常用算法設(shè)計(jì)方法

1、常用算法設(shè)計(jì)方法常用算法設(shè)計(jì)方法 要使計(jì)算機(jī)能完成人們預(yù)定的工作，首先必須為如何完成預(yù)定的工作設(shè)計(jì)一個(gè)算法，然后再根據(jù)算法編寫程序。計(jì)算機(jī)程序要對(duì)問題的每個(gè)對(duì)象和處理規(guī)則給出正確詳盡的描述，其中程序的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和變量用來描述問題的對(duì)象，程序結(jié)構(gòu)、函數(shù)和語(yǔ)句用來描述問題的算法。算法數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是程序的兩個(gè)重要方面。 算法是問題求解過程的精確描述，一個(gè)算法由有限條可完全機(jī)械地執(zhí)行的、有確定結(jié)果的指令組成。指令正確地描述了要完成的任務(wù)和它們被執(zhí)行的順序。計(jì)算機(jī)按算法指令所描述的順序執(zhí)行算法的指令能在有限的步驟內(nèi)終止，或終止于給出問題的解，或終止于指出問題對(duì)此輸入數(shù)據(jù)無解。 通常求解一個(gè)問題可能會(huì)有多種算法

2、可供選擇，選擇的主要標(biāo)準(zhǔn)是算法的正確性和可靠性，簡(jiǎn)單性和易理解性。其次是算法所需要的存儲(chǔ)空間少和執(zhí)行更快等。 算法設(shè)計(jì)是一件非常困難的工作，經(jīng)常采用的算法設(shè)計(jì)技術(shù)主要有迭代法、窮舉搜索法、遞推法、貪婪法、回溯法、分治法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法等等。另外，為了更簡(jiǎn)潔的形式設(shè)計(jì)和藐視算法，在算法設(shè)計(jì)時(shí)又常常采用遞歸技術(shù)，用遞歸描述算法。一、迭代法 迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計(jì)方法。設(shè)方程為f(x)=0，用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價(jià)的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行： （1） 選一個(gè)方程的近似根，賦給變量x0； （2） 將x0的值保存于變量x1，然后計(jì)算g(x1)，并將結(jié)果存于變量x0；

3、（3） 當(dāng)x0與x1的差的絕對(duì)值還小于指定的精度要求時(shí)，重復(fù)步驟（2）的計(jì)算。 若方程有根，并且用上述方法計(jì)算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認(rèn)為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為： 【算法】迭代法求方程的根 x0=初始近似根； do x1=x0； x0=g(x1)； /*按特定的方程計(jì)算新的近似根*/ while ( fabs(x0-x1)Epsilon)； printf(“方程的近似根是%fn”，x0)； 迭代算法也常用于求方程組的根，令 X=（x0，x1，xn-1） 設(shè)方程組為： xi=gi(X) (I=0，1，n-1) 則求方程組根的迭代算法可描述如下： 【算法】迭

4、代法求方程組的根 for (i=0;in;i+) xi=初始近似根; do for (i=0;in;i+) yi=xi; for (i=0;in;i+) xi=gi(X); for (delta=0.0,i=0;idelta) delta=fabs(yi-xi)； while (deltaEpsilon)； for (i=0;in;i+) printf(“變量x%d的近似根是 %f”，I，xi)； printf(“n”)； 具體使用迭代法求根時(shí)應(yīng)注意以下兩種可能發(fā)生的情況： （1） 如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會(huì)收斂，迭代過程會(huì)變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應(yīng)先考察方程是否有解，并

5、在程序中對(duì)迭代的次數(shù)給予限制； （2） 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當(dāng)，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會(huì)導(dǎo)致迭代失敗。二、窮舉搜索法 窮舉搜索法是對(duì)可能是解的眾多候選解按某種順序進(jìn)行逐一枚舉和檢驗(yàn)，并從眾找出那些符合要求的候選解作為問題的解。 【問題】 將A、B、C、D、E、F這六個(gè)變量排成如圖所示的三角形，這六個(gè)變量分別取1，6上的整數(shù)，且均不相同。求使三角形三條邊上的變量之和相等的全部解。如圖就是一個(gè)解。 程序引入變量a、b、c、d、e、f，并讓它們分別順序取1至6的證書，在它們互不相同的條件下，測(cè)試由它們排成的如圖所示的三角形三條邊上的變量之和是否相等，如相等即為一種滿足要求的排列，

6、把它們輸出。當(dāng)這些變量取盡所有的組合后，程序就可得到全部可能的解。細(xì)節(jié)見下面的程序。 【程序1】 # include void main() int a,b,c,d,e,f; for (a=1;a=6;a+) for (b=1;b=6;b+) if (b=a) continue; for (c=1;c=6;c+) if (c=a)|(c=b) continue; for (d=1;d=6;d+) if (d=a)|(d=b)|(d=c) continue; for (e=1;e=6;e+) if (e=a)|(e=b)|(e=c)|(e=d) continue; f=21-(a+b+c+d+e

7、); if (a+b+c=c+d+e)&(a+b+c=e+f+a) printf(“%6d,a); printf(“%4d%4d”,b,f); printf(“%2d%4d%4d”,c,d,e); scanf(“%*c”); 按窮舉法編寫的程序通常不能適應(yīng)變化的情況。如問題改成有9個(gè)變量排成三角形，每條邊有4個(gè)變量的情況，程序的循環(huán)重?cái)?shù)就要相應(yīng)改變。 對(duì)一組數(shù)窮盡所有排列，還有更直接的方法。將一個(gè)排列看作一個(gè)長(zhǎng)整數(shù)，則所有排列對(duì)應(yīng)著一組整數(shù)。將這組整數(shù)按從小到大的順序排列排成一個(gè)整數(shù)，從對(duì)應(yīng)最小的整數(shù)開始。按數(shù)列的遞增順序逐一列舉每個(gè)排列對(duì)應(yīng)的每個(gè)整數(shù)，這能更有效地完成排列的窮舉。從一個(gè)排列找

8、出對(duì)應(yīng)數(shù)列的下一個(gè)排列可在當(dāng)前排列的基礎(chǔ)上作部分調(diào)整來實(shí)現(xiàn)。倘若當(dāng)前排列為1，2，4，6，5，3，并令其對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)整數(shù)為124653。要尋找比長(zhǎng)整數(shù)124653更大的排列，可從該排列的最后一個(gè)數(shù)字順序向前逐位考察，當(dāng)發(fā)現(xiàn)排列中的某個(gè)數(shù)字比它前一個(gè)數(shù)字大時(shí)，如本例中的6比它的前一位數(shù)字4大，這說明還有對(duì)應(yīng)更大整數(shù)的排列。但為了順序從小到大列舉出所有的排列，不能立即調(diào)整得太大，如本例中將數(shù)字6與數(shù)字4交換得到的排列126453就不是排列124653的下一個(gè)排列。為了得到排列124653的下一個(gè)排列，應(yīng)從已經(jīng)考察過的那部分?jǐn)?shù)字中選出比數(shù)字大，但又是它們中最小的那一個(gè)數(shù)字，比如數(shù)字5，與數(shù)字4交換。該數(shù)

9、字也是從后向前考察過程中第一個(gè)比4大的數(shù)字。5與4交換后，得到排列125643。在前面數(shù)字1，2，5固定的情況下，還應(yīng)選擇對(duì)應(yīng)最小整數(shù)的那個(gè)排列，為此還需將后面那部分?jǐn)?shù)字的排列順序顛倒，如將數(shù)字6，4，3的排列順序顛倒，得到排列1，2，5，3，4，6，這才是排列1，2，4，6，5，3的下一個(gè)排列。按以上想法編寫的程序如下。 【程序2】 # include # define SIDE_N 3 # define LENGTH 3 # define VARIABLES 6 int A,B,C,D,E,F; int *pt=&A,&B,&C,&D,&E,&F; int *sideSIDE_NLENGT

10、H=&A,&B,&C,&C,&D,&E,&E,&F,&A; int side_totalSIDE_N; main int i,j,t,equal; for (j=0;jVARIABLES;j+) *ptj=j+1; while(1) for (i=0;iSIDE_N;i+) for (t=j=0;jLENGTH;j+) t+=*sideij; side_totali=t; for (equal=1,i=0;equal&iSIDE_N-1;i+) if (side_totali!=side_totali+1 equal=0; if (equal) for (i=1;i0;j-) if (*ptj

11、*ptj-1) break; if (j=0) break; for (i=VARIABLES-1;i=j;i-) if (*pti*pti-1) break; t=*ptj-1;* ptj-1 =* pti; *pti=t; for (i=VARIABLES-1;ij;i-,j+) t=*ptj; *ptj =* pti; *pti=t; 從上述問題解決的方法中，最重要的因素就是確定某種方法來確定所有的候選解。下面再用一個(gè)示例來加以說明。 【問題】 背包問題 問題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品

12、的價(jià)值之和最大。 設(shè)n個(gè)物品的重量和價(jià)值分別存儲(chǔ)于數(shù)組w 和v 中，限制重量為tw?？紤]一個(gè)n元組（x0，x1，xn-1），其中xi=0 表示第i個(gè)物品沒有選取，而xi=1則表示第i個(gè)物品被選取。顯然這個(gè)n元組等價(jià)于一個(gè)選擇方案。用枚舉法解決背包問題，需要枚舉所有的選取方案，而根據(jù)上述方法，我們只要枚舉所有的n元組，就可以得到問題的解。 顯然，每個(gè)分量取值為0或1的n元組的個(gè)數(shù)共為2n個(gè)。而每個(gè)n元組其實(shí)對(duì)應(yīng)了一個(gè)長(zhǎng)度為n的二進(jìn)制數(shù)，且這些二進(jìn)制數(shù)的取值范圍為02n-1。因此，如果把02n-1分別轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)，則可以得到我們所需要的2n個(gè)n元組。 【算法】 maxv=0; for (i

13、=0;i2n;i+) B0.n-1=0; 把i轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，存儲(chǔ)于數(shù)組B中; temp_w=0; temp_v=0; for (j=0;jn;j+) if (Bj=1) temp_w=temp_w+wj; temp_v=temp_v+vj; if (temp_wmaxv) maxv=temp_v; 保存該B數(shù)組； 三、遞推法 遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關(guān)系求問題解的一種方法。設(shè)要求問題規(guī)模為N的解，當(dāng)N=1時(shí)，解或?yàn)橐阎?，或能非常方便地得到解。能采用遞推法構(gòu)造算法的問題有重要的遞推性質(zhì)，即當(dāng)?shù)玫絾栴}規(guī)模為i-1的解后，由問題的遞推性質(zhì)，能從已求得的規(guī)模為1，2，i-1的一系列解，構(gòu)

14、造出問題規(guī)模為I的解。這樣，程序可從i=0或i=1出發(fā)，重復(fù)地，由已知至i-1規(guī)模的解，通過遞推，獲得規(guī)模為i的解，直至得到規(guī)模為N的解。 【問題】 階乘計(jì)算 問題描述：編寫程序，對(duì)給定的n（n100），計(jì)算并輸出k的階乘k?。╧=1，2，n）的全部有效數(shù)字。 由于要求的整數(shù)可能大大超出一般整數(shù)的位數(shù)，程序用一維數(shù)組存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)，存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)數(shù)組的每個(gè)元素只存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)的一位數(shù)字。如有m位成整數(shù)N用數(shù)組a 存儲(chǔ)： N=am10m-1+am-110m-2+ +a2101+a1100 并用a0存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)N的位數(shù)m，即a0=m。按上述約定，數(shù)組的每個(gè)元素存儲(chǔ)k的階乘k！的一位數(shù)字，并從低位到高位依次存于數(shù)

15、組的第二個(gè)元素、第三個(gè)元素。例如，5！=120，在數(shù)組中的存儲(chǔ)形式為： 3 0 2 1 首元素3表示長(zhǎng)整數(shù)是一個(gè)3位數(shù)，接著是低位到高位依次是0、2、1，表示成整數(shù)120。 計(jì)算階乘k！可采用對(duì)已求得的階乘(k-1)！連續(xù)累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，計(jì)算5！，可對(duì)原來的24累加4次24后得到120。細(xì)節(jié)見以下程序。 # include # include # defineMAXN 1000 voidpnext(int a ,int k) int *b,m=a0,i,j,r,carry; b=(int * ) malloc(sizeof(int)* (m+1); for ( i=1

16、;i=m;i+) bi=ai; for ( j=1;j=k;j+) for ( carry=0,i=1;i=m;i+) r=(i0;i-) printf(“%d”,ai); printf(“nn”); void main() int aMAXN,n,k; printf(“Enter the number n:“); scanf(“%d”,&n); a0=1; a1=1; write(a,1); for (k=2;k1時(shí)）。 寫成遞歸函數(shù)有： int fib(int n) if (n=0) return0; if (n=1) return1; if (n1) returnfib(n-1)+fib

17、(n-2); 遞歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個(gè)階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問題（規(guī)模為n）的求解推到比原問題簡(jiǎn)單一些的問題（規(guī)模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，為計(jì)算fib(n)，必須先計(jì)算fib(n-1)和fib(n-2)，而計(jì)算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計(jì)算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計(jì)算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。 在回歸階段，當(dāng)獲得最簡(jiǎn)單情況的解后，逐級(jí)返回，依次得到稍復(fù)雜

18、問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果。 在編寫遞歸函數(shù)時(shí)要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識(shí)局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進(jìn)入“簡(jiǎn)單問題”層時(shí)，原來層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來。在一系列“簡(jiǎn)單問題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。 由于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會(huì)有一系列的重復(fù)計(jì)算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對(duì)較低。當(dāng)某個(gè)遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時(shí)，通常按遞推算法編寫程序。例如上例計(jì)算斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項(xiàng)出發(fā)，

19、逐次由前兩項(xiàng)計(jì)算出下一項(xiàng)，直至計(jì)算出要求的第n項(xiàng)。 【問題】 組合問題 問題描述：找出從自然數(shù)1、2、n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1 （4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1 （7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1 （10）3、2、1 分析所列的10個(gè)組合，可以采用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為voidcomb(int m,int k)為找出從自然數(shù)1、2、m中任取k個(gè)數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個(gè)數(shù)字選定時(shí)，其后的數(shù)字是從余下的m-1個(gè)數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m個(gè)數(shù)

20、中取k個(gè)數(shù)的組合問題轉(zhuǎn)化成求m-1個(gè)數(shù)中取k-1個(gè)數(shù)的組合問題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a 存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個(gè)數(shù)字組合的第一個(gè)數(shù)字放在ak中，當(dāng)一個(gè)組合求出后，才將a 中的一個(gè)組合輸出。第一個(gè)數(shù)可以是m、m-1、k，函數(shù)將確定組合的第一個(gè)數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個(gè)組合。細(xì)節(jié)見以下程序中的函數(shù)comb。 【程序】 # include # define MAXN 100 int aMAXN; void comb(int m,int k) int i,j; for (i=m;i=k;i-) ak=

21、i; if (k1) comb(i-1,k-1); else for (j=a0;j0;j-) printf(“%4d”,aj); printf(“n”); void main() a0=3; comb(5,3); 【問題】 背包問題 問題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。 設(shè)n件物品的重量分別為w0、w1、wn-1，物品的價(jià)值分別為v0、v1、vn-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總價(jià)值最大的方案于數(shù)組option ，該方案的總價(jià)值存于變量m

22、axv。當(dāng)前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop 。假定當(dāng)前方案已考慮了前i-1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品；當(dāng)前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達(dá)到的總價(jià)值的期望值為tv。算法引入tv是當(dāng)一旦當(dāng)前方案的總價(jià)值的期望值也小于前面方案的總價(jià)值maxv時(shí)，繼續(xù)考察當(dāng)前方案變成無意義的工作，應(yīng)終止當(dāng)前方案，立即去考察下一個(gè)方案。因?yàn)楫?dāng)方案的總價(jià)值不比maxv大時(shí)，該方案不會(huì)被再考察，這同時(shí)保證函數(shù)后找到的方案一定會(huì)比前面的方案更好。 對(duì)于第i件物品的選擇考慮有兩種可能： （1） 考慮物品i被選擇，這種可能性僅當(dāng)包含它不會(huì)超過方案總重量限制時(shí)才是可

23、行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇。 （2） 考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當(dāng)不包含物品i也有可能會(huì)找到價(jià)值更大的方案的情況。 按以上思想寫出遞歸算法如下： try(物品i，當(dāng)前選擇已達(dá)到的重量和，本方案可能達(dá)到的總價(jià)值tv) /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/ if(包含物品i是可以接受的) 將物品i包含在當(dāng)前方案中； if (in-1) try(i+1,tw+物品i的重量,tv); else /*又一個(gè)完整方案，因?yàn)樗惹懊娴姆桨负?，以它作為最佳方?/ 以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存; 恢復(fù)物品i不包含狀態(tài)； /*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/ if (不包含

24、物品i僅是可男考慮的) if (in-1) try(i+1,tw,tv-物品i的價(jià)值)； else /*又一個(gè)完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/ 以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存; 為了理解上述算法，特舉以下實(shí)例。設(shè)有4件物品，它們的重量和價(jià)值見表： 物品 0 1 2 3 重量 5 3 2 1 價(jià)值 4 4 3 1 并設(shè)限制重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個(gè)解，算法就進(jìn)一步找更好的佳。如能判定某個(gè)查找分支不會(huì)找到更好的解，算法不會(huì)在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個(gè)分支。 按上述算法編寫函數(shù)和程序如下： 【程序】 # include #

25、 define N 100 double limitW,totV,maxV; int optionN,copN; struct double weight; double value; aN; int n; void find(int i,double tw,double tv) int k; /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/ if (tw+ai.weight=limitW) copi=1; if (in-1) find(i+1,tw+ai.weight,tv); else for (k=0;kmaxV) if (in-1) find(i+1,tw,tv-ai.value); els

26、e for (k=0;kn;k+) optionk=copk; maxv=tv-ai.value; void main() int k; double w,v; printf(“輸入物品種數(shù)n”); scanf(“%d”,&n); printf(“輸入各物品的重量和價(jià)值n”); for (totv=0.0,k=0;kn;k+) scanf(“%1f%1f”,&w,&v); ak.weight=w; ak.value=v; totV+=V; printf(“輸入限制重量n”); scanf(“%1f”,&limitV); maxv=0.0; for (k=0;kn;k+) copk=0; fin

27、d(0,0.0,totV); for (k=0;kn;k+) if (optionk) printf(“%4d”,k+1); printf(“n總價(jià)值為%.2fn”,maxv); 作為對(duì)比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡(jiǎn)單地逐一生成所有候選解，而是從每個(gè)物品對(duì)候選解的影響來形成值得進(jìn)一步考慮的候選解，一個(gè)候選解是通過依次考察每個(gè)物品形成的。對(duì)物品i的考察有這樣幾種情況：當(dāng)該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應(yīng)該繼續(xù)考慮的；反之，該物品不應(yīng)該包括在當(dāng)前正在形成的候選解中。同樣地，僅當(dāng)物品不被包括在候選解中，還是有可能找到

28、比目前臨時(shí)最佳解更好的候選解時(shí)，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當(dāng)前候選解中的方案也不應(yīng)繼續(xù)考慮。對(duì)于任一值得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進(jìn)一步考慮下一個(gè)物品。 【程序】 # include # define N 100 double limitW; int copN; struct ele double weight; double value; aN; int k,n; struct int flg; double tw; double tv; twvN; void next(int i,double tw,double tv) twvi.flg=1; twvi.tw=t

29、w; twvi.tv=tv; double find(struct ele *a,int n) int i,k,f; double maxv,tw,tv,totv; maxv=0; for (totv=0.0,k=0;k=0) f=twvi.flg; tw=twvi.tw; tv=twvi.tv; switch(f) case 1: twvi.flg+; if (tw+ai.weight=limitW) if (in-1) next(i+1,tw+ai.weight,tv); i+; else maxv=tv; for (k=0;kmaxv) if (in-1) next(i+1,tw,tv-

30、ai.value); i+; else maxv=tv-ai.value; for (k=0;kn;k+) copk=twvk.flg!=0; break; return maxv; void main() double maxv; printf(“輸入物品種數(shù)n”); scanf(“%d”,&n); printf(“輸入限制重量n”); scanf(“%1f”,&limitW); printf(“輸入各物品的重量和價(jià)值n”); for (k=0;kn;k+) scanf(“%1f%1f”,&ak.weight,&ak.value); maxv=find(a,n); printf(“n選中的物

31、品為n”); for (k=0;kn;k+) if (optionk) printf(“%4d”,k+1); printf(“n總價(jià)值為%.2fn”,maxv); 五、回溯法 回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時(shí)放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制，并將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗(yàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時(shí)，就選擇下一個(gè)候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時(shí)，繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時(shí)，該候選解就是問題的一個(gè)解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個(gè)候選解的過程稱為回溯。擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過

32、程稱為向前試探。 1、回溯法的一般描述 可用回溯法求解的問題P，通常要能表達(dá)為：對(duì)于已知的由n元組（x1，x2，xn）組成的一個(gè)狀態(tài)空間E=（x1，x2，xn）xiSi ，i=1，2，n，給定關(guān)于n元組中的一個(gè)分量的一個(gè)約束集D，要求E中滿足D的全部約束條件的所有n元組。其中Si是分量xi的定義域，且 |Si| 有限，i=1，2，n。我們稱E中滿足D的全部約束條件的任一n元組為問題P的一個(gè)解。 解問題P的最樸素的方法就是枚舉法，即對(duì)E中的所有n元組逐一地檢測(cè)其是否滿足D的全部約束，若滿足，則為問題P的一個(gè)解。但顯然，其計(jì)算量是相當(dāng)大的。 我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于許多問題，所給定的約束集D具有完備性，即i

33、元組（x1，x2，xi）滿足D中僅涉及到x1，x2，xi的所有約束意味著j（jj。因此，對(duì)于約束集D具有完備性的問題P，一旦檢測(cè)斷定某個(gè)j元組（x1，x2，xj）違反D中僅涉及x1，x2，xj的一個(gè)約束，就可以肯定，以（x1，x2，xj）為前綴的任何n元組（x1，x2，xj，xj+1，xn）都不會(huì)是問題P的解，因而就不必去搜索它們、檢測(cè)它們?；厮莘ㄕ轻槍?duì)這類問題，利用這類問題的上述性質(zhì)而提出來的比枚舉法效率更高的算法。 回溯法首先將問題P的n元組的狀態(tài)空間E表示成一棵高為n的帶權(quán)有序樹T，把在E中求問題P的所有解轉(zhuǎn)化為在T中搜索問題P的所有解。樹T類似于檢索樹，它可以這樣構(gòu)造： 設(shè)Si中的元

34、素可排成xi(1) ，xi(2) ，xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，n。從根開始，讓T的第I層的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有mi個(gè)兒子。這mi個(gè)兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權(quán)xi+1(1) ，xi+1(2) ，xi+1(mi) ，i=0，1，2，n-1。照這種構(gòu)造方式，E中的一個(gè)n元組（x1，x2，xn）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊的權(quán)分別為x1，x2，xn，反之亦然。另外，對(duì)于任意的0in-1，E中n元組（x1，x2，xn）的一個(gè)前綴I元組（x1，x2，xi）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的I條邊的權(quán)

35、分別為x1，x2，xi，反之亦然。特別，E中的任意一個(gè)n元組的空前綴（），對(duì)應(yīng)于T的根。 因而，在E中尋找問題P的一個(gè)解等價(jià)于在T中搜索一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，要求從T的根到該葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊相應(yīng)帶的n個(gè)權(quán)x1，x2，xn滿足約束集D的全部約束。在T中搜索所要求的葉子結(jié)點(diǎn)，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿足約束條件的前綴1元組（x1i）、前綴2元組（x1，x2）、，前綴I元組（x1，x2，xi），直到i=n為止。 在回溯法中，上述引入的樹被稱為問題P的狀態(tài)空間樹；樹T上任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹T上的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的一個(gè)解狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；

36、樹T上滿足約束集D的全部約束的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的一個(gè)回答狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于問題P的一個(gè)解。 【問題】 組合問題 問題描述：找出從自然數(shù)1、2、n中任取r個(gè)數(shù)的所有組合。 例如n=5，r=3的所有組合為： （1）1、2、3 （2）1、2、4 （3）1、2、5 （4）1、3、4 （5）1、3、5 （6）1、4、5 （7）2、3、4 （8）2、3、5 （9）2、4、5 （10）3、4、5 則該問題的狀態(tài)空間為： E=（x1，x2，x3）xiS ，i=1，2，3 其中：S=1，2，3，4，5 約束集為： x1x2ai，后一個(gè)數(shù)字比前一個(gè)大； （2） ai-i=n-r+1。 按回溯法的思想，

37、找解過程可以敘述如下： 首先放棄組合數(shù)個(gè)數(shù)為r的條件，候選組合從只有一個(gè)數(shù)字1開始。因該候選解滿足除問題規(guī)模之外的全部條件，擴(kuò)大其規(guī)模，并使其滿足上述條件（1），候選組合改為1，2。繼續(xù)這一過程，得到候選組合1，2，3。該候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的全部條件，因而是一個(gè)解。在該解的基礎(chǔ)上，選下一個(gè)候選解，因a2上的3調(diào)整為4，以及以后調(diào)整為5都滿足問題的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于對(duì)5不能再作調(diào)整，就要從a2回溯到a1，這時(shí)，a1=2，可以調(diào)整為3，并向前試探，得到解1，3，4。重復(fù)上述向前試探和向后回溯，直至要從a0再回溯時(shí)，說明已經(jīng)找完問題的全部解。按上述思想寫成程序如下：

38、 【程序】 # define MAXN 100 int aMAXN; void comb(int m,int r) int i,j; i=0; ai=1; do if (ai-i=m-r+1 if (i=r-1) for (j=0;jr;j+) printf(“%4d”,aj); printf(“n”); ai+; continue; else if (i=0) return; a-i+; while (1) main() comb(5,3); 【問題】 填字游戲 問題描述：在33個(gè)方格的方陣中要填入數(shù)字1到N（N10）內(nèi)的某9個(gè)數(shù)字，每個(gè)方格填一個(gè)整數(shù)，似的所有相鄰兩個(gè)方格內(nèi)的兩個(gè)整數(shù)之和為質(zhì)數(shù)。試求出所有滿足這個(gè)要求的各種數(shù)字填法。 可用試探發(fā)找到問題的解，即從第一個(gè)方格開始，為當(dāng)前方格尋找一個(gè)合理的整數(shù)填入，并在當(dāng)前位置正確填入后，為下一方格尋找可填入的合理整數(shù)。如不能為當(dāng)前方格找到一個(gè)合理的可填證書，就要回退到前一方格，調(diào)整前一方格的填入數(shù)。當(dāng)?shù)诰艂€(gè)方格也填入合理的整數(shù)后，就找到了一個(gè)解，將該解輸出，并調(diào)整第九個(gè)的填入的整數(shù)，尋找下一個(gè)解。 為找到一個(gè)滿足要求的9個(gè)數(shù)的填法，從還未填一個(gè)數(shù)開始，按某種順序（如從小到大