有理數(shù)計(jì)算的一些問(wèn)題

1、1關(guān)于有理數(shù)計(jì)算的一些問(wèn)題關(guān)于有理數(shù)計(jì)算的一些問(wèn)題(教練員用）賀祖琪教練員用）賀祖琪一、數(shù)的計(jì)算是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容一、數(shù)的計(jì)算是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容歐幾里德歐幾里德什么是數(shù)學(xué)？什么是數(shù)學(xué)？中國(guó)古人的理解。算術(shù)、中國(guó)古人的理解。算術(shù)、“算法算法”代表著作是代表著作是“九章算術(shù)九章算術(shù)”古希臘人的理解。其代表是古希臘人的理解。其代表是歐幾里德的歐幾里德的“幾何原本幾何原本”。2尼羅河、底格里斯河與幼發(fā)拉底河、黃河與長(zhǎng)尼羅河、底格里斯河與幼發(fā)拉底河、黃河與長(zhǎng)江、印度河與恒河等河谷地帶發(fā)展起來(lái)的江、印度河與恒河等河谷地帶發(fā)展起來(lái)的“河河谷文明谷文明”，產(chǎn)生了幾何學(xué)。當(dāng)時(shí)稱為，產(chǎn)生了幾何學(xué)。

2、當(dāng)時(shí)稱為“丈量土丈量土地地”。大約在公元前大約在公元前600年左右，通過(guò)旅游和經(jīng)商，傳年左右，通過(guò)旅游和經(jīng)商，傳入希臘，與哲學(xué)結(jié)合，被加工升華為具有初步邏入希臘，與哲學(xué)結(jié)合，被加工升華為具有初步邏輯結(jié)果的論證數(shù)學(xué)體系。這時(shí)什么是幾何學(xué)的概輯結(jié)果的論證數(shù)學(xué)體系。這時(shí)什么是幾何學(xué)的概念發(fā)生了改變。念發(fā)生了改變。幾何學(xué)也是邏輯演繹系統(tǒng)。幾何學(xué)也是邏輯演繹系統(tǒng)。3其實(shí)幾何原本不僅包含幾何學(xué)內(nèi)容，還包含代其實(shí)幾何原本不僅包含幾何學(xué)內(nèi)容，還包含代數(shù)等內(nèi)容。數(shù)等內(nèi)容。如勾股定理，并產(chǎn)生費(fèi)馬大定理。如勾股定理，并產(chǎn)生費(fèi)馬大定理。這是抽象數(shù)學(xué)的起源，也是科學(xué)的起源。這是抽象數(shù)學(xué)的起源，也是科學(xué)的起源。數(shù)學(xué)教學(xué)的

3、宗旨？功能？數(shù)學(xué)教學(xué)的宗旨？功能？數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是“腦力體操腦力體操”，其意義非凡。其意義非凡。4二、有理數(shù)四則運(yùn)算教學(xué)的基本內(nèi)容二、有理數(shù)四則運(yùn)算教學(xué)的基本內(nèi)容1.1.有理數(shù)的概念有理數(shù)的概念 ( (一一) )什么是有理數(shù)（正數(shù)、負(fù)數(shù)；整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)）什么是有理數(shù)（正數(shù)、負(fù)數(shù)；整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)） ( (二二) )純循環(huán)小數(shù)與混循環(huán)小數(shù)純循環(huán)小數(shù)與混循環(huán)小數(shù) ( (三三) )正數(shù)與負(fù)數(shù)、數(shù)軸正數(shù)與負(fù)數(shù)、數(shù)軸2.2.有理數(shù)的大小比較有理數(shù)的大小比較( (有理數(shù)的有序性及稠密性）有理數(shù)的有序性及稠密性） 2.1 2.1 小數(shù)的大小比較小數(shù)的大小比較 2.2 2.2 分?jǐn)?shù)的大小比較分?jǐn)?shù)的大小比

4、較 2.3 2.3 分?jǐn)?shù)和小數(shù)的大小比較分?jǐn)?shù)和小數(shù)的大小比較3.3.有理數(shù)四則運(yùn)算的基本技巧有理數(shù)四則運(yùn)算的基本技巧 ( (一一) )有理數(shù)計(jì)算基本技巧有理數(shù)計(jì)算基本技巧 （運(yùn)算律與運(yùn)算規(guī)則，數(shù)的拆分，相消等）（運(yùn)算律與運(yùn)算規(guī)則，數(shù)的拆分，相消等） ( (二二) )繁分計(jì)算繁分計(jì)算 ( (二二) )絕對(duì)值計(jì)算絕對(duì)值計(jì)算54.數(shù)的分拆（其實(shí)是數(shù)的運(yùn)算技巧）數(shù)的分拆（其實(shí)是數(shù)的運(yùn)算技巧） 4.1 整數(shù)的分拆整數(shù)的分拆 4.2 分?jǐn)?shù)的分拆分?jǐn)?shù)的分拆5.數(shù)列求和（數(shù)列求和的困難在于數(shù)列求和（數(shù)列求和的困難在于n項(xiàng)求和）項(xiàng)求和） 5.1 等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式 5.2 連消

5、求和連消求和6.遞推方法（也是思考問(wèn)題的方法）遞推方法（也是思考問(wèn)題的方法） 6.1 由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng) 6.2 由遞推公式數(shù)列求和由遞推公式數(shù)列求和7.近似與估算（四舍五入、適當(dāng)放大與縮小）近似與估算（四舍五入、適當(dāng)放大與縮小）8.列舉、試驗(yàn)、分析法（探索問(wèn)題的有效方法與途徑）列舉、試驗(yàn)、分析法（探索問(wèn)題的有效方法與途徑）6三、三、 絕對(duì)值計(jì)算絕對(duì)值計(jì)算基本知識(shí)：基本知識(shí)：絕對(duì)值定義：數(shù)絕對(duì)值定義：數(shù)a的絕對(duì)值用符號(hào)的絕對(duì)值用符號(hào)| |a| |表示，表示，其意義為其意義為 )0()0(0)0(|aaaaaa7由此可知，由此可知，| |a|0|0。數(shù)數(shù)a的絕對(duì)值的絕對(duì)值|

6、 |a| |表示這個(gè)數(shù)在實(shí)軸上的點(diǎn)離表示這個(gè)數(shù)在實(shí)軸上的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離。開(kāi)原點(diǎn)的距離。O1a基本性質(zhì)：基本性質(zhì)：(1)|(1)|a|=|-|=|-a|;|;(2)-|(2)-|a|a|a|;|;(3)(3)若若| |a|=|=|b|,|,則則a=b( (a與與b同號(hào)同號(hào)) )或或a=-=-b( (a與與b異號(hào)異號(hào)) )；x8(4)|a(4)|a2 2|=|a|=|a|2 2=a=a2 2; ;(5)|ab|=|a|b|;(5)|ab|=|a|b|;(6)(6);0(| aabab(7)|a+b|a|+|b|;(7)|a+b|a|+|b|;(8)|a|-|b|a-b|.(8)|a|-|b|a-

7、b|.解絕對(duì)值問(wèn)題的基本原則是去掉絕對(duì)值，解絕對(duì)值問(wèn)題的基本原則是去掉絕對(duì)值，（1 1）如果根據(jù)題目的已知條件或隱含條件）如果根據(jù)題目的已知條件或隱含條件即可確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)（或式）為即可確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)（或式）為“正正”、“負(fù)負(fù)”或或“非負(fù)非負(fù)”（或（或“非正非正”），那么由絕），那么由絕對(duì)值的對(duì)值的定義可直接去掉絕對(duì)值符號(hào)；定義可直接去掉絕對(duì)值符號(hào)；9（2 2）如果根據(jù)題目已知條件或隱含條件不能確定絕對(duì)）如果根據(jù)題目已知條件或隱含條件不能確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)（或式）的符號(hào)，那么應(yīng)分情況加以討值符號(hào)內(nèi)的數(shù)（或式）的符號(hào)，那么應(yīng)分情況加以討論論, ,確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)數(shù)確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)數(shù)

8、( (或式或式) )的符號(hào)的符號(hào), ,將絕對(duì)值的符號(hào)去掉將絕對(duì)值的符號(hào)去掉. .例例3.13.1 已知已知m4, ,化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)： |m- -4|+|7- -2m|+|m2- -2m+1|- -|m2- -2m+3|解解：由條件由條件m4,m4,可確定可確定m-4m-4與與7-2m7-2m的符號(hào)，于是的符號(hào)，于是前兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)立即可以去掉。而代數(shù)式前兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)立即可以去掉。而代數(shù)式m m2 2-2m+1-2m+1與與m m2 2-2m+3-2m+3是一個(gè)非負(fù)，一個(gè)恒正，是一個(gè)非負(fù)，一個(gè)恒正，|) 1( |2 m|2) 1( |2m所以后面兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)也可去掉。所以后面兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)也可去

9、掉。因?yàn)橐驗(yàn)閙4,m4,所以，所以，m-40; -2m0; -2m-8 所以所以 7-2m7-8=-107-2m7-8=-10,|0,方程方程|x- -a|-|-b|=|=3有三個(gè)不相等的解，求有三個(gè)不相等的解，求b的值。的值。（第（第7 7屆華杯賽初一組第一次決賽試題屆華杯賽初一組第一次決賽試題1 1）解：解：原方程等價(jià)于原方程等價(jià)于|x-a|=b|x-a|=b3,3,再一次去絕對(duì)再一次去絕對(duì)值符號(hào)，得四個(gè)根值符號(hào)，得四個(gè)根 x=ax=a(b(b3 3）11細(xì)寫(xiě)出來(lái)便是細(xì)寫(xiě)出來(lái)便是 x x1 1=a+b+3=a+b+3 x x2 2=a+b-3=a+b-3 x x3 3=a-b+3=a-b+

10、3 x x4 4=a-b-3=a-b-3由于有且只有三個(gè)不相等的根，由于有且只有三個(gè)不相等的根，所以其中必有二個(gè)相等，但顯然，所以其中必有二個(gè)相等，但顯然，x x1 1xx2 2,x,x3 3xx4 4, ,只能是只能是x x1 1=x=x3 3或或x x1 1=x=x4 4; ;或或 者者x x2 2=x=x3 3或者或者x x2 2=x=x4 4. .這樣得這樣得出出b b的可能值為的可能值為0 0，-3-3，3 3。; 0, 3331，bbab，axx此此時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng); 3, 3341，bbab，axx此此時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng); 3, 3332，bbab，axx此時(shí)此時(shí)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng); 0, 3342

11、，bbab，axx此此時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)12但是，當(dāng)?shù)?，?dāng)b=0b=0時(shí)時(shí), ,原方程便是原方程便是| |x- -a|=3,|=3,只有兩個(gè)只有兩個(gè)解，不合要求；解，不合要求；當(dāng)當(dāng)b=-3b=-3時(shí)，原方程變?yōu)闀r(shí)，原方程變?yōu)閨x-a|=0,|x-a|=0,只有一個(gè)解，只有一個(gè)解，所以，只能是所以，只能是b=3.b=3.此時(shí)此時(shí) x x1 1=a+6=a+6 x x2 2=a=a x x3 3=a=a x x4 4=a-6=a-6|x- -a|- -b|=313例例3.33.3=|3-(3+x)|( 3+x0)=|3-(3+x)|( 3+x0) =|-x|=-x( -x0) 解：解： 遇到多層絕對(duì)值

12、問(wèn)題，可以從里往外一遇到多層絕對(duì)值問(wèn)題，可以從里往外一層一層去絕對(duì)值符號(hào)。層一層去絕對(duì)值符號(hào)。|3+|2-|1+x|3+|2-|1+x| =|3+|2+ =|3+|2+（1+x1+x）|( 1+x0)|( 1+x0,x+10,x+10,x+1=0。點(diǎn)。點(diǎn)x=1x=1稱稱為分界點(diǎn)。類似另外兩個(gè)分界點(diǎn)為為分界點(diǎn)。類似另外兩個(gè)分界點(diǎn)為x=-3,x=2x=-3,x=2。這三個(gè)分界點(diǎn)把數(shù)軸分成四部分，這三個(gè)分界點(diǎn)把數(shù)軸分成四部分，這四部分分別為這四部分分別為 x-3,-3x-1,-12x-3,-3x-1,-12。然后分段進(jìn)行討論。然后分段進(jìn)行討論。O- -1- -32 2x15當(dāng)當(dāng)x-3x-3時(shí)，時(shí)，|

13、x+1|+|x-2|-|x+3|x+1|+|x-2|-|x+3| =-(x+1)+(2-x)+(x+3)=4-x =-(x+1)+(2-x)+(x+3)=4-x當(dāng)當(dāng)-3x-1-3x-1時(shí)，時(shí)，|x+1|+|x-2|-|x+3|x+1|+|x-2|-|x+3| =- =-（x+1x+1）+(2-x)-(x+3)=-3x-2+(2-x)-(x+3)=-3x-2當(dāng)當(dāng)-1x2-12x2時(shí)，時(shí)，|x+1|+|x-2|-|x+3|x+1|+|x-2|-|x+3| =(x+1)+(x-2)-(x+3)=x-4 =(x+1)+(x-2)-(x+3)=x-416例例3.53.5 求代數(shù)式求代數(shù)式|x-1|+|x

14、-2|+|x-3|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值。的最小值。O2 231 1x解：解：三個(gè)分界點(diǎn)為三個(gè)分界點(diǎn)為x=1,2,3.x=1,2,3.把實(shí)軸分成四部分：把實(shí)軸分成四部分：x1,1x2,2x3,3x.x1,1x2,2x3,3x.然后，分段進(jìn)行討論：然后，分段進(jìn)行討論：當(dāng)當(dāng)x1x1時(shí)，原式時(shí)，原式=-(x-1)-(x-2)-(x-3)=6-3x,=-(x-1)-(x-2)-(x-3)=6-3x,這時(shí)這時(shí)x=1x=1有最小值有最小值3 3；當(dāng)當(dāng)1x21x2時(shí)，原式時(shí)，原式=x-1-(x-2)-(x-3)=4-x,=x-1-(x-2)-(x-3)=4-x,這這時(shí)時(shí)x=2x=2有最小值

15、有最小值2 2；17當(dāng)當(dāng)2x32x3時(shí)時(shí), ,原式原式=x-1+x-2-(x-3)=x,=x-1+x-2-(x-3)=x,這時(shí)沒(méi)有最小值；這時(shí)沒(méi)有最小值；當(dāng)當(dāng)3x3x時(shí)，原式時(shí)，原式=x-1+x-2+x-3=3x-6,=x-1+x-2+x-3=3x-6,這時(shí)沒(méi)有最小值。這時(shí)沒(méi)有最小值。綜上所述，原式的最小值是綜上所述，原式的最小值是2 2（x=2x=2）. .u有一般規(guī)律：形如有一般規(guī)律：形如|x-a|x-a1 1|+|x-a|+|x-a2 2|+|x-a|+|x-an n| |n n個(gè)絕對(duì)值的代數(shù)和是當(dāng)個(gè)絕對(duì)值的代數(shù)和是當(dāng)n n為奇數(shù)時(shí)取中間分界為奇數(shù)時(shí)取中間分界點(diǎn)點(diǎn)x x取值能取得最小值；

16、當(dāng)取值能取得最小值；當(dāng)n n為偶數(shù)時(shí)取中間兩為偶數(shù)時(shí)取中間兩個(gè)個(gè)分界點(diǎn)分界點(diǎn)x的取值或中間兩個(gè)分界點(diǎn)之間的任意數(shù)。的取值或中間兩個(gè)分界點(diǎn)之間的任意數(shù)。Oanan- -1 11 1xa118如求如求|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值，的最小值，因?yàn)橛衅鏀?shù)個(gè)分界點(diǎn)，所以當(dāng)因?yàn)橛衅鏀?shù)個(gè)分界點(diǎn)，所以當(dāng)x x取中間界點(diǎn)取中間界點(diǎn)-3-3時(shí)有最小值時(shí)有最小值6 6；又如求又如求|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|的最小值，的最小值，因?yàn)橛信紨?shù)個(gè)分界點(diǎn)，所以因?yàn)橛信紨?shù)

17、個(gè)分界點(diǎn)，所以 -3x-2-3x-2有最小值有最小值4 4。19例例3.63.6 設(shè)代數(shù)式設(shè)代數(shù)式 |x-1|+|x-2|+|x-3|+ +|x-1998|x-1|+|x-2|+|x-3|+ +|x-1998|的值為常數(shù)，求的值為常數(shù)，求x x的取值范圍。的取值范圍。解：解：按上面分界點(diǎn)分別討論的辦法太麻煩，不可取。按上面分界點(diǎn)分別討論的辦法太麻煩，不可取。應(yīng)找規(guī)律。因?yàn)檫@代個(gè)代數(shù)式為常數(shù)，應(yīng)找規(guī)律。因?yàn)檫@代個(gè)代數(shù)式為常數(shù)，即結(jié)果不含即結(jié)果不含x(x(結(jié)果與結(jié)果與x x無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)) )?，F(xiàn)有偶數(shù)個(gè)絕對(duì)值，?，F(xiàn)有偶數(shù)個(gè)絕對(duì)值，若去掉絕對(duì)值后，化簡(jiǎn)結(jié)果不含若去掉絕對(duì)值后，化簡(jiǎn)結(jié)果不含x x，則必然去

18、掉絕對(duì)，則必然去掉絕對(duì)值后，值后，x x的個(gè)數(shù)與的個(gè)數(shù)與-x-x的個(gè)數(shù)相等，其和為零。的個(gè)數(shù)相等，其和為零。由上題的分析，由上題的分析，x x應(yīng)中間兩個(gè)分界點(diǎn)范圍的數(shù)。應(yīng)中間兩個(gè)分界點(diǎn)范圍的數(shù)。即即 999x1000.999x1000.20若代數(shù)式若代數(shù)式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2n|(n|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2n|(n為自為自然數(shù)然數(shù)) )的值為常數(shù)，則的值為常數(shù)，則x x的取值范圍是的取值范圍是 nxn+1.nxn+1.例例3.73.7 已知已知y=|2x+6|-4|x+1|+|x-1|,y=|2x+6|-4|x+1|+|x-1|,求求y y的最大值。

19、的最大值。- -3- -1O O1 1x解：解： 分界點(diǎn)為分界點(diǎn)為x=-3,-1,1x=-3,-1,1。當(dāng)當(dāng)x-3x-3時(shí)，時(shí)，y=-(2x+6)+4(x+1)+(1-x)=x-1y=-(2x+6)+4(x+1)+(1-x)=x-1 x-3, x-1-4; x-3, x-1-4;此時(shí)此時(shí)y y的最大值為的最大值為-4-4；當(dāng)當(dāng)-3x-1-3x-1時(shí)，時(shí)，y=(2x+6)+4(x+1)+(1-x)=5x+11;y=(2x+6)+4(x+1)+(1-x)=5x+11;21 -3x-1, -45x+116, -3x-1, -45x+116, y y的最大值為的最大值為6 6；當(dāng)當(dāng)-1x1-1x1時(shí)，

20、時(shí)，y=(2x+6)-4(x+1)+(1-x)=3-3x;y=(2x+6)-4(x+1)+(1-x)=3-3x; -1x1, 03-3x6, -1x1, 03-3x1x1時(shí)，時(shí)，y=(2x+6)-4(x+1)+(x-1)=1-x,y=(2x+6)-4(x+1)+(x-1)=1-x, x1, 1-x1, 1-xb。根據(jù)已知條件。根據(jù)已知條件,有下有下列關(guān)系式：列關(guān)系式：于是于是,有有)()(abbabaab1010),(均均為為整整數(shù)數(shù)kmkabba1710)()(kmba79為為7 7的倍數(shù)的倍數(shù), ,又由于又由于9 9與與7 7互質(zhì)互質(zhì), ,故故a-ba-b是是7 7的倍數(shù)。的倍數(shù)。79由于

21、由于ab,ab,所以，所以，a-b0.a-b0.但但a,ba,b為數(shù)字，所以，為數(shù)字，所以，a-b10,a-b10,只有只有 a-b=7a-b=7。滿足這個(gè)條件的只有滿足這個(gè)條件的只有9292，8181和和7070，而其中除以，而其中除以7 7余余1 1的只有的只有 9292。例例6.36.3 設(shè)設(shè)x x與與y y分別表示兩個(gè)兩位整數(shù)，并且滿分別表示兩個(gè)兩位整數(shù)，并且滿足方程式足方程式 100 x+y=2xy,100 x+y=2xy,求求x x與與y y分別是多少？分別是多少？解：解： 先把原方程變成先把原方程變成12505010012100 xxxxy80125050125012125012

22、501250 xxxxxx)()(為使為使y y是整數(shù)，就要求是整數(shù)，就要求1250 x1250 x是整數(shù)。為使是整數(shù)。為使是整數(shù)，就要求是整數(shù)，就要求2x-12x-1是是5050的約數(shù)，只需列舉的約數(shù)，只需列舉5050的兩位奇約數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)。的兩位奇約數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)。5050的兩位奇約數(shù)只有的兩位奇約數(shù)只有2525。所以。所以, 2x-1=25, 2x-1=25解得解得 x=13,x=13,從而有從而有52255050 y81例例6.46.47金金杯杯競(jìng)競(jìng)賽賽華華羅羅庚庚數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)上面算式中，華、羅、庚、金、杯、數(shù)、學(xué)、上面算式中，華、羅、庚、金、杯、數(shù)、學(xué)、競(jìng)、賽九個(gè)字，代表數(shù)字競(jìng)、賽九個(gè)字，代表

23、數(shù)字1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9（不同的文字代表不同的數(shù)字）。已（不同的文字代表不同的數(shù)字）。已知：競(jìng)知：競(jìng)=8=8，賽，賽=6=6。請(qǐng)把這個(gè)等式恢復(fù)出來(lái)。請(qǐng)把這個(gè)等式恢復(fù)出來(lái)。 （第（第7 7屆華杯賽團(tuán)體決賽口試試題屆華杯賽團(tuán)體決賽口試試題1 1）82解解： 由由786 金杯華羅庚數(shù)學(xué)可知可知華羅庚數(shù)學(xué)是一個(gè)真分?jǐn)?shù)，是一個(gè)真分?jǐn)?shù)，)0(686金杯金杯金杯 pp而而金杯p6615901586,121461286 所以，金杯所以，金杯=13=13或或1414，華，華22。212120099 金杯華羅庚數(shù)學(xué)p83而而1421142,14261486 金杯其

24、中因此，取金杯因此，取金杯=13=13。 24795191319513513867 華羅庚數(shù)學(xué)（131315=195200,1315=195 b c）在校對(duì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯(cuò)誤，在校對(duì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯(cuò)誤，但是知道最后一位但是知道最后一位6 6是正確的。問(wèn)：原式中的是正確的。問(wèn)：原式中的是多少？是多少？( (第第7 7屆華杯賽小學(xué)組第二決賽試題屆華杯賽小學(xué)組第二決賽試題5)5)解：解： a,b,ca,b,c中不能有中不能有0 0或或5 5，否則乘積的末位數(shù)，否則乘積的末位數(shù)是是0 0或或5 5，不是，不是6 6。91c c不能是不能是1 1，否則，否則 981981

25、819819198=159080922198=159080922，而乘積的最高位的最小數(shù)字是而乘積的最高位的最小數(shù)字是2 2。若若a7,abc2,a=7bc2,但對(duì)這兩種情況但對(duì)這兩種情況7 74 43 3與與7 76 64 4的個(gè)位數(shù)都不是的個(gè)位數(shù)都不是6 6，因此，因此，a=7a=7的情況可的情況可以排除；以排除；里（里（2 2） a=8 a=8這時(shí)這時(shí)a+b+c=14a+b+c=14或或1717或或2020，由于，由于a=8,a=8,故有三種可故有三種可能：能：b+c=6,b+c=9,b+c=12,b+c=6,b+c=9,b+c=12,所有的解為所有的解為94 368278248cbac

26、bacba但但8 84 42 2，8 87 72 2，8 86 63 3的末位數(shù)都不是的末位數(shù)都不是6 6。所以，所以，a=8a=8也不可能；也不可能； （3 3） a=9 a=9同樣的討論可知，只有下列同樣的討論可知，只有下列5 5種可能性種可能性 689389479269239cbacbacbacbacba95只有其中的第只有其中的第4 4組：組：9 98 83 3的末位數(shù)為的末位數(shù)為6 6，其，其它都不是。它都不是。所以，只需計(jì)算乘積：所以，只需計(jì)算乘積：983983839839398=328245326398=328245326。96 例例6.86.8 對(duì)于自然數(shù)對(duì)于自然數(shù)a,Sa,S

27、a a表示表示a a的各位數(shù)字之和，的各位數(shù)字之和， 求同時(shí)滿足下列條件的所有自然數(shù)：求同時(shí)滿足下列條件的所有自然數(shù)： （1 1） a a為奇數(shù)，且不是為奇數(shù)，且不是3 3的倍數(shù)；的倍數(shù)； （2 2） ,50是自然數(shù)是自然數(shù)mmSaa ( (第第7 7屆華杯賽小學(xué)屆華杯賽小學(xué)組第二決賽試題組第二決賽試題6 6） 所以所以 a=10a=10n nb bn n+10+10n-1n-1b bn-1n-1+ +10b+10b1 1+b+b0 0，則有，則有 =m(b=m(bn n+b+bn-1n-1+ +b+b1 1+b+b0 0) ) 50(b 50(bn n+b+bn-1n-1+ +b+b1 1+

28、b+b0 0解解: 設(shè)設(shè)011bbbbann則則011bbbbSnna)(21211501001010bbbbbbnnnnnn0101105050bbbb于是于是972115050105010bbbnnnn1nb5010 n因?yàn)橐驗(yàn)椋?，上式左邊大于，所以，上式左邊大?101014940105050bbbbbb所以所以,211)50100()5010()5010(5010bbbnnnnn801989949940) 150()1050(01bb所以，所以， n2n2。當(dāng)當(dāng)n=0n=0時(shí)，時(shí)，1 1，5 5，7 7滿足條件；滿足條件； (1)a (1)a為奇數(shù)，且不是為奇數(shù)，且不是3 3的倍的

29、倍數(shù)；數(shù)； (2)(2) ,50是自然數(shù)是自然數(shù)mmSaa(m=1)98當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，時(shí)，a=10y+x,Sa=10y+x,Sa a=y+x,=y+x,所以所以aSmy91 S Sa a不是不是3 3的倍數(shù)，也不是的倍數(shù)，也不是9 9的倍數(shù)，因此，的倍數(shù)，因此，91 m是正整數(shù)，是正整數(shù)，ySySa a=y+x,=y+x,得得x=0,ax=0,a不是奇數(shù)。不是奇數(shù)。yxa a=10y+S a=10y+Sa a-y=9y+S-y=9y+Sa a=mS=mSa a, , 9y=(m-1)S 9y=(m-1)Sa a, , (1)a (1)a為奇數(shù)，且不是為奇數(shù)，且不是3 3的倍的倍數(shù)；數(shù)；

30、(2)(2) ,50是自然數(shù)是自然數(shù)mmSaa當(dāng)當(dāng)n=2n=2時(shí)，時(shí)，a=100 x+10y+z=100 x+10(Sa=100 x+10y+z=100 x+10(Sa a-x-z)+z-x-z)+z xyza =90 x+10S =90 x+10Sa a-9z=mS-9z=mSa a所以所以5910,91010 mSmzxaaSmzx)10(990或或99由于由于a a是奇數(shù)，是奇數(shù)，z z也是奇數(shù)，也是奇數(shù)，910 m只能是奇數(shù)只能是奇數(shù).所以所以39101910 mm或當(dāng)當(dāng)1910 m時(shí)時(shí), , )(9)10(990zyxSmzxa)9,0(2729zyxzyx所以所以, x3, x3。

31、又。又 29yxz 若若x=3,x=3,只有只有y=9,y=9,z=9,a=399z=9,a=399是是3 3的倍數(shù)，不滿足條件；若的倍數(shù)，不滿足條件；若x=2x=2，有，有100y=02468z=98765( (其中其中xy,xy,否則，否則，a a是是3 3的倍數(shù)的倍數(shù)) )由于由于a a是奇數(shù)，且不是是奇數(shù)，且不是3 3的倍數(shù)。的倍數(shù)。所以，只有所以，只有133133滿足要求。滿足要求。 當(dāng)當(dāng)3910 m時(shí)，時(shí)，4)(3437yxxyxz 101即即x,yx,y除以除以4 4有相同的余數(shù)，所以有有相同的余數(shù)，所以有x的值 1 2 3 45 6 7 8 9y的可能值596708192341

32、9z 的值009999因此，只有因此，只有407407，481481和和629629滿足要求。滿足要求。答：這些數(shù)是：答：這些數(shù)是：1 1，5 5，7 7，133133，209209，247247，407407，481481，629629。102在采用列舉法解題時(shí)，我們常常會(huì)遇到這樣的在采用列舉法解題時(shí)，我們常常會(huì)遇到這樣的情況：解決某個(gè)問(wèn)題時(shí)，面臨的選擇對(duì)象較多。情況：解決某個(gè)問(wèn)題時(shí)，面臨的選擇對(duì)象較多。為求可能的解，這時(shí)先排除掉不可能的情況，為求可能的解，這時(shí)先排除掉不可能的情況，縮小可能的范圍?？s小可能的范圍。例例6.96.9 請(qǐng)用請(qǐng)用1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5

33、,6,7,8,9這九個(gè)數(shù)字這九個(gè)數(shù)字, ,拼拼湊出五個(gè)自然數(shù)湊出五個(gè)自然數(shù), ,使得第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的使得第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的2 2倍倍, ,第三個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的第三個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的3 3倍倍, ,第四個(gè)數(shù)是第一第四個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)的4 4倍倍, ,第五個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的第五個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的5 5倍倍. .每一個(gè)每一個(gè)數(shù)字都要用到而且只用一次數(shù)字都要用到而且只用一次. .求這五個(gè)數(shù)。求這五個(gè)數(shù)。103解解：關(guān)鍵是先求出最小的數(shù)（第一個(gè)數(shù)）。關(guān)鍵是先求出最小的數(shù)（第一個(gè)數(shù)）。應(yīng)考慮應(yīng)考慮:(1):(1)它是幾位數(shù)？它是幾位數(shù)？(2)(2)它應(yīng)具備什么條件，從而它應(yīng)具備什么條件，從而不可能是哪

34、些數(shù)？（不可能是哪些數(shù)？（3 3）確定這個(gè)數(shù)。）確定這個(gè)數(shù)。由于總共只有九個(gè)數(shù)字，拼出的五個(gè)自然數(shù)中至少有一由于總共只有九個(gè)數(shù)字，拼出的五個(gè)自然數(shù)中至少有一個(gè)是一位數(shù)，因此第一個(gè)最小的自然數(shù)是一位數(shù)。個(gè)是一位數(shù)，因此第一個(gè)最小的自然數(shù)是一位數(shù)。( (若都是二位數(shù)若都是二位數(shù), ,五個(gè)數(shù)要十個(gè)數(shù)字五個(gè)數(shù)要十個(gè)數(shù)字) )這個(gè)一位數(shù)有九種可能，逐個(gè)試驗(yàn)太多了。再進(jìn)一步分這個(gè)一位數(shù)有九種可能，逐個(gè)試驗(yàn)太多了。再進(jìn)一步分析它應(yīng)具備什么條件：由于一位數(shù)的析它應(yīng)具備什么條件：由于一位數(shù)的5 5倍不可能是三位倍不可能是三位數(shù)，總共有九個(gè)數(shù)字，這就說(shuō)明后數(shù)，總共有九個(gè)數(shù)字，這就說(shuō)明后四個(gè)數(shù)都是兩位數(shù)。四個(gè)數(shù)都是兩位數(shù)。(因?yàn)榈谝粋€(gè)數(shù)確定后因?yàn)榈谝粋€(gè)數(shù)確定后,其余四個(gè)數(shù)就可確定其余四個(gè)數(shù)就可確定)104為使第二個(gè)數(shù)是兩位數(shù)，第一個(gè)數(shù)一定大于為使第二個(gè)數(shù)是兩位數(shù)，第一個(gè)數(shù)一定大于4 4。因此排除了因此排除了1 1，2 2，3 3，4 4這四種可能性。這四種可能性。另外，偶數(shù)的另外，偶數(shù)的5 5倍的個(gè)位數(shù)字是倍的