清華大學(xué)傳熱學(xué)課件傳熱學(xué)41

1、1傳熱學(xué)的主要傳熱學(xué)的主要第四章 導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法tftftt x1x2 x3 x4第四章第四章 導(dǎo)熱問題數(shù)值解法基礎(chǔ)導(dǎo)熱問題數(shù)值解法基礎(chǔ)分析解法的優(yōu)點(diǎn)：分析解法的優(yōu)點(diǎn)：求解過程中的數(shù)學(xué)分析較嚴(yán)謹(jǐn)；求解過程中的數(shù)學(xué)分析較嚴(yán)謹(jǐn)；求解結(jié)果以函數(shù)形式表示，能清楚地顯示各種因素求解結(jié)果以函數(shù)形式表示，能清楚地顯示各種因素對(duì)溫度分布的影響對(duì)溫度分布的影響但是，工程技術(shù)中遇到的許多導(dǎo)熱問題具有復(fù)雜的但是，工程技術(shù)中遇到的許多導(dǎo)熱問題具有復(fù)雜的形狀或邊界條件，無法得出其分析解形狀或邊界條件，無法得出其分析解Numerical Heat Transfer（A, B） 數(shù)值傳熱學(xué)期刊數(shù)值傳熱學(xué)期刊數(shù)值計(jì)算方法

2、數(shù)值計(jì)算方法 有效解決復(fù)雜問題的方法；是具有有效解決復(fù)雜問題的方法；是具有一定精度的近似方法一定精度的近似方法數(shù)值解法數(shù)值解法：有限差分法有限差分法（finite-difference）、有限元、有限元法法（finite-element） 、邊界元法、邊界元法(boundary-element)、分子動(dòng)力學(xué)模擬分子動(dòng)力學(xué)模擬（MD）xttttwww211344-1 建立離散方程的方法建立離散方程的方法一、區(qū)域和時(shí)間的離散化一、區(qū)域和時(shí)間的離散化 有限差分法的基本原理有限差分法的基本原理把物體分割為有限個(gè)離散的單元體，用有限差商代把物體分割為有限個(gè)離散的單元體，用有限差商代替導(dǎo)數(shù)，從而將微分方程

3、轉(zhuǎn)化為差分方程。通過數(shù)替導(dǎo)數(shù)，從而將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程。通過數(shù)值計(jì)算求取各網(wǎng)格單元節(jié)點(diǎn)的溫度值計(jì)算求取各網(wǎng)格單元節(jié)點(diǎn)的溫度cqztytxtatv)(222222二維導(dǎo)熱問題；網(wǎng)二維導(dǎo)熱問題；網(wǎng)格線；沿格線；沿x、y方向方向的間距為的間距為 x、 y；網(wǎng)格單元網(wǎng)格單元節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)：網(wǎng)格線的：網(wǎng)格線的交點(diǎn)；交點(diǎn)；p(i,j)p(i,j)邊界節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)（Nodal point）每個(gè)節(jié)點(diǎn)溫度就代每個(gè)節(jié)點(diǎn)溫度就代表了它所在網(wǎng)格單表了它所在網(wǎng)格單元的溫度元的溫度此方法求得的溫此方法求得的溫度場(chǎng)在空間上不度場(chǎng)在空間上不連續(xù)連續(xù)網(wǎng)格越細(xì)密、節(jié)點(diǎn)越多，結(jié)果越接近分析解網(wǎng)格越細(xì)密、節(jié)點(diǎn)越多，結(jié)果越接近分析解p(

4、i,j)對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：除了在空間上把物體分割成網(wǎng)格：除了在空間上把物體分割成網(wǎng)格單元，時(shí)間上也要分割成許多間隔單元，時(shí)間上也要分割成許多間隔 網(wǎng)格越細(xì)密，計(jì)算所花時(shí)間越長(zhǎng)網(wǎng)格越細(xì)密，計(jì)算所花時(shí)間越長(zhǎng) 在時(shí)間上也是不連續(xù)的在時(shí)間上也是不連續(xù)的建立有限差分離散方程的常用方法建立有限差分離散方程的常用方法：(1) Taylor（泰勒）級(jí)數(shù)展開法；（泰勒）級(jí)數(shù)展開法；(2) 熱平衡法；熱平衡法；(3) 多項(xiàng)式擬合法；多項(xiàng)式擬合法；(4) 控制容積積分法控制容積積分法（Energy balance method）p(i,j)Taylor（泰勒）級(jí)數(shù)展開法（泰勒）級(jí)數(shù)展開法和和多項(xiàng)式擬合法

5、多項(xiàng)式擬合法偏重于從偏重于從數(shù)學(xué)的角度數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行推導(dǎo)進(jìn)行推導(dǎo)；而而熱平衡法熱平衡法和和控制容積積分法控制容積積分法則著重于從則著重于從物理的觀點(diǎn)物理的觀點(diǎn)來分析來分析建立差分方程的方法建立差分方程的方法(1) Taylor（泰勒）（泰勒） 級(jí)數(shù)展開法級(jí)數(shù)展開法(2) 多項(xiàng)式擬合法多項(xiàng)式擬合法 (3) 熱平衡法熱平衡法(4) 控制容積積分法控制容積積分法前一類方法優(yōu)點(diǎn)前一類方法優(yōu)點(diǎn)：便于對(duì)離散方程進(jìn)行數(shù)學(xué)特性分析：便于對(duì)離散方程進(jìn)行數(shù)學(xué)特性分析缺點(diǎn)缺點(diǎn)：變步長(zhǎng)網(wǎng)格的離散方程形式復(fù)雜、導(dǎo)出過程的：變步長(zhǎng)網(wǎng)格的離散方程形式復(fù)雜、導(dǎo)出過程的物理概念不清晰、不能保證差分方程具有守恒特性物理概念不清晰

6、、不能保證差分方程具有守恒特性后一類方法優(yōu)點(diǎn)后一類方法優(yōu)點(diǎn)：推導(dǎo)過程物理概念清晰、離散方程：推導(dǎo)過程物理概念清晰、離散方程系數(shù)具有一定物理意義、保證差分方程具有守恒特性系數(shù)具有一定物理意義、保證差分方程具有守恒特性缺點(diǎn)缺點(diǎn)：不便于對(duì)離散方程進(jìn)行數(shù)學(xué)特性分析：不便于對(duì)離散方程進(jìn)行數(shù)學(xué)特性分析1、Taylor（泰勒）級(jí)數(shù)展開法（泰勒）級(jí)數(shù)展開法將函數(shù)將函數(shù) t(x, y, z) 在某點(diǎn)（在某點(diǎn)（i+1, j）對(duì)點(diǎn)（對(duì)點(diǎn)（i, j）作）作Taylor展開展開二、建立差分方程的方法二、建立差分方程的方法.! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttjijijijiji)(0 .! 3! 2

7、, 12,33,22, 1,xxttxxtxxtxttxtjijijijijijiji二階導(dǎo)數(shù)和更高階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)和更高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)之和項(xiàng)之和 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差cqztytxtatv)(222222)(0 .! 3! 2, 12,33,22, 1,xxttxxtxxtxttxtjijijijijijiji二階導(dǎo)數(shù)和更高階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)和更高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)之和項(xiàng)之和 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差無關(guān)的正實(shí)數(shù)是與；于時(shí)的截?cái)嗾`差小于等代替來用趨近于零隨xcxcxtxttxjijiji , , 1節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)（i, j）一階導(dǎo)數(shù)的向前差分表達(dá)式一階導(dǎo)數(shù)的向前差分表達(dá)式；一階截差公式；一階截差公式將函數(shù)將函數(shù) t(x, y,

8、z) 在均勻網(wǎng)在均勻網(wǎng)格點(diǎn)（格點(diǎn)（i-1, j）對(duì)點(diǎn)（）對(duì)點(diǎn)（i, j）作作Taylor展開：展開：.! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttjijijijiji)(0 .! 3! 2, 1,2,33,22, 1,xxttxxtxxtxttxtjijijijijijiji節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)（i, j）一階導(dǎo)數(shù)的向后差分表達(dá)式一階導(dǎo)數(shù)的向后差分表達(dá)式；一階截差公式；一階截差公式)(0! 232,22, 1xxxtxxtttjijijiji節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)（i, j）一階導(dǎo)數(shù)的中心一階導(dǎo)數(shù)的中心差分表達(dá)式差分表達(dá)式；二階截差公式；二階截差公式)(0! 232,22, 1xxxtxxtttjiji

9、jiji二方程相減，得：二方程相減，得：)(022, 1, 1,xxttxtjijiji節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)（i, j）一階導(dǎo)數(shù)的三種表達(dá)式中，）一階導(dǎo)數(shù)的三種表達(dá)式中，中心差分表中心差分表達(dá)式的截?cái)嗾`差最小達(dá)式的截?cái)嗾`差最小；盡可能采用中心差分表達(dá)式；盡可能采用中心差分表達(dá)式節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)（i, j）二階導(dǎo)數(shù)的中心差分表達(dá)式二階導(dǎo)數(shù)的中心差分表達(dá)式；二階截差公式；二階截差公式二方程相加，得：二方程相加，得：)(0222, 1, 1,22xxtttxtjijijiji在表示溫度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)時(shí)一般采用向前或向后在表示溫度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)時(shí)一般采用向前或向后差分表達(dá)式差分表達(dá)式溫度對(duì)時(shí)間的中心差分表達(dá)式不穩(wěn)

10、定溫度對(duì)時(shí)間的中心差分表達(dá)式不穩(wěn)定)(0! 3! 243,332,22, 1xxxtxxtxxtttjijijijiji)(0! 3! 243,332,22, 1xxxtxxtxxtttjijijijiji)(02221,1,22yytttytjijijiji節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) P(i, j) 的溫度離散方程的溫度離散方程)(0222, 1, 1,22xxtttxtjijijiji在寫出導(dǎo)數(shù)差分表達(dá)式后，可以很容易建立導(dǎo)熱微分在寫出導(dǎo)數(shù)差分表達(dá)式后，可以很容易建立導(dǎo)熱微分方程的離散方程。方程的離散方程。)(02221,1,22yytttytjijijiji02222ytxt以常物性、無內(nèi)熱源、以常物性、

11、無內(nèi)熱源、二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例：二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例：02221,1,2, 1, 1ytttxtttjijijijijiji2、熱平衡法、熱平衡法（Energy balance method）(i, j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j-1)S (i,j+1)NP x x y y 熱平衡法的優(yōu)點(diǎn)熱平衡法的優(yōu)點(diǎn)（1）物理意義明確；）物理意義明確；（2）當(dāng)熱導(dǎo)率是溫度）當(dāng)熱導(dǎo)率是溫度 的函數(shù)或內(nèi)熱源的函數(shù)或內(nèi)熱源 不是均勻分布時(shí)，不是均勻分布時(shí)， 較簡(jiǎn)單；較簡(jiǎn)單；（3）適用于均勻與非）適用于均勻與非 均勻網(wǎng)格；均勻網(wǎng)格；（4）適用于內(nèi)節(jié)點(diǎn)和）適用于內(nèi)節(jié)點(diǎn)和 邊界節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn) 在穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱條件下

12、：在穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱條件下：導(dǎo)入與導(dǎo)出網(wǎng)格單元凈熱量導(dǎo)入與導(dǎo)出網(wǎng)格單元凈熱量 + 網(wǎng)格單元內(nèi)熱源發(fā)熱量網(wǎng)格單元內(nèi)熱源發(fā)熱量=0 不存在內(nèi)熱源時(shí)：不存在內(nèi)熱源時(shí)：0SPNPEPWP(i, j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j-1)S (i,j+1)NP x x y y根據(jù)傅里葉定律：根據(jù)傅里葉定律：0SPNPEPWPxttyjijiWP, 11代入熱平衡關(guān)系式：代入熱平衡關(guān)系式：時(shí)、constyx04,1,1, 1, 1jijijijijitttttxttyjijiEP, 11yttxjijiNP,1,1yttxjijiSP,1,1(i, j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j

13、-1)S (i,j+1)NP x x y yxttyjijiWP, 11xttyjijiEP, 11yttxjijiNP,1,1yttxjijiSP,1,10SPNPEPWP 熱平衡法的優(yōu)點(diǎn)熱平衡法的優(yōu)點(diǎn)（1）物理意義明確）物理意義明確（2）適于熱導(dǎo)率是溫度的函數(shù)或內(nèi)熱源非均勻分布）適于熱導(dǎo)率是溫度的函數(shù)或內(nèi)熱源非均勻分布（3）適用于均勻與非均勻網(wǎng)格）適用于均勻與非均勻網(wǎng)格（4）適用于內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)）適用于內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計(jì)算穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計(jì)算一、內(nèi)節(jié)點(diǎn)溫度差分方程一、內(nèi)節(jié)點(diǎn)溫度差分方程可以用可以用Taylor（泰勒）（泰勒）級(jí)數(shù)展開法或熱平衡法；級(jí)數(shù)展開法或熱

14、平衡法；熱平衡法有優(yōu)點(diǎn)熱平衡法有優(yōu)點(diǎn)時(shí)、constyx04,1,1, 1, 1jijijijijittttt(i, j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j-1)S (i,j+1)NP x x y y二、邊界節(jié)點(diǎn)溫度差分方程二、邊界節(jié)點(diǎn)溫度差分方程第一類邊界條件：第一類邊界條件：?jiǎn)栴}簡(jiǎn)單；邊界節(jié)點(diǎn)溫度給定問題簡(jiǎn)單；邊界節(jié)點(diǎn)溫度給定第二類、第三類邊界條件第二類、第三類邊界條件：根據(jù)給定的具體條件，：根據(jù)給定的具體條件，針對(duì)邊界節(jié)點(diǎn)所在的網(wǎng)格單元，寫出熱平衡關(guān)系式，針對(duì)邊界節(jié)點(diǎn)所在的網(wǎng)格單元，寫出熱平衡關(guān)系式，建立邊界節(jié)點(diǎn)溫度差分方程建立邊界節(jié)點(diǎn)溫度差分方程例：例：第三類邊界條件第三類邊

15、界條件： 假設(shè)無內(nèi)熱源假設(shè)無內(nèi)熱源0)(22,1,1, 1jMfjMjMjMjMjMjMttyhyttxyttxxtty0)(22,1,1, 1jMfjMjMjMjMjMjMttyhyttxyttxxttyyx?。?2242,1,1, 1fjMjMjMjMtxhtxhttt）（三、節(jié)點(diǎn)方程組的求解三、節(jié)點(diǎn)方程組的求解寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程n個(gè)未知節(jié)點(diǎn)溫度，個(gè)未知節(jié)點(diǎn)溫度，n個(gè)代數(shù)方程式個(gè)代數(shù)方程式：nnnnnnnnnnnbtatatatbtatatatbtatatat.2211222221212112121111代數(shù)方程組的求解方法：代數(shù)方

16、程組的求解方法：直接解法、迭代解法直接解法、迭代解法直接解法直接解法：通過有限次運(yùn)算獲得代數(shù)方程精確解：通過有限次運(yùn)算獲得代數(shù)方程精確解; 矩陣求逆、高斯消元法矩陣求逆、高斯消元法迭代解法迭代解法：先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)、在迭代計(jì)算：先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)、在迭代計(jì)算過程中不斷予以改進(jìn)、直到計(jì)算結(jié)果與假定值的結(jié)過程中不斷予以改進(jìn)、直到計(jì)算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計(jì)算已經(jīng)收斂。果相差小于允許值。稱迭代計(jì)算已經(jīng)收斂。缺點(diǎn)缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時(shí)不便、不適用：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時(shí)不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)

17、點(diǎn)溫度差分方程中的系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這分方程中的系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計(jì)算過程中要相應(yīng)地不斷更新）些系數(shù)在計(jì)算過程中要相應(yīng)地不斷更新）迭代解法有多種：簡(jiǎn)單迭代（迭代解法有多種：簡(jiǎn)單迭代（Jacobi迭代）、迭代）、高斯高斯-賽德爾迭代賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等、塊迭代、交替方向迭代等高斯高斯-賽德爾迭代的特點(diǎn)賽德爾迭代的特點(diǎn)：每次迭代時(shí)總是使用節(jié)點(diǎn)：每次迭代時(shí)總是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值溫度的最新值2411 112 2111j jn na ta ta ta tb21 122 2222j jn na ta ta ta tb1 12 2nnnj jnn nna

18、 ta ta ta tb 1112 211111jjn ntba ta ta ta2221 122221jjn ntba ta ta ta1 1(1)11nnnnjjn nnnntba ta tata 001,ntt111,ntt221,ntt1,kkntt1maxkkiitt(1)( )( )maxkkiikittt或2511000112 211111jnjntba ta ta ta21110022122221jnjntba ta ta ta1111111(1)1njnnnnjn nnntba ta tata 判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：)(max)() 1()()()

19、1()() 1(maxmaxmaxkkikikikikikikitttttttt631010 取值一般相對(duì)偏差允許的偏差；k及及k+1表示迭代次數(shù)；表示迭代次數(shù)；第第k次迭代得到的最大值次迭代得到的最大值(k)maxt當(dāng)有接近于零的當(dāng)有接近于零的t時(shí)，第三個(gè)較好時(shí)，第三個(gè)較好有時(shí)還要同時(shí)考慮熱流密度收斂有時(shí)還要同時(shí)考慮熱流密度收斂4-3 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計(jì)算非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計(jì)算非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的主要區(qū)別非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的主要區(qū)別：控制方程中多：控制方程中多一個(gè)非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)；溫度隨空間和時(shí)間變化一個(gè)非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)；溫度隨空間和時(shí)間變化能量平衡關(guān)系能量平衡關(guān)系：網(wǎng)格單元不僅：網(wǎng)格單元不僅與相

20、鄰的網(wǎng)格單元之間有熱量與相鄰的網(wǎng)格單元之間有熱量的導(dǎo)入或?qū)С觯膶?dǎo)入或?qū)С?，網(wǎng)格單元本身網(wǎng)格單元本身的熱力學(xué)能也隨時(shí)間發(fā)生變化的熱力學(xué)能也隨時(shí)間發(fā)生變化)(2222ytxtat溫度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)溫度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)：向前差分、向后差分：向前差分、向后差分差分方程：差分方程：顯式差分格式顯式差分格式、隱式差分格式隱式差分格式28 一、內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的顯式差分格式一、內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的顯式差分格式常物性、無內(nèi)熱源、常物性、無內(nèi)熱源、一維、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一維、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱22xtatAx、截面積、 WUQ內(nèi)節(jié)點(diǎn)內(nèi)節(jié)點(diǎn) i、在、在 k 時(shí)刻熱平衡關(guān)系式：時(shí)刻熱平衡關(guān)系式：kikikikikikittcxAxttAxtt

21、A111可用泰勒級(jí)數(shù)展開法或可用泰勒級(jí)數(shù)展開法或熱平衡法熱平衡法內(nèi)節(jié)點(diǎn)內(nèi)節(jié)點(diǎn) i、 k 時(shí)刻：時(shí)刻：kikikikikikittcxAxttAxttA111)2(1121kikikikikitttxatt網(wǎng)格傅里葉數(shù)令： Fo2xa),.2 , 1 ; 1,.2 , 1( )Fo21 ()(Fo111mknittttkikikiki用用Taylor級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)展開法可以得展開法可以得到同樣的結(jié)果到同樣的結(jié)果) ,.2 , 1 , 0 ; 1 ,.2 , 1( )Fo21 ()(Fo111mknittttkikikiki只要知道只要知道 k 時(shí)刻各節(jié)點(diǎn)溫時(shí)刻各節(jié)點(diǎn)溫度，就可以利用上式計(jì)算出度，就可以

22、利用上式計(jì)算出 (k+1) 時(shí)刻各節(jié)點(diǎn)的溫度時(shí)刻各節(jié)點(diǎn)的溫度顯式差分格式顯式差分格式： (k+1) 時(shí)時(shí)刻各節(jié)點(diǎn)的溫度直接利用前刻各節(jié)點(diǎn)的溫度直接利用前一個(gè)時(shí)刻（一個(gè)時(shí)刻（ k ）各節(jié)點(diǎn)的）各節(jié)點(diǎn)的溫度以顯函數(shù)的形式表示溫度以顯函數(shù)的形式表示根據(jù)穩(wěn)定性分析根據(jù)穩(wěn)定性分析：必須保證每項(xiàng)前面的系數(shù)必須保證每項(xiàng)前面的系數(shù)021Fo 0Fo212xa一維非穩(wěn)態(tài)內(nèi)節(jié)點(diǎn)一維非穩(wěn)態(tài)內(nèi)節(jié)點(diǎn)顯式差分格式的穩(wěn)顯式差分格式的穩(wěn)定性條件定性條件21Fo2xa一維非穩(wěn)態(tài)內(nèi)節(jié)一維非穩(wěn)態(tài)內(nèi)節(jié)點(diǎn)顯式差分格式點(diǎn)顯式差分格式的穩(wěn)定性條件的穩(wěn)定性條件的選取就不是任意的！確定，一旦 x二維和三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)節(jié)點(diǎn)顯式格式的穩(wěn)定性條件：

23、二維和三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)節(jié)點(diǎn)顯式格式的穩(wěn)定性條件：61Fo ;41Fo22xaxa若違反穩(wěn)定性條件，則計(jì)算值波動(dòng)、出現(xiàn)違反熱力學(xué)若違反穩(wěn)定性條件，則計(jì)算值波動(dòng)、出現(xiàn)違反熱力學(xué)第二定律的現(xiàn)象第二定律的現(xiàn)象 自學(xué)教科書自學(xué)教科書二、內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的隱式差分格式二、內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的隱式差分格式常物性、無內(nèi)熱源、常物性、無內(nèi)熱源、一維、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一維、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱22xtatWUQ內(nèi)節(jié)點(diǎn)內(nèi)節(jié)點(diǎn) i、在、在 k 時(shí)刻熱平衡關(guān)系式：時(shí)刻熱平衡關(guān)系式：溫度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)改為向后差分溫度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)改為向后差分111kikikikikikittcxAxttAxttA內(nèi)節(jié)點(diǎn)內(nèi)節(jié)點(diǎn) i、 k 時(shí)刻：時(shí)刻：111kikiki

24、kikikittcxAxttAxttA)2(1121kikikikikitttxatt111)(FoFo21 kikikikitttt）（網(wǎng)格傅里葉數(shù) Fo2xa111)(FoFo21kikikikitttt）（) ,.2 , 1 , 0 ; 1 ,.2 , 1( )(FoFo2111111mknittttkikikiki）（改寫為：改寫為：隱差分格式：隱差分格式： (k+1) 時(shí)刻各節(jié)點(diǎn)的溫度時(shí)刻各節(jié)點(diǎn)的溫度不能不能直接利直接利用前一個(gè)時(shí)刻（用前一個(gè)時(shí)刻（ k ）各節(jié)點(diǎn)的溫度以顯函數(shù)的形式）各節(jié)點(diǎn)的溫度以顯函數(shù)的形式表示（表示（含有未知的含有未知的 ）11kit隱差分格式無條件穩(wěn)定隱差分格式

25、無條件穩(wěn)定),.2 , 1 ; 1,.2 , 1( )(FoFo2111111mknittttkikikiki）（可以是任意的！的選取和x需將所有的內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)方程式聯(lián)立求解需將所有的內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)方程式聯(lián)立求解三、邊界節(jié)點(diǎn)溫度差分方程三、邊界節(jié)點(diǎn)溫度差分方程第一類邊界條件：第一類邊界條件： 問題簡(jiǎn)單；邊界節(jié)點(diǎn)溫度給定問題簡(jiǎn)單；邊界節(jié)點(diǎn)溫度給定第二類、第三類邊界條件：第二類、第三類邊界條件：根據(jù)給定的具體條件，針對(duì)邊界節(jié)點(diǎn)所在的網(wǎng)格單元，根據(jù)給定的具體條件，針對(duì)邊界節(jié)點(diǎn)所在的網(wǎng)格單元，寫出熱平衡關(guān)系式，建立邊界節(jié)點(diǎn)溫度差分方程寫出熱平衡關(guān)系式，建立邊界節(jié)點(diǎn)溫度差分方程顯式或隱式差分格式顯

26、式或隱式差分格式假設(shè)邊界條件為第三類：假設(shè)邊界條件為第三類：fth ,邊界節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)0， k 時(shí)刻熱平衡：時(shí)刻熱平衡：kkkkfkkttcxAtthAxttA0100012)(1、邊界節(jié)點(diǎn)的顯式差分格式、邊界節(jié)點(diǎn)的顯式差分格式kkkkfkkttcxAtthAxttA0100012)()(2)(0102001kkkkfkkttxcttxhttFo1 Bi22axxcxh網(wǎng)格畢渥數(shù)；),.2 , 1( )BiFo2Fo21 ()Bi(Fo20110mkttttkkfkk),.2 , 1( )BiFo2Fo21 ()Bi(Fo20110mkttttkkfkk穩(wěn)定性條件：穩(wěn)定性條件：0BiFo2Fo

27、212Bi21Fo綜合考慮內(nèi)節(jié)點(diǎn)與邊界節(jié)點(diǎn)綜合考慮內(nèi)節(jié)點(diǎn)與邊界節(jié)點(diǎn)：對(duì)于第三類邊界條件、：對(duì)于第三類邊界條件、應(yīng)用顯式差分格式時(shí)，其應(yīng)用顯式差分格式時(shí)，其穩(wěn)定性條件穩(wěn)定性條件：2Bi21Fo一維非穩(wěn)態(tài)內(nèi)節(jié)一維非穩(wěn)態(tài)內(nèi)節(jié)點(diǎn)顯式差分格式點(diǎn)顯式差分格式的穩(wěn)定性條件的穩(wěn)定性條件21Fo綜合考慮內(nèi)節(jié)點(diǎn)與邊界節(jié)點(diǎn)綜合考慮內(nèi)節(jié)點(diǎn)與邊界節(jié)點(diǎn)：對(duì)于第一、二類邊界條件、對(duì)于第一、二類邊界條件、顯式差分格式的顯式差分格式的 穩(wěn)定性條件穩(wěn)定性條件：21Fo第三類邊界條件、二維非第三類邊界條件、二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱均勻網(wǎng)格的顯式穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱均勻網(wǎng)格的顯式差分格式穩(wěn)定性條件：差分格式穩(wěn)定性條件：4Bi21Fo第三類邊界條件、三維非

28、穩(wěn)第三類邊界條件、三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱均勻網(wǎng)格的顯式差分態(tài)導(dǎo)熱均勻網(wǎng)格的顯式差分格式穩(wěn)定性條件：格式穩(wěn)定性條件：6Bi21Fo邊界節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)0， k 時(shí)刻熱平衡：時(shí)刻熱平衡：2、邊界節(jié)點(diǎn)的隱式差分格式、邊界節(jié)點(diǎn)的隱式差分格式熱力學(xué)能的變化項(xiàng)用向后差分熱力學(xué)能的變化項(xiàng)用向后差分1000012)(kkkkfkkttcxAtthAxttA邊界節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)0， k 時(shí)刻熱平衡：時(shí)刻熱平衡：1000012)(kkkkfkkttcxAtthAxttAkkkkfkkttcxAtthAxttA01010110112)()(2)(01021011011kkkkfkkttxcttxhtt)(Fo21)(Bi01010

29、11011kkkkfkktttttt)(Fo21)(Bi0101011011kkkkfkktttttt),.2 , 1( )Bi(Fo2)BiFo2Fo21 (111010mkttttkfkkk隱式差分格式是無條件穩(wěn)定的隱式差分格式是無條件穩(wěn)定的4、節(jié)點(diǎn)方程組的求解、節(jié)點(diǎn)方程組的求解所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程 + 邊界節(jié)點(diǎn)差分方程邊界節(jié)點(diǎn)差分方程（1）應(yīng)用顯式差分格式時(shí)）應(yīng)用顯式差分格式時(shí)：計(jì)算簡(jiǎn)單；根據(jù)初始條：計(jì)算簡(jiǎn)單；根據(jù)初始條 件可依次計(jì)算出各個(gè)時(shí)刻、各節(jié)點(diǎn)的溫度值件可依次計(jì)算出各個(gè)時(shí)刻、各節(jié)點(diǎn)的溫度值kikikikitttt)Fo21 ()(Fo111kkfkktttt011

30、0)BiFo2Fo21 ()Bi(Fo2kikikikitttt)Fo21 ()(Fo111kkfkktttt0110)BiFo2Fo21 ()Bi(Fo2注意：穩(wěn)定性條件；注意：穩(wěn)定性條件；的選取非任意！與x（2）應(yīng)用隱式差分格式時(shí)）應(yīng)用隱式差分格式時(shí)：需采用迭代法：需采用迭代法kikikikitttt)(FoFo2111111）（)Bi(Fo2)BiFo2Fo21 (111010kfkkktttt) ,.2 , 1 , 0 ; 1 ,.2 , 1(mkni（1）應(yīng)用顯式差分格式時(shí)）應(yīng)用顯式差分格式時(shí)：計(jì)算簡(jiǎn)單；根據(jù)初始條：計(jì)算簡(jiǎn)單；根據(jù)初始條 件可依次計(jì)算出各個(gè)時(shí)刻、各節(jié)點(diǎn)的溫度值件可依次

31、計(jì)算出各個(gè)時(shí)刻、各節(jié)點(diǎn)的溫度值（參見教科書及陶文銓著的（參見教科書及陶文銓著的數(shù)值傳熱學(xué)數(shù)值傳熱學(xué)）4-4 控制容積積分法簡(jiǎn)介控制容積積分法簡(jiǎn)介（Control volume）導(dǎo)出離散方程的控制容積積分法也叫有限容積法，導(dǎo)出離散方程的控制容積積分法也叫有限容積法，是傳熱問題的數(shù)值計(jì)算中最常用的方法是傳熱問題的數(shù)值計(jì)算中最常用的方法主要步驟：主要步驟：1、將控制方程（導(dǎo)熱微分方、將控制方程（導(dǎo)熱微分方 程）在所選取的控制容積程）在所選取的控制容積 及時(shí)間間隔內(nèi)對(duì)空間和時(shí)及時(shí)間間隔內(nèi)對(duì)空間和時(shí) 間進(jìn)行積分間進(jìn)行積分2、選定未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)對(duì)時(shí)間及空間的局部分布、選定未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)對(duì)時(shí)間及空間的局

32、部分布 曲線形式（型線或插值方法）曲線形式（型線或插值方法）3、對(duì)各個(gè)項(xiàng)按選定的型線進(jìn)行積分，并整理成關(guān)于、對(duì)各個(gè)項(xiàng)按選定的型線進(jìn)行積分，并整理成關(guān)于 節(jié)點(diǎn)上位置值的代數(shù)方程節(jié)點(diǎn)上位置值的代數(shù)方程用控制容積積分法導(dǎo)出離散方程應(yīng)用舉例：用控制容積積分法導(dǎo)出離散方程應(yīng)用舉例：cqxtatv22一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程1、將導(dǎo)熱微分方程在選取的控制容積及時(shí)間間隔內(nèi)、將導(dǎo)熱微分方程在選取的控制容積及時(shí)間間隔內(nèi) 對(duì)空間和時(shí)間進(jìn)行積分對(duì)空間和時(shí)間進(jìn)行積分dxdcqdxdxtadxdtewvewew 22dxdcqdxtxtadxttewvweew)(2、選定未知函數(shù)（溫度）、選定未知函

33、數(shù)（溫度）及其導(dǎo)數(shù)對(duì)時(shí)間及空間及其導(dǎo)數(shù)對(duì)時(shí)間及空間的局部分布曲線形式的局部分布曲線形式（型線或插值方法）（型線或插值方法）dxdcqdxtxtadxttewvweew)(分段線性分段線性階梯式階梯式分段線性分段線性階梯式階梯式 3、對(duì)各個(gè)項(xiàng)按選定的型線進(jìn)行積分，并整理成關(guān)于、對(duì)各個(gè)項(xiàng)按選定的型線進(jìn)行積分，并整理成關(guān)于 節(jié)點(diǎn)上位置值的代數(shù)方程節(jié)點(diǎn)上位置值的代數(shù)方程dxdcqdxtxtadxttewvweew)(（1）非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)：）非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)：取取 t 隨隨 x 變化的型線為階梯式變化的型線為階梯式即：同一控制容積即：同一控制容積中各處中各處 t 值相同，值相同，為節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)P上之值上之值xttdxt

34、tPPew)()(分段線性分段線性階梯式階梯式分段線性分段線性階梯式階梯式 dxdcqdxtxtadxttewvweew)(（2）擴(kuò)散項(xiàng)：）擴(kuò)散項(xiàng)：取取 t 的一階導(dǎo)數(shù)隨時(shí)間作顯式階躍式變化的一階導(dǎo)數(shù)隨時(shí)間作顯式階躍式變化wewextxtdxtxt取取 t 隨隨 x 呈分呈分段線性變化段線性變化ePEexttxt)(wWPwxttxt)(分段線性分段線性階梯式階梯式分段線性分段線性階梯式階梯式 擴(kuò)散項(xiàng)：擴(kuò)散項(xiàng)：wewextxtdxtxtePEexttxt)(wWPwxttxt)(wWPePEwexttxttadxtxta)()(（3）源項(xiàng)：）源項(xiàng)：假設(shè)源項(xiàng)對(duì)假設(shè)源項(xiàng)對(duì) x 和和 均呈階梯均呈階梯式變化式變化dxdcqewvxcqdxdcqvewv 擴(kuò)