y 24即：2x y 12 , y 12 2x這是一個(gè)不定方程，其可能整數(shù)解如下表所示：x0123456y121086420由題意x y ,且x, y均不為0,所以x 5, y 2 ,也就是兔有5只，雞有2只.【例10】(1999

19、年香港保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)一個(gè)家具店在1998年總共賣了 213張床.起初他們每個(gè)月賣出 25張床，之后每個(gè)月賣出16張床，最后他們每個(gè)月賣出20張床.問：他們共有多少個(gè)月是賣出 25張床？【解析】設(shè)賣出25、16、20張床的月份分別為 x、v、z個(gè)月，則：x y z 12L L L L L (1)25x 16y 20z 213L (2)由得y 12 x z,代入得9x 4z 21.顯然這個(gè)方程的正整數(shù)解只有x 1, z 3.所以只有1個(gè)月是賣出25張床的.【例11】(2008年“希望杯”第二試試題)五年級(jí)一班共有36人，每人參加一個(gè)興趣小組，共有 A、B、 C、D、E五個(gè)小組.若

20、參加 A組的有15人，參加B組的人數(shù)僅次于 A組，參加C組、D組 的人數(shù)相同，參加 E組的人數(shù)最少，只有 4人.那么，參加 B組的有 人.【解析】 設(shè)參加B組的有x人，參加C組、D組的有y人，則x y 4 , 由題知15 x 2y 4 36 ,整理得x 2y 17 ;由于y 4,若y 5,得x 7,滿足題意；若y 6,則x 5,與x y矛盾；所以只有x 7, y 5符合條件，故參加 B組的有7人.【例12】(2008年全國(guó)小學(xué)生“我愛數(shù)學(xué)夏令營(yíng)”數(shù)學(xué)競(jìng)賽)將一群人分為甲乙丙三組，每人都必在且 僅在一組.已知甲乙丙的平均年齡分為37, 23, 41.甲乙兩組人合起來的平均年齡為29;乙丙兩組人合

21、起來的平均年齡為33.則這一群人的平均年齡為 _一【解析】設(shè)甲乙丙三組分別有 x, v, z人，依提議有：37x 23y 29 x y(1)23y 41z 33 y z由化簡(jiǎn)可得x: y 3: 4 ,由化簡(jiǎn)可得 y: z 4:5 ,所以x : y: z 3: 4:5 ;因此，這一群人的平均年齡為37 3 23 4 41 5 34 .3 4 5【例13】14個(gè)大、中、小號(hào)鋼珠共重 100克，大號(hào)鋼珠每個(gè)重 12克，中號(hào)鋼珠每個(gè)重 8克，小號(hào)鋼珠每 個(gè)重5克.問：大、中、小號(hào)鋼珠各有多少個(gè)？x y z 14L L L L (1)【解析】設(shè)大、中、小號(hào)鋼珠分別有x個(gè)，y個(gè)和z個(gè)，則：x y 14LL

22、LL(1)(2)5,12x 8y 5z 100L (2)得7x 3y 30 .可見7x是3的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，且小于 30,所以只能為21,故x 3,代 入彳# y 3, z 8.所以大、中、小號(hào)鋼珠分別有3個(gè)、3個(gè)和8個(gè).【鞏固】 袋子里有三種球，分別標(biāo)有數(shù)字2, 3和5,小明從中摸出12個(gè)球，它們的數(shù)字之和是 43.問：小明最多摸出幾個(gè)標(biāo)有數(shù)字2的球？【解析】設(shè)小明摸出標(biāo)有數(shù)字 2, 3和5的球分別為x, y, z個(gè)，于是有x y z 12L L L L (1) 2x 3y 5z 43L L L (2)由 5 (1) (2),得 3x 2y 17L L L (3),由于x, y都是正整數(shù)

23、，因此在中，y取1時(shí).x取最大值5,所以小明最多摸出 5個(gè)標(biāo)有數(shù)字2的球.【例14】 公雞1只值錢5,母雞一只值錢3,小雞三只值錢1,今有錢100,買雞100只，問公雞、母雞、 小雞各買幾只？【解析】設(shè)買公雞、母雞、小雞各X、V、z只，根據(jù)題意，得方程組x v z 1001.5x 3y _z 100 3由3,得 14x 8y 200，即：y倍數(shù)，故x只能為4、8、200 14x725 x,因?yàn)?412,從而相應(yīng)y的值分別為x、y為正整數(shù)，所以不難得出 x應(yīng)為4的 18、11、4,相應(yīng)z的值分別為78、81、x 4 x 8 x 1284.所以，方程組的特殊解為y 18 , y 11, z 78

24、z 81y 4 ,所以公雞、母雞、小雞應(yīng)分別買z 844只、18只、78只或8只、11只、81只或12只、4只、84只.【鞏固】 小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分.小明共套了 10次，每次都套中了，每個(gè)小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分.問：小明至多套中小雞幾次？【解析】設(shè)套中小雞x次，套中小猴y次，則套中小狗(10 x y)次.根據(jù)得61分可列方程： 9x 5y 2 (10 x y) 61 ,化簡(jiǎn)后得7x 41 3y .顯然y越小，x越大. 將y 1代入得 7x 38,無整數(shù)解；若y 2, 7x 35,解得x 5,所以小明至多套中小雞 5次.【例

25、15開學(xué)前，寧寧拿著媽媽給的30元錢去買筆，文具店里的圓珠筆每支4元，鉛筆每支3元.寧寧買完兩種筆后把錢花完.請(qǐng)問：她一共買了幾支筆？【解析】(法一)由于題中圓珠筆與鉛筆的數(shù)量都不知道，但總費(fèi)用已知，所以可以根據(jù)不定方程分析兩種筆的數(shù)量，進(jìn)而得解.設(shè)她買了x支圓珠筆，y支鉛筆，由題意列方程：4x 3y 30 ,所以4x 一3y 30 4x, y 10 /因?yàn)閤、y均為整數(shù)，所以x應(yīng)該能被3整除，又因?yàn)? x 7 ,所以x 3或6,當(dāng)x 3時(shí)，y 6,x y 9,當(dāng)x 6時(shí)，y 2,x y 8,寧寧共買了 9支筆或8支筆.(法二)換個(gè)角考慮：將“一支圓珠筆和一支鉛筆”看成一對(duì)，分析寧寧可能買了幾

26、對(duì)筆，不妨設(shè)為m對(duì)，余下的一定是圓珠筆與鉛筆中的口H一一種.一對(duì)筆的售價(jià)為“4 3 7元，由題意可知，1 m 4,又m為整數(shù)(1)當(dāng)m 1時(shí)，余款為30 7 23,不能被3或4整除，這種情況不可能；(2)當(dāng)m 2時(shí)，余款為30 2 7 16,能被4整除，也就是說配對(duì)后，余下 4支圓珠筆.此時(shí)，寧寧買了 6支圓珠筆，2支鉛筆，共8支筆.(3)當(dāng)m 3時(shí)，余款為30 3 7 9 ,能被3整除，也就是說配對(duì)后，余下 3支圓珠筆.此時(shí)，寧寧買了 3支圓珠筆，6支鉛筆，共9支筆.(4)當(dāng)m 4時(shí)，余款為30 4 7 2 ,不能被3或4整除，這種情況不可能，由上面的分析 可知，寧寧共買了 9支筆或8支筆.

27、【鞏固】(迎春杯預(yù)賽試題)小華和小強(qiáng)各用6角4分買了若干支鉛筆， 他們買來的鉛筆中都是 5分一支和 7分一支的兩種，而且小華買來的鉛筆比小強(qiáng)多.小華比小強(qiáng)多買來鉛筆多少支.【解析】設(shè)買5分一支白鉛筆 m支，7分一支的鉛筆n支.則：5 m 7 n 64, 64 7 n是5的倍數(shù).用 n 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8代入檢驗(yàn)，只有n 2, 7滿足這一要求，得出相應(yīng)的m 10, 3 .即小華買鉛筆10 2 12支，小強(qiáng)買鉛筆 7 3 10支，小華比小強(qiáng)多買 2支.【例16】 藍(lán)天小學(xué)舉行“迎春”環(huán)彳知識(shí)大賽，一共有 100名男、女選手參加初賽，經(jīng)過初賽、復(fù)賽，最后確定了參加決賽的

28、人選.已知參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的20%;參加決賽的女選手的人數(shù)， 占初賽的女選手人數(shù)的12.5%,而且比參加初賽的男選手的人數(shù)多. 參 加決賽的男、女選手各有多少人？【解析】由于參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的20%;參加決賽的女選手的人數(shù)，占初賽時(shí)女選手人數(shù)的12.5%,所以參加初賽的男選手人數(shù)應(yīng)是5的倍數(shù)，參加初賽的女選手的人數(shù)應(yīng)是8的倍數(shù).設(shè)參加初賽的男生為 5x人，參加初賽的女生為 8y人.根據(jù)題意可列方程：5x 8y 100 .解得x 12 x 4,或y要比x大，所以第y 5 y 10又因?yàn)閰⒓記Q賽的女選手的人數(shù)，比參加決賽的男選手的人數(shù)多，也就是組

29、解不合適，只有x 4, y 10滿足._2是壞的，其他是好的；乙班分到的桃9故參加決賽的男選手為 4人，女選手為10人.【鞏固】 今有桃95個(gè)，分給甲、乙兩班學(xué)生吃，甲班分到的桃有有3是壞的，其他是好的.甲、乙兩班分到的好桃共有幾個(gè)？16【解析】甲班分到的桃是 9的倍數(shù)，乙班分到的桃是 16的倍數(shù)，假設(shè)甲班分到桃 9x個(gè)，乙班分到桃16y 個(gè).于是： 9x 16y 95 ,解得x 7 , y 2 ,即甲班分到桃9 7 63(個(gè))，乙班分到桃. 23.16 2 32(個(gè)).所以，兩班共分到好桃 63 (1 ) 32 (1 一)75 (個(gè)).916【例17】甲、乙兩人各有一袋糖，每袋糖都不到20粒

30、.如果甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的2倍；如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的3倍.甲、乙兩人共有多少粒糖？【解析】設(shè)甲、乙原有糖分別為 x粒、y粒，甲給乙的數(shù)量為 z粒，則依題意有：xz2(yz)且 x 20整理得 x2y 3z0LL xz3(yz) ' y 20x3y 4z0L L (2)由得x 2y 3z,代入得7z y 0,即y 7z .因y 20,故z 1或z 2 .若 z 2 ,則 y 14 , x 2 14 3 2 34 20,不合題意.因而z 1 ,對(duì)應(yīng)方程組有唯一解 x 17, y 7, z 1.則甲、乙共有糖17 7 24粒.【鞏固】 有兩小堆磚頭，如果從

31、第一堆中取出100塊放到第二堆中去，那么第二堆將比第一堆多一倍.如果相反，從第二堆中取出若干塊放到第一堆中去，那么第一堆將是第二堆的6倍.問：第一堆中的磚頭最少有多少塊？【解析】設(shè)第一堆磚有x塊，則根據(jù)第一個(gè)條件可得第二堆磚有2x 300塊.再設(shè)從第二堆中取出 y塊放在第一堆后，第一堆將是第二堆的6倍，可列方程：x y 6 2x 300 y ,化簡(jiǎn)得 7y 1800 11x ,那么 x 7y 180011 163 7y 7 .11因?yàn)閤是整數(shù)，7與11互質(zhì)，所以y 1應(yīng)是11的倍數(shù)，y最小是10,推知x最小是7 10 1_ , _ 163 163 7 170 ,所以，第一堆中的磚頭最少有170

32、塊.11【例18(第六屆華杯賽復(fù)賽第 16題)甲乙丙三個(gè)班向希望工程捐贈(zèng)圖書，已知甲班有1人捐6冊(cè)，有2人各捐7冊(cè)，其余都各捐11冊(cè)，乙班有1人捐6冊(cè)，3人各捐8冊(cè)，其余各捐10冊(cè)；丙班有2人各 卷4冊(cè)，6人各捐7冊(cè)，其余各捐9冊(cè)。已知甲班捐書總數(shù)比乙班多28冊(cè)，乙班比丙班多101冊(cè),各班捐書總數(shù)在400冊(cè)與550冊(cè)之間，問各班各有多少人？【解析】我們?cè)O(shè)甲班有x人，乙班有y人，丙班有z人，那么三個(gè)班的捐書數(shù)目分別為：11(x 3) 6 7 7 11x 13 ,10(y 4) 6 8 3 10y 10,9(z 8) 4 2 7 6 9z 22 ,11x 13 10y 10 2811x 10y 3

33、1根據(jù)題忌有：，即有10y 10 (9z 22) 10110y 9z 89又因?yàn)楦靼嗟木钑鴶?shù)目都在400到550之間，因此我們知道：捐書最多的甲班有11x 13 550,而捐書最少的丙班有 9z 22 400,從而有563 11x 10y 31 9z 8931 422 8931 542,于是有52 x 49,所以有x 50或51。經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x 50時(shí)，y不是整數(shù)，而當(dāng)x 51 時(shí)，有y 53,z 49,也就是說，甲乙丙三班人數(shù)分別為51, 53, 49。【例19】（2009年“迎春杯”高年級(jí)組復(fù)賽 ）在新年聯(lián)歡會(huì)上，某班組織了一場(chǎng)飛鏢比賽.如右圖，飛鏢的靶子分為三塊區(qū)域，分別對(duì)應(yīng)17分、11分

34、和4分.每人可以扔若干次飛鏢，脫靶不得分，投中靶子就可以得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù).若恰好投在兩塊（或三塊）區(qū)域的交界線上，則得兩塊 （或三塊）區(qū)域中分?jǐn)?shù)最高區(qū)域的分?jǐn)?shù).如果比賽規(guī)定恰好投中120分才能獲獎(jiǎng)，要想獲獎(jiǎng)至少需要投中次飛鏢.【解析】 假設(shè)投中17分、11分、4分的次數(shù)分別為x次、y次和z次，那么投中飛鏢的總次數(shù)為x y z次，而總得分為17x 11y 4z分，要想獲獎(jiǎng)，必須17x由于17x 120,得至iJ x6 .當(dāng)x的值一定后，要使11y 4z 120.y z最小，必須使y盡可能大.若 若若 若 若 若若5 , 4,3,2,1 ,0,得到 得到 得到 得到11y11y11y11y11y得到

35、11y得到11y4z4z4z4z4z4z4z18,35 ,52,69 ,此時(shí)無整數(shù)解；此時(shí)y 1, z 6, 此時(shí)y最大為4,當(dāng) 此時(shí)y 3, z 9,86,此時(shí)y最大為6,當(dāng)y4時(shí)z 2 ,這種情況下y z 3 3 9 15;6時(shí)z 5 ,這種情況下10;經(jīng)過比較可知 x y z103 ,此時(shí)120 ,此時(shí)的值最小為y最大為9,當(dāng)y y最大為8,當(dāng)y1 ,這種情況下8 ,這種情況下10,所以至少需要投中 10次飛鏢才能獲獎(jiǎng).13;11 ;16 .模塊三、不定方程與生活中的應(yīng)用題【例20】 某地用電收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是：若每月用電不超過50度，則每度收5角；若超過50度，則超出部分按每度8角收費(fèi).某月

36、甲用戶比乙用戶多交3元3角電費(fèi)，這個(gè)月甲、乙各用了多少度電？【解析】3元3角即33角，因?yàn)?3既不是5的倍數(shù)又不是8的倍數(shù)，所以甲、乙兩用戶用電的情況一定是 一個(gè)超過了 50度，另一個(gè)則沒有超過.由于甲用戶用電更多，所以甲用戶用電超過 50度，乙用 戶用電不足50度.設(shè)這個(gè)月甲用電50 x度，乙用電50 y度.因?yàn)榧妆纫叶嘟?33角電費(fèi)，所以有8x 5y 33.容易看出x 1, y 5,可知甲用電51度，乙用電45度.【鞏固】 某區(qū)對(duì)用電的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定如下：每月每戶用電不超過10度的部分，按每度0.45元收費(fèi)；超過10度而不超過20度的部分，按每度0.80元收費(fèi)；超過20度的部分按每度1.50

37、元收費(fèi).某月甲用戶 比乙用戶多交電費(fèi)7.10元，乙用戶比丙用戶多交3.75元，那么甲、乙、丙三用戶共交電費(fèi)多少元？（用電都按整度數(shù)收費(fèi)）【解析】由于丙交的電費(fèi)最少，而且是求甲、乙電費(fèi)的關(guān)鍵，先分析一下他的用電度數(shù).因?yàn)橐矣脩舯缺脩舳嘟?.75元，所以二者中必有一個(gè)用電度數(shù)小于 10度（否則差中不會(huì)出現(xiàn) 0.05元），丙用電 少，所以丙用電度數(shù)小于10度，乙用電度數(shù)大于10度，但是不會(huì)超過20度（否則甲、乙用電均超 過20度，其電費(fèi)差應(yīng)為1.50的整數(shù)倍，而不會(huì)是 7.10元）.設(shè)丙用電（10 x）度，乙用電（10 y）度，由題意得：0.45x 0.8y 3.759x 16y 759x 75

38、16y75 16y x 9所以y是3的倍數(shù)，又x,y均為整數(shù)，且都大于 0小于10所以 y 3, x 75 16 3 3 9所以丙用電 10 3 7度，交電費(fèi) 0.45 7 3.15元；乙交電費(fèi) 3.15 3.75 6.90元，甲交電費(fèi)6.90 7.10 14.00元，三戶共交電費(fèi) 3.15 6.90 14.00 24.05元.【例21】馬小富在甲公司打工，幾個(gè)月后又在乙公司兼職，甲公司每月付給他薪金470元，乙公司每月付給他薪金350元.年終，馬小富從兩家公司共獲薪金7620元.他在甲公司打工 個(gè)月，在乙公司兼職 個(gè)月.【解析】設(shè)馬小富在甲公司打工 a月，在乙公司兼職 b月（a b, a、b

39、都是不大于12的自然數(shù)），則有 470a 350b 7620,化簡(jiǎn)得47a 35b 762 .若b為偶數(shù)，貝U 35b的末位數(shù)字為0,從而47a的 末位數(shù)字必為2,這時(shí)a 6.但a 6時(shí)，b 竺0不是整數(shù)，不合題意，所以 b必為奇數(shù).b為 35奇數(shù)時(shí)，35b的末位數(shù)字為5 ,從而47a的末位數(shù)字為7, a 1或a 11.但a 1時(shí)容易看出a b, 與a b矛盾.所以，a 11,代入得b 762 47 1135 7 .于是馬小富在甲公司打工 11個(gè)月，在乙公司兼職 7個(gè)月.【例22】甲、乙、丙、丁、戊五人接受了滿分為10分（成績(jī)都是整數(shù)）的測(cè)驗(yàn).已知：甲得了 4分，乙得了最高分，丙的成績(jī)與甲、丁

40、的平均分相等，丁的成績(jī)剛好等于五人的平均分，戊比丙多2分.求土）分，戊的分?jǐn)?shù)為2x10x 4 x 8丁丁 y'y 10 x ,得到乙、丙、丁、戊的成績(jī).【解析】法一：方程法.設(shè)丁的分?jǐn)?shù)為 x分，乙的分?jǐn)?shù)為 y分，那么丙的分?jǐn)?shù)為x 4 x 8七 2 一分，根據(jù)“丁的成績(jī)剛好等于五人的平均分”，有5x 4225分，戊得7分，乙得8分. 丙的成績(jī)與甲、丁的平均分相所以 3x 10 y .因?yàn)?x y< 10 ,所以 3x 10 y< 10 10 20 , 3x5 xw l，故x 6 ,代入得y 8 .所以丁得6分，丙得 3法二：推理法.因?yàn)槎槲迦说钠骄?，所以丁不是成?jī)最低的;

41、等，所以丙在甲與丁之間；又因?yàn)槲旌鸵叶急缺某煽?jī)高，所以乙、丙、丁、戊都不是最低分，那么甲的成績(jī)是最低的.因?yàn)榧资?4分，所以丁可能是 6分或8分（由丙的成績(jī)與甲、丁的平均分 相等知丁的得分是偶數(shù)），經(jīng)檢驗(yàn)丁得8分時(shí)與題意不符，所以丁得 6分，則丙得5分，戊得7分, 乙得8分.【鞏固】 有兩個(gè)學(xué)生參加4次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，他們的平均分?jǐn)?shù)不同，但都是低于90分的整數(shù).他們又參加了第5次測(cè)驗(yàn)，這樣5次的平均分?jǐn)?shù)都提高到了90分.求第5次測(cè)驗(yàn)兩人的得分.（每次測(cè)驗(yàn)滿分為100分）【解析】設(shè)某一學(xué)生前4次的平均分為x分，第5次的得分為y分，則其5次總分為4x y 90 5 450, 于是 y 450 4x.顯

42、然 90 yw 100,故 90 450 4x< 100 ,解得 87.54 x 90.由于x為整數(shù)，可能為 88和89,而且這兩個(gè)學(xué)生前 4次的平均分不同，所以他們前4次的平均分分別為88分和89分，那么他們第5次的得分分別為：450 88 4 98分；450 89 4 94分.【例23】小明、小紅和小軍三人參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，一共有 100道題，每個(gè)人各解出其中的60道題，有些題三人都解出來了，我們稱之為“容易題”；有些題只有兩人解出來，我們稱之為“中等題” ；有些題只有一人解出來，我們稱之為“難題”，已知每個(gè)題都至少被他們中的一人解出，則難題比容易題多 道.【解析】設(shè)容易題、中等題和

43、難題分別有x道、y道、z道，則x y z 100LL，由（1）2 （2）得3x 2y z 180L （2）2x 2y 2z （3x 2y z） 200 180 ,即z x 20,所以難題比容易題多 20道.【例24】甲、乙兩個(gè)同學(xué)在一次數(shù)學(xué)擂臺(tái)賽中，試卷上有解答題、選擇題、填空題各若干個(gè)，而且每個(gè)精品文檔小題的分值都是自然數(shù).結(jié)果公布后，已知甲做對(duì)了5道解答題，7道選擇題，9道填空題，共得52分；乙做對(duì)了 7道解答題，9道選擇題，11道填空題，共得68分.問：解答題、選擇題、 填空題的每道小題各多少分？5x 7y 9z 52【解析】設(shè)每道解答題為 x分，每道選擇題為y分，每道填空題為 z分，有5x 7 y 52，解得7x 9y 11z 68y 2z 6 .因?yàn)閥、z都是自然數(shù)，而且不為 0,所以有丫2,22,或者丫4,21.分 別代入原方程解得 x 4或者x 3 .所以解答題、選擇題、填空題的每道小題的分?jǐn)?shù)分別為4分、2分、2分或者3分、4分、1分.【例25】(2007年“我愛數(shù)學(xué)夏令營(yíng)”數(shù)學(xué)競(jìng)賽)甲乙丙三人參加一個(gè)共有30個(gè)選擇題的比賽，計(jì)分辦法是在30分的基礎(chǔ)上，每答對(duì)一題加4分，答錯(cuò)一題扣1分，不答既不扣分也不加分.賽完后發(fā)現(xiàn)根據(jù)甲所得總分可以準(zhǔn)確算出他答對(duì)的題數(shù)，乙、丙二人所得總分相同，僅比甲少1分，但乙丙答對(duì)