估值問(wèn)題—導(dǎo)數(shù)與微分

1、數(shù)學(xué)中研究導(dǎo)數(shù)、數(shù)學(xué)中研究導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用的部微分及其應(yīng)用的部分，叫做微分學(xué)分，叫做微分學(xué). .研究不定積分、定研究不定積分、定積分及其應(yīng)用的部積分及其應(yīng)用的部分，叫做積分學(xué)分，叫做積分學(xué). .微積分學(xué)微積分學(xué)本章介紹導(dǎo)數(shù)、微分的概念及其運(yùn)算法則本章介紹導(dǎo)數(shù)、微分的概念及其運(yùn)算法則.可追溯到可追溯到古希臘和古希臘和我國(guó)魏晉我國(guó)魏晉時(shí)期時(shí)期十六世十六世紀(jì)應(yīng)用紀(jì)應(yīng)用萌生萌生第一節(jié)函數(shù)的局部變化率導(dǎo)數(shù)一、導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義二、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 三、高階導(dǎo)數(shù)的定義主要內(nèi)容：一、抽象導(dǎo)數(shù)概念的現(xiàn)實(shí)原型yxoCM0M原原型型一一平平面面上上曲曲線(xiàn)線(xiàn)的的切切線(xiàn)線(xiàn)：00.CMMCMMM曲曲線(xiàn)線(xiàn) 在在點(diǎn)點(diǎn)處

2、處的的切切線(xiàn)線(xiàn)為為點(diǎn)點(diǎn)沿沿著著曲曲線(xiàn)線(xiàn) 趨趨近近于于點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)割割線(xiàn)線(xiàn)的的極極限限位位置置0tt 原原型型二二自自由由落落體體 時(shí)時(shí)刻刻的的瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度：0tt瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度 0000lim()lim.2tttSvtgttgt 瞬時(shí)速度是位移函數(shù)關(guān)于時(shí)間變化率的極限瞬時(shí)速度是位移函數(shù)關(guān)于時(shí)間變化率的極限.取取鄰鄰近近 的的時(shí)時(shí)刻刻 運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)間間平平均均速速度度0000,().2tttSSSgvttttt 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，取取極極限限得得0tt極極限限存存在在，二、導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義d d記記作作或或 或或 d d000().xxxxyyfxx 0( )f xx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) 的的某某

3、一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有0 xxx 當(dāng)當(dāng) 在在處處有有增增量量時(shí)時(shí)，00()(),yf xxf x ( )f x函函數(shù)數(shù)有有增增量量導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，定定義義0( )yf xx 則則稱(chēng)稱(chēng)該該極極限限值值為為在在處處的的yx 的的定定義義，0 x 若若當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，0000( )()()limxxf xf xfxxx 0,xxx 若若令令00 xxx 該該定定義義也也可可以以寫(xiě)寫(xiě)成成若若該該極極限限不不存存在在，則則稱(chēng)稱(chēng)不不可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) 處處0.x00000()()limlimxxxxf xxf xyyxx xyoy = f (x)0()f x x yxx 0 x00MMyx 斜斜率率是是0( )f

4、 x 斜斜率率是是 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，00().yxfxx 注意：注意：00()limxyfxx 是瞬時(shí)變化率是瞬時(shí)變化率yx 是平均變化率是平均變化率導(dǎo)數(shù)是平均變導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限化率的極限（1）（2）dydx是表示導(dǎo)數(shù)的一個(gè)整體符號(hào)是表示導(dǎo)數(shù)的一個(gè)整體符號(hào). .（3）點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在這點(diǎn)的變化率，它反點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在這點(diǎn)的變化率，它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度慢程度. .2、自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題、自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度0000limt tttSSvtt 0( ).S t 1、切線(xiàn)問(wèn)題、切線(xiàn)問(wèn)題切切線(xiàn)線(xiàn)的的斜斜率率為為00

5、0( )()limxxf xf xxx 0().fx 回顧原型一與原型二回顧原型一與原型二tank ( )( , )f xa b如如果果函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)的的每每一一定定義義點(diǎn)點(diǎn)都都可可導(dǎo)導(dǎo)，( )( , ).f xa b則則稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)這這時(shí)時(shí)，( )( , )f xa bx函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)每每一一 值值都都對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)著著一一個(gè)個(gè)確確定定的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，( )fxx 則則是是 的的函函數(shù)數(shù)， 稱(chēng)稱(chēng)為為函函數(shù)數(shù)，導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)函函的的( )f x在在不不致致引引起起混混淆淆的的情情況況下下，導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)也也簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)為為導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，d d記記作作或或d d,( ).

6、yyfxx0()( )lim.xf xxf xyx 即即 oxy T導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義在在處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是的的曲曲線(xiàn)線(xiàn) 在在00( )( )yf xxf xCM 000()()yyfxxx 在在點(diǎn)點(diǎn)的的切切線(xiàn)線(xiàn)方方程程是是：0( )f xM0M點(diǎn)點(diǎn)切切線(xiàn)線(xiàn)的的斜斜率率，因因而而C三、由定義求導(dǎo)數(shù)步驟步驟: :(1) 求增量求增量00()();yf xxf x (2) 算比值算比值00()();f xxf xyxx (3) 求極限求極限00()lim.xyfxx 算比值算比值例例求求常常數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)1.yC 注：常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零注：常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零. .解解 因因?yàn)闉楹?/p>

7、函數(shù)數(shù)值值恒恒為為常常數(shù)數(shù)，所所以以當(dāng)當(dāng)自自變變量量從從任任意意一一點(diǎn)點(diǎn) 變變到到時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)增增量量為為0,xxx 即即從從而而0,0,yyx 于于是是，0( )lim0.xyyCx 求增量求增量求極限求極限例例求求函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)22( )2.f xxx 4;yxx 00(2)limlim(4)4.xxyfxx (2) 算比值算比值(3) 求極限求極限解解給給一一個(gè)個(gè)增增量量則則：2,xx (1) 求增量求增量2(2)(2)4() ;yfxfxx 例例求求函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)131.yxx，由由于于 1()yxx xx 所所以以 20011limlim.()x

8、xyyxx xxx 解解一一 先先求求導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù). .11,()xyxxxx xx 給給任任意意一一點(diǎn)點(diǎn) 增增量量得得,xx 求增量求增量算比值算比值求極限求極限2此此外外，我我們們也也可可以以用用例例 的的方方法法求求解解此此題題. .再再求求函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)1x 2111()1.xxyx 111.yxx 從從而而函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為- -1;1yxx 001(1)limlim1.1xxyfxx (2) 算比值算比值(3) 求極限求極限xx1,解解二二給給一一個(gè)個(gè)增增量量則則：(1) 求增量求增量(1)(1);1xyfxfx 例例求求函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的導(dǎo)導(dǎo)

9、數(shù)數(shù)131.yxx 例例求求函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)4.yx yxxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 解解 任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)(0,),x得得 ,yxxx 給給 一一個(gè)個(gè)增增量量,xx 1,xxx ()xxxx ()xxx ()xxxxx ()xxx 11211().22xxx 例如例如, ,32()3.xx 例例2例例4的結(jié)果可以推廣到冪函數(shù)的結(jié)果可以推廣到冪函數(shù)1().xx 為為任任一一實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)().yx 1/2 3 例例求求函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)5( )sin.f xx 解解）（2coslim22sinlim00 xxxxxx 22cos2sinlim0 xxxxx ）（xxx

10、xx ）（2cos2sin2lim02cos2sin2sinsin cos . x 00000()()limlimxxxxf xxf xyyxx xxxxxx sinsinlimsin0）（）（0sinlim1xxx 第第一一重重要要極極限限：cosx是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)1(6,2)2.1yx 例例求求曲曲線(xiàn)線(xiàn)在在處處的的切切線(xiàn)線(xiàn)的的斜斜率率， 并并寫(xiě)寫(xiě)出出在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線(xiàn)線(xiàn)方方程程和和法法線(xiàn)線(xiàn)方方程程點(diǎn)點(diǎn)1yx 1yx 解解 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, , 得切線(xiàn)斜率為得切線(xiàn)斜率為11221()xxkyx12214.xx 所求切線(xiàn)方程為所求切線(xiàn)方程為法線(xiàn)方程為法線(xiàn)方程為),

11、21(412 xy40.4xy 15.280 xy 即即即即00()()yfxxfxCM 在在處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是的的曲曲線(xiàn)線(xiàn)在在點(diǎn)點(diǎn)切切線(xiàn)線(xiàn)的的斜斜率率1(6,2)2.1yx 例例求求曲曲線(xiàn)線(xiàn)在在處處的的切切線(xiàn)線(xiàn)的的斜斜率率， 并并寫(xiě)寫(xiě)出出在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線(xiàn)線(xiàn)方方程程和和法法線(xiàn)線(xiàn)方方程程點(diǎn)點(diǎn)124(),2yx 四、左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)00000( )()()limlim,xxxf xf xyfxxxx 00()limxyfxx 000( )()lim.xxf xf xxx 表表示示 從從點(diǎn)點(diǎn) 的的端端趨趨近近左左00 xxx 表表示示 從從點(diǎn)點(diǎn) 的的端端趨趨近近右右00 xxx 右導(dǎo)數(shù)：右

12、導(dǎo)數(shù)：左導(dǎo)數(shù)：左導(dǎo)數(shù)：函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處可可導(dǎo)導(dǎo)的的充充分分必必要要0( )yf xx 存存在在且且相相等等. .定理定理 條條件件是是，函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的左左、右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)0( )f xx0 x 0 x 斜率為斜率為1 斜率為斜率為1提示與分析：提示與分析：07( )0.f xxx例例證證明明函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)xoyyx 000(0)limlim1,xxyxfxx 證證明明( )f xx00()0(0)limlim1,xxyxfxx ,0,0.xxxx 斜率為斜率為1 斜率為斜率為1xoy從從而而可可知知 (0)(0),ff 故故由由定定理理知知，函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)

13、導(dǎo)0( )0.f xxxyx 斜率為斜率為1 斜率為斜率為1xoy五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 反之不一定成立反之不一定成立. .可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo). .定理定理 比比如如例例 中中的的在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)但但不不可可導(dǎo)導(dǎo)6( )0.f xxx點(diǎn)點(diǎn)稱(chēng)稱(chēng)為為的的尖尖點(diǎn)點(diǎn)0( ).xf xxxoy在在點(diǎn)點(diǎn) 處處連連續(xù)續(xù)( ).yf xx 如如果果函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) 處處可可導(dǎo)導(dǎo)，那那么么( )yf xx (0)(0)ff 以下兩種都是存在以下兩種都是存在尖點(diǎn)尖點(diǎn)的情況的情況: :0 xyxoy0 xxo六、高階導(dǎo)數(shù)的定義定義定義 函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)( )( )( )yf xfxfx 二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)叫叫做做函函數(shù)數(shù)的的，記記作作( ),( )yf xyfx d d或或d d22.yx( )yf x 相相應(yīng)應(yīng)的的，稱(chēng)稱(chēng)為為零零階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)；( ).fx 稱(chēng)稱(chēng)為為一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)例如例如(cos )sinyxx ，設(shè)設(shè) 則則 ,( )1,(1)0;yxyxy設(shè)設(shè) 則則 sin ,(sin )cos ,yxyxx21,2sgt 在在自自由由落落體體運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)中中，再再例例如如 ,.sgtsg. g二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為重重力力加加速速度度得得到到三三階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：，d d