全等三角形輔助線初探

1、全等三角形輔助線初探全等三角形輔助線初探授課人：嚴(yán)正霞知識(shí)要點(diǎn)：知識(shí)要點(diǎn)： 判斷三角形全等的方法有SAS、ASA、AAS、SSS和HL 如果題目給出的條件不全，就需要根據(jù)已知的條件結(jié)合相應(yīng)的判定方法來(lái)進(jìn)行分析，先推導(dǎo)先推導(dǎo)出所缺的條件然后再證明出所缺的條件然后再證明。 一些較難的證明題要添加適當(dāng)?shù)妮o助線添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對(duì)集中起來(lái)，再進(jìn)行等量代換，就可以化難為易了。 構(gòu)造輔助線的方法：構(gòu)造輔助線的方法： 1截長(zhǎng)補(bǔ)短法：截長(zhǎng)補(bǔ)短法：遇有證線段和、差關(guān)系式的可截長(zhǎng)補(bǔ)短。 2平行線法（或平移法）：平行線法（或平移法）：若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過中點(diǎn)作平行線或中位線，對(duì)Rt,

2、有時(shí)可作出斜邊的中線。 3倍長(zhǎng)中線法：倍長(zhǎng)中線法：題中條件若有中線，可延長(zhǎng)中線一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)。 4翻折法：翻折法：若題設(shè)中含有垂線、角的平分線等條件的，可以試用軸對(duì)稱性質(zhì)，沿軸翻轉(zhuǎn)圖形來(lái)構(gòu)造全等三角形。 5 5. 垂線法：垂線法：若題設(shè)中有角平分線上的點(diǎn)，可向角的兩邊作垂線。 1截長(zhǎng)補(bǔ)短法（通常用來(lái)證明線段和差相等）截長(zhǎng)補(bǔ)短法（通常用來(lái)證明線段和差相等） “截長(zhǎng)法截長(zhǎng)法”即把結(jié)論中最大的線段根據(jù)已知條件分成兩段，使其中一段與較短線段相等，然后證明余下的線段與另一條線段相等的方法 “補(bǔ)短法補(bǔ)短法”即把兩條線段中的一條補(bǔ)長(zhǎng)成為一條長(zhǎng)線段，然后證明補(bǔ)成的線段

3、與較長(zhǎng)的線段相等，或是把一條較短的線段加長(zhǎng)，使它等于較長(zhǎng)的一段，然后證明加長(zhǎng)的那部分與另一較短的線段相等。 例例1、如圖、如圖ACBD，EA、EB分別平分分別平分CAB、DBA，CD過點(diǎn)過點(diǎn)E，求證：，求證：AB=AC+BD. 分析：本題是線段和差問題分析：本題是線段和差問題的證明，基本方法是截長(zhǎng)補(bǔ)的證明，基本方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法，即在短法，即在ABAB上截取上截取AFAF，使使AF=ACAF=AC，這樣，只要證明，這樣，只要證明FB=BDFB=BD即可，于是將問題轉(zhuǎn)即可，于是將問題轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等?；癁樽C明兩線段相等。F分析過程：分析過程：要證：要證：AB=AC+BD需證：需證：AC=AF、

4、BD=BF要證：要證： AC=AF、BD=BF需證：需證：BFE BDE要證：要證：BFE BDE需證：需證： D=BFE要證：要證： D=BFE需證：需證： C=AFE要證：要證：C=AFE需證：需證： CAE FAE 證明：證明： 在在AB上取點(diǎn)上取點(diǎn)F，使，使AF=AC，連接，連接EF EA平分平分CABCAE=FAE CAE FAE（SAS） C=AFE ACBD C+D=180 又又AFE+BFE=180 D=BFE EB平分平分ABDEBF=EBD BFE BDE（AAS） BD=BF AB=AF+BF AB=AC+BD 注：注： （1 1）若分別延長(zhǎng)）若分別延長(zhǎng)ACAC和和BEB

5、E，相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn)G G，能否證明結(jié)論成立？如能，能否證明結(jié)論成立？如能，請(qǐng)你證明，如不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。請(qǐng)你證明，如不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。 （2 2）本題中）本題中E E點(diǎn)是否是點(diǎn)是否是CDCD的中點(diǎn)，如是，請(qǐng)證明。的中點(diǎn)，如是，請(qǐng)證明。 （3 3）本題的大前提）本題的大前提ACBDACBD不變，而在以下四個(gè)條件：不變，而在以下四個(gè)條件：EAEA是是BACBAC的平分線，的平分線，EBEB是是ABDABD的平分線，的平分線，E E是是CDCD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AB=AC+BDAB=AC+BD中，任中，任取兩個(gè)作為已知條件，另外兩個(gè)作為結(jié)論，命題是否成立？請(qǐng)你取兩個(gè)作為已知條件，另外兩個(gè)作為結(jié)論，

6、命題是否成立？請(qǐng)你說(shuō)明理由。說(shuō)明理由。 練習(xí)練習(xí)1、已知，如圖：在、已知，如圖：在ABC中，中，C=2B，BAD=CAD，求證：，求證：AB=AC+CD.提示：這是證明兩條線段之提示：這是證明兩條線段之和等于第三條線段，可采用和等于第三條線段，可采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，在截長(zhǎng)補(bǔ)短法，在AB上截取上截取AE=AC，連接，連接DE；或者延；或者延長(zhǎng)長(zhǎng)AC至至F，使，使CF=CD，連，連接接DF，注意等腰三角形的，注意等腰三角形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用。性質(zhì)和判定的運(yùn)用。EF2平行線法（或平移法）平行線法（或平移法） 如果題目中含有中點(diǎn)，可以通過中點(diǎn)作平題目中含有中點(diǎn)，可以通過中點(diǎn)作平行線或中位線。行線或中位線。

7、 對(duì)于對(duì)于Rt，有時(shí)可作出斜邊的中線。，有時(shí)可作出斜邊的中線。 等腰三角形等腰三角形+平行線平行線=另一個(gè)等腰三角形另一個(gè)等腰三角形 例例2、ABC中，中，BAC=60，C=40AP平分平分BAC交交BC于于P，BQ平分平分ABC交交AC于于Q，AP、BQ交于點(diǎn)交于點(diǎn)O。 求證：求證：AB+BP=BQ+AQ提示：由于提示：由于BAC=60，C=40，所以，所以ABC=80，又，又BQ平分平分ABC，故，故QBC=802=40，所，所以以QBC=C，則，則QB=QC，BQ+AQ=CQ+AQ=AC，所以，所以要證要證AB+BP=AC。在。在AC上上截取截取AM=AB，連接，連接PM，證，證ABP

8、AMP，再證，再證PMC為等腰三角形為等腰三角形。M 說(shuō)明：說(shuō)明：本題也可以在本題也可以在AB截取截取AD=AQ，連，連OD，構(gòu)造全等三角形，即，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)補(bǔ)短截長(zhǎng)補(bǔ)短法法”本題利用本題利用“平行法平行法”解法也較多，舉例如下：解法也較多，舉例如下：如圖（如圖（2），過），過O作作ODBC交交AC于于D，則，則ADO ABO來(lái)解決來(lái)解決如圖（如圖（3），過），過O作作DEBC交交AB于于D，交，交AC于于E，則，則ADO AQO，ABO AEO來(lái)解決來(lái)解決如圖（如圖（4），過），過P作作PDBQ交交AB的延長(zhǎng)線于的延長(zhǎng)線于D，則，則APD APC來(lái)解決來(lái)解決如圖（如圖（5），過）

9、，過P作作PDBQ交交AC于于D，則，則ABP ADP來(lái)解決來(lái)解決 練習(xí)練習(xí)2、如圖，、如圖，ABC中，中，ABAC。E是是AB上異于上異于A、B的任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)的任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)AC到到D，使，使CDBE，連接，連接DE交交BC于于F。求證：。求證：EFFD。提示：這是證明兩條線段相等，提示：這是證明兩條線段相等，可證其所在的三角形全等，但可證其所在的三角形全等，但是是BEFBEF與與CDFCDF不可能全等，不可能全等，所以要構(gòu)造全等三角形，考慮所以要構(gòu)造全等三角形，考慮到到BE=CDBE=CD，可以過點(diǎn)，可以過點(diǎn)E E作作EGACEGAC，得得EB=EG=CDEB=EG=CD，從而，從而EG

10、FEGFDCFDCF，得，得EF=DFEF=DFG法二：此題還可以過點(diǎn)法二：此題還可以過點(diǎn)D作作DHAB，交，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，證證EBF DHF，得，得EF=DF.H3倍長(zhǎng)中線法倍長(zhǎng)中線法 如果題中條件有中線，可將中線延長(zhǎng)一倍，如果題中條件有中線，可將中線延長(zhǎng)一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)。在一個(gè)三角形內(nèi)。 例例3、如圖，、如圖，AD是是ABC的中線，求證：的中線，求證：ABAC2AD證明：延長(zhǎng)證明：延長(zhǎng)AD至至E，使，使DE=AD，連接，連接CE。EAD是是ABC的中線，的中線，BD=CD.在在ABD與與ECD中

11、，中，BD=CD, ADB=EDC，AD=ED ABD ECD（SAS）AB=EC在在ACE中，中，AC+CEAEAB+AC2AD. 練習(xí)練習(xí)3、如圖，、如圖，AD為為ABC的中線，的中線，ADB、ADC的平分線交的平分線交AB、AC于于E、F。求證：。求證：BE+CFEF 提示：考慮到點(diǎn)提示：考慮到點(diǎn)D為為BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，可采取倍長(zhǎng)中線的方法，但是與可采取倍長(zhǎng)中線的方法，但是與線段線段AB、AC無(wú)關(guān)，而與無(wú)關(guān)，而與BE、CF有關(guān)，故倍長(zhǎng)有關(guān)，故倍長(zhǎng)ED(或或FD)，構(gòu)，構(gòu)造全等三角形。延長(zhǎng)造全等三角形。延長(zhǎng)ED到到G，使使DG=ED，連接，連接CG、FG。證。證BED CGD，得，得BE

12、=CG，再證再證EF=FG，在，在CFG中有中有CF+CGFG，即，即BE+CFEF。G4翻折法翻折法 沿角平分線翻折構(gòu)造全等三角形沿角平分線翻折構(gòu)造全等三角形 沿高線翻折構(gòu)造全等三角形沿高線翻折構(gòu)造全等三角形 繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形例例4、已知：、已知：AD為為ABC的角平分線，的角平分線，ABAC，求證：，求證：AB-ACBD-DC。ABCD證明：在證明：在AB上截取上截取AE=AC，連，連接接DE（相當(dāng)于將（相當(dāng)于將ACD沿沿AD翻翻折到折到AED）。AD是是ABC的角平分線的角平分線EAD=CAD在在EAD與與CAD中，中，AE=AC，EAD=CAD，AD=AD

13、EAD CAD（SAS）ED=CD在在EBD中，中，BEBD-EDAB-ACBD-CDE 練習(xí)練習(xí)4、在、在RTABC中，中，BAC=90，AB=AC，BD平分平分ABC，CEBD，求，求證：證：BD=2CEABCDE提示：考慮到提示：考慮到BE既是角平分線，既是角平分線，又是高線，可構(gòu)造等腰三角形，又是高線，可構(gòu)造等腰三角形，分別延長(zhǎng)分別延長(zhǎng)BA、CE交于點(diǎn)交于點(diǎn)F，相，相當(dāng)于將當(dāng)于將BCE沿沿BE翻折到翻折到BFE，可證，可證BCF為等腰三角為等腰三角形（形（ BCE BFE），得），得CF=2CE，再證，再證ACF ABD，得，得BD=CF=2CE。 F 練習(xí)練習(xí)5、 已知：如圖所示，在

14、四邊形已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，中，BCBA，AD=CD，BD平分平分ABC，求證：求證：A + C = 180提示：在提示：在BC上截取上截取BE=AB，連接，連接DE。相當(dāng)。相當(dāng)于將于將ABD沿沿BD翻折到翻折到EBD，先證，先證ABD EBD，得，得A=BED，AD=ED，從而，從而CD=ED，C=DEC，由，由DEC+BED=180，得得A+C=180E法二：本題還可以從法二：本題還可以從“角平分線角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”考考慮，過點(diǎn)慮，過點(diǎn)D作作DFBC于于F，DGBA交交BA的延長(zhǎng)線于的延長(zhǎng)線于G，由，由AD=CD，DG=DF，證，證AD

15、G CDF，得，得DAG=C，又，又DAG+BAD=180，故，故BAD+C=180FG 練習(xí)練習(xí)6、如圖，正方形、如圖，正方形ABCD中，中，12，Q在在DC上，上，P在在BC上。求證：上。求證：PAPBDQ。提示：要證提示：要證PA=PB+DQ，可考慮，可考慮將將DQ“搬到搬到”PB延長(zhǎng)線上，將延長(zhǎng)線上，將PB、DQ“接起來(lái)接起來(lái)”成為一條線段，再成為一條線段，再證其與證其與PA相等。故延長(zhǎng)相等。故延長(zhǎng)PB到到E，使使BE=DQ，連接，連接AE(相當(dāng)于將相當(dāng)于將ADQ繞繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90)，則則ABE ADQ，得，得EAB=2，E=AQD，又，又AQD=BAQ=1+BAP，且

16、，且1=2，所以，所以E=1+BAP=2+BAP=EAB+BAP=EAP，則，則PA=PE，又，又PE=PB+BE=PB+DQ，所以所以PA=PB+DQ。E5垂線法垂線法 如果題目中出現(xiàn)角平分線上的點(diǎn)，可以過題目中出現(xiàn)角平分線上的點(diǎn)，可以過該點(diǎn)作角兩邊的垂線。該點(diǎn)作角兩邊的垂線。 對(duì)于要證某點(diǎn)在角的平分線上，也是過該對(duì)于要證某點(diǎn)在角的平分線上，也是過該點(diǎn)作角兩邊的垂線。點(diǎn)作角兩邊的垂線。例例5 5、已知：如圖在、已知：如圖在RtRtABCABC中，中，BAC=90BAC=90，AEBCAEBC， BDBD是是ABCABC的角平分線，的角平分線， GFBC GFBC ，求證：求證：AD=FCAD

17、=FC。ABCDEH12證明證明: :過過D D作作DHBCDHBC，垂足為，垂足為H H。GFBAC=901+ADB=90AEBC 2+BGE=90，又，又BD平分平分ABC1=2，又，又BGE=AGDAGD=ADB AG=ADBD平分平分ABC，且，且BAC=90，DHBCAD=DH AG=DHGFBC AGF=AEC=90，AFG=CDHC=90AGF=DHC在在AGF和和DHC中，中，AGF=DHC， AFG=C， AG=DH AGF DHCAF=DC AF-DF=DC-DF，即，即AD=FC.PD=PE.PD=PE.練習(xí)練習(xí)7 7、如圖、如圖,OC ,OC 平分平分AOB,AOB,提

18、示：過點(diǎn)提示：過點(diǎn)P P作作PFOAPFOA，PG OBPG OB垂足為點(diǎn)垂足為點(diǎn)F F、點(diǎn)、點(diǎn)G G。證。證DFP EGP，得得PD=PE.FGACDBEPODOE +DPE =180DOE +DPE =180DOE +DPE =180DOE +DPE =180求證求證: :提示：過點(diǎn)提示：過點(diǎn)P P作作PFOAPFOA，PG PG OBOB垂足為點(diǎn)垂足為點(diǎn)F F、點(diǎn)、點(diǎn)G G。證。證DFP EGP，得，得PDO+PEO=180，從而從而DOE+DPE=180。 練習(xí)練習(xí)8、ABC中中,ABAC ，A的的平分線與平分線與BC的垂直平分線的垂直平分線DM相交于相交于D，過，過D作作DE AB于于E，作，作DFAC于于F。 求證：求證：BE=CFABCDEFM提示：連接提示：連接DB，DC，證，證BED CFD線段垂直平分線上的點(diǎn)要向線段線段垂直平分線上的點(diǎn)要向線段兩端連線。兩端連線。練習(xí)練習(xí)9、如圖，在、如圖，在ABC中，中，ADBC，ABC=2C。求證：。求證：AB+BD=CD提示：提示：（1 1）延長(zhǎng)）延長(zhǎng)DBDB到點(diǎn)到點(diǎn)E E，使使BE=ABBE=AB，連結(jié)，連結(jié)AEAE。（2 2）在）在DCDC上截取點(diǎn)上截取點(diǎn)E E，使，使DE=BDDE=BD，連結(jié)，連