第一節(jié)拉普拉斯變換的概念

1、第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 一、一、Laplace 變換的引入變換的引入二、二、Laplace 變換的定義變換的定義三、存在性定理三、存在性定理 四、幾個(gè)常用函數(shù)的四、幾個(gè)常用函數(shù)的 Laplace 變換變換 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 一、一、Laplace 變換的引入變換的引入 1. Fourier 變換的變換的“局限性局限性”？ 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù) 滿足滿足 Dirichlet 條件，且在條件，且在 上絕對上絕對 )(tf),( 可積時(shí)，便可以進(jìn)行古典意義下的可積時(shí)，便可以進(jìn)行古典意義下的 Fourier 變換。變換。 由于絕對可積是一個(gè)相當(dāng)強(qiáng)的條件，使得一些簡單函數(shù)由

2、于絕對可積是一個(gè)相當(dāng)強(qiáng)的條件，使得一些簡單函數(shù) ( (如常數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)等等如常數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)等等) )的的 Fourier 變換也受到限制。變換也受到限制。 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 一、一、Laplace 變換的引入變換的引入 1. Fourier 變換的變換的“局限性局限性”？ 廣義廣義 Fourier 變換的引入，擴(kuò)大了古典變換的引入，擴(kuò)大了古典 Fourier 變換的適變換的適 用范圍，使得用范圍，使得 “緩增緩增” 函數(shù)也能進(jìn)行函數(shù)也能進(jìn)行 Fourier 變換，而且變換，而且 將周期函數(shù)的將周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)

3、與級數(shù)與 Fourier 變換統(tǒng)一起來。變換統(tǒng)一起來。 廣義廣義 Fourier 變換對以指數(shù)級增長的函數(shù)如變換對以指數(shù)級增長的函數(shù)如 等等 )0(e aat仍然無能為力；而且在變換式中出現(xiàn)沖激函數(shù)，也使人仍然無能為力；而且在變換式中出現(xiàn)沖激函數(shù)，也使人 感到不太滿意。感到不太滿意。 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 一、一、Laplace 變換的引入變換的引入 1. Fourier 變換的變換的“局限性局限性”？ 在工程實(shí)際問題中，許多以時(shí)間在工程實(shí)際問題中，許多以時(shí)間 t 為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù)( ( 比如比如 起始時(shí)刻為零的因果信號等起始時(shí)刻為零的因果信號等) )在在 t 0

4、 時(shí)為零，而有些甚至?xí)r為零，而有些甚至 在在 t 0 時(shí)根本沒有意義。時(shí)根本沒有意義。 因此在對這些函數(shù)進(jìn)行因此在對這些函數(shù)進(jìn)行 Fourier 變換時(shí)，沒有必要變換時(shí)，沒有必要( ( 或者或者 不可能不可能) )在整個(gè)實(shí)軸上進(jìn)行。在整個(gè)實(shí)軸上進(jìn)行。 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 基本想法基本想法 使得函數(shù)在使得函數(shù)在 t 0 的部分盡快地衰減下來。的部分盡快地衰減下來。 (1) 將函數(shù)將函數(shù) 乘以一個(gè)乘以一個(gè)單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù) ， )(tu)(tf(2) 將函數(shù)再乘上一個(gè)將函數(shù)再乘上一個(gè)衰減指數(shù)函數(shù)衰減指數(shù)函數(shù) ， )0(e t 這樣，就有希望使得函數(shù)這樣，就有希望使得函數(shù)

5、滿足滿足 Fourier ttutf e)()(變換的條件，從而對它進(jìn)行變換的條件，從而對它進(jìn)行 Fourier 變換。變換。 一、一、Laplace 變換的引入變換的引入 2. 如何對如何對 Fourier 變換要進(jìn)行改造？變換要進(jìn)行改造？ 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 ttutftjtd)()(ee 0)(d)(ettftj 0d)(ettfts)()(ettutf 將上式中的將上式中的 記為記為 s， 就得到了就得到了一種一種新的新的變換：變換： j . )(sF記為記為 變量變量 s 的實(shí)部的實(shí)部 足夠大。足夠大。 sRe實(shí)施結(jié)果實(shí)施結(jié)果 一、一、Laplace 變換的引入變

6、換的引入2. 如何對如何對 Fourier 變換要進(jìn)行改造？變換要進(jìn)行改造？ 注意注意 上述廣義積分存在的關(guān)鍵：上述廣義積分存在的關(guān)鍵： 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 二、二、Laplace 變換的定義變換的定義 s 的某一區(qū)域內(nèi)收斂，的某一區(qū)域內(nèi)收斂， 即即如果對于如果對于 則稱則稱 為為 的的 Laplace 變換變換 )(sF)(tf相應(yīng)地，稱相應(yīng)地，稱 為為 的的 Laplace 逆變換逆變換或或像原函數(shù)像原函數(shù)， )(tf)(sF設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 是定義在是定義在 上的實(shí)值函數(shù)，上的實(shí)值函數(shù)， ),0( )(tf定義定義 復(fù)參數(shù)復(fù)參數(shù) , js 0d)()(ettfsFts積分

7、積分 在復(fù)平面在復(fù)平面 記為記為 )(sF,)(tf或或像函數(shù)像函數(shù)， .d)()()(0e ttftfsFts記為記為 )(tf.)(1sF 的的 Laplace 變換就是變換就是 的的 Fourier 變換。變換。 ttutf e)()()(tf注注 Laplace簡介簡介第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 0eedtt sta 0)(e1tsasa)Re(Reas 0e)(dttut s,1as ,1s )0(Re s 0e1dtts 0e1tss,1s )0(Re s 0e1dtt s)0(Re s,1s 0esgndttt s 0e1dtt s1例例 )(tusgnteat要點(diǎn)要

8、點(diǎn) 進(jìn)行積分時(shí)，確定進(jìn)行積分時(shí)，確定 s 的取值范圍，保證積分存在。的取值范圍，保證積分存在。 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 若存在，收斂域若存在，收斂域( (或者存在域或者存在域) )如何？有何特點(diǎn)？如何？有何特點(diǎn)？ 從上述例子可以看出從上述例子可以看出 (1) 即使函數(shù)以指數(shù)級增長，其即使函數(shù)以指數(shù)級增長，其 Laplace 變換仍然存在；變換仍然存在； (2) 即使函數(shù)不同，但其即使函數(shù)不同，但其 Laplace 變換的結(jié)果可能相同。變換的結(jié)果可能相同。 (2) Laplace 逆變換如何做？是否惟一？逆變換如何做？是否惟一？ (1) 到底哪些函數(shù)存在到底哪些函數(shù)存在 Lapl

9、ace 變換呢？變換呢？問題問題 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 三、存在性定理三、存在性定理則象函數(shù)則象函數(shù) 在半平面在半平面 上一上一定存在且定存在且解析解析。 )(sFcs Re(1) 在在任何有限區(qū)間上分段連續(xù)；任何有限區(qū)間上分段連續(xù)；(2) 具有具有有限的增長性，有限的增長性，即存在常數(shù)即存在常數(shù) c 及及 ，使得使得 ，0 MctMtfe| )(| 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，滿足：滿足：0 t)(tf定理定理 ( (其中，其中，c 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 的的“增長增長”指數(shù)指數(shù)) )。 )(tf證明證明 ( (略略) ) 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 兩點(diǎn)說明兩點(diǎn)說

10、明(1) 像函數(shù)像函數(shù) 的的存在域一般是一個(gè)右半平面存在域一般是一個(gè)右半平面 ,)(sFcs Re即只要復(fù)數(shù)即只要復(fù)數(shù) s 的實(shí)部足夠大就可以了。的實(shí)部足夠大就可以了。 只有在非常必要時(shí)才特別注明。只有在非常必要時(shí)才特別注明。 因此在進(jìn)行因此在進(jìn)行Laplace變換時(shí)，常常略去存在域，變換時(shí)，常常略去存在域， 即函數(shù)即函數(shù) 等價(jià)于等價(jià)于函數(shù)函數(shù) . )()(tutf)(tf(2) 在在 Laplace 變換中的函數(shù)一般均變換中的函數(shù)一般均約定約定在在 t 0 時(shí)為零，時(shí)為零， 比如比如1s.11 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 . 1 0e tts四、幾個(gè)常用函數(shù)的四、幾個(gè)常用函數(shù)的

11、Laplace 變換變換 0d)(ettts )(t 解解 (2) 0(2) )(t ; 1 ;1s (1) 1 )(tu= 含沖激函數(shù)的含沖激函數(shù)的拉氏變換問題拉氏變換問題第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 0ed1tsmts 0e1tsmts 01dettsmtsm.!1 msm四、幾個(gè)常用函數(shù)的四、幾個(gè)常用函數(shù)的 Laplace 變換變換 0detttsmmt解解 (3) 1 mtsm 2 mt2)1(smm 1msm! (2) )(t ; 1 ;1s 1! msm(1) 1 mt(3) )(tu= ;)1(1 msm( (G G 函數(shù)簡介函數(shù)簡介) )第一節(jié)第一節(jié) Laplace變

12、換的概念 )11(21ajsajs .22ass 四、幾個(gè)常用函數(shù)的四、幾個(gè)常用函數(shù)的 Laplace 變換變換)deedee(2100 tttstjatstjacosta解解 (5) e(21taj) etaj (2) )(t (4) tae;1as ; 1 ;1s (5) tacos;22ass 1! msm(1) 1 mt(3) )(tu= ;)1(1 msm第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 (2) )(t (4) tae;1as ; 1 ;1s (5) tacos;22ass 1! msm(1) 1 mt(3) )(tu= ;)1(1 msm.22asa 四、幾個(gè)常用函數(shù)的四、幾

13、個(gè)常用函數(shù)的 Laplace 變換變換(6) tasin)11(21ajsajsj .22asa )deedee(2100 ttjtstjatstjasinta解解 (6) e(21tajj) etaj 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 (2) )(t (4) tae;1as ; 1 ;1s (5) tacos;22ass 1! msm(1) 1 mt(3) )(tu= ;)1(1 msm.22asa 四、幾個(gè)常用函數(shù)的四、幾個(gè)常用函數(shù)的 Laplace 變換變換(6) tasin特點(diǎn)特點(diǎn) 變換的結(jié)果均為變換的結(jié)果均為分式函數(shù)分式函數(shù)。 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 輕松一下第

14、一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 人物介紹人物介紹 拉普拉斯拉普拉斯附：附：法國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家 (17491827)拉普拉斯Laplace，Pierre-Simon 天體力學(xué)的主要奠基人，天體演化學(xué)的創(chuàng)立者之一。天體力學(xué)的主要奠基人，天體演化學(xué)的創(chuàng)立者之一。 分析概率論的創(chuàng)始人，應(yīng)用數(shù)學(xué)的先軀。分析概率論的創(chuàng)始人，應(yīng)用數(shù)學(xué)的先軀。 因研究太陽系穩(wěn)定性的動力學(xué)問題被譽(yù)為法國的牛頓因研究太陽系穩(wěn)定性的動力學(xué)問題被譽(yù)為法國的牛頓和天體力學(xué)之父。和天體力學(xué)之父。 第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 人物介紹人物介紹 拉普拉斯拉普拉斯 附：附： 1749 年年 3 月月 23 日，生于法國卡爾

15、瓦多斯的博蒙昂諾日。日，生于法國卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日。 1827 年年 3 月月 5 日，卒于巴黎。日，卒于巴黎。 1795 年任巴黎綜合工科學(xué)校教授。年任巴黎綜合工科學(xué)校教授。 1816 年被選為法蘭西學(xué)院院士，次年任該院院長。年被選為法蘭西學(xué)院院士，次年任該院院長。 發(fā)表的天文學(xué)、數(shù)學(xué)和物理學(xué)的論文有發(fā)表的天文學(xué)、數(shù)學(xué)和物理學(xué)的論文有 270 多篇。多篇。 專著合計(jì)有專著合計(jì)有 4000 多頁。其中最有代表性的專著有：多頁。其中最有代表性的專著有： 曾任拿破侖的老師，并在拿破侖政府中擔(dān)任過內(nèi)政部長。曾任拿破侖的老師，并在拿破侖政府中擔(dān)任過內(nèi)政部長。天體力學(xué)天體力學(xué) 、和和宇宙體系論宇宙體

16、系論 概率分析理論概率分析理論 。( (返回返回) )第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 G G 函數(shù)函數(shù) ( gamma函數(shù)函數(shù)) 簡介簡介 附：附： 0edtmtG G 函數(shù)函數(shù)定義為定義為 .0,d)(01e mttmmt定義定義 性質(zhì)性質(zhì) ;1)1( . )()1(mmm 00deemttmtt 0d)1(ettmmt 01dettmmt. )(mm 證明證明 ;1d)1(00ee ttt. !)1(mm 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí)，有為正整數(shù)時(shí)，有 ( (返回返回) )第一節(jié)第一節(jié) Laplace變換的概念 關(guān)于含沖激函數(shù)的關(guān)于含沖激函數(shù)的 Laplace 變換問題變換問題附：附： 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù) 在在 附近有界時(shí)附近有界時(shí)， 0 t)(tf)0(f的取值將不會影響的取值將不會影響 其其 Lap