第1章科學(xué)計算的魅力

1、科學(xué)計算的魅力科學(xué)計算的魅力 南京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)系南京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)系 內(nèi)容提要1. 1. 科學(xué)計算的地位與應(yīng)用科學(xué)計算的地位與應(yīng)用 2. 2. 科學(xué)計算的基本內(nèi)容科學(xué)計算的基本內(nèi)容一. 科學(xué)計算的地位與應(yīng)用理論理論研究研究科學(xué)科學(xué)計算計算科學(xué)研究科學(xué)研究/工程技術(shù)工程技術(shù) 科學(xué)計算的地位科學(xué)計算的地位科學(xué)科學(xué)實驗實驗應(yīng)用應(yīng)用問題問題數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型模型計算計算方法方法建模建模計算計算算法算法軟件軟件 科學(xué)工程計算科學(xué)工程計算v“科學(xué)計算科學(xué)計算”就是研究在計算機(jī)上解就是研究在計算機(jī)上解決數(shù)學(xué)問題的理論和數(shù)值方法決數(shù)學(xué)問題的理論和數(shù)值方法. .v計算機(jī)技術(shù)和應(yīng)用軟件的發(fā)展，讓科計算機(jī)技術(shù)和應(yīng)用

2、軟件的發(fā)展，讓科學(xué)計算展開了雙翼。學(xué)計算展開了雙翼。v許多迅速發(fā)展的其他學(xué)科給科學(xué)計算許多迅速發(fā)展的其他學(xué)科給科學(xué)計算的發(fā)展開拓出更為廣闊的新天地的發(fā)展開拓出更為廣闊的新天地。v 請看幾個應(yīng)用請看幾個應(yīng)用在國防中的魅力v美國和前蘇聯(lián)分別進(jìn)行了次和美國和前蘇聯(lián)分別進(jìn)行了次和次核試驗，而中國前后只進(jìn)行了次核試驗，而中國前后只進(jìn)行了次核試驗卻獲得了前兩者所得到的類似試次核試驗卻獲得了前兩者所得到的類似試驗結(jié)果，這就是計算機(jī)時代中科學(xué)計算的驗結(jié)果，這就是計算機(jī)時代中科學(xué)計算的作用。原因何在？作用。原因何在？v科學(xué)計算不再只和計算機(jī)有關(guān)，它決定我科學(xué)計算不再只和計算機(jī)有關(guān)，它決定我們的生存?zhèn)兊纳妗?航

3、天中科學(xué)計算v發(fā)射一顆探測宇宙奧秘的衛(wèi)星，從衛(wèi)星世發(fā)射一顆探測宇宙奧秘的衛(wèi)星，從衛(wèi)星世紀(jì)開始到發(fā)射、回收為止，科學(xué)家和工程紀(jì)開始到發(fā)射、回收為止，科學(xué)家和工程技術(shù)人員、工人就要對衛(wèi)星的總體、部件技術(shù)人員、工人就要對衛(wèi)星的總體、部件進(jìn)行全面的設(shè)計和生產(chǎn)，要對選用的火箭進(jìn)行全面的設(shè)計和生產(chǎn)，要對選用的火箭進(jìn)行設(shè)計和生產(chǎn)，這里面就有許許多多的進(jìn)行設(shè)計和生產(chǎn)，這里面就有許許多多的數(shù)據(jù)要進(jìn)行準(zhǔn)確的計算。數(shù)據(jù)要進(jìn)行準(zhǔn)確的計算。v發(fā)射和回收的時候，又有關(guān)于發(fā)射角度、發(fā)射和回收的時候，又有關(guān)于發(fā)射角度、軌道、遙控、回收下落角度等等需要進(jìn)行軌道、遙控、回收下落角度等等需要進(jìn)行精確的計算。精確的計算。 嫦娥一號中

4、的科學(xué)計算嫦娥一號中的科學(xué)計算高斯消去法高斯消去法的巨大威力的巨大威力v假設(shè)用著名的假設(shè)用著名的Cramer法則去求一個法則去求一個25個未知數(shù)的線個未知數(shù)的線性方程組性方程組, 這時需要計算這時需要計算26個個25階的行列式階的行列式, 再假定再假定用行列式的定義來計算行列式的值用行列式的定義來計算行列式的值, 則完成這一計算則完成這一計算任務(wù)需要的乘法計算次數(shù)約為任務(wù)需要的乘法計算次數(shù)約為26!. v若忽略存取數(shù)和加減運(yùn)算等計算機(jī)所需時間若忽略存取數(shù)和加減運(yùn)算等計算機(jī)所需時間,用每秒用每秒可用萬億次乘法的計算機(jī)來完成這一任務(wù)可用萬億次乘法的計算機(jī)來完成這一任務(wù),所需時間所需時間大約是一千三

5、百多萬年大約是一千三百多萬年. 然而現(xiàn)在改用消去法然而現(xiàn)在改用消去法,則可則可在不到一秒的時間內(nèi)完成上百階的線性方程組的求在不到一秒的時間內(nèi)完成上百階的線性方程組的求解任務(wù)解任務(wù). 計算方法的意義計算方法的意義: （3）基于離散數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型時）基于離散數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型時 無法采用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法獲得所需解的三種有代表性無法采用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法獲得所需解的三種有代表性的情形的情形 :（1）所涉及的數(shù)學(xué)模型無系統(tǒng)的求解析解的方法）所涉及的數(shù)學(xué)模型無系統(tǒng)的求解析解的方法 （2）所涉及數(shù)學(xué)模型的解法計算量大，只適用）所涉及數(shù)學(xué)模型的解法計算量大，只適用 于規(guī)模較小的情形于規(guī)模較小的情形 什么是計算方法（數(shù)

6、值分析）？什么是計算方法（數(shù)值分析）？研究怎樣通過計算機(jī)所能執(zhí)行的基本運(yùn)算，求得研究怎樣通過計算機(jī)所能執(zhí)行的基本運(yùn)算，求得各類問題數(shù)值解或近似解的學(xué)問。各類問題數(shù)值解或近似解的學(xué)問。加、減、乘、加、減、乘、除、邏輯運(yùn)算除、邏輯運(yùn)算 計算方法計算方法（又稱為（又稱為數(shù)值分析數(shù)值分析）的任務(wù)）的任務(wù):研究如何對給定的問題構(gòu)建只須進(jìn)行有限步四則研究如何對給定的問題構(gòu)建只須進(jìn)行有限步四則運(yùn)算的計算模型，以便有效地借助于計算機(jī)迅速運(yùn)算的計算模型，以便有效地借助于計算機(jī)迅速求出所需要的數(shù)值解。這種計算模型通常又稱為求出所需要的數(shù)值解。這種計算模型通常又稱為計算格式計算格式。計算方法不同于純粹數(shù)學(xué)學(xué)科的一些

7、新特點計算方法不同于純粹數(shù)學(xué)學(xué)科的一些新特點: : 面向計算機(jī)：將要求解的數(shù)學(xué)問題簡化成一系列的面向計算機(jī)：將要求解的數(shù)學(xué)問題簡化成一系列的 算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，以便在計算機(jī)，以便在計算機(jī) 上求出問題的上求出問題的數(shù)值解數(shù)值解。遵循的遵循的相容性原則相容性原則，滿足控制誤差積累的，滿足控制誤差積累的數(shù)值穩(wěn)定性數(shù)值穩(wěn)定性要求要求，以及評價計算格式優(yōu)劣的，以及評價計算格式優(yōu)劣的計算復(fù)雜性計算復(fù)雜性，為適應(yīng)，為適應(yīng)大型計算機(jī)的計算，現(xiàn)今又提出了大型計算機(jī)的計算，現(xiàn)今又提出了并行性并行性要求。要求。三.科學(xué)計算的基本內(nèi)容線性方程組求解線性方程組求解非線性方程求根非線性方程求根插值與擬

8、合插值與擬合數(shù)值微分與積分?jǐn)?shù)值微分與積分常微分方程數(shù)值解常微分方程數(shù)值解ABxoab )(xf0)( f非線性方程求根非線性方程求根1xo2x 22221211212111cxaxacxaxa解線性方程組求解線性方程組求解yxo插值插值tyo1 247356824252627擬合擬合abxyo badxxfI)(數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分計算格式的相容性與穩(wěn)定性計算格式的相容性與穩(wěn)定性定義定義1.11.1 如果一個計算格式在取某種極限后可還原成如果一個計算格式在取某種極限后可還原成某數(shù)學(xué)模型，則稱該計算格式與此數(shù)學(xué)模型相容。某數(shù)學(xué)模型，則稱該計算格式與此數(shù)學(xué)模型相容。 定義定義1.21.2 如果在用某一

9、計算格式進(jìn)行數(shù)值計算的如果在用某一計算格式進(jìn)行數(shù)值計算的過程中，誤差不會嚴(yán)重積累，從而保證解滿足所要過程中，誤差不會嚴(yán)重積累，從而保證解滿足所要求的精確度求的精確度( (簡稱精度），則稱該計算格式簡稱精度），則稱該計算格式數(shù)值穩(wěn)數(shù)值穩(wěn)定定（簡稱為（簡稱為穩(wěn)定穩(wěn)定），反之則為），反之則為不穩(wěn)定不穩(wěn)定。 穩(wěn)定性分析通?；趯Τ跏颊`差的傳播狀況的討論。 補(bǔ)充內(nèi)容：補(bǔ)充內(nèi)容：例例1.1 試建立計算如下問題的穩(wěn)定的計算格式試建立計算如下問題的穩(wěn)定的計算格式 101dxexIxnn解解 分部積分得分部積分得 110111011| nxnxnnnIdxexnexI由此可建立如下兩種計算格式由此可建立如下兩種

10、計算格式 格式（格式（A）：）： ), 2 , 1(11 nnIInn格式（格式（B）：）： ), 1,()1(11 NNnInInn定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1)(0nIn 性質(zhì)性質(zhì)2 11111 nnInIne性質(zhì)性質(zhì)3 0 nI 初始值的選?。撼跏贾档倪x?。?格式（格式（A）, 0110101IedxeIx近近似似取取得得根根據(jù)據(jù) 格式（格式（B），）， )111(211 NeNIN近近似似取取格式格式(A)格式格式(B)精確值精確值I0I1I2I3I4I5I6I70.63210.36800.26400.20800.16800.16000.04000.72000.63200.36

11、800.26430.20730.17080.14550.12690.11240.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.1124穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析 對格式（對格式（A）：）： 相相減減得得由由 1111nnnnInInII1 nnnee0! enen 故故得得所以，計算不穩(wěn)定。所以，計算不穩(wěn)定。 對格式（對格式（A）：）： 所以，計算不穩(wěn)定。所以，計算不穩(wěn)定。 nnene11 )( |12111|NneNnneNn 故故得得穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析 對格式（對格式（B），則有），則有 計算穩(wěn)定。計算穩(wěn)定。 一般來說，若一個計算格式滿足如下誤差關(guān)系式一般

12、來說，若一個計算格式滿足如下誤差關(guān)系式 )(|為為常常數(shù)數(shù)初初后后CeCe 則認(rèn)為該計算格式數(shù)值穩(wěn)定。則認(rèn)為該計算格式數(shù)值穩(wěn)定。 所以，人們通常以相容性和穩(wěn)定性作所以，人們通常以相容性和穩(wěn)定性作為對一個計算格式可行性的基本要求。為對一個計算格式可行性的基本要求。 穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析 3.1 非線性方程非線性方程(組組)的數(shù)值解的數(shù)值解v五次及五次以上的代數(shù)方程不存在求根公式，五次及五次以上的代數(shù)方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代數(shù)方程的解，因此，要求出五次以上的高次代數(shù)方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是數(shù)值分析的方法。數(shù)值

13、分析的方法。v對于對數(shù)方程、三角方程等一般非線性方程只對于對數(shù)方程、三角方程等一般非線性方程只能采用數(shù)值分析的辦法。能采用數(shù)值分析的辦法。v找出找出簡潔、誤差小、收斂快、計算時間少簡潔、誤差小、收斂快、計算時間少的計的計算方法是數(shù)值分析的主要課題算方法是數(shù)值分析的主要課題。 3.2 線性代數(shù)方程組線性代數(shù)方程組v在線性代數(shù)方程組的解法中，常用的有塞在線性代數(shù)方程組的解法中，常用的有塞德爾迭代法、共軛斜量法、超松弛迭代法德爾迭代法、共軛斜量法、超松弛迭代法等等。此外，一些比較古老的普通消去法，等等。此外，一些比較古老的普通消去法，如高斯法、追趕法等如高斯法、追趕法等.v在計算機(jī)的條件下已得到廣泛

14、的應(yīng)用。在計算機(jī)的條件下已得到廣泛的應(yīng)用。 大大家可猜一猜家可猜一猜,目前可解方程組的個數(shù)大約多目前可解方程組的個數(shù)大約多少少?3.3 數(shù)值逼近v 在計算方法中，數(shù)值逼近也是常用的基本在計算方法中，數(shù)值逼近也是常用的基本方法。數(shù)值逼近也叫近似替代，就是用簡方法。數(shù)值逼近也叫近似替代，就是用簡單的函數(shù)去替代比較復(fù)雜的函數(shù)，或者替單的函數(shù)去替代比較復(fù)雜的函數(shù)，或者替代不能用解析表達(dá)式表示的函數(shù)。代不能用解析表達(dá)式表示的函數(shù)。v數(shù)值逼近的基本方法是數(shù)值逼近的基本方法是插值法插值法。初等數(shù)學(xué)。初等數(shù)學(xué)里的三角函數(shù)表，對數(shù)表中的修正值，就里的三角函數(shù)表，對數(shù)表中的修正值，就是根據(jù)插值法制成的是根據(jù)插值法

15、制成的。 3.4 數(shù)值微分與數(shù)值積分v在遇到求微分和積分的時候，如何利用簡在遇到求微分和積分的時候，如何利用簡單的函數(shù)去近似代替所給的函數(shù)，以便容單的函數(shù)去近似代替所給的函數(shù)，以便容易求到和求積分，也是計算方法的一個主易求到和求積分，也是計算方法的一個主要內(nèi)容要內(nèi)容. v 插值型方法，復(fù)合求積法等插值型方法，復(fù)合求積法等3.5 微分方程(組)數(shù)值解v常微分方程的數(shù)值解法由歐拉法、預(yù)測校常微分方程的數(shù)值解法由歐拉法、預(yù)測校正法等。偏微分方程的初值問題或邊值問正法等。偏微分方程的初值問題或邊值問題，目前常用的是有限差分法、有限元素題，目前常用的是有限差分法、有限元素法等。法等。v 有限差分法的基本思想是用離散的、只有限差分法的基本思想是用離散的、只含有限個未知數(shù)的差分方程去代替連續(xù)變含有限個未知數(shù)的差分