彈性力學(xué)_第五章 彈性力學(xué)邊值問(wèn)題

1、彈性力學(xué)彈性力學(xué)第五章 彈性力學(xué)邊值問(wèn)題5-1 基本方程5-2 問(wèn)題的提法5-3 彈性力學(xué)問(wèn)題基本解法 解的唯一性5-4 圣維南原理5-5 疊加原理Chapter 5.25-1 基本方程000zzyzxzyzyyxyxzxyxxFzyxFzyxFzyx1. 平衡微分方程0,jiijF2. 幾何方程幾何方程 ),(21ijjiijuuxuxxvyuxyyvyywzvyzzwzzuxwzx5-1 基本方程由幾何方程推導(dǎo)出協(xié)調(diào)方程：yxxyxy22y22x2yxxzyxx2yzxyzx2zyyzyz22z22y2zxyxzyy2xzyzxy2zxzxxz22x22z2yxzyxzz2xyzxyz25

2、-1 基本方程3. 本構(gòu)方程)(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxEEExyxyzxzxyzyzEEE)1 (2)1 (2)1 (2用應(yīng)力表示應(yīng)變的物理方程用應(yīng)力表示應(yīng)變的物理方程ijijijEE15-1 基本方程用應(yīng)變表示應(yīng)力的物理方程用應(yīng)變表示應(yīng)力的物理方程ijijijijkkijGG22;)1 (2;)1 (2)11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 (xzxzxyxyyxzzzxyyzyxxEEEEEyzyzE)1 (25-1 基本方程總之，三大方程的個(gè)數(shù)是總之，三大方程的個(gè)數(shù)是15彈性力學(xué)邊值問(wèn)題邊界條件方程：變量個(gè)數(shù)為個(gè)631

3、21：個(gè)621幾何方程個(gè)30平衡方程yzxzyxzyxyzxzxyzyxmmijiji , jijij ,ij,w, v ,uK,SGeuufj , i15:本構(gòu)方程5-1 基本方程 若物體表面的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz已知，則面力邊界條件為：nmlFnmlFnmlFzyzxzszzyyxysyxzxyxsxjijsinF若物體表面的位移 已知，則位移邊界條件為 wvu,wwvvuu,若物體部分表面面力和部分表面位移已知，則為混合邊界條件4. 邊界條件5-1 基本方程5-1 基本方程第五章 彈性力學(xué)邊值問(wèn)題5-1 基本方程5-2 問(wèn)題的提法5-3 彈性力學(xué)問(wèn)題基本解法 解的唯一性5-4

4、 圣維南原理5-5 疊加原理 彈性力學(xué)的任務(wù)就是在給定的邊界條件下，就十五個(gè)未知量求解十五個(gè)基本方程。 求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，并不需要同時(shí)求解十五個(gè)基本未知量，可以做必要的簡(jiǎn)化。 為簡(jiǎn)化求解的難度，僅選取部分未知量作為基本未知量。5-2 問(wèn)題的提法在給定的邊界條件下，求解偏微分方程組的問(wèn)題，數(shù)學(xué)上稱為偏微分方程的邊值問(wèn)題。按照不同的邊界條件，彈性力學(xué)有三類邊值問(wèn)題。第一類邊值問(wèn)題第一類邊值問(wèn)題：已知彈性體內(nèi)的體力和其表面的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz，邊界條件為面力邊界面力邊界條件條件。第二類邊值問(wèn)題第二類邊值問(wèn)題：已知彈性體內(nèi)的體力分量以及表面的位移分量，邊界條件為位移邊界條件。位移邊界條

5、件。5-2 問(wèn)題的提法第三類邊值問(wèn)題第三類邊值問(wèn)題： 已知彈性體內(nèi)的體力分量，以及物體表面的部分位移分量和部分面力分量，邊界條件在面力已知的部分，為面力邊界條件，位移已知的部分為位移邊界條件。稱為混合邊界混合邊界條件條件。以上三類邊值問(wèn)題，代表了一些簡(jiǎn)化的實(shí)際工程問(wèn)題。若不考慮物體的剛體位移，則三類邊值問(wèn)題的解是唯一的。5-2 問(wèn)題的提法位移解法位移解法以位移函數(shù)作為基本未知量應(yīng)力解法應(yīng)力解法以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量混合解法混合解法以部分位移和部分應(yīng)力分量 作為基本未知量5-2 問(wèn)題的提法第五章 彈性力學(xué)邊值問(wèn)題5-1 基本方程5-2 問(wèn)題的提法5-3 彈性力學(xué)問(wèn)題基本解法 解的唯一性5-4

6、圣維南原理5-5 疊加原理5-3 彈性力學(xué)問(wèn)題基本解法 解的唯一性1. 位移解法位移解法 將幾何方程：)(21,ijjiijuu代入應(yīng)變表示應(yīng)力的物理方程：ijijijG2xuGx2yvGy2zwGz2xvyuGxyywzvGyzzuxwGzx2222xuGxuGxxxyxvGyuGyxy222zxwGzuGzzx222對(duì)對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo)對(duì)對(duì)z求導(dǎo)求導(dǎo)對(duì)對(duì)y求導(dǎo)求導(dǎo)三式相加三式相加 zwyvxu222222zuyuxuGx)G(zyxzxyzx再引進(jìn)再引進(jìn)Laplace算子算子2222222zyx0,ijijf02yfvGy)G(02yfwGz)G(0jj, iji, jGuu )G(不考慮體力不

7、考慮體力位移分量表示的平衡方程，稱為位移分量表示的平衡方程，稱為L(zhǎng)ame方程方程 02xfuGx)G(由由得得在沒(méi)有體力作用且不考慮固體運(yùn)動(dòng)時(shí)在沒(méi)有體力作用且不考慮固體運(yùn)動(dòng)時(shí)000222wGz)G(vGy)G(uGx)G(用位移法求解位移，僅需滿足平衡方程及邊界條件。用位移法求解位移，僅需滿足平衡方程及邊界條件。 若給定的是靜力邊界條件，則需將應(yīng)力換用位移表示若給定的是靜力邊界條件，則需將應(yīng)力換用位移表示 xuGx2yvGy2zwGz2xvyuGxyywzvGyzzuxwGzx將將 代入靜力代入靜力邊界條件邊界條件 jijinp整理后可得到位移分量表達(dá)的靜力邊界條件為整理后可得到位移分量表達(dá)的

8、靜力邊界條件為nxwmxvlxuGnzumyulxuGlpxnywmyvlyuGnzvmyvlxvGmpynzwmzvlzuGnzwmywlxwGnpy應(yīng)力分量必須滿足應(yīng)力分量必須滿足 平衡微分方程平衡微分方程應(yīng)變分量應(yīng)滿足應(yīng)變分量應(yīng)滿足 變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程0 xxzxyxfzyx0yyzyyxfzyx0zzzyzxfzyxyxxyxyyx22222zyxxzyxyzxyzx22zyyzyzzy22222zyxxxzxyzxyzy22xzzxzxxz22222zyxxyxxyzxyzz22用應(yīng)力法求解時(shí)，應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)橛脩?yīng)力分量表達(dá)用應(yīng)力法求解時(shí)，應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)橛脩?yīng)力分量表達(dá) 2. 應(yīng)力解法應(yīng)力解法

9、如何如何實(shí)現(xiàn)？實(shí)現(xiàn)？1Izyx應(yīng)力分量應(yīng)滿足以應(yīng)力分量表示的變形協(xié)調(diào)方程應(yīng)力分量應(yīng)滿足以應(yīng)力分量表示的變形協(xié)調(diào)方程 下面以應(yīng)變協(xié)調(diào)方程中的其中任一式為例，推導(dǎo)應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程下面以應(yīng)變協(xié)調(diào)方程中的其中任一式為例，推導(dǎo)應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程考慮應(yīng)變協(xié)調(diào)方程中的第二式考慮應(yīng)變協(xié)調(diào)方程中的第二式 zyyzyzzy22222xzyyvE1yzyzEv)1 (2yxzzvE1式中的應(yīng)變分量根據(jù)廣義式中的應(yīng)變分量根據(jù)廣義HOOKE定律用應(yīng)力表示為定律用應(yīng)力表示為zyvyzvyzvyzzy222222222)1 (2)1 (代入代入代入代入代入代入應(yīng)力和函數(shù)應(yīng)力和函數(shù) zyvyzvyzvyzzy2222222

10、22)1 ( 2)1 (等號(hào)右邊等號(hào)右邊可寫為可寫為yzzyyzyz20zzzyzxfzyx另外，根據(jù)平另外，根據(jù)平衡微分方程衡微分方程zzxzzxfxzy代入代入同理，等號(hào)右同理，等號(hào)右邊還可寫為邊還可寫為根據(jù)平衡微分根據(jù)平衡微分方程方程0yyzyyxfzyxzzxzyzfxzzzy2yxyyyzfxyzzyzyyzyz2yxyyyzfxyyzy2代入代入yxyyzzxzyzfxyyfxzzzy222222yzyfzfyzxyzyzxyzxzyvyzvyzvyzzy222222222)1 ( 2)1 (22222222)()1 (yzvyzvzyyfzfyzxvyzxyzx)1 (zfyfx

11、fvxvxvzyxx)1 ()1 (2222222代入代入改寫為改寫為得到得到對(duì)于應(yīng)變協(xié)調(diào)方程中的第一、第三兩式，可得類似的另兩個(gè)方程對(duì)于應(yīng)變協(xié)調(diào)方程中的第一、第三兩式，可得類似的另兩個(gè)方程。 將此三式相加，得：將此三式相加，得： zfyfxfvvzyx112zfyfxfvxvxvzyxx)1 ()1 (2222222代入代入xfzfyfxfvvxvxzyxx21)1 (1222類似可得其他類似可得其他5個(gè)方程個(gè)方程 xfzfyfxfvvxvxzyxx21)1 (1222yfzfyfxfvvyvyzyxy21)1 (1222zfzfyfxfvvzvzzyxz21)1 (1222yfxfyxvx

12、yxy22)1 (1zfyfzyvyzyz22)1 (1xfzfxzvzxzx22)1 (1Beltrami-Michell方程方程 用應(yīng)力表示的應(yīng)力協(xié)調(diào)方程用應(yīng)力表示的應(yīng)力協(xié)調(diào)方程對(duì)于體力為零或者常量的情況，對(duì)于體力為零或者常量的情況，Beltrami-Michell方程簡(jiǎn)化為方程簡(jiǎn)化為0)1 (1222xvx0)1 (1222yvy0)1 (1222zvz0)1 (122yxvxy0)1 (122zyvyz0)1 (122xzvzx0)1 (1,2ijijv或或用應(yīng)力法求解彈性力學(xué)問(wèn)題就歸結(jié)為求應(yīng)力分量用應(yīng)力法求解彈性力學(xué)問(wèn)題就歸結(jié)為求應(yīng)力分量 ij滿足平衡方程、滿足平衡方程、 協(xié)調(diào)方程及

13、應(yīng)力邊界條件的數(shù)學(xué)問(wèn)題。協(xié)調(diào)方程及應(yīng)力邊界條件的數(shù)學(xué)問(wèn)題。 這樣這樣1515個(gè)基本方程就全部個(gè)基本方程就全部滿足。滿足。若將前三式相加得若將前三式相加得 ， 02問(wèn)題就變?yōu)橄葘⒑瘮?shù)問(wèn)題就變?yōu)橄葘⒑瘮?shù)求出求出, ,然后求出其他應(yīng)力分量，并在邊界上滿足邊界條件。然后求出其他應(yīng)力分量，并在邊界上滿足邊界條件。 5-3 解的唯一性n通過(guò)應(yīng)變能原理推導(dǎo)彈性力學(xué)的解的唯一性n解的唯一性定理的意義是為彈性力學(xué)問(wèn)題的求解提供了重要的理論依據(jù)。n由于偏微分方程邊值問(wèn)題求解的困難，因此在彈性力學(xué)問(wèn)題分析中，經(jīng)常需要使用逆解法或半逆解法。而解的唯一性定理為這些方法奠定了基礎(chǔ)。 應(yīng)變能原理應(yīng)變能原理 彈性體在外力作用

14、下處于平衡狀態(tài)時(shí)，物體內(nèi)存儲(chǔ)的彈性體在外力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，物體內(nèi)存儲(chǔ)的彈性勢(shì)能，即應(yīng)變能，等于外力由原始位置到平衡位置所彈性勢(shì)能，即應(yīng)變能，等于外力由原始位置到平衡位置所做的功。假如外力是由零連續(xù)變化到其最終數(shù)值的，則在做的功。假如外力是由零連續(xù)變化到其最終數(shù)值的，則在加載的過(guò)程中，物體始終是處于平衡狀態(tài)的。加載的過(guò)程中，物體始終是處于平衡狀態(tài)的。 VdVUW0zxzxyzyzxyxyzzyyxxU210其中其中5-3 解的唯一性逆解法逆解法（1）根據(jù)問(wèn)題的條件根據(jù)問(wèn)題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程的假設(shè)各種滿足相容方程

15、的(x,y) 的形式；的形式；（2） 主要適用于簡(jiǎn)單邊界條件的問(wèn)題。主要適用于簡(jiǎn)單邊界條件的問(wèn)題。然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式，求出然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式，求出 （具有待定系數(shù)）；（具有待定系數(shù)）；xyyx,（3） 再利用應(yīng)力邊界條件式，來(lái)考察這些應(yīng)力函數(shù)再利用應(yīng)力邊界條件式，來(lái)考察這些應(yīng)力函數(shù)(x,y) 對(duì)應(yīng)什么樣的對(duì)應(yīng)什么樣的邊界面力問(wèn)題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)邊界面力問(wèn)題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y) 可以求解什么問(wèn)題?？梢郧蠼馐裁磫?wèn)題。半逆解法半逆解法（1）根據(jù)問(wèn)題的條件根據(jù)問(wèn)題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量假設(shè)部分應(yīng)力分量 的

16、某種函數(shù)形式的某種函數(shù)形式 ；xyyx,（2）根據(jù)根據(jù) 與應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力函數(shù)(x,y)的關(guān)系及的關(guān)系及 ，求，求出出(x,y) 的形式；的形式；xyyx,04（3）最后利用式（計(jì)算出最后利用式（計(jì)算出 并讓其滿足邊界條件和位移單并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。值條件。xyyx, 半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。解的唯一性定理 u 無(wú)初應(yīng)力的線彈性問(wèn)題的解是唯一的無(wú)初應(yīng)力的線彈性問(wèn)題的解是唯一的u 給給“試湊試湊”解法提供了理論基礎(chǔ)解法提供了理論基礎(chǔ)5-3 解的唯一性下面給出定理的證明（反證法）：下面給出定理的證明（反證法）：先假設(shè)存在兩種不

17、同的解，它們的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)先假設(shè)存在兩種不同的解，它們的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng) 及及 都滿足都滿足基本微分方程基本微分方程和和給定邊界條給定邊界條件件。然后證明，對(duì)線性彈性問(wèn)題兩解之差必為零，。然后證明，對(duì)線性彈性問(wèn)題兩解之差必為零，因而只能有唯一解。因而只能有唯一解。,iiju,iiju5-3 解的唯一性 由前提假設(shè)，由前提假設(shè)， 及及 是同一物體在同一載是同一物體在同一載荷荷 及相同邊界條件下的兩個(gè)解，它們都滿足及相同邊界條件下的兩個(gè)解，它們都滿足平衡方程平衡方程 力邊界條件力邊界條件 位移邊界條件位移邊界條件,iiju,iiju,iif X,0; 0ij jiij jiff( (在在V內(nèi)內(nèi))

18、) ; ijjiijjXX (在S上) ;iiiiuuuu(在在Su上上)5-3 解的唯一性 把以上左右兩式對(duì)應(yīng)相減，由疊加原理可知，兩解之差把以上左右兩式對(duì)應(yīng)相減，由疊加原理可知，兩解之差 必然滿足無(wú)體力平衡方程必然滿足無(wú)體力平衡方程 和齊次邊界條件和齊次邊界條件iiiuuuijijij,0ij j5-3 解的唯一性,(1)(2)(3)0 0 0 ij jijjiu 將將（1）式兩邊乘式兩邊乘ui，對(duì)體積，對(duì)體積V積分，并利積分，并利用高斯公式得用高斯公式得,ddd0iij jiijjiji jVSVuVuSuV 其中第一項(xiàng)面積分的積分域?yàn)槠渲械谝豁?xiàng)面積分的積分域?yàn)镾= S+Su，根據(jù)（，根

19、據(jù)（2）和（）和（3）式，）式，被積函數(shù)在邊界上總有一個(gè)因子被積函數(shù)在邊界上總有一個(gè)因子ui或或ijj為零，所以第一項(xiàng)等于零。為零，所以第一項(xiàng)等于零。再利用再利用ij的對(duì)稱性和線彈性應(yīng)變能公式，上式可化為的對(duì)稱性和線彈性應(yīng)變能公式，上式可化為5-3 解的唯一性,1dd2d2d0iji jiji jj iVijijVVuVuuVVWV 對(duì)于線彈性問(wèn)題應(yīng)變能處處正定，故上式要求對(duì)于線彈性問(wèn)題應(yīng)變能處處正定，故上式要求W=0，即兩解之差是即兩解之差是ij0和和ij0的無(wú)變形狀態(tài)，因而的無(wú)變形狀態(tài)，因而 于是證明了應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)的解是唯一的。于是證明了應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)的解是唯一的。 ; ijijijij

20、5-3 解的唯一性小結(jié) 一般說(shuō)，位移場(chǎng)一般說(shuō)，位移場(chǎng) 和和 之間還可能差一個(gè)之間還可能差一個(gè)剛體位移剛體位移，但是絕，但是絕大多數(shù)彈性力學(xué)問(wèn)題都給定足以限制剛體運(yùn)動(dòng)的位移約束條件，大多數(shù)彈性力學(xué)問(wèn)題都給定足以限制剛體運(yùn)動(dòng)的位移約束條件，因而位移場(chǎng)的解也是唯一的。因而位移場(chǎng)的解也是唯一的。 以上證明的前提是以上證明的前提是疊加原理疊加原理、應(yīng)變能正定性應(yīng)變能正定性和和應(yīng)力張量對(duì)稱應(yīng)力張量對(duì)稱性性。線彈性理論能自動(dòng)滿足這些條件，因?yàn)榫€彈性問(wèn)題的解是。線彈性理論能自動(dòng)滿足這些條件，因?yàn)榫€彈性問(wèn)題的解是唯一的。唯一的。 無(wú)論用什么方法求得的解，只要能滿足全部基本方程和邊界無(wú)論用什么方法求得的解，只要能

21、滿足全部基本方程和邊界條件，就一定是問(wèn)題的真解。條件，就一定是問(wèn)題的真解。iuiu5-3 解的唯一性 不滿足唯一性定理的情況不滿足唯一性定理的情況 (1) 材料非線性材料非線性 (2) 幾何非線性幾何非線性 (3) 載荷與變形耦合問(wèn)題（邊界條件非線性）載荷與變形耦合問(wèn)題（邊界條件非線性） (4) 有初應(yīng)力的情況有初應(yīng)力的情況5-3 解的唯一性第五章 彈性力學(xué)邊值問(wèn)題5-1 基本方程5-2 問(wèn)題的提法5-3 彈性力學(xué)問(wèn)題基本解法 解的唯一性5-4 圣維南原理5-5 疊加原理問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出：PPP 求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，使應(yīng)力分量、求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，使應(yīng)力分量、形變分量、位移分量完全滿足形

22、變分量、位移分量完全滿足8 8個(gè)基本方個(gè)基本方程相對(duì)容易，但要使邊界條件完全滿足，程相對(duì)容易，但要使邊界條件完全滿足，往往很困難。往往很困難。 如圖所示，其力的作用點(diǎn)處的邊界條如圖所示，其力的作用點(diǎn)處的邊界條件無(wú)法列寫。件無(wú)法列寫。1. 靜力等效的概念靜力等效的概念 兩個(gè)力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個(gè)力系為靜力等效兩個(gè)力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個(gè)力系為靜力等效力系。力系。)(iOOFmMiFR 這種等效只是從平衡的觀點(diǎn)而言的，對(duì)剛體而言完全正確，但對(duì)變這種等效只是從平衡的觀點(diǎn)而言的，對(duì)剛體而言完全正確，但對(duì)變形體而言一般是不等效的。形體而言一般是不等效的。5-4 圣維南原理2

23、. 原理原理 若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，而遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計(jì)。改變，而遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計(jì)。PPPP/2P/2APAPAP5-4 圣維南原理3. 圣維南原理的應(yīng)用圣維南原理的應(yīng)用(1) 對(duì)復(fù)雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。對(duì)復(fù)雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。(2) 有些位移邊界不易滿足時(shí)，也可用靜力等效的分布面力代替。有些位移邊界不易滿足時(shí)，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)：(1)必須滿足靜力等效條件；

24、必須滿足靜力等效條件；(2) 只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。如：如：AB主要邊界主要邊界PAP次要邊界次要邊界5-4 圣維南原理4. 圣維南原理的例外圣維南原理的例外L存在裂縫存在裂縫BADC比作用面很小的尺寸比作用面很小的尺寸5-4 圣維南原理第五章 彈性力學(xué)邊值問(wèn)題5-1 基本方程5-2 問(wèn)題的提法5-3 彈性力學(xué)問(wèn)題基本解法 解的唯一性5-4 圣維南原理5-5 疊加原理 描述 作用在物體上的兩組外力（包括表面力和體積作用在物體上的兩組外力（包括表面力和體積力）的總和在物體內(nèi)部所產(chǎn)生的效果（應(yīng)力、應(yīng)變力）的總和在物體

25、內(nèi)部所產(chǎn)生的效果（應(yīng)力、應(yīng)變及位移等），等于此兩組外力分別作用效果的總和。及位移等），等于此兩組外力分別作用效果的總和。或者說(shuō)物體受兩組載荷共同作用時(shí)的應(yīng)力或位移場(chǎng)或者說(shuō)物體受兩組載荷共同作用時(shí)的應(yīng)力或位移場(chǎng)就等于每組載荷單獨(dú)作用時(shí)的應(yīng)力或位移場(chǎng)之和，就等于每組載荷單獨(dú)作用時(shí)的應(yīng)力或位移場(chǎng)之和，且且與加載順序無(wú)關(guān)與加載順序無(wú)關(guān)。5-5 疊加原理iu設(shè)第一組載荷為體力設(shè)第一組載荷為體力 和面力和面力 ，第二組為體力，第二組為體力和面力和面力 ，它們引起的應(yīng)力和位移場(chǎng)分別為，它們引起的應(yīng)力和位移場(chǎng)分別為 和和及及 和和 ，且僅考慮線彈性小變形情況，則聯(lián)合載，且僅考慮線彈性小變形情況，則聯(lián)合載荷荷引起的應(yīng)力和位移場(chǎng)為引起的應(yīng)力和位移場(chǎng)為if iXif iXijijiu具體闡述為：iiifffiiiXXX; ijijijiiiuuu5-5 疊加原理下面以下面以應(yīng)力解法應(yīng)力解法為基礎(chǔ)證明疊加原理的正確性：為基礎(chǔ)證明疊加原理的正確性：將疊加后的載荷代入應(yīng)力解法各個(gè)方程后有：將疊加后的載荷代入應(yīng)力解法各個(gè)方程后有： 代入平衡方程代入平衡方程 應(yīng)力協(xié)調(diào)方程應(yīng)力協(xié)調(diào)方程 力邊界條件力邊界條件,0ijijiijff2,1101ijijijijkkiijjkjiffffff0jijijiiXX5-5 疊加原理 由于上述各式是線性微分方程或是代數(shù)方程，由于上述各