BS期權(quán)定價(jià)公式

1、Black-Scholes一、期權(quán)定價(jià)模型的假設(shè)條件期權(quán)定價(jià)模型的七個(gè)假設(shè)條件如下：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（期權(quán)定價(jià)模型中為股票），當(dāng)前時(shí)刻市場(chǎng)價(jià)格為。遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即dSdz。S其中，dz為均值為零，方差為dt的無窮小的隨機(jī)變化值（dz-dt，稱為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值），為股票價(jià)格在單位時(shí)間內(nèi)的期望收益率，則是股票價(jià)格的波動(dòng)率，即證券收益率在單位時(shí)間內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)差。和都是已知的。簡(jiǎn)單地分析幾何布朗運(yùn)動(dòng)，意味著股票價(jià)格在短時(shí)期內(nèi)的變動(dòng)（即收益）來源于兩個(gè)方面：一是單位時(shí)間內(nèi)已知的一個(gè)收益率變化，被稱為漂移項(xiàng)，可以被看成一個(gè)總體的變化趨勢(shì)；二是隨

2、機(jī)波動(dòng)項(xiàng)，艮dz，可以看作隨機(jī)波動(dòng)使得股票價(jià)格變動(dòng)偏離總體趨勢(shì)的部分。2沒有交易費(fèi)用和稅收，不考慮保證金問題，即不存在影響收益的任何外部因素。3. 資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)是連續(xù)而均勻的，不存在突然的跳躍。4. 該標(biāo)的資產(chǎn)可以被自由地買賣，即允許賣空，且所有證券都是完全可分的。在期權(quán)有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率r保持不變，投資者可以此利率無限制地進(jìn)行借貸。6在衍生品有效期間，股票不支付股利。7所有無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)均被消除。二、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型(一) 期權(quán)定價(jià)公式得到了如下適用于無收益資產(chǎn)在上述假設(shè)條件的基礎(chǔ)上，和歐式看漲期權(quán)的微分方程：2#其中為期權(quán)價(jià)格，其他參數(shù)符號(hào)的意義同前。通過這個(gè)微分

3、方程，和得到了如下適用于無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式：cSN(d)Xe(T)N(d)12其中，ln(S/X)(r2/2)(Tt)Titln(S/X)l(r2/2)(Tit)為無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格；()為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)(即這個(gè)變量小于的概率)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有N()1N(x)。(二) 期權(quán)定價(jià)公式的理解SN(d)可看作證券或無價(jià)值看漲期權(quán)的多頭；Ke!(t)N(d)可看作12份現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)的多頭?？梢宰C明，/N(d)。為構(gòu)造一份歐式看漲期權(quán)，需持有N(d)份證券11多頭，以及賣空數(shù)量為KeTN(d)的現(xiàn)金。2期權(quán)定價(jià)公式用于不支付股利的歐式看

4、漲期權(quán)的定價(jià)。注意：該公式只在一定的假設(shè)條件下成立，如市場(chǎng)完美(無稅、無交易成本、資產(chǎn)無限可分、允許賣空)、無風(fēng)險(xiǎn)利率保持不變、股價(jià)遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)2.風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理：我們可以注意到期權(quán)價(jià)格是與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率無關(guān)的。與、O以及有關(guān)，而與股票的期望收益率"無關(guān)。這說明歐式的價(jià)格與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)。在對(duì)歐式定價(jià)時(shí)，可假設(shè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的（對(duì)所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)不要求額外回報(bào)，所有證券的期望收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率）。為了更好地理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們可以舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來說明。假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是

5、9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于3個(gè)月后股票的市價(jià)。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元，則該期權(quán)價(jià)值為0.元5；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元，則該期權(quán)價(jià)值為0。為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元時(shí)，該組合價(jià)值等于（）元；若個(gè)月后該股票價(jià)格等于元時(shí)，該組合價(jià)值等于元。為了使該組合價(jià)值處于無風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)闹?，使個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著：,我們解得：因此，一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.2股5標(biāo)的股票。無論3個(gè)

6、月后股票價(jià)格等于元還是元，該組合價(jià)值都將等于元。在沒有套利機(jī)會(huì)情況下，無風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為：2.25e-o.i-D.252.19元由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.2單5位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)為元，因此：100.25f2.19f0.31元這就是說，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為，.3元1，否則就會(huì)存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。4五、期權(quán)定價(jià)公式的應(yīng)用期權(quán)定價(jià)公式的計(jì)算：一個(gè)例子為了使讀者進(jìn)一步理解期權(quán)定價(jià)模型，我們下面用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，來說明這一模型的計(jì)算過程。假設(shè)某種不支付紅利股票的市價(jià)為50元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為12，%該股票的年波動(dòng)率為10，%求該股

7、票協(xié)議價(jià)格為50元、期限1年的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)價(jià)格。在本題中，可以將相關(guān)參數(shù)表達(dá)如下：=0=,s算出d和d:12ln(50/50)(0.120.01/2)d1.2510.11ddOg'11.1521計(jì)算N和N12NN.25.0.8944Nn150.87492將上述結(jié)果及已知條件代入公式，這樣，歐式看漲期權(quán)價(jià)格為：c50矽.894450矽.8749e“皿5.92美元由PCKe-r(t-t)SKer(t)N()SN()可以算出歐式看跌期權(quán)價(jià)21格:p50Ifco.8749iUe50Vbo.8944o.27美元四、影響歐式看漲期權(quán)價(jià)格的因素從公式我們可以簡(jiǎn)單得出以下的結(jié)論：當(dāng)期股價(jià)越高

8、，期權(quán)價(jià)格越高；到期執(zhí)行價(jià)格越高，期權(quán)價(jià)格越低；距離到期日時(shí)間越長(zhǎng)，期權(quán)價(jià)格越高；股價(jià)波動(dòng)率s越大，期權(quán)價(jià)格越高；無風(fēng)險(xiǎn)利率越高，期權(quán)價(jià)格越高。期權(quán)定價(jià)公式除了可以用來估計(jì)期權(quán)價(jià)格，在其它一些方面也有重要的應(yīng)用。主要有以下三方面：（一）對(duì)公司負(fù)債及資本進(jìn)行估值：一家公司發(fā)行兩種證券：普通股萬股及年后到期的總面值萬元的零息債券。已知公司總市值為億元，問：公司股票及債券如何定價(jià)？令為當(dāng)前公司資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)值，為公司資本市場(chǎng)價(jià)值，為公司債券市場(chǎng)價(jià)值?？紤]股東年之后的收益：當(dāng)公司價(jià)值大于債券面值時(shí)，收益為0當(dāng)公司價(jià)值小于債券面值時(shí)，收益為。股東相當(dāng)于持有一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為萬元的歐式標(biāo)的資產(chǎn)為公司價(jià)值當(dāng)前資本價(jià)

9、值為：EVN（d）BetN（d）12給出其它具體數(shù)值，公司價(jià)值的波動(dòng)率為無風(fēng)險(xiǎn)利率為根據(jù)公司得到萬元，公司負(fù)債價(jià)值萬元。（二）確定貸款擔(dān)保價(jià)值或擔(dān)保費(fèi)用假設(shè)某銀行為公司發(fā)行的債券提供了信用擔(dān)保。年之后，若公司價(jià)值大于債券面值時(shí)，銀行無須支付;若公司價(jià)值小于債券面值時(shí)銀行須支付-B這相當(dāng)于銀行出售了一個(gè)歐式標(biāo)的資產(chǎn)仍為公司價(jià)值，執(zhí)行價(jià)格為債券面值。利用上面的例子，可采用看跌期權(quán)定價(jià)公式或看漲看跌期權(quán)平價(jià)公式，得到歐式的價(jià)值為萬元，公司應(yīng)支付萬元的擔(dān)保費(fèi)。（三）帶有可轉(zhuǎn)化特征的融資工具的定價(jià)認(rèn)股權(quán)證指賦予投資者在某一時(shí)期以約定價(jià)格向發(fā)行人購(gòu)買公司新股的權(quán)利。假設(shè)公司有股流通股，份流通歐式認(rèn)股權(quán)證，

10、一份認(rèn)股權(quán)證使持有人在時(shí)刻以每股的價(jià)格購(gòu)買股新股的權(quán)利。設(shè)時(shí)期公司權(quán)益價(jià)值為，若持有人選擇執(zhí)行認(rèn)股權(quán)，公司權(quán)益價(jià)值變?yōu)?，股票?shù)量變?yōu)?。?zhí)行認(rèn)股權(quán)證后瞬間，股價(jià)變?yōu)?()當(dāng)(2)當(dāng)亠CNMxM只有當(dāng)這一股價(jià)大于執(zhí)行價(jià)格時(shí)，持有人才會(huì)執(zhí)行認(rèn)股權(quán)。時(shí)，持有人執(zhí)行其收益為藹詩時(shí)，持有人不執(zhí)行，其收益為。一份認(rèn)股權(quán)證的價(jià)值為其中是基于公司股票價(jià)格的歐式，執(zhí)行價(jià)格為。利用公式得一份認(rèn)股權(quán)證的價(jià)值。六、期權(quán)定價(jià)公式的不足B-S公式當(dāng)然也有其不足之處,首先Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式估計(jì)的期權(quán)價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格存在差異，主要的原因有以下幾點(diǎn)：1）Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式是建立在眾多假定的基礎(chǔ)上的，而我們現(xiàn)實(shí)的市場(chǎng)是不滿足它的很多假設(shè)條件的，因此，利用B-S公式計(jì)算出來的期權(quán)價(jià)格與真實(shí)的市場(chǎng)價(jià)格之間肯定會(huì)存在差異的；2）參數(shù)的錯(cuò)誤：B-S公式中的參數(shù)實(shí)際上是需要我們自己估算的，我們只能根據(jù)歷史數(shù)據(jù)來估算參數(shù)，這之間就存在一個(gè)誤差；3）期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格偏離均衡，此時(shí)的期權(quán)價(jià)格的估算顯然沒有其實(shí)際意義。其次，對(duì)于無收益資產(chǎn)的期權(quán)而言,B-S模型適合歐式看跌期權(quán)和看漲期權(quán)。同時(shí)可以適用于美式看漲期權(quán)，因?yàn)樵跓o收益情