高等數(shù)學(xué)第七版課件212直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

1、一、在矩形區(qū)域上二重積 分的計(jì)算 二、在 x 型或 y 型區(qū)域上 二重積分的計(jì)算 三、在一般區(qū)域上二重積 分的計(jì)算 二重積分計(jì)算的要點(diǎn)是把它化為定積分. 這里有多種方法, 其中最常用的是在直角坐標(biāo)系下化為累次積分. 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 數(shù)學(xué)分析 第二十一章重積分*點(diǎn)擊以上標(biāo)題可直接前往對(duì)應(yīng)內(nèi)容數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社 定理21.8( ,)f x y , ,Da bc d 在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 上可積上可積, , ,xa b ( ,)ddcf x yy且對(duì)每個(gè)且對(duì)每個(gè) 積分積分 存在存在, 則累次積分則累次積分 d( ,)d( ,)ddbdbdacacxf x yy

2、f x yyx 也存在也存在, ( ,)dd( ,)d .(1)bdacDf x yxf x yy 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 且且數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社( )( ,)d ,dcF xf x yy證證 令令 ( )F x定理要求證明定理要求證明 在在 , a b上可積上可積, 且積分的結(jié)果恰為二重積分且積分的結(jié)果恰為二重積分. 為此為此, 對(duì)區(qū)間對(duì)區(qū)間 , a b ,c d與與 分別作分割分別作分割 01,raxxxb 01.scyyyd 按

3、這些分點(diǎn)作兩組直線按這些分點(diǎn)作兩組直線 (1,2,1),ixxir (1,2,1),kyyks 21 4 圖圖Oyxcdab1ixixi ky1kyik 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 把矩形把矩形 D 分為分為 rs 個(gè)小矩形個(gè)小矩形(圖圖21-4). 數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社( ,)f x yik ikM設(shè)設(shè) 在在 上的上確界和下確界分別為上的上確界和下確界分別為 和和 .ikm1,iixx ,i 在區(qū)間在區(qū)間 中任取一點(diǎn)中任取一點(diǎn) 于是就有不等于是就有不等式式1(,)d

4、,kkyikkiikkymyfyyMy 其中其中 1.kkkyyy 因此因此 1sikkkmy2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 (1, 2, ;1, 2, ).irks 11, ,iikkxxyy ik 為小矩為小矩形形 記記()(,)ddiicFfyy 1,sikkkMy11rsikkiikmyx1()riiiFx 11,(2)rsikkiikMyx1.iiixxx 其中其中 ik ,ikd記記 的對(duì)角線長度為的對(duì)角線長度為 于是于是 數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社,|max.ik

5、i kTd 由于二重積分存在由于二重積分存在, 由定理由定理21. .4, 當(dāng)當(dāng) |0T時(shí)時(shí), ,ikkii kmyx,ikkii kMyx和和有相同的極限有相同的極限, ( ,)d.Df x y 值等于值等于|0T因此當(dāng)因此當(dāng)時(shí)時(shí), 由不等式由不等式(2) 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 可得可得: | |01lim()( ,)d.riiTiDFxf x y (3)使使且極限且極限|0T1max0,ii rx 由于當(dāng)由于當(dāng) 時(shí)時(shí), 必有必有分定義分定義, | |01lim()( )dd( ,

6、)d .rbbdiiaacTiFxF xxxf x yy (3)式左邊式左邊因此由定積因此由定積 數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社 定理21.9也存在也存在, 且且 ( ,)dd( ,)d .dbcaDf x yyf x yx d( ,)d( ,)dddbdbcacayf x yxf x yyx 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 ( ,)f x y , ,Da bc d 在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 上可積上可積, ,yc d ( ,)dbaf x yx 且對(duì)每個(gè)且對(duì)每個(gè) 積分積分 存在存在,

7、 則累次積分則累次積分 定理定理21. 9的證明與定理的證明與定理21. 8相仿相仿.數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社2() d,Dxy 0,1 0,1.D 例例1 計(jì)算計(jì)算 其中其中 解解 應(yīng)用定理應(yīng)用定理21. 8 (或定理或定理21. 9), 有有 ( ,)dDf x y 3310(1)d33xxx2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 ( ,)f x y , ,Da bc d 特別當(dāng)特別當(dāng)在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域上連續(xù)上連續(xù) 時(shí)時(shí), dc( ,)dd( ,)dd( ,)d .bdbaca

8、Df x yxf x yyyf x yx 則有則有11200d() dxxyy7.6數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社對(duì)于一般區(qū)域?qū)τ谝话銋^(qū)域, 通常可以分解為如下兩類區(qū)域來進(jìn)通?？梢苑纸鉃槿缦聝深悈^(qū)域來進(jìn) 行計(jì)算行計(jì)算.稱平面點(diǎn)集稱平面點(diǎn)集12( ,)|( )( ),(4)Dx yy xyyxaxb 為為x型區(qū)域型區(qū)域(圖圖21-5(a); 12( ,)|( )( ),(5)Dx yxyxxycyd 為為y型區(qū)域型區(qū)域(圖圖21-5(b).2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 在 x 型或

9、 y 型區(qū)域上二重積分的計(jì)算稱平面點(diǎn)集稱平面點(diǎn)集數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社當(dāng)當(dāng) D 為為 x 型區(qū)域時(shí)型區(qū)域時(shí), 垂直于垂直于 x 軸軸 的直線的直線 00()xx axb 至多與區(qū)域至多與區(qū)域 D 的邊界交于的邊界交于 215 圖圖(a) x 型型區(qū)區(qū)域域Oxcd(b) y 型型區(qū)區(qū)域域DyOxcdab2( )yyx1( )yyxDy2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 兩點(diǎn)兩點(diǎn); 多與多與 D 的邊界交于兩點(diǎn)的邊界交于兩點(diǎn). 這些區(qū)域的特點(diǎn)是這些區(qū)域的特點(diǎn)是:00()yy cyd

10、 至至 當(dāng)當(dāng) D 為為 y 型區(qū)域時(shí)型區(qū)域時(shí), 直線直線 數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社 定理21.10 若若 ( ,)f x y在如在如 (4) 式所示的式所示的 x 型區(qū)域型區(qū)域 D 12( ),( )yxyx , a b上連續(xù)上連續(xù), 其中其中 在在 上連續(xù)上連續(xù), 21( )( )( ,)dd( ,)d .byxayxDf x yxf x yy 即二重積分可化為先對(duì)即二重積分可化為先對(duì) y、后對(duì)后對(duì) x 的累次積分的累次積分. 1( )yx2( )yx , a b證證 由于由于 與與在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù), 故存故存 在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 , ,a bc dD (如

11、圖如圖21-5(a). 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 則則定義在定義在 , ,a bc d 上的函數(shù)上的函數(shù) 現(xiàn)作一現(xiàn)作一數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社( ,),( ,),( ,)0,( ,).f x yx yDF x yx yD ( ,)F x y , ,a bc d 容易知道函數(shù)容易知道函數(shù) 在在 上可積上可積, , , ( , )d( , )dDa bc df x yF x y 21( )( )d( ,) dbyxayxxF x yy類似可證類似可證, 若若 D 為為 (5

12、) 式所示的式所示的 y 型區(qū)域型區(qū)域, 其中其中 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 1( ),xy2( )xy ,c d在在上連續(xù)上連續(xù), 對(duì)對(duì) x、后對(duì)后對(duì) y 的累次積分的累次積分 而且而且d( , )dbdacxF x yy21()()d( ,) d .byxayxxf x yy則二重積分可化為先則二重積分可化為先21( )( )( ,)dd( ,)d .dxycxyDf x yyf x yx 數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社0,x 例例2 設(shè)設(shè) D 是由直線是由直線 1y y

13、x 及及圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域 (圖圖21-6), 試計(jì)算試計(jì)算: 22edyDIx 的值的值.yxyx216 圖圖1DO2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 解解 若用先對(duì)若用先對(duì) y、后對(duì)后對(duì) x 的積分的積分, 則有則有 21120ded .yxIxxy由于由于 2ey 的原函數(shù)無法求得的原函數(shù)無法求得, 的累次積分來計(jì)算的累次積分來計(jì)算: 因此改用另一種順序因此改用另一種順序 數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社21200dedyyIyxx21101ee6y 21201d(e)6yy 2

14、直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 22112001e2 ed6yyyyyyxyx216 圖圖1DO11.63e21301ed3yyy數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社例例3 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分d,D 其中其中D為由直線為由直線 2 ,yx 2xy 3xy 及及所圍的所圍的 三角形區(qū)域三角形區(qū)域(圖圖21-7).解解 當(dāng)把當(dāng)把 D 看作看作 x 型區(qū)域型區(qū)域 時(shí)時(shí), 122 ,01,( ),( )23,12.xxxy xyxxx 217 圖圖Ox122yx 231D2Dy3xy 2xy

15、 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 相應(yīng)的相應(yīng)的 數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社所以所以 12dddDDD 12012d3d22xxxxxx12220133344xxx 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 12230122ddddxxxxxyxy3.2 數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社解解 設(shè)圓柱底面半徑為設(shè)圓柱底面半徑為a, 兩個(gè)圓柱方程為兩個(gè)圓柱方程為 222222.xya

16、xza與與利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性, 只要求出在第一卦限只要求出在第一卦限(即即 0,0,xy 0z )部分部分(見第十章圖見第十章圖10-9)的體積的體積, 即得所求的體積即得所求的體積.220,0.yaxxa D:22,zax 體體, 曲頂為曲頂為 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 例例4 求兩個(gè)底面半徑相同的直交圓柱所圍立體的體積求兩個(gè)底面半徑相同的直交圓柱所圍立體的體積 V. 第一卦限部分的立體是一曲頂柱第一卦限部分的立體是一曲頂柱 然后再乘以然后再乘以8 底為底為四分之一圓域四分之一圓域

17、數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社18V22302()d.3aaxxa于是于是316.3Va 222200ddaaxxaxy2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 所以它的體積為所以它的體積為 22dDax 數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社邊界為分段光滑曲線的有界閉域邊界為分段光滑曲線的有界閉域, 成有限個(gè)除邊界外無公共成有限個(gè)除邊界外無公共內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)的 x 型區(qū)域或型區(qū)域或 y 型區(qū)域型區(qū)域. 如圖如圖21-8 所示所示, D 被分被分 218 圖圖OxIIIIIIyD為為 x 型

18、區(qū)域型區(qū)域, 為為 y 型區(qū)域型區(qū)域. II解成三個(gè)區(qū)域解成三個(gè)區(qū)域, 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算一般可把它分解一般可把它分解 其中其中 I, III數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社22( , ) 24,( , )Dx yxxyxf x yD例例5 設(shè)設(shè) 為為 上的連續(xù)函數(shù)，試將二重積分上的連續(xù)函數(shù)，試將二重積分 ( , )d dDIf x yx y化為不同順序的累次積分化為不同順序的累次積分. yx解解 (1)先對(duì)先對(duì)積分積分, 再對(duì)再對(duì)積分積分.

19、221( , )24,02 ,Dx yxxyxxx123DDDD (見圖見圖21-9), 為此設(shè)為此設(shè) Ox219 圖圖2D3D1Dy242直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 其中其中數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社222( , )42,02 ,Dx yxxyxxx 223( , )44,24 .Dx yxxyxxx所以所以 222224220204d( , )dd( , )dxxxxxxxxIxf x yyxf x yy224424d( , )d .xxxxxf x yy xy(2) 先

20、對(duì)先對(duì)積分積分, 再對(duì)再對(duì)積分積分. 類似地有類似地有: 2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社1234,DGGGG (見圖見圖21-10)21 10 圖圖Ox2G3G1G4Gy122122224124d( , )dyyIyf x yx22124111d( , )dyyyf x yx22124224d( , )d .yyyf x yx22111124d( , )dyyyf x yx2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y

21、型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社例例6 計(jì)算計(jì)算1d d ,4Dxyx y其中其中0,1 0,1.D 解解 記記 (見圖見圖 21-11) 11( , )0,4Dx y xyD 21( , )0.4Dx y xyD 21 11 圖圖Ox11D2D14xy 1y2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 則又有則又有 111( , )1,1 ,44Dx yyxx數(shù)學(xué)分析 第二十一章 重積分高等教育出版社21110, 0,1( , ) 0,1 .444Dx yyxx 1d d4Dxyx y2直角坐標(biāo)系下二重 積分的計(jì)算 在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 在 x 型或 y 型區(qū)域上二 重積分的計(jì)算 在一般區(qū)域上二重積分 的計(jì)算 111 41 41dd4xxxyy1 41001dd4xxyy11