面向魯棒運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)自整定與實(shí)驗(yàn)研究博士學(xué)位論文

1、 博士學(xué)位論文面向魯棒運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)、自整定與實(shí)驗(yàn)研究105 / 119Fractional Order PID controller Synthesis, Auto-tuning and Experiment Studies for Robust Motion Control SystemsbyYongshun JinB. E. (HunanUniversity) 2004M. S.(HunanUniversity) 2007A dissertation submitted in partial fulffilement of theRequirements for t

2、he degree ofDoctor of EngineeringinElectrical Engineeringto theGraduateSchoolofHunanUniversitySupervisorProfessor Yao JiangangNovember, 2010湖 南 大 學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用的容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。作者簽名： 日期：

3、年 月 日學(xué)位論文使用授權(quán)書本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。本學(xué)位論文屬于1、，在年解密后適用本授權(quán)書。2、不R。（請(qǐng)?jiān)谝陨舷鄳?yīng)方框打“”）作者簽名： 日期： 年 月 日導(dǎo)師簽名： 日期： 年 月 日摘 要隨著分?jǐn)?shù)階微積分理論的發(fā)展，越來(lái)越多的人關(guān)注這一領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。現(xiàn)有大量文獻(xiàn)提到，利用分?jǐn)?shù)階微積分能夠?qū)υS多事物進(jìn)行更精確的數(shù)學(xué)建模，這些分析結(jié)論在很大程度上推動(dòng)

4、了分?jǐn)?shù)階理論在工程應(yīng)用方面的發(fā)展。實(shí)際上自然界中許多系統(tǒng)特性用分?jǐn)?shù)階微積分來(lái)描述更為簡(jiǎn)單并更能真實(shí)的反映事物的本質(zhì)規(guī)律。由于分?jǐn)?shù)階微積分是一種很好的應(yīng)用于工程的數(shù)學(xué)工具，因此許多研究者開始將分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用向各個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行延伸，其中在控制領(lǐng)域的研究是比較富有成效的。許多文獻(xiàn)提出了基于分?jǐn)?shù)階微積分的控制器數(shù)學(xué)模型與結(jié)構(gòu)，但是對(duì)比整數(shù)階控制器的廣泛應(yīng)用，分?jǐn)?shù)階控制器的發(fā)展仍處于起步狀態(tài)。值得注意的是，F(xiàn)OPID(Fractional Order Proportion Integration Differentiation)控制器的誕生，為分?jǐn)?shù)階控制器的應(yīng)用開辟了一個(gè)新的領(lǐng)域。FOPID控制器結(jié)構(gòu)上

5、的特點(diǎn)使得其具有傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器無(wú)法比擬的優(yōu)勢(shì)。關(guān)于FOPID控制器參數(shù)整定有一些學(xué)者進(jìn)行過(guò)研究，但是這方面的研究還存在許多未解決的問(wèn)題或不足，如缺乏系統(tǒng)性的控制器參數(shù)整定方法、整定計(jì)算過(guò)程復(fù)雜、缺乏與傳統(tǒng)控制器對(duì)比優(yōu)勢(shì)研究等一系列的問(wèn)題。因此，開展對(duì)FOPID控制器相關(guān)問(wèn)題的研究以與探索其在工程方面的實(shí)際應(yīng)用是一項(xiàng)非常有意義的工作?？刂评碚撝杏幸粋€(gè)重要的課題，也是一個(gè)在控制器設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮的問(wèn)題系統(tǒng)魯棒性。在現(xiàn)實(shí)的控制問(wèn)題中，系統(tǒng)特性或參數(shù)的變化常常是不可避免的，因?yàn)橄到y(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中受到環(huán)境等因素的影響將會(huì)引起系統(tǒng)參數(shù)的飄移。為防止這種參數(shù)攝動(dòng)導(dǎo)致的系統(tǒng)性能改變，控制器的魯棒性設(shè)計(jì)就成

6、為了一個(gè)重要的研究課題，而FOPID控制器階數(shù)的取值特點(diǎn)使得其在魯棒性設(shè)計(jì)時(shí)具有比傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器更為靈活的優(yōu)點(diǎn)。系統(tǒng)不單可以滿足穩(wěn)定性要求，同時(shí)還可以滿足系統(tǒng)參數(shù)魯棒性設(shè)計(jì)的需求。因此，本文對(duì)控制系統(tǒng)中被控對(duì)象的系統(tǒng)增益以與時(shí)間常數(shù)的魯棒性進(jìn)行了研究，提出了一系列針對(duì)系統(tǒng)參數(shù)魯棒性的分?jǐn)?shù)階控制器整定方法，并通過(guò)電機(jī)等電氣工程的實(shí)際應(yīng)用方面的分析進(jìn)行了驗(yàn)證。本文的貢獻(xiàn)主要是利用FOPID控制器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提出了針對(duì)不同控制對(duì)象的FOPID控制器參數(shù)魯棒性的整定方法。同時(shí)根據(jù)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)魯棒性設(shè)計(jì)方法，提出了一種基于FOPID控制的參數(shù)自整定設(shè)計(jì)算法。通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了本文所提出方法

7、的正確性。 本文的具體研究成果包括：（1）設(shè)計(jì)了一種針對(duì)系統(tǒng)增益魯棒性的FOPID控制器參數(shù)整定公式。針對(duì)電機(jī)位置伺服系統(tǒng)模型以與速度伺服系統(tǒng)模型，系統(tǒng)地提出了FOPD、FOPD、FOPI、FOPI的整定方法。通過(guò)系統(tǒng)仿真，驗(yàn)證了所提方法的正確性，并證明了在同等環(huán)境下分?jǐn)?shù)階控制器的控制性能優(yōu)于傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器。（2）第一次提出了一種基于系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)魯棒性的FOPD參數(shù)整定算法。對(duì)整定方程的數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行了深入的研究，給出了整定方程組解的存在性的約束條件。另外，為了簡(jiǎn)化計(jì)算方法以與實(shí)現(xiàn)在線計(jì)算，本文還提出了一種快速在線計(jì)算參數(shù)的方法。系統(tǒng)仿真和實(shí)驗(yàn)研究的結(jié)果證明了這種整定方法的有效性和

8、正確性。 （3）根據(jù)未知的、開環(huán)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，提出了具有iso-damping（等阻尼）特性的FOPI、FOPI、FOPD、FOPD四種分?jǐn)?shù)階控制器的自整定方法。在未知被控對(duì)象的前提下設(shè)計(jì)了一種繼電反饋測(cè)試實(shí)驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)了該方法在控制領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用。（4）根據(jù)FOPID控制器的性能特點(diǎn)，開拓了分?jǐn)?shù)階控制器的應(yīng)用空間，討論了FOPID控制器整定算法在同步追蹤控制系統(tǒng)中的應(yīng)用。通過(guò)仿真研究，證明了該方法能很好地實(shí)現(xiàn)多個(gè)系統(tǒng)的同步追蹤。（5）首次在基于LabVIEW的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)了FOPID控制器的實(shí)驗(yàn)研究，進(jìn)一步在此實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階PID控制器的性能特點(diǎn)。關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階PID；參數(shù)整

9、定；運(yùn)動(dòng)控制；魯棒性；自整定；LabVIEWAbstractWith the progress of fractional calculus, its application research has attracted more and more attention. Now, fractional order calculus is being employed in many literatures to more precisely model many real world systems. It is natural to explore the potentials of fra

10、ctional order systems and control theoryin engineering developments. In fact, fractional order models used to characterize the systems in real world can more concisely and precisely reflect the nature or essence of the systems. Fractional calculus is emerging as one of the best useful mathematic ins

11、truments in engineering application, hence the applications of fractional calculus has been explored in many subject areas, and one of the fruitful areas is in control engineering. Literatures have offered severalvaluable models and structures of fractional order controllers, however, compared with

12、the integer order controllers, a lot of investigations yet need to be done. FOPID (Fractional Order Proportion Integration Differentiation) controller is a new area of research in fractional order calculus applications. Advantages of the fractional order PID controller include its structural simplic

13、ity and its direct generalization of tranditional PID controller, most-widely usedin industry. Tuning rules development for the fractional order PID parametersetting have been an important research topic with many unsolved issues depending on prior information assumed about the plant to be controlle

14、d. These issues include, for example, the lack of systematic tuning method; high complexity in parameter calculation in tuning the controllers and the lack of fair comparison with the integer order controllers. Therefore, it is of practical importance to develop FOPID tuning methods and explore its

15、potential applications in engineering. Robustness of a control system is a very important topic in control theory, which should be considered during the controller design. In real world control system, variations in systems properties and physical parameters are unavoidable due to many factors, such

16、 as environment changes. To avoid the performance change due to parameter variations, the robustness of the controller is the central topic on which this dissertation focuses. FOPID focused in this dissertation is more flexible in achieving robust performance. The controlled systemunder FOPID contro

17、ller not only can meet the stability requirement, but also meet the robust requirement with respect to uncertainties in system model such as gain to time constant variations. This dissertation focuses on developing a systematic fractional order PID controller tuning rule to achieve system performanc

18、e robustness against variations in system gain and time constant DC motor experiment is used to validate the developed tuning methods. The main contribution of this thesis is on the development of FOPID robust tuning rule based on different controlled systems Meanwhile, for practical use in industry

19、, an auto-tuning design method has been developed. Both simulation and experimental results are included to illustrate the developed FOPID tuning methods. Specifically, the research results in this dissertation include:(1) FOPID tuning rules based on the system robustness requirement against system

20、gain variations is developed. Systematic tuning rules about FOPD, FOPD, FOPI,FOPI are derived. Simulation results are presented to verify that the performance of the designed fractional order controller is better than the integer order PID controller.(2) A FOPD tuning rule based on systemrobustness

21、requirement with respect to time constant uncertainty is developed for the first time. Detailed mathematic derivations are presented and the requirements on the existence of solution in the tuning equations are studied, too. To simplify the computational method for online implement, an online comput

22、ational method is developed. Results of both simulation and experiments are included to show the correctness and effectiveness of this new tuning rule.(3) For unknown, stable, minimum phase systems, a set of auto-tuning rules for four types of FOPID controllers: FOPI,FOPI,FOPD,FOPD having the desira

23、ble iso-damping property are derived. A relay feedback experiment method is introduced for easy implemention of the fractional order PID controller in real world control systems.(4) We extend the fractional order controller application areas to synchronized tracking control systems. We study how fra

24、ctional order controller can better synchronize the multiple motion control systems. Simulation results are presented to verify that this fractional order control method can improve muti-system synchronization. (5) For the first time the FOPID controller has been implemented on the LabVIEW experimen

25、t platform. The experiment results have verified that the FOPID can offer outstanding performance. Key words: Fractional calculus, fractional order PID; parameters tuning; motion control; robustness; auto-tuning; relay feedback, LabVIEW目 錄學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明與使用授權(quán)書I摘要IIAbstractIII插圖索引IX第1章緒論11.1研究背景與研究意義11.2 分

26、數(shù)階微積分定義31.2.1 Gamma 函數(shù)31.2.2 Mittag-Leffler 函數(shù)31.2.3 Grünwald-Letnikov定義41.2.4 Riemann-Liouville 定義41.2.5 Caputo 定義41.3 分?jǐn)?shù)階微積分的Laplace 變換51.3.1 Riemann-Liouville定義下的Laplace變換51.3.2 Caputo定義下的Laplace變換51.4 分?jǐn)?shù)階微積分在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用61.4.1分?jǐn)?shù)階控制器研究現(xiàn)狀61.4.2 分?jǐn)?shù)階PID控制器概述81.4.3 分?jǐn)?shù)階PID控制器的整定方法概述91.4.4 分?jǐn)?shù)階PID控制需要解

27、決的幾個(gè)問(wèn)題91.5 分?jǐn)?shù)階PID控制器在電力系統(tǒng)負(fù)載頻率控制方面的應(yīng)用價(jià)值101.6 本課題來(lái)源與本文的主要研究容111.6.1 本課題來(lái)源111.6.2 本文主要研究容11第2章對(duì)系統(tǒng)開環(huán)增益魯棒性分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)方法132.1 引言132.2開環(huán)增益魯棒性分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)整定方程設(shè)計(jì)原理132.3 分?jǐn)?shù)階PD與PD控制器參數(shù)整定問(wèn)題的研究162.3.1 FOPD控制器設(shè)計(jì)172.3.2 分?jǐn)?shù)階PD控制器設(shè)計(jì)192.3.3整數(shù)階PID控制器232.4 增益魯棒性FOPI與FOPI控制器整定算法252.4.1 FOPI控制器參數(shù)整定方法252.4.2 FOPI控制器整定方法272

28、.5 系統(tǒng)仿真282.5.1 FO-PD控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)282.5.2 FOPD控制器階躍響應(yīng)292.5.3 IO-PID控制器階躍響應(yīng)302.5.4 利用三種控制器進(jìn)行仿真比較302.5.5 FO-PI控制器階躍響應(yīng)312.5.6 FOPI控制器階躍響應(yīng)322.6 本章小結(jié)33第3章對(duì)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)魯棒性的分?jǐn)?shù)階PD控制器設(shè)計(jì)方法353.1 引言353.2問(wèn)題描述353.3 FOPD整定方程以與方法363.4 數(shù)值計(jì)算393.4.1 解存在的圍393.4.2 數(shù)值計(jì)算和仿真驗(yàn)證413.4.3 與其他方法比較驗(yàn)證443.4.4 在線計(jì)算453.5 實(shí)驗(yàn)研究473.6 本章小結(jié)49第4章分?jǐn)?shù)階PI

29、D自整定算法研究514.1 引言514.2 控制器自整定算法研究514.2.1 整定方程設(shè)計(jì)524.2.2 FOPI控制器自整定算法研究524.2.3 FOPI控制器自整定算法研究554.3 FOPD以與FOPD控制器自整定問(wèn)題研究574.3.1 FOPD控制器參數(shù)自整定方法574.3.2 FOPD控制器自整定算法研究594.4 自整定策略614.5 幾種受控對(duì)象模型的控制方法與仿真624.5.1 高階模型624.5.2 帶積分的被控對(duì)象644.5.3 帶延時(shí)對(duì)象674.6 本章小結(jié)70第5章分?jǐn)?shù)階PID控制器在多電機(jī)同步追蹤系統(tǒng)中的應(yīng)用715.1 引言715.2 系統(tǒng)分析725.2.1 多軸

30、控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)725.2.2 帶延時(shí)系統(tǒng)的同步性設(shè)計(jì)735.2.3 延時(shí)補(bǔ)償735.2.4 時(shí)間延時(shí)的同步745.3 控制器設(shè)計(jì)方法755.3.1 環(huán)控制器設(shè)計(jì)755.3.2 外環(huán)控制器設(shè)計(jì)方法765.3.3 控制器參數(shù)整定流程795.4 系統(tǒng)仿真795.5 本章小結(jié)83第6章基于LabVIEW 的分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)846.1 引言846.2 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)介紹846.3 系統(tǒng)設(shè)計(jì)866.4 幾種控制器的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證886.4.1 FO-PD控制器實(shí)現(xiàn)886.4.2 FO-PD控制器實(shí)現(xiàn)896.4.3 性能比較研究906.5 本章小結(jié)91結(jié)論與展望93參考文獻(xiàn)95致107附錄A 攻讀博士學(xué)位期間完成的

31、學(xué)術(shù)研究論文108附錄B攻讀學(xué)位期間主持和參與的科研課題109插圖索引圖1.1 Leibniz與LHospital對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的探討1圖 2.1閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖14圖 2.2不具有增益魯棒性的系統(tǒng)Bode圖15圖 2.3具有增益魯棒性控制系統(tǒng)Bode圖15圖 2.4 FOPD控制系統(tǒng)Bode圖18圖 2.5 FOPD控制系統(tǒng)Bode圖19圖 2.6當(dāng)時(shí)，和L的關(guān)系22圖 2.7當(dāng)，和L的關(guān)系22圖 2.8當(dāng)，和L的關(guān)系22圖 2.9當(dāng)，和L的關(guān)系23圖 2.10當(dāng)，和L的關(guān)系23圖 2.11 IOPID系統(tǒng)的Bode圖24圖 2.12 FOPD控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)29圖 2.13 FOPD控制系

32、統(tǒng)階躍響應(yīng)29圖 2.14 IO-PID控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)30圖 2.15 FOPD、FOPD、IOPID三種控制器的比較31圖 2.16 FOPI開環(huán)控制系統(tǒng)Bode圖31圖 2.17 FOPI控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)32圖 2.18 FOPI控制系統(tǒng)Bode圖32圖 2.19 FOPI控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)33圖 2.20 FOPI、FOPI、IOPID 三種控制器階躍響應(yīng)比較33圖 3.1 RC濾波網(wǎng)絡(luò)35圖 3.2 的解42圖 3.3 T=1 時(shí)的Bode圖42圖 3.4 T=1時(shí)FOPD的階躍響應(yīng)43圖 3.5 T=1.2時(shí)的Bode圖43圖 3.6 T=0.8時(shí)的Bode圖44圖 3.7 不同時(shí)間

33、常數(shù)階躍響應(yīng)的比較44圖 3.8 ITAE優(yōu)化后PID控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)45圖 3.9 ，和之間的關(guān)系46圖 3.10 Quanser實(shí)驗(yàn)平臺(tái)47圖 3.11 Quanser系統(tǒng)模塊結(jié)構(gòu)圖47圖 3.12 1號(hào)電機(jī)階躍響應(yīng)曲線48圖 3.13 2號(hào)電機(jī)階躍響應(yīng)曲線49圖 3.14 3號(hào)電機(jī)階躍響應(yīng)曲線49圖 3.15三臺(tái)電機(jī)階躍響應(yīng)曲線比較圖49圖4.1 開關(guān)加人工延時(shí)（）的反饋控制系統(tǒng)框圖61圖4.2 對(duì)于的FOPI系統(tǒng)Bode圖61圖4.3 的FOPI系統(tǒng)Bode圖63圖4.4 對(duì)于在增益變化與負(fù)載擾動(dòng)下FOPI控制器階躍響應(yīng)63圖4.5 對(duì)于在增益變化與負(fù)載擾動(dòng)下FOPI控制器階躍響應(yīng)64

34、圖4.6 對(duì)于利用FOPI和FOPI控制器的階躍響應(yīng)比較圖64圖4.7 對(duì)于的FOPI系統(tǒng)Bode圖65圖4.8 對(duì)于的FOPI系統(tǒng)Bode圖65圖4.9 對(duì)于在增益變化與負(fù)載擾動(dòng)下FOPI控制器階躍響應(yīng)66圖4.10 對(duì)于在增益變化與負(fù)載擾動(dòng)下FOPI控制器階躍響應(yīng)66圖4.11 對(duì)于利用FOPI和FOPI控制器的階躍響應(yīng)比較圖67圖4.12 對(duì)于的FOPI系統(tǒng)Bode圖67圖4.13 對(duì)的FOPI系統(tǒng)Bode圖68圖4.14 對(duì)于在增益變化與負(fù)載擾動(dòng)下FOPI控制器階躍響應(yīng)68圖4.15對(duì)于在增益變化與負(fù)載擾動(dòng)下FOPI控制器階躍響應(yīng)69圖4.16對(duì)于利用FOPI和FOPI控制器的階躍響應(yīng)

35、比較圖69圖5.1 多軸控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖72圖5.2 Smith 延時(shí)預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)73圖5.3信號(hào)擾動(dòng)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)74圖5.4提出的處理延時(shí)結(jié)構(gòu)74圖5.5改進(jìn)后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖75圖5.6 和的關(guān)系78圖5.7 FOPD開環(huán)系統(tǒng)Bode圖79圖5.8 FOPD和IOPID控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)比較80圖5.9 FOPD與IOPID系統(tǒng)同步誤差81圖5.10 FOPD控制系統(tǒng)畫圓效果81圖5.11延時(shí)為系統(tǒng)Bode圖82圖5.12系統(tǒng)同步誤差82圖5.13 FOPD系統(tǒng)畫圓83圖6.1 Labview硬件系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖85圖6.2 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)實(shí)物圖86圖6.3 IO-PID的VI程序87圖6.4 IO-PID基于La

36、bview的前端顯示板87圖6.5 FO-PD控制器VI程序88圖6.6 FOPD基于Labview的前端顯示板89圖6.7 FOPD基于Labview的前端顯示板90圖6.8三種控制器性能比較90圖6.9整數(shù)階PID控制器系統(tǒng)增益改變時(shí)魯棒性驗(yàn)證91圖6.10分?jǐn)?shù)階PD控制器系統(tǒng)增益改變時(shí)魯棒性驗(yàn)證91圖6.11分?jǐn)?shù)階PD控制器系統(tǒng)增益改變時(shí)魯棒性驗(yàn)證.91第1章 緒 論1.1研究背景與研究意義人類對(duì)數(shù)字的認(rèn)識(shí)是從整數(shù)開始，逐漸了解到小數(shù)的客觀存在并發(fā)現(xiàn)其在實(shí)際生活中具有的重要意義；人類對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)是從整體圖形開始，逐漸了解到分形的客觀存在，并不斷挖掘整體和部分存在的聯(lián)系；在微積分領(lǐng)域人們首

37、先了解到整數(shù)階微積分，然后逐漸認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)階微積分的客觀存在。這一切都說(shuō)明人類對(duì)自然界與客觀事物的認(rèn)識(shí)是逐漸形成的。隨著人們對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分認(rèn)識(shí)的不斷加深，越來(lái)越多的人開始認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)階微積分對(duì)近代科學(xué)高速發(fā)展具有的價(jià)值和意義。分?jǐn)?shù)階微積分究其發(fā)展歷史可以說(shuō)是一門古老而又新興的學(xué)科。分?jǐn)?shù)階微積分理論誕生于1695年，在 Leibniz 與 LHospital 的書信來(lái)往中，談?wù)摰搅朔謹(jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，如圖（1.1）。隨后Leibniz給出了分?jǐn)?shù)階微分的簡(jiǎn)單定義， （1.1）圖1.1 Leibniz與LHospital對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的探討1730年L.Euler由整數(shù)階微積分的定義給出了分?jǐn)?shù)階微積分

38、的定義 (1.2)(1.3) (1.4) Euler進(jìn)一步認(rèn)為此種關(guān)系也可使用于階次為非整數(shù)或負(fù)數(shù)的情況。當(dāng)，,時(shí)有 (1.5) 隨著時(shí)間的推移越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家展示出了對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分濃厚的興趣，并在此道路上作出了巨大的貢獻(xiàn)1。然而由于長(zhǎng)期以來(lái)一直找不到充分的應(yīng)用背景，分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展一直停留于純數(shù)學(xué)理論方面的研究。直到上世紀(jì)七十年代，在美國(guó)的New Haven大學(xué)組織了第一屆分?jǐn)?shù)階微積分與其應(yīng)用大會(huì)，這次大會(huì)為分?jǐn)?shù)階微積分的實(shí)際應(yīng)用起到了積極的推動(dòng)作用。越來(lái)越多的學(xué)者開始探尋分?jǐn)?shù)階微積分作為一種數(shù)學(xué)工具可能的工程應(yīng)用價(jià)值。1982年數(shù)學(xué)家B.B.Mandelbrot首次指出大量分?jǐn)?shù)維的現(xiàn)象存

39、在于自然界和許多技術(shù)科學(xué)中，由此分?jǐn)?shù)階微積分作為分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)和有力工具獲得了極大的發(fā)展?？茖W(xué)家們開始意識(shí)到分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在諸多領(lǐng)域的確存在巨大的應(yīng)用價(jià)值，分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用開始在松弛、粘彈性力學(xué)、電磁學(xué)與非牛頓流體力學(xué)、控制系統(tǒng)、振蕩、擴(kuò)散理論、生物組織、高分子材料、混沌與湍流、隨機(jī)游走、電化學(xué)等諸多領(lǐng)域展開探索研究，在這些領(lǐng)域的研究成果證明了分?jǐn)?shù)階微積分的價(jià)值1-9。 特別值得一提的是，最近幾十年分?jǐn)?shù)階微積分在描述各種物理、化學(xué)材料的特性時(shí)展現(xiàn)出來(lái)了巨大的應(yīng)用前景。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)各種各樣的材料和過(guò)程(特別是在描述記憶和遺傳方面)的數(shù)學(xué)描述，較之整數(shù)階模型而言更為精確10。這一優(yōu)勢(shì)在結(jié)構(gòu)力學(xué)，

40、電學(xué)，流體力學(xué)等方面體現(xiàn)得更為明顯。 由于越來(lái)越多的復(fù)雜系統(tǒng)用分?jǐn)?shù)階來(lái)描述會(huì)更為精確和簡(jiǎn)單，最近分?jǐn)?shù)階微積分在控制領(lǐng)域的發(fā)展也開始受到人們的關(guān)注。大量學(xué)者將分?jǐn)?shù)階微積分理論應(yīng)用于控制系統(tǒng)的研究，并不斷取得進(jìn)展11-12。許多學(xué)者認(rèn)為并證明了分?jǐn)?shù)階控制器在控制分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定以與動(dòng)態(tài)性能方面具有整數(shù)階控制器無(wú)可比擬的優(yōu)勢(shì)13。因此隨著分?jǐn)?shù)階微積分從一個(gè)純數(shù)學(xué)問(wèn)題開始演變成一種系統(tǒng)建模的工具，再到推動(dòng)分?jǐn)?shù)階控制理論的發(fā)展，必須承認(rèn)這是分?jǐn)?shù)階微積分理論和控制理論共同良性發(fā)展的一條必然之路，它們之間互相提供了大量的、新的研究方向和發(fā)展空間。盡管分?jǐn)?shù)階微積分是一個(gè)有300多年歷史的課題，但分?jǐn)?shù)階微

41、積分與控制理論的結(jié)合還是個(gè)新興的領(lǐng)域，可以預(yù)見(jiàn)利用分?jǐn)?shù)階微積分將是未來(lái)控制界研究討論的一個(gè)新的熱點(diǎn)。1.2 分?jǐn)?shù)階微積分定義在分?jǐn)?shù)階領(lǐng)域里，分?jǐn)?shù)階算子在時(shí)域中的統(tǒng)一表達(dá)形式為： (1.6)隨著分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展，根據(jù)其應(yīng)用領(lǐng)域的不同至今為止出現(xiàn)了很多關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)學(xué)定義。然而，在控制領(lǐng)域應(yīng)用較多的是三種分?jǐn)?shù)階微積分定義10：Grünwald-Letnikov定義、Riemann-Liouville定義、Caputo定義。 在介紹分?jǐn)?shù)階定義之前，先介紹幾種在分?jǐn)?shù)階微分方程中常用的特殊函數(shù)。1.2.1 Gamma 函數(shù) Gamma函數(shù)定義為： (1.7)其中。Gamma函數(shù)的一個(gè)基

42、本性質(zhì) (1.8)Gamma函數(shù)在z=-n處為單極點(diǎn)。可以表示成， (1.9)1.2.2 Mittag-Leffler 函數(shù) Mittag-Leffler函數(shù)在微分方程中起著非常重要的作用。是帶有一個(gè)參數(shù)的Mittag-Leffler函數(shù)的特殊情況，其在整數(shù)階微分方程中應(yīng)用十分廣泛。單參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)的定義為(1.10)在分?jǐn)?shù)階微分方程中，Mittag-Leffler函數(shù)也扮演著十分重要的角色。兩參數(shù)與廣義Mittag-Leffler函數(shù)為 （1.11）其中。廣義Mittag-Leffler函數(shù)定義為 （1.12）其中。1.2.3 Grünwald-Letniko

43、v定義 對(duì)于任意的，函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)定義如下 （1.13）其中，是兩個(gè)極值。當(dāng)時(shí)，表示的階導(dǎo)數(shù)；當(dāng)時(shí)，表示的次微分。很多時(shí)候分?jǐn)?shù)階后向差分以一種極值的情況出現(xiàn)是很不利于實(shí)際應(yīng)用的。如果滿足，那么有性質(zhì) （1.14）1.2.4 Riemann-Liouville 定義 （1.15）其中，為Gamma函數(shù)。 Riemann-Liouville 的定義需要保證函數(shù)是連續(xù)的，這一點(diǎn)在數(shù)學(xué)上的要比較苛刻的。然而，對(duì)于一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)，特別是工程運(yùn)用的角度來(lái)看，實(shí)際系統(tǒng)函數(shù)的連續(xù)性是完全可以保證的。另外地，Riemann-Liouville 定義在工程中得到廣泛應(yīng)用，還有一個(gè)重要條件就是它要求可積。這在工程實(shí)際應(yīng)

44、用中是一個(gè)較弱的條件。 然而， 有一點(diǎn)是值得我們思考的，Riemann-Liouville 定義需要解決一個(gè)初始值問(wèn)題。雖然這個(gè)問(wèn)題可以在數(shù)學(xué)理論上得到很好的解決，卻缺乏實(shí)際的物理意義。因此，在應(yīng)用方面的發(fā)展受到阻礙。1.2.5 Caputo 定義 上世紀(jì)60年代末，意大利數(shù)學(xué)家M. Caputo指出了分?jǐn)?shù)階微積分在數(shù)學(xué)和物理應(yīng)用上的矛盾，并提出了新的分?jǐn)?shù)階微積分定義 （1.16）其中。從上式可以看到Caputo 定義較之前兩種定義條件強(qiáng)一些，它要求函數(shù)前n階導(dǎo)數(shù)可積。Caputo定義的優(yōu)點(diǎn)在于其初值有明確的物理意義，而Riemann-Liouville的卻沒(méi)有。還有就是Caputo定義對(duì)常數(shù)

45、的導(dǎo)數(shù)是有界的，即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，而Riemann-Liouville定義對(duì)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)卻是無(wú)界的。這些對(duì)于函數(shù)頻域分析與工程應(yīng)用具有非常重要的意義，特別是在控制領(lǐng)域的應(yīng)用。1.3 分?jǐn)?shù)階微積分的Laplace 變換在控制系統(tǒng)中，時(shí)域和頻域往往能找到明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系。Laplace變換在工程上應(yīng)用十分廣泛，對(duì)于某些在時(shí)域分析中比較繁雜的系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行Laplace變換，利用頻域分析往往可以讓分析變得容易。對(duì)于一個(gè)普通函數(shù)的Laplace變換為 (1.17)對(duì)于分?jǐn)?shù)階函數(shù)而言，根據(jù)不同的定義，其Laplace變換存在著差別，下面將介紹兩種常用定義的Laplace變換。1.3.1 Riemann-L

46、iouville定義下的Laplace變換 從Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分定義，可以得到其任意正數(shù)階Laplace變換可以表示為 (1.18)其中。Riemann-Liouville定義的分?jǐn)?shù)階積分的Laplace變換表示為 (1.19)以上便是著名的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分的Laplace變換。但是由于缺乏明確的物理意義，它的應(yīng)用受到了很大的限制。1.3.2 Caputo定義下的Laplace變換Caputo定義下的分?jǐn)?shù)階微分因其在初始條件的導(dǎo)數(shù)為0，具有明確的物理意義，在實(shí)際中應(yīng)用較為廣泛。根據(jù)Caputo定義的分?jǐn)?shù)階微積分的Laplace變換也是在控制

47、領(lǐng)域應(yīng)用得比較頻繁的。 Caputo定義下的分?jǐn)?shù)階積分Laplace變換為 (1.20)其中， (1.21)我們可以得到Caputo分?jǐn)?shù)階微分的Laplace變換為 (1.22)其中。1.4 分?jǐn)?shù)階微積分在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用自上世紀(jì)80年代至今，分?jǐn)?shù)階微積分從數(shù)學(xué)領(lǐng)域的純理論研究逐漸開始跟實(shí)際相結(jié)合發(fā)展到了理學(xué)、工學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等等領(lǐng)域。但是分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展較之整數(shù)階微積分仍然很慢，主要是由于分?jǐn)?shù)階微積分的定義很多，在不同的領(lǐng)域沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)定義。在應(yīng)用方面，分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用往往需要大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論作為基礎(chǔ)，并且在很長(zhǎng)時(shí)間里面無(wú)法找到分?jǐn)?shù)階微積分實(shí)際的物理意義。因此，分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用很大

48、程度上處于探索階段。但是近年來(lái)對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的討論越來(lái)越劇烈，隨著人們對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的接受和認(rèn)識(shí)，開始逐漸承認(rèn)一個(gè)事實(shí)，整數(shù)階系統(tǒng)是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的一個(gè)特例。那么從這種從屬關(guān)系可以設(shè)想，整數(shù)階微積分能夠描述的系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階微積分肯定能夠描述，但是分?jǐn)?shù)階微積分描述的系統(tǒng)特性用整數(shù)階微積分來(lái)描述將會(huì)變得特別復(fù)雜或者根本無(wú)法得到準(zhǔn)確的整數(shù)階系統(tǒng)模型。 有大量的文獻(xiàn)指出，分?jǐn)?shù)階微積分在控制領(lǐng)域擁有巨大的利用價(jià)值,并列舉了許多工業(yè)應(yīng)用實(shí)例14-18。Igor Podlubny在關(guān)于分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)19一文中指出，對(duì)分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象而言，用分?jǐn)?shù)階PID的控制效果優(yōu)于用整數(shù)階PID的效果。YangQuan Che

49、n20, Blas Vinagre21 等人也紛紛指出分?jǐn)?shù)階控制器具有傳統(tǒng)整數(shù)階控制器無(wú)法比擬的優(yōu)點(diǎn)?？偨Y(jié)起來(lái)，分?jǐn)?shù)階控制器較之傳統(tǒng)控制器具有以下明顯特點(diǎn)：（1）對(duì)于分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象，利用分?jǐn)?shù)階控制器控制性能優(yōu)于傳統(tǒng)的整數(shù)階控制器；（2）分?jǐn)?shù)階控制器對(duì)被控對(duì)象參數(shù)的變化具有較強(qiáng)的魯棒性；（3）當(dāng)用整數(shù)階微積分對(duì)某些系統(tǒng)建模比較復(fù)雜時(shí)，分?jǐn)?shù)階微積分往往能更好的描繪系統(tǒng)的特性，且系統(tǒng)傳遞函數(shù)更為簡(jiǎn)單。1.4.1分?jǐn)?shù)階控制器研究現(xiàn)狀國(guó)外在近二十年開展了關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分理論應(yīng)用于控制系統(tǒng)中的研究工作，而在國(guó)尚未引起足夠的重視，這方面的研究也才剛剛起步。 文獻(xiàn)22中，Manabe 介紹了非整數(shù)階的頻率響應(yīng)

50、以與在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用。繼而Oustlop 深入研究了分?jǐn)?shù)階算法在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用，提出了CRONE（Commande Robuste dOrdre Non Entier的縮寫）控制器，并說(shuō)明了CRONE控制器在很多方面都優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制器23-25。Igor Podlubny從理論上提出了一個(gè)廣義的分?jǐn)?shù)階PID控制器的結(jié)構(gòu)與傳遞函數(shù)，被稱為控制器19，其中積分器和微分器的階次均為實(shí)數(shù)。隨著對(duì)分?jǐn)?shù)階控制器研究的深入，分?jǐn)?shù)階控制成為了控制理論發(fā)展的一個(gè)延伸方向。由于分?jǐn)?shù)階控制器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，一些學(xué)者開始對(duì)分?jǐn)?shù)階控制器的整定問(wèn)題進(jìn)行研究，并發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階控制器較之整數(shù)階控制器更為靈活且更容易實(shí)現(xiàn)控制

51、系統(tǒng)性能要求。從一些文獻(xiàn)中可以看到，隨著對(duì)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的研究不斷深入，分?jǐn)?shù)階理論的應(yīng)用也在不斷地發(fā)展。其中，Y. Q. Chen等人對(duì)分?jǐn)?shù)階魯棒控制進(jìn)行了深入的研究，利用Lyapunov不等式對(duì)分?jǐn)?shù)階魯棒穩(wěn)定區(qū)間問(wèn)題進(jìn)行了探討26。文獻(xiàn)27-29對(duì)線性時(shí)變的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的可控性問(wèn)題進(jìn)行了討論；在文獻(xiàn)30-43中，根據(jù)分?jǐn)?shù)階PID控制器結(jié)構(gòu)特點(diǎn)提出了一系列基于系統(tǒng)魯棒性的分?jǐn)?shù)階PID控制器整定算法，以與仿真實(shí)驗(yàn)方法；文獻(xiàn)44介紹了一種基于ISE準(zhǔn)則的分?jǐn)?shù)階PID控制器優(yōu)化方法。至今為止，分?jǐn)?shù)階PID控制器是分?jǐn)?shù)階控制器家族中發(fā)展最快的，但同樣也有越來(lái)越多的學(xué)者對(duì)基于分?jǐn)?shù)階微積分的其他控制手段進(jìn)行

52、研究。其中文獻(xiàn)45、46，分別介紹了和控制器在單輸入單輸出系統(tǒng)中的應(yīng)用問(wèn)題；47提出了分?jǐn)?shù)階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的時(shí)間優(yōu)化控制方法；文獻(xiàn)48提出了一種基于分?jǐn)?shù)階迭代學(xué)習(xí)控制；49中提出了基于分?jǐn)?shù)階的周期自適應(yīng)控制算法。由于分?jǐn)?shù)階控制器在計(jì)算機(jī)中的實(shí)現(xiàn)手段主要還是借用整數(shù)階逼近的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)，因此很多學(xué)者對(duì)這種近似方法進(jìn)行了分析，Blas M.Vinagre等人利用“Tustin”方法對(duì)分?jǐn)?shù)階微分與積分算子進(jìn)行離散研究50；Igor Podlubny 在文獻(xiàn)51中專門對(duì)分?jǐn)?shù)階控制器在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行了討論；YangQuan Chen 等人利用脈沖響應(yīng)不變?cè)淼玫搅朔謹(jǐn)?shù)階算子的高階近似方法52、53。隨著

53、對(duì)分?jǐn)?shù)階在控制領(lǐng)域的研究加深，越來(lái)越多的人意識(shí)到分?jǐn)?shù)階控制器的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，在文獻(xiàn)54、55中，研究了分?jǐn)?shù)階微積分在變延時(shí)系統(tǒng)中的應(yīng)用問(wèn)題；文章56、57，分析了分?jǐn)?shù)階控制方法在逆變裝置中的應(yīng)用；在文獻(xiàn)58-61中介紹了分?jǐn)?shù)階控制器在熱能系統(tǒng)中的控制方法；文獻(xiàn)62-64將分?jǐn)?shù)階控制器控制具有延時(shí)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，得到比較好的控制效果；分?jǐn)?shù)階PID控制器在用于無(wú)人駕駛分機(jī)的控制時(shí)得到了比整數(shù)解PID控制器更好的研究結(jié)論65、66；I.Petras 開發(fā)了一種基于分?jǐn)?shù)階的模擬控制器，并研究了其整定以與實(shí)現(xiàn)方法67。 近年來(lái)國(guó)一些學(xué)者也開始對(duì)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)進(jìn)行研究，其中薛定宇等人提出了分?jǐn)?shù)階PID控制器的

54、設(shè)計(jì)方法68，并且對(duì)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)在Matlab中的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題展開了深入研究；文獻(xiàn)70-72對(duì)分?jǐn)?shù)階PID控制器的整定問(wèn)題進(jìn)行了研究，并提出了一些有意義的整定方法；文獻(xiàn)73、74開展了分?jǐn)?shù)階控制器應(yīng)用于燃料電池溫度仿真控制方面的探索研究研究。1.4.2 分?jǐn)?shù)階PID控制器概述根據(jù)1989年日本一個(gè)電氣協(xié)會(huì)的調(diào)查統(tǒng)計(jì)，全球90%的控制系統(tǒng)是使用PID控制器。另外根據(jù)加拿大一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)97%的造紙廠控制設(shè)備使用的是PI控制器。這一數(shù)據(jù)證明了PID控制器的實(shí)用性。然而隨著時(shí)間的推移，人們對(duì)控制器性能的要求已經(jīng)越來(lái)越高，很多時(shí)候會(huì)要求系統(tǒng)的控制速度更快，控制精度更高，系統(tǒng)魯棒性更強(qiáng)等等。自廣義分?jǐn)?shù)階PI

55、D控制器被提出之后，開辟了PID控制器一個(gè)新的研究領(lǐng)域。廣義PID控制器的階次更為靈活，其積分和微分部分的階次為實(shí)數(shù)，并且認(rèn)為傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器是分?jǐn)?shù)階控制器的一種特例。分?jǐn)?shù)階PID的傳遞函數(shù)可以表示為 （1.23） （1.24）式（1.23） 為控制器在頻域中的傳遞函數(shù)，（1.24）為時(shí)域中的傳遞函數(shù)。從式子中可以看到，當(dāng)時(shí)，分?jǐn)?shù)階控制器就變成了傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器。因此可以得出傳統(tǒng)的PID控制器是分?jǐn)?shù)階控制器的一種特殊形式的結(jié)論。整數(shù)階PID控制器是現(xiàn)今為止在工業(yè)控制領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛的控制器。其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，魯棒性強(qiáng)得到了大量學(xué)者的認(rèn)可。眾所周知，傳統(tǒng)的PID控制系統(tǒng)中三個(gè)參數(shù)分別有著對(duì)系統(tǒng)不同的調(diào)節(jié)作用。由于分?jǐn)?shù)階控制器兩個(gè)可調(diào)參數(shù)增加了控制器調(diào)整的自由度，因此控制器可以對(duì)系統(tǒng)的相位實(shí)現(xiàn)更為靈活、連續(xù)的調(diào)整。雖然在參數(shù)整定方面，多個(gè)參數(shù)的整定會(huì)提高算法的復(fù)雜程度，但是對(duì)提高系統(tǒng)靈活性、魯棒性以與總體控制性能等都將起到積極的作用。圖1.2 整數(shù)階PID與分?jǐn)?shù)階PID取值特點(diǎn)1.4.3 分?jǐn)?shù)階PID控制器的整定方法概述從Dorcak提出分?jǐn)?shù)階控制器以來(lái)，就不斷有人提出新的分?jǐn)?shù)階PID控制