電磁學9(5.22)

1、Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University PhysicsZhongfeng XuXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics磁場的高斯定理磁場的高斯定理0dSmSB磁場是無源場（渦旋場）磁場是無源場（渦旋場）安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理 inside0diLIlB有旋場有旋場(1) 積分回路方向與電流方向呈右螺旋關系積分回路方向與電流方向呈右螺旋關系滿足右螺旋關系時滿足右螺旋關系時 0iI反之反之 0iI(2) 磁場是有旋場磁場是有旋場LlBd 不代表

2、磁場力的功，僅是磁場與電流的關系不代表磁場力的功，僅是磁場與電流的關系 電流是磁場渦旋的軸心電流是磁場渦旋的軸心 (3) 安培環(huán)路定理只適用于閉合的載流導線，對于任意設想安培環(huán)路定理只適用于閉合的載流導線，對于任意設想的一段載流導線不成立的一段載流導線不成立討論討論Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University PhysicsaILLlBdLlaIdcoscos4210如圖載流直導線如圖載流直導線, 設設 4/2112aaI222240220II0例例則則L的環(huán)流為的環(huán)流為:二二. 安培環(huán)路定理的應用安培環(huán)路定理的應用基本思路：基本

3、思路： 若電流分布具有某些對稱性，則可用安培環(huán)路若電流分布具有某些對稱性，則可用安培環(huán)路定理求電流產生的磁場。定理求電流產生的磁場。 iLIlB0dLIBi0Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics例例: 求無限長圓柱面電流的磁場分布。求無限長圓柱面電流的磁場分布。 rPL解解系統(tǒng)具有軸對稱性，圓周上各點的系統(tǒng)具有軸對稱性，圓周上各點的 B 相相同同, P 點的磁感應強度沿圓周的切線方向點的磁感應強度沿圓周的切線方向 RIPIddIBddBRr When LlBdcosLlB drB 2I0rIB20Rr Wh

4、en LlBdcosrB 200B 無限長圓柱形載流直導線無限長圓柱形載流直導線Rr rIB20Rr rB 220rj202 RIrB2/ RIj Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University PhysicsoIN例例求螺繞環(huán)電流的磁場分布及通過螺繞環(huán)斷求螺繞環(huán)電流的磁場分布及通過螺繞環(huán)斷面的磁通量面的磁通量解解h1R2RSrdLlBdcosLlB drB2NI0rNIB2/0 若螺繞環(huán)的截面很小，若螺繞環(huán)的截面很小，rr IrNBin20nI0r 0iI0B螺繞環(huán)內的磁通量螺繞環(huán)內的磁通量SmSBdrhrNIRRd2210120

5、ln2RRhNI 若在外部再做一個環(huán)路，可得若在外部再做一個環(huán)路，可得 在螺繞環(huán)內部做一個環(huán)路，可得在螺繞環(huán)內部做一個環(huán)路，可得內部為均勻磁場內部為均勻磁場螺繞環(huán)與無限長螺線管一樣，磁場全部集中在管內部。螺繞環(huán)與無限長螺線管一樣，磁場全部集中在管內部。 Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics例例 求無限大平面電流的磁場求無限大平面電流的磁場解解iBBPabcddacdbcablBlBlBlBlBdd ddddcbalBlBddabB2iab02/0iB面對稱面對稱 推廣推廣：有厚度的無限大平面電流問題有厚度的

6、無限大平面電流問題 jd2/0jdBjxB0 在外部在外部 在內部在內部 xXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics例例 證明在沒有電流的空間區(qū)域里，如果磁場線是一些同方向證明在沒有電流的空間區(qū)域里，如果磁場線是一些同方向的平行直線，則磁場一定是均勻的。的平行直線，則磁場一定是均勻的。 abcd1B2B解解 由安培環(huán)路定理可知由安培環(huán)路定理可知LBBlBL)(d21iI0021BB 分析電流系分析電流系統(tǒng)的對稱性統(tǒng)的對稱性取合適的取合適的安培環(huán)路安培環(huán)路應用安培應用安培環(huán)路定理環(huán)路定理（有向閉合回路）（有向閉合

7、回路）（使（使 B 提出積分號）提出積分號）（適用于閉合電流）（適用于閉合電流）小結小結Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics9.5 磁場對載流導線的作用磁場對載流導線的作用載流導體產生磁場載流導體產生磁場磁場對電流有作用磁場對電流有作用一一. 安培力安培力大小大?。悍较蚍较颍簊inddlBIF 由右手螺旋法則確定由右手螺旋法則確定 任意形狀載流導線在外磁場中受到的安培力任意形狀載流導線在外磁場中受到的安培力BlIFFdd(1) zyxFFFFd,d,dd(2) 若磁場為勻強場若磁場為勻強場 BlIFd在勻強

8、磁場中的閉合電流受力在勻強磁場中的閉合電流受力BlIFd0BlIF dd討論：討論： 磁場對電流磁場對電流(元元)有作用有作用各電流元所在處的各電流元所在處的 “當?shù)禺數(shù)?B”Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University PhysicsxyOAILB此段載流導線受的磁力。此段載流導線受的磁力。在電流上任取電流元在電流上任取電流元lIdlIBBlIFdddlIdFdsinddlIBFxyIBdxIBlIBFydcosdd0d00yIBFxIBLxIBFLy0d例例 在均勻磁場中放置一任意形狀的導線，電流強度為在均勻磁場中放置一任意形

9、狀的導線，電流強度為I求求解解相當于載流直導線相當于載流直導線F 在勻強磁場中受的力，方向沿在勻強磁場中受的力，方向沿 y 向。向。OABlIFFddBlIdBIOAXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics例例 求兩平行無限長直導線之間的相互作用求兩平行無限長直導線之間的相互作用a2I1I1B12f解：解：aIB2101電流電流 2 處于電流處于電流 1 的磁場中的磁場中1212BIfaIIBIf2210212121faII2210電流電流 2 中單位長度上受的安培力中單位長度上受的安培力同理，電流同理，電流

10、1 中單位長度上受的安培力中單位長度上受的安培力 同向電流間的安培力為引力同向電流間的安培力為引力 反向電流間的安培力為斥力反向電流間的安培力為斥力 定義：定義：設在真空中，兩根通有同值電流的無限長平行直導線，若設在真空中，兩根通有同值電流的無限長平行直導線，若導線相距導線相距 1 米米，單位長度受力，單位長度受力 ，則導線中電流，則導線中電流為為1 安培安培。N7102Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics(1) 兩通電直導線間相互作用的安兩通電直導線間相互作用的安培力滿足牛頓第三定律。培力滿足牛頓第三定律

11、。1221ff(2) 兩電流元之間的相互作用力兩電流元之間的相互作用力22dlI11dlI12r312121101d4drrlIB討論討論21f12f312121122012212dd4dddrrlIlIBlIf同理同理321212211021121dd4dddrrlIlIBlIf 兩電流元之間的相互作用力，一般不遵守牛頓第三定律。兩電流元之間的相互作用力，一般不遵守牛頓第三定律。Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics例例 圓電流在均勻磁場中的內部張力。圓電流在均勻磁場中的內部張力。B解：解： R 方法一方法

12、一: :取電流元取電流元lIIfTT整個閉合線圈在均勻磁場中受力為零整個閉合線圈在均勻磁場中受力為零 2sin2sinTTflIBf IBRTT IBRT2sin222 TIRBT 方法二方法二BITTFTF2RIB 2RXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics例：例：求一載流導線框在非均勻磁場中的受力和運動趨勢求一載流導線框在非均勻磁場中的受力和運動趨勢解：解：1Iabd2I1234xo121bBIf dIbI2102323bBIf )2102daIbIx 軸負向軸負向x 軸正向軸正向aalBIf21222s

13、ind132xIxIaad22210向上向上24ff 整個線圈所受的合力：整個線圈所受的合力：4321ffffF線圈向左運動。線圈向左運動。4)2210dadIabIXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics例：例： 在勻強磁場中，平行于磁場線插入一無限大載流平面板，在勻強磁場中，平行于磁場線插入一無限大載流平面板，求載流平面上單位面積所受的磁場力？求載流平面上單位面積所受的磁場力？放入后平面兩側的磁感應強度分別為放入后平面兩側的磁感應強度分別為1B2B和和如圖所示。如圖所示。1B2B解：解： j2/0jBBB右

14、左 載流大板所產生的磁場載流大板所產生的磁場 磁場疊加原理磁場疊加原理01BBB02BBB2/210BBB2/12BBB012BBj 在載流平面上取一面元在載流平面上取一面元 dSjdjddSjyxj取如圖的坐標系取如圖的坐標系xzyBlIf ddijdijdd00BSjByxjkd0SBjkdd0jBSffk212012BBBB磁壓強磁壓強(也適用于也適用于任意有限的曲面任意有限的曲面)k202122BB Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University PhysicsCDFABF二二. 磁場對載流線圈的作用磁場對載流線圈的作用B1

15、l2lDAFBCFDCBAIsin1BIlFFBCDA2BIlFFABCD0iF 線圈所受的力矩線圈所受的力矩sin2sin211lFlFMCDABsin21BIl ln 形成一對力偶形成一對力偶B+ +nA(B)D(C)（均勻磁場中的剛性矩形載流線圈）（均勻磁場中的剛性矩形載流線圈）大小相等，大小相等，方向相反方向相反nl lnSS21BpMmnISpmXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics0iFBpMm1l2lbacdBI 結論結論：在勻強磁場中，平面線圈所受的安培力為零，僅受磁力在勻強磁場中，平面線圈所

16、受的安培力為零，僅受磁力矩的作用矩的作用 只發(fā)生轉動，不會發(fā)生平動。只發(fā)生轉動，不會發(fā)生平動。討論：討論： 線圈所受的力矩線圈所受的力矩 運動趨勢運動趨勢00Mmax2MM 0M穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡非穩(wěn)定平衡非穩(wěn)定平衡力矩最大力矩最大 一般在非均勻磁場中，一般在非均勻磁場中， 載流載流系統(tǒng)有平動和轉動。系統(tǒng)有平動和轉動。分析兩載分析兩載流線圈的流線圈的運動趨勢運動趨勢 磁力矩總是力圖使線圈的磁矩轉到和外磁場一致的方向上。磁力矩總是力圖使線圈的磁矩轉到和外磁場一致的方向上。 適用于任意形狀的平面載流線圈適用于任意形狀的平面載流線圈Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong Univers

17、ity, 2012University Physics例例 在均勻磁場中，有一總電量為在均勻磁場中，有一總電量為Q 的均勻帶電圓盤，盤面與磁的均勻帶電圓盤，盤面與磁感應強度之間的夾角為感應強度之間的夾角為 , 半徑為半徑為R, 當圓盤以當圓盤以w w 旋轉時，求旋轉時，求圓盤在磁場中所受的磁力矩圓盤在磁場中所受的磁力矩.Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics例例 在均勻磁場中，有一總電量為在均勻磁場中，有一總電量為Q 的均勻帶電圓盤，盤面與磁的均勻帶電圓盤，盤面與磁感應強度之間的夾角為感應強度之間的夾角為 ,

18、 半徑為半徑為R, 當圓盤以當圓盤以w w 旋轉時，求旋轉時，求圓盤在磁場中所受的磁力矩圓盤在磁場中所受的磁力矩.mpRBw解解 帶電圓盤旋轉帶電圓盤旋轉 取一帶電圓環(huán)取一帶電圓環(huán)形成電流形成電流rrqd2dTrrId2d圓電流圓電流2d2rrwBpMmdISddISpmrr d3wRmmrrpp03ddw441RwcosBpMm241QRwQwcos412BQRM rrdwXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University Physics三三. 磁力的功磁力的功1. 安培力對運動載流導線的功安培力對運動載流導線的功BIlFa ab bIBlF 方向向右方向向右 在有限過程中，磁力所作的功在有限過程中，磁力所作的功ddddbabababaISIBxIBllFASIBmI 安培力所做的功等于電流強度乘以導線所掃過的磁通量安培力所做的功等于電流強度乘以導線所掃過的磁通量2. 磁力矩對轉動載流線圈的功磁力矩對轉動載流線圈的功BpMmBIdn 在一元過程中，磁力矩所作的功在一元過程中，磁力矩所作的功sinISBM Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2012University PhysicsdsindB