層次分析法的計(jì)算

1、一、最大特征值和特征向量的近似計(jì)算（方根法）一、最大特征值和特征向量的近似計(jì)算（方根法）計(jì)算的主要步驟：計(jì)算的主要步驟：1、計(jì)算判斷矩陣、計(jì)算判斷矩陣A的每一行元素乘積的每一行元素乘積1,1,2, .niijjMa in2計(jì)算計(jì)算Mi的的n次方根次方根.niiWM3若若 iW標(biāo)準(zhǔn)化為標(biāo)準(zhǔn)化為1,iinjjWWW則則 iW為所求特征向量。為所求特征向量。4計(jì)算最大特征值計(jì)算最大特征值max1().niiiAWnW式中式中AWi表示向量表示向量AW的第的第i個分量。個分量。例如例如 1110.711/51/3535135 1 31531/3113113 每行之乘積0.4120.1052.4660.

2、637 ,10.258iM 球的三次方根標(biāo)準(zhǔn)化即權(quán)系數(shù)為即權(quán)系數(shù)為 (0.105,0.637,0.258)TW 0.10511/51/30.1050.3180.637 .5130.6371.9360.25831/310.2580.785WAW再求最大特征值的近似值再求最大特征值的近似值3max1()0.3181.9360.7853.0373 0.1053 0.6373 0.258iiiAWnW二、迭代法二、迭代法建立建立n階方陣階方陣 .()ijn nAa按下列方法求向量迭代序列：按下列方法求向量迭代序列：01.111nnenn ke為為 1kAe的的n個分量之和個分量之和 可以證明，迭代的維

3、列向量序列可以證明，迭代的維列向量序列 ke記其極限為記其極限為e，且記，且記收斂。收斂。121.nne則權(quán)系數(shù)可取則權(quán)系數(shù)可取,1,2,iiin在具體計(jì)算中，當(dāng)在具體計(jì)算中，當(dāng)ek與與ek-1接近到一定程度時，接近到一定程度時，我們就取我們就取e=ek例如例如 0111/51/3111/3 ,1/35311/3Ae101111/51/30.733111/31/30.778 ,0.7330.77834.5115311/33eAee1110.7330.16210.7780.1724.51130.665eee212111/50.1620.467111/30.1720.565 ,0.4670.565

4、 1.9913.0145310.6651.991eAee2220.4670.15510.5650.1843.0141.9910.661eee323111/50.1550.471111/30.1840.559 ,0.471 0.559 1.9883.0185310.6611.988eAee3330.4710.15610.5590.1853.0181.9880.659eee434111/50.1560.473111/30.1850.561 ,0.4730.561 1.9943.0285310.6591.994eAee4440.4730.15610.5610.1853.0281.9940.659ee

5、e由于由于e4=e3，迭代經(jīng)過，迭代經(jīng)過4次中止，權(quán)系數(shù)是次中止，權(quán)系數(shù)是 1230.156,0.185,0.659.相應(yīng)的綜合評價公式是相應(yīng)的綜合評價公式是1230.1560.1850.659yxxx三、和法三、和法1、計(jì)算判斷矩陣、計(jì)算判斷矩陣A的每一列歸一化的每一列歸一化 1/nijijijiaa2按行求和按行求和 1niijjw3歸一化歸一化 1/niiiiWww12(,)TnWw ww則則Wi為所求特征向量。為所求特征向量。4計(jì)算計(jì)算AW5、計(jì)算最大特征值得近似值、計(jì)算最大特征值得近似值max1().niiiAWnW式中式中(AW)i表示向量表示向量AW的第的第i個分量。個分量。 例

6、例 某廠準(zhǔn)備購買一臺計(jì)算機(jī)，希望功能強(qiáng)，某廠準(zhǔn)備購買一臺計(jì)算機(jī)，希望功能強(qiáng)，價格低，維護(hù)容易?，F(xiàn)有價格低，維護(hù)容易。現(xiàn)有A、B、C三種機(jī)型可供三種機(jī)型可供選擇。其中選擇。其中A的性能較好，價格一般，維護(hù)一般的性能較好，價格一般，維護(hù)一般水平；水平；B的性能最好，價格較貴，維護(hù)也只需一的性能最好，價格較貴，維護(hù)也只需一般水平；般水平；C的性能差，但價格便宜，容易維護(hù)。的性能差，但價格便宜，容易維護(hù)。試用層次分析法進(jìn)行決策分析。試用層次分析法進(jìn)行決策分析。解：解：1、明確問題；、明確問題；2、建立層次結(jié)構(gòu)；、建立層次結(jié)構(gòu)；先構(gòu)造層先構(gòu)造層次結(jié)構(gòu)，如下圖所示。次結(jié)構(gòu)，如下圖所示。購買一臺滿意的計(jì)算機(jī)

7、購買一臺滿意的計(jì)算機(jī)G功能強(qiáng)功能強(qiáng)S1 價格低價格低S2C A B易維護(hù)易維護(hù)S3目標(biāo)層目標(biāo)層方案層方案層準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層 對于三個準(zhǔn)則（對于三個準(zhǔn)則（S1，S2，S3）關(guān)于）關(guān)于目標(biāo)目標(biāo)G的優(yōu)先順序，根據(jù)討論，該廠在計(jì)算的優(yōu)先順序，根據(jù)討論，該廠在計(jì)算機(jī)應(yīng)用上首先要求功能強(qiáng)，其次要求易維機(jī)應(yīng)用上首先要求功能強(qiáng)，其次要求易維護(hù)，再次才是價格低。其判斷矩陣如下表護(hù)，再次才是價格低。其判斷矩陣如下表所示。所示。3、構(gòu)造判斷矩陣構(gòu)造判斷矩陣表一表一GS1S2S3S1S2S311/51/351331/31 4、層次單排序及其一致性檢驗(yàn)（用方、層次單排序及其一致性檢驗(yàn)（用方根法計(jì)算這三個準(zhǔn)則關(guān)于目標(biāo)的排序權(quán)

8、值）根法計(jì)算這三個準(zhǔn)則關(guān)于目標(biāo)的排序權(quán)值）12315,0.667,1MMM333123152.446,0.6670.405,11www標(biāo)準(zhǔn)化：標(biāo)準(zhǔn)化： 12.4462.4460.6372.4460.405 13.871W 310.258.2.4460.405 1W 20.4050.1052.4460.405 1W 則則 iW為所求特征向量。為所求特征向量。 計(jì)算最大特征值計(jì)算最大特征值max1().niiiAWnW式中式中 ()iAW表示向量表示向量AW的第的第i個分量。個分量。 一致檢驗(yàn)結(jié)果為一致檢驗(yàn)結(jié)果為0.6371530.6370.105 .1/511/30.1050.2581/3310

9、.258WAW1 0.637+5 0.105+3 0.2581.9361/5 0.637+1 0.105+1/3 0.2580.3181/3 0.637+3 0.105+1 0.2580.7853max1()1.9360.3180.7853 0.6373 0.1053 0.258iiiAWnW1.9360.3180.7853.03851.9110.3150.774判斷矩陣的一致性指標(biāo)判斷矩陣的一致性指標(biāo)CI為為max3.038530.0192,13 1nCIn判斷矩陣的同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)判斷矩陣的同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI為為 (3)0.58RI 判斷矩陣的一致性指標(biāo)判斷矩陣的一致性指標(biāo)C

10、I與判斷矩與判斷矩陣的同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)陣的同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI之比稱之比稱為隨機(jī)一致性比率，記為為隨機(jī)一致性比率，記為CR，當(dāng)，當(dāng)0.01920.03320.100.58CICRRI時，即認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性，時，即認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性，否則就需要調(diào)整判斷矩陣，使其具有滿意否則就需要調(diào)整判斷矩陣，使其具有滿意的一致性。的一致性。5、層次總排序、層次總排序 這一過程是最高層次到最低層次逐層進(jìn)這一過程是最高層次到最低層次逐層進(jìn)行的。若上一層次行的。若上一層次A包含包含m個元素個元素 12,mA AA其層次總排序權(quán)值分別為其層次總排序權(quán)值分別為 12,ma aa次次B包含

11、包含n個元素個元素 下一層下一層12,nB BB它們對于元素它們對于元素 jA的層次單排序權(quán)值分別為的層次單排序權(quán)值分別為 12,jjnjbbb（當(dāng)（當(dāng) kB與與jA無關(guān)系時，無關(guān)系時， 0ijb ） 排序權(quán)值如表二給出。排序權(quán)值如表二給出。 。此時。此時B層次總層次總層次A1 A2 AmB層次總排序權(quán)重a1 a2 amB1B2Bnb11 b12 b1m w1b21 b22 b2m w2 bn1 bn2 bnm wn注：注： 1(1,2, )mijijjwa b in 同樣，三個方案對于各個準(zhǔn)則的判斷矩陣同樣，三個方案對于各個準(zhǔn)則的判斷矩陣以及運(yùn)算所得的結(jié)果見三、四、五、六。以及運(yùn)算所得的結(jié)果

12、見三、四、五、六。表三表三 1SA B CWABC1 1/4 24 1 81/2 1/8 10.18180.72720.09100.181811/420.18180.7272 .4180.72720.09101/21/810.0910WAW1 0.1818+0.7272 1/4+2 0.09100.54564 0.1818+0.7272 1+8 0.09102.18241/2 0.1818+0.7272 1/8+1 0.09100.27283max1()0.54562.18240.27283 0.18183 0.72723 0.091iiiAWnW0.54562.18240.27283.00.

13、54542.18160.273對準(zhǔn)則對準(zhǔn)則1S（功能強(qiáng)）來說：（功能強(qiáng)）來說：3.030.0,13 1nCInmax3.0max00.08CICRRI即認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性。即認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性。表四表四2SA B CWABC1 4 1/31/4 1 1/83 8 10.25590.07330.6708對準(zhǔn)則對準(zhǔn)則 2S（價格低）來說：（價格低）來說： 3.018,0.0091,0.01570.10.CICRmax即認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性。即認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性。表五表五3SA B CWABC1 1 1/31 1 1/53 5 10.18510.15620.6587對準(zhǔn)則對準(zhǔn)則 3S（價格低）來說：（價格低）來說： 3.029,0.0145,0.0250.10.CICRmax即認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性。即認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性。表六表六總排序權(quán)值總排序權(quán)值0.637 0.105 0.258ABC0.1818 0.2559 0.18510.7272 0.0733 0.1562 0.0910 0.6708 0.65870.18180.72720.09101S2S3SG0.1818 0.6370.2559 0.1050.1851 0.2580.18180.7272 0.6370.0733 0.1050.1562