經濟數學 微積分 極限存在準則 重要極限 連續(xù)復利

1、一、夾逼準則一、夾逼準則二、單調有界收斂準則二、單調有界收斂準則四、小結四、小結 思考題思考題極限存在準則極限存在準則兩個重要極限兩個重要極限第五節(jié)第五節(jié)三、連續(xù)復利三、連續(xù)復利連續(xù)復利連續(xù)復利一、夾逼準則準則準則 如果數列如果數列nnyx ,及及 nz滿足下列條件滿足下列條件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末數列那末數列nx的極限存在的極限存在, , 且且axnn lim. . 證證,azaynn使使得得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn時恒有時恒有當當,max21NNN 取取恒恒有有時時當當,Nn , ayan即即,2

2、 azNnn時時恒恒有有當當, azan上兩式同時成立上兩式同時成立, azxyannn,成成立立即即 axn.limaxnn 上述數列極限存在的準則可以推廣到函數的極限上述數列極限存在的準則可以推廣到函數的極限準則準則 如果當如果當),(00 xUx ( (或或Mx ) )時時, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意: :.,的的極極限限是是容容易易求求的的與與并并且且與與鍵鍵是是構構造造出出利利用用夾夾逼逼準準則則求求極極限限關關nnn

3、nzyzy準則準則 I和和準則準則 I稱為稱為夾逼準則夾逼準則.AC作為準則作為準則 的應用，下面證明一個重要的極限的應用，下面證明一個重要的極限1sinlim0 xxx,O設設單單位位圓圓如如右右圖圖，,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得作單位圓的切線,xOAB的圓心角為扇形,BDOAB的高為 (0)2AOBxx 圓圓心心角角,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對于上式對于 x,20時時當當 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx,

4、1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例1 解解 0tanlim.xxx求求00tansin1limlimcosxxxxxxx 00sin1limlim1cosxxxxx例例2 2.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 例例 3解解0arcsinlim.xxx求求arcsintx 令令，sinxt 于于是是，0,0.xt在在有有由復合函數的極限運算法則得由復合函數的極限運算法則得 00arcsinlimlim1sinxtxtxt

5、例例 4sinlim.xxx 求求解解,tx 令令則則sinlimxxx 0sinlimttt 0sinlimttt 1 例例5 5).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 nxnx滿滿足足條條件件如如果果數數列列nx,121 nnxxxx單調增加單調增加,121 nnxxxx單調減少單調減少單調數列單調數列準準則則 單單調調有有界界數數列列必必有有極極限限.幾何解釋幾何解釋:A

6、M二、單調有界收斂準則exxx )11(lim定義定義ennn )11(limnnnx)11( 設設 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 作為準則作為準則的應用，可以證明一個重要的極限的應用，可以證明一個重要的極限).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯顯然然 ;是是單單調調遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存存在在nnx e

7、nnn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地類似地,因因此此的的極極限限都都存存在在且且等等于于時時，函函數數或或取取實實數數而而趨趨向向可可以以證證明明，當當,)11(exxx .)11(limexxx ezzxxzzz 10)1(lim,01于于是是有有時時，則則當當利利用用代代換換例例6 6.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原原式式.1e 例例7 7.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 例例8 8解解.)1ln(lim0 xxx 求求. 1ln)1(limln)1ln(l

8、im)1ln(lim10100 exxxxxxxxx例例9 9解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有時時則則當當uuu)1ln(1lim0 . 1 .)(333的的極極限限存存在在式式重重根根證證明明數數列列nxn 例例1010證證,1nnxx 顯顯然然 ;是單調遞增的是單調遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是是有有界界的的nx.lim存存在在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA

9、解解得得(舍去舍去).2131lim nnx則則，年利率為，年利率為稱為本金稱為本金設一筆貸款設一筆貸款,)(0rA三、連續(xù)復利)1(01rAA 一一年年后后本本利利和和2012)1()1(rArAA 兩年后本利和兩年后本利和kkrAAk)1(0 年后本利和年后本利和，則則，年年利利率率仍仍為為期期計計息息如如果果一一年年分分rn，于是一年后的本利和，于是一年后的本利和每期利率為每期利率為nrnnrAA)1(01 nkknrAAk)1(0 年年后后本本利利和和年年后后的的本本利利和和，則則稱稱為為連連續(xù)續(xù)復復利利復復利利，即即每每時時每每刻刻計計算算如如果果計計息息期期數數kn)( rkrkr

10、nnnknkeArnAnrAA00011lim)1(lim 四、小結1.兩個準則兩個準則2.兩個重要極限兩個重要極限夾逼準則夾逼準則; 單調有界準則單調有界準則 .; 1sinlim10 某某過過程程.)1(lim210e 某某過過程程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設設 思考題思考題 有小兔一對，若第二個月它們成年，第三個月生下小兔一對，以后每月生產小兔一對. 而所生小兔亦在第二個月成年，第三個月生產另一對小兔，以后每月亦生產小兔一對. 假定每產一對小兔必為一雌一雄，且均無死亡，試問一年后共有小兔幾對？并求出許多年后，兔子總對數的月增長率. 解解 若用“”、“”分別表示一對未成年和成年

11、的兔子，則根據題設有下面的小兔繁殖數量圖： 去年12月 1今年 1 月 12 月 23 月 34 月 55 月 86 月 13 從上圖可看出, 從三月份開始, 每月的兔子總數恰好等于它前面兩個月的兔子總數之和. 按此規(guī)律可寫出數列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233可見一年后共有兔子233對. 按上述規(guī)律寫出的無限項數列為著名的斐波那契(Fibonacci)數列, 其通項為 1125125151nnnF且此數列有遞推關系：), 2 , 1 , 0(12nFFFnnn月相對就是第則記1%100) 1(,1nbFFbnnnn第n月的兔子對數的增長率 nnbnlim

12、), 2 , 1 , 0(若數的月就表示許多年后兔子對則存在) 1lim(,nnb增長率。nnblim存在的證明及求法如下：證), 2 , 1(111111110nbFFFFFFFbbnnnnnnnnn用數學歸納法容易證明：數列2nb是單調增加的；數列12 nb是單調減少的.又, 對一切223, 0nbn成立. 即數列 、2nb12 nb是有界的.根據“單調有界數列必有極限”的準則可知數列 和 的極限存在, 分別記作b*和b* , 即 2nb12 nbbbbbnnnn122lim,lim得兩邊取極限及分別對,1111212122nnnnbbbbbbbb1111與兩式相減，得bbbbbb, 1.

13、limlim, 0122bbbbbbnnnn否則有即由此得).1(, 0112nbbbbb因這是不可能的，得而由bbbbnnnn lim,lim即記作存在因此bbbbnn11,111得兩邊取極限對解上方程，得 ，因為 故251b, 1nb618. 1251b即618. 1limlim1nnnnnFFb從而618. 01limnnb故許多年后兔子的總對數均以每月61.8%的速率增長.思考題思考題求極限求極限 xxxx193lim 思考題解答思考題解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e練練 習習 題題._3cotlim. 40 xxx一、填空題一、填空題:._sinlim. 10 x