第六章頻域分析法

1、6.1 頻率特性 1. 頻率特性的基本概念 頻率特性又稱(chēng)頻率響應(yīng)（Frequency Response）， 它是系統(tǒng)（或元件）對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性。 對(duì)線性系統(tǒng)， 若其輸入信號(hào)為正弦量， 則其穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)也將是同頻率的正弦量。 但是其幅值和相位一般都不同于輸入量。 若逐次改變輸入信號(hào)的（角）頻率，則輸出響應(yīng)的幅值與相位都會(huì)發(fā)生變化， 參見(jiàn)圖6 - 1。 第6章 頻域分析法 圖6 - 1 線性系統(tǒng)的頻率特性響應(yīng)示意圖 線性系統(tǒng)r1(t) Asin1ttr2(t) Asin2ttOO輸入信號(hào)c1(t) M1Asin(1t1)t1c2(t) M2Asin(2t2)2輸出信號(hào)O 由圖6-1

2、可見(jiàn)，若r1(t)=A sin1t,其輸出為 c1(t)=A1 sin(1t+1)=M1A sin(1t+1)，即振幅增加了M1倍， 相位超前了1角。若改變頻率，使r2(t)=A sin2t，則系統(tǒng)的輸出變?yōu)閏2(t)=A2 sin(2t-2)=M2 sin(2t-2)， 這時(shí)輸出量的振幅減少了(增加M2倍， 但M21), 相位滯后2角。 因此， 若以頻率以頻率為自變量，為自變量， 系統(tǒng)輸出量振幅增長(zhǎng)的倍數(shù)系統(tǒng)輸出量振幅增長(zhǎng)的倍數(shù)M和相位的變化量和相位的變化量為兩個(gè)因變量，為兩個(gè)因變量， 這便是系統(tǒng)的頻率特性。這便是系統(tǒng)的頻率特性。 若設(shè)輸入量為 r(t)=Ar sint 則輸出量將為c(t)

3、=Ac sin(t+)=MAr sin(t+) 一個(gè)穩(wěn)定的線性系統(tǒng)， 模模M和相位移和相位移都是都是頻率頻率的函數(shù)的函數(shù)（隨的變化而改變）， 所以通常寫(xiě)成M()和()。 這意味著， 它們的值對(duì)不同的頻率可能是不同的， 參見(jiàn)圖6 - 2。 圖4 - 2 某自動(dòng)控制系統(tǒng)的頻率特性 (A) 幅頻特性; (b) 相頻特性0.51.0M()0()090180(a)(b)M()稱(chēng)為幅值頻率特性稱(chēng)為幅值頻率特性， 簡(jiǎn)稱(chēng)幅頻特性幅頻特性(MAGnitude ChArActeristic)。 ()稱(chēng)為相位頻率特性稱(chēng)為相位頻率特性， 簡(jiǎn)稱(chēng)相頻特性相頻特性(PhAse ChArActeristic)。 兩者統(tǒng)稱(chēng)頻率

4、特性?xún)烧呓y(tǒng)稱(chēng)頻率特性(Frequency ChArActeristic)或幅相頻率特性幅相頻率特性(MAGnitudePhAse ChArActeristic)。 頻率特性常用G(j)符號(hào)表示， 幅頻特性幅頻特性M()表示為表示為|G(j)|， 相頻特性表示為相頻特性表示為G(j)， 三者可寫(xiě)成下面的形式： G(j)=|G(j)|G(j) (6 - 1)2. 頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系 頻率特性和傳遞函數(shù)之間存在著密切關(guān)系。 若系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)為G(s), 則其頻率特性為G(j)。 這就是說(shuō)， 只要將傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用純虛數(shù)j代替， 就可以得到頻率特性。 事實(shí)上， 頻率特性是傳遞函數(shù)的一

5、種特殊情形。 由拉氏變換可知， 傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s=+j。 若=0, 則s=j。 所以， G(j)就是=0時(shí)的G(s)。 根據(jù)頻率特性和傳遞函數(shù)之間的這種關(guān)系， 可以很方便地由傳遞函數(shù)求取頻率特性， 也可由頻率特性來(lái)求取傳遞函數(shù)。 即)()(jGsGjsjs 既然頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊情形， 那么， 傳遞函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)律對(duì)于頻率特性也是適用的。 下面來(lái)證明這種本質(zhì)聯(lián)系。 線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為mnsRasabsbsCmnasabsbsRsCsGnnmmnnmm)()()()()(0000(6 - 2) 由上式有由上式有 若輸入量r(t)=Ar sint, 則將其拉氏式R

6、(s)=Ar/(s2+2)代入式（6 - 2）有)()()()(/ )()(12102200jsDjsBssCjsjsAssssssabsbsAasabsbsCiininnmmnnmm (6 - 3) 式中， si為系統(tǒng)特征方程的特征根；為系統(tǒng)特征方程的特征根； Ci、 B、 D均為均為待定常系數(shù)。待定常系數(shù)。 將式(6-3)進(jìn)行拉氏反變換， 即得系統(tǒng)輸出量 )()(1tjtjtsiniDeBeeCtci(6 - 4)對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)， 特征根si將具有負(fù)實(shí)部。 因此, c(t)的的第一部分為暫態(tài)分量，將隨時(shí)間第一部分為暫態(tài)分量，將隨時(shí)間t的延續(xù)而逐漸趨于零。的延續(xù)而逐漸趨于零。 c(t)的第二

7、部分為穩(wěn)態(tài)分量，的第二部分為穩(wěn)態(tài)分量， 以cs(t)表示: cs(t)=Be-jt+Dejt (6 - 5) 式(6 - 5)恰是所要求解的部分。 其中B、 D可由待定系數(shù)法求得:jjGAjssAsGDjjGAjssAsGBrjsrrjsr2)(| )()(2)(| )()(2222 G(j)為一復(fù)數(shù)量， 它可寫(xiě)成下列形式： G(j)=M()ej() (6 - 6) 同理可得 G(-j)=M()e-j() 把G(j)和G(-j)代入B和D， 再把B和D代入式(6- 5)， 于是有jeeMAtctjtjra2)()()()(由歐拉公式， 上式可化為 cs(t)=Ac sint+() (6- 7)

8、 3. 頻率特性的表示方式 1) 數(shù)學(xué)式表示方式 頻率特性是一個(gè)復(fù)數(shù)，和其他復(fù)數(shù)一樣， 可以表示為指數(shù)形式、直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)等幾種，參見(jiàn)圖6-3。極坐標(biāo)的橫軸為實(shí)軸(ReAl Axis)，標(biāo)以Re，縱軸為虛軸(IMAGinAry Axis)，標(biāo)以IM。頻率特性的幾種表示方式如以下各式所示。 0.51.0M()0()090180(a)(b) 圖6 3 頻率特性的幾種表示方式 G(j) =U()+jV() （直角坐標(biāo)表示式） (4 - 8) =|G(j)|G(j) (極坐標(biāo)表示式） (6 - 9) =M()ej() (指數(shù)表示式） (6 - 10) 在以上各式中，通常稱(chēng)U()為實(shí)頻特性, V()為

9、虛頻特性,M()為幅頻特性, ()為相頻特性,G(j)為幅相頻率特性。顯然， 幅頻特性)()()()(22VUjGM (6- 11) 相頻特性 )()(arctan)()(UVjG(6 - 12) 已知慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 11)(TssG其頻率特性為 )()(11111)(2222jVUTTjTjTjG 由上式并參照式(6 - 8)、 式(6 - 11)和式(6- 12)可得: 實(shí)頻特性11)(22TU 幅頻特性 1)(22TTV 相頻特性 11111)(22222222TTTTM(6- 14) (6 - 13)相頻特性 )arctan() 1/(1) 1/(arctan)(2222TTTT

10、 2) 圖形表示方式 (1) 極坐標(biāo)圖（PolAr Plot）。 極坐標(biāo)圖又稱(chēng)奈奎斯特圖。 當(dāng)從0變化時(shí)，根 據(jù) 頻 率 特 性 的 極 坐 標(biāo) 表 示 式 G(j)=|G(j)|G(j)=M()() 可以計(jì)算出每一個(gè)值下所對(duì)應(yīng)的幅值M()和相角()。 將它們畫(huà)在極坐標(biāo)平面上， 就得到了頻率特性的極坐標(biāo)圖。 如果把復(fù)數(shù)G(j)表示成矢量， M()即為矢量的模， ()即為矢量的幅角。 而頻率特性的極坐標(biāo)圖， 就是矢量G(j)的矢端在由0時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡。 該軌跡又稱(chēng)為幅相頻率特性曲線（或NyqUist圖）。 下面以慣性環(huán)節(jié)為例來(lái)說(shuō)明幅相頻率特性曲線的繪制方法。 已知慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為)arctan

11、(11111)(222222TTTTjTjG 在繪制幅相頻率特性曲線時(shí)， 先選取幾個(gè)特殊點(diǎn)（如=0， =1/T， 等）求得對(duì)應(yīng)的M與， 然后再有選擇地選取若干個(gè)與數(shù)值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的M與， 再按由0的順序， 逐點(diǎn)繪制出曲線圖形。 如對(duì)慣性環(huán)節(jié): 當(dāng)=0時(shí)，M()|=0=1， ()|=0=0； 當(dāng)=1/T時(shí)，M()|=1/T=1/ ， ()|=1/T=-/4； 當(dāng)時(shí)， M()|=0， ()|=-/2。 然后再求取與=1/4T、 1/2T、 2/T、 4/T等數(shù)值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的M與， 按由0的順序， 畫(huà)出如圖4 - 4所示的幅相頻率特性曲線來(lái)。 2圖6 - 4 慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性圖 ImU()V()M()(

12、)3211 Re000 由圖 6 - 4 可見(jiàn)， 曲線上的每一點(diǎn)都表示著某一個(gè)數(shù)值時(shí)的G(j)的幅值M()和相角()。 矢量G(j)的矢端軌跡就是幅相頻率特性曲線， 矢量G(j)在實(shí)軸上的投影即為其實(shí)部U()， 在虛軸上的投影即為其虛部V()。 不難證明，慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線正好是一個(gè)半圓。 按照同樣的方法，可以畫(huà)出如圖6-5所示常見(jiàn)的二、三階系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線。 圖6 - 5 常見(jiàn)的二、 三階系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線ImReOImReImReOOOImRe(a)(b)(c)(d)(2) 對(duì)數(shù)頻率特性和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖(LoGArithMic Plot)。 該坐標(biāo)圖又稱(chēng)BoDe圖。 對(duì)數(shù)頻率

13、特性。 對(duì)于頻率特性 G(j)=M()ej()， 對(duì)它的模取常用對(duì)數(shù), 并且令 L()=20 lgM() dB 這樣， 對(duì)數(shù)頻率特性可定義為 L()=20 lgM() dB ()=argG（j）(6 - 15) 伯德（BoDe）圖 引入對(duì)數(shù)幅頻特性L()，可以使串聯(lián)環(huán)節(jié)的幅值相乘轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)幅頻特性的相加，這對(duì)圖形的處理、分析、計(jì)算都會(huì)帶來(lái)很大方便。 以后的分析將表明，L()或它的漸近線大多與lg成線性關(guān)系。因此，若以L()為縱軸，lg為橫軸，則其圖形將為直線，這可使頻率特性的計(jì)算和繪制過(guò)程大為簡(jiǎn)化。 另一方面，若以lg為橫軸，則lg每變化一個(gè)單位長(zhǎng)度，將變化10倍(以后稱(chēng)這為一個(gè)“10倍頻程”

14、(DecADe)， 記以“Dec”)。由于習(xí)慣上都以頻率作為自變量，因此將橫軸改為對(duì)數(shù)坐標(biāo)， 標(biāo)以自變量。這樣，橫軸對(duì)lg將是等分的，對(duì)將是對(duì)數(shù)的，兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系參見(jiàn)圖6 - 6的橫軸對(duì)照?qǐng)D。 圖6 - 6 伯德圖的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)L()/dB40200200.10.20.40.60.8124681020406080100M()M()增大10倍L()增大20 dB0.10.20.40.60.8121020406080 100 / (rad/s)lg2101 增大10lg 增大14 6 8 在應(yīng)用對(duì)數(shù)頻率特性進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)， 使用的是對(duì)數(shù)幅頻特性L()， 所以伯德圖的縱軸以等分坐標(biāo)來(lái)標(biāo)定L(),

15、但要注意它的單位是分貝(dB)， 而且要注意它是20 lgM()。 L()與M()的對(duì)應(yīng)關(guān)系參見(jiàn)圖4 - 6 所示對(duì)照?qǐng)D。 由圖6 - 6可見(jiàn)， 伯德圖是畫(huà)在縱軸為等分坐標(biāo)、 橫軸為對(duì)數(shù)坐標(biāo)的特殊坐標(biāo)紙上的。 這種坐標(biāo)紙稱(chēng)“半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙”， 橫軸對(duì)數(shù)坐標(biāo)的每一個(gè)等分稱(chēng)為一級(jí)， 圖6 - 7橫軸有三個(gè)相等的等分， 因此稱(chēng)為三級(jí)“半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙”。 圖6 - 7 三級(jí)“半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙”4321012345 6 7 89 12345 6 7 89 12345 6 7 89 101234 在使用對(duì)數(shù)坐標(biāo)時(shí)要特別注意以下兩點(diǎn)： (1) 它是不均勻坐標(biāo)， 是由疏到密周期性變化排列的。 (2) 對(duì)數(shù)坐標(biāo)的每一級(jí)

16、代表10倍頻程， 即每一個(gè)等分的級(jí)的頻率差10倍， 若第一個(gè)“1”處為0.1， 則以后的“1”處便分別為1、 10、 100、 1000等等。 .2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 1. 比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G(s)=K 則其頻率特性為 G(j)=K=K0 (-16) 1) 極坐標(biāo)圖 由比例環(huán)節(jié)的頻率特性知， 幅頻特性M()=K，相頻特性()=0。 從比例環(huán)節(jié)的頻率特性表達(dá)式可見(jiàn)， M()和()均為常數(shù)， 與頻率無(wú)關(guān)。 其極坐標(biāo)圖是實(shí)軸上的一個(gè)點(diǎn)K， 如圖6 - 8所示。 2) 伯德圖 根據(jù)對(duì)數(shù)頻率特性的定義， 有 L()=20 lgM()=20 lgK (6-17) ()=0 (6-18)

17、式(6-17)表示一條水平直線，若K值增加， 則L()直線向上平移。式(6 - 18)表示一條與0重合的直線，其伯德圖如圖6 - 9所示。 圖6 - 8 比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線 ImReKO圖6 - 9 比例環(huán)節(jié)的伯德圖L() / dB20lg K / (rad/s)() / OO / (rad/s) 2. 積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為ssG1)(則其頻率特性為 9011)(jjG (6 - 19) 1) 極坐標(biāo)圖 根據(jù)式(6 - 19)， 分析如下： 當(dāng)=0時(shí)， M()， ()=-90； 當(dāng)=1時(shí)， M()=1， ()=-90； 當(dāng)時(shí)， M()=0， ()=-90。 由以上分析可知，幅

18、頻特性M()與成反比，相頻特性()恒等于-90。積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線如圖6 - 10所示。當(dāng)頻率從0時(shí)，特性曲線由虛軸的-j原點(diǎn)變化。 圖6 - 10 積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線ReIm 0 2) 伯德圖 根據(jù)式(6 - 19)可得積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為lg201lg20)(L (6 - 20) 由于對(duì)數(shù)頻率特性的頻率軸是以lg分度的， 顯然上式L()與lg的關(guān)系是一條直線， 其斜率為-20dB/Dec， 并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1， 0)。 對(duì)數(shù)相頻特性為 ()=-90 (6 - 21) 它是一條平行于實(shí)軸的一條直線， 位于-90位置。積分環(huán)節(jié)的伯德圖如圖6 - 11所示。 圖6 - 11 積分

19、環(huán)節(jié)的伯德圖 L() / dB20 dB / dec / (rad/s)() / 0090 / (rad/s)(a)(b)1 3. 微分環(huán)節(jié) 微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G(s)=s 則其頻率特性為 G(j)=j=+90 (6 - 22) 1) 極坐標(biāo)圖 根據(jù)式(6 - 22)可知 M()= (6 - 23) ()=+90 (6 - 24) 當(dāng) 從 0 時(shí) ， M ( ) 從 0 ， ()=+90，其極坐標(biāo)圖如圖6 - 12所示，特性曲線與正虛軸重合。 圖6 - 12 微分環(huán)節(jié)的幅相頻率 ImRe 00圖6 - 13 微分環(huán)節(jié)的伯德圖 L() / dB20 dB / dec / (rad/s)100

20、() / 90 / (rad/s) 2) 伯德圖 由式(6 - 23)可得微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為 L()=20 lg (6 - 25) 可見(jiàn)， L()與lg成直線關(guān)系， 其斜率為20 dB/Dec， 并且與0 dB線（軸）相交于 =1點(diǎn)。 對(duì)數(shù)相頻特性為()=+90， 它是一條與軸平行的直線， 位于+90處。 微分環(huán)節(jié)的伯德圖如圖6 - 13所示。 4. 慣性環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為11)(TssG則其頻率特性為)arctan(1)(111)(2TTjTjG (6 - 26) 1) 極坐標(biāo)圖 根據(jù)式(6 - 26)， 給定一個(gè)頻率， 可求得相對(duì)應(yīng)的M()和()， 便可 在極坐標(biāo)圖中畫(huà)出一個(gè)

21、點(diǎn)。 通常, 當(dāng)=0時(shí)， 取M()=1， ()=0； 當(dāng)=1/T時(shí)， 取M()= /2， ()=-45； 當(dāng)時(shí)， 取M()=0， ()=-90。 2 根據(jù)上述各點(diǎn)， 便可得到該環(huán)節(jié)的從0的幅相頻率特性曲線， 如圖6 - 14所示。 因極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)有著對(duì)應(yīng)的關(guān)系， 上述繪制過(guò)程也可以在直角坐標(biāo)中表示。 即G(j)=|G(j)|G(j)=U()+jV() (6 - 27) 根據(jù)式(6 - 27)， 式(6 - 26)的頻率特性可表示為)()(1)(1)(111)(22jVUTTjTjTjG(6 - 28) 當(dāng)=0時(shí)， U()=1， V()=0； 當(dāng)=1/T時(shí)， U()=1/2， V()=-1/

22、2； 當(dāng)時(shí)， U()=0, V()=0。 當(dāng)從0時(shí)， U()和V()作相應(yīng)變化， 同樣可得到圖6 - 14所示頻率特性曲線。 圖6 - 14 慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線 Im 045 0Re 1/ T21 可以證明， 當(dāng)從0時(shí)， 慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖是個(gè)以(1/2, j0)為圓心， 以1/2為半徑的一個(gè)半圓。 從數(shù)學(xué)的角度看， 可令從-+， 則該曲線為一個(gè)圓。 即222)21()0()21(VU(6 - 29) 如圖6 - 14所示， 用虛線表示從-0的曲線， 由于為負(fù)， 因此已無(wú)實(shí)際物理意義。 2) 伯德圖 由式(4 - 26)可得慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為)arctan()(1)(lg201)

23、(1lg20)(22TTTL(4 - 30) (4 - 31) 圖6 - 15 慣性環(huán)節(jié)的伯德圖 L() / dB0() / 090 45 20 dB / dec / (rad/s) / (rad/s) 1/ T 式(6 - 30)表示慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線是一條曲線， 若采用逐點(diǎn)描繪法將很繁瑣， 常常采用分段直線的近似繪制方法。 即先作出L()的漸近線， 然后再根據(jù)特殊點(diǎn)（如=1/T）的數(shù)值， 進(jìn)行最大誤差處的修正， 便可得到該環(huán)節(jié)的較精確的特性曲線。 通常采用三個(gè)頻率段的辦法， 方法如下： (1) 低頻段。 當(dāng)1/T， 即T 1/T， 即T 1 時(shí)， 這時(shí)可忽略1， 同樣有dBTTTL

24、)lg(201)(lg201)(lg20)(22 (3)交接頻率段。交接頻率又稱(chēng)轉(zhuǎn)折頻率，即高頻段與低頻段的交接處。當(dāng)=1/T，即T=1時(shí)，認(rèn)為L(zhǎng)()0 dB。 慣性環(huán)節(jié)的實(shí)際L()曲線，在=1/T時(shí)，出現(xiàn)最大誤差，即dBL311lg20)(表 6 - 1 慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性誤差修正表 式(6 - 31)為慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性， 為便于計(jì)算， 可作如下近似處理： 當(dāng)1/T時(shí)， 取()=-90； 當(dāng)=1/T時(shí)， ()=-45。 慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線如圖6 - 15所示。 5. 一階微分環(huán)節(jié) 一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G(s)=Ts+1 則其頻率特性為)arctan(1)(1)(2TTj

25、TjG(6 - 32) 1) 極坐標(biāo)圖 一階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線由復(fù)平面上的點(diǎn)(1， j0)出發(fā)， 平行于虛軸， 隨從0 而逐漸向上直到+處， 如圖6 - 16所示。 2) 伯德圖 由式（6 - 32）知， 一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為1)(lg20)(2TL (4 - 33) 對(duì)數(shù)相頻特性為 ()=arctan(T) (6 - 34)圖6 - 16 一階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線 0Re1Im0 圖6 - 17 一階微分環(huán)節(jié)的伯德圖20 dB / decL() / dB / (rad/s) / (rad/s)() / 0 1/ T90 45 0 6. 振蕩環(huán)節(jié)（二階環(huán)節(jié)） 振蕩環(huán)節(jié)的傳

26、遞函數(shù)為222222121)(nnnssTssTsG其中， T為時(shí)間常數(shù)， n=1/T為無(wú)阻尼自然振蕩頻率。 則其頻率特性為)()(2)(111)(2)(1)(222MTTjTjTjG(6 - 35) 式中: 2222)(12arctan)()2()(1 1)(TTTTM(6 - 36) (6 - 37) 圖6 - 18 振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線Im 0Re1 n 0.4 0.6 0.80 1) 極坐標(biāo)圖 根據(jù)式(6 - 36)和式(6 - 37)， 設(shè)典型二階系統(tǒng)的阻尼比為參變量， 從0時(shí)， 計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的M()和()值， 如： 當(dāng)=0時(shí)， M()=1， ()=0； 當(dāng)=n=1/T時(shí)， M

27、()=1/2， ()=-90； 當(dāng)時(shí)， M()=0， ()=-180。 即可繪制二階環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線， 如圖6 - 18所示。 由圖6 - 18可見(jiàn)， 特性曲線起源于點(diǎn)(1， j0)。 當(dāng)=n=1/T時(shí)， G(jn)=1/2-90， 此時(shí)特性曲線正好與負(fù)虛軸相交， 且值越小， M()的模值越大， 曲線離原點(diǎn)越遠(yuǎn)。 隨著的增加， 特性曲線以-180的角度趨向于原點(diǎn)。 2) 伯德圖 由式(6 - 36)可得振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為222)2()(1(lg20)(TTL (4 - 38) 也采用近似方法繪制如下各段: (1) 低頻段。 當(dāng)n， 即Tn， 即T1時(shí)， L()-20 lg =-40

28、 lg(T)， L()是一條斜率為-40 dB/Dec的直線。 (3) 交接頻率段。 當(dāng)=n=1/T時(shí)， 高、 低頻段兩直線在此相交。 振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖6 - 19所示。 4)(T圖6 19 振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖 L() / dB / (rad/s) 0.2 0.4 0.6 0.7 1.0漸近線() / 0090 180 / (rad/s) 0.7 0.4 0.2 用漸近線代替實(shí)際L()曲線， 在交接頻率處有 L()=-20 lg(2) (6 - 39) 由上式可見(jiàn)， 在=n=1/T附近， 其誤差大小與有關(guān)， 越小， 誤差越大。 按式(6 - 39)計(jì)算， 結(jié)果列于表6 - 2中。

29、表6 - 2 振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性誤差修正表 由表6 - 2可知， 當(dāng)0.40.7時(shí)， 誤差小于3 dB； 當(dāng)0.7時(shí)， 誤差較大， 應(yīng)當(dāng)進(jìn)行修正。 當(dāng)M； 為積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)； 為微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)； T為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。 為簡(jiǎn)單起見(jiàn)， 此處開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)未考慮更復(fù)雜的環(huán)節(jié)， 如二階以上的環(huán)節(jié)等。 上述系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為 12)() 1)(1()( 12)() 1)(1()(221221mmKjjTjTjTjjjjjKjG (6 - 42) (1) 開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)。 當(dāng)0時(shí), GK(j)為特性曲線的起點(diǎn)。 由式(6 - 42)可得 90lim)(lim)(lim000KjKjGK(6-

30、 43) 圖6- 23 開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖曲線的起點(diǎn) 0v 0KImRev 1v 2v 3 由于不同的值， 特性曲線的起點(diǎn)將來(lái)自極坐標(biāo)軸的四個(gè)不同的方向， 如圖6 - 23 所示。 式(6 - 43)表明， 開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖曲線的起點(diǎn)只與系統(tǒng)開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K、 積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)有關(guān)， 而與慣性環(huán)節(jié)、 微分環(huán)節(jié)、 振蕩環(huán)節(jié)等無(wú)關(guān)。 通常依據(jù)積分環(huán)節(jié)數(shù)目將開(kāi)環(huán)系統(tǒng)定義成“型”別如下： 0型系統(tǒng)， =0， 開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖曲線起始于點(diǎn)K處； 型系統(tǒng)， =1， 開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖曲線起于始點(diǎn)-90處（負(fù)虛軸的處）； 型系統(tǒng)， =2， 開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖曲線起于始點(diǎn)-180處（負(fù)實(shí)軸的處）； 型系統(tǒng)， =3， 開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖曲線起于始點(diǎn)

31、-270處（正實(shí)軸的處）。 (2) 開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖的終點(diǎn)。 由式(6 - 42)可得)(90/lim)(/lim)(limmnabjabjGmnnmmnnmK(4 - 44) 圖6 - 24 開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖曲線的終點(diǎn) Imn m3n m2n m1n m40Re 【例4】 設(shè)某系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為0v 0KImRev 1v 2v 3)10)(5() 1(250)(2sssssGK試?yán)L制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖。 Imn m3n m2n m1n m40Re圖6 - 25 例4系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖ImRe 01 2. 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性 由式(6 - 40)可知， 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性)()(lg20)(2

32、0)(lg20)(111iniiniiniLMMML(6 - 45)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性 ini1(6 - 46) 【例5】 已知 ) 12 . 0)(1(10)(sssGK 試?yán)L制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。解 由傳遞函數(shù)知， 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為 ) 12 . 0)(1(10)(jjjGK 對(duì)數(shù)幅頻特性表達(dá)式為 )()()(2 . 01lg201lg2010lg20)(lg20)(32122LLLjGLK 對(duì)數(shù)相頻特性表達(dá)式為 ()=0-arctan-arctan(0.2)=1()+2()+3() 由以上兩式， 可以畫(huà)出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性曲 線， 如圖6 - 26所示。 ) 1

33、2 . 0)(1(10)(jjjGK圖6 - 26 例5系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線L() / dB / (rad/s)() / / (rad/s)200 20 20 dB / decL1()10010510.1 40 dB / dec0 90 1800.11100510L()L2()L3()()3()2()1() 【例6】 某系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 11 . 0(5)(sssGK試?yán)L制其開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性圖。 解 該系統(tǒng)是由一個(gè)比例、 一個(gè)積分、 一個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的， 其頻率特性為) 11 . 0(5)(jjjGK 對(duì)數(shù)幅頻特性為 )()()()1 . 0(1lg20lg205lg20)(3

34、212LLLL對(duì)數(shù)相頻特性為 ()=0-90-arctan(0.1)=1()+2()+3() 圖6 - 27 例6開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線L() / dB / (rad/s)40 dB / dec20 dB / dec() / 9018000.1200200.11101010020lg51 / (rad/s)100L1()L3()L2()L()1()2()3()() 繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的步驟一般如下： (1) 由系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)求出各典型環(huán)節(jié)的交接頻率（轉(zhuǎn)折頻率）， 并從低到高依次排列； (2) 當(dāng)=1時(shí)， 曲線高度為L(zhǎng)()=20 lgK(若第一個(gè)交接頻率11、 c2及c3， 即c對(duì)于1

35、和2來(lái)說(shuō)屬高頻段， 一階微分和慣性環(huán)節(jié)1取高頻近似直線； c對(duì)于3來(lái)說(shuō)， 屬低頻段， 慣性環(huán)節(jié)2取低頻近似直線。 所以11000)5 . 0(10)(2ccccM 解之得 c=5 rad/s (8) 求相位角(c): (c)=-90+arctan(0.55)-arctan5-arctan(0.055) =-114.5 【例8】 某最小相位系統(tǒng)， 其開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖6 - 29所示。 試寫(xiě)出該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。 圖6 - 29 例8系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性圖 40 dB / dec20 dB / dec0200.8 / (rad/s)L() / dB6.4 奈奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定性判據(jù)

36、 1. 奈氏圖下的表述及應(yīng)用 奈氏判據(jù)說(shuō)明， 如果系統(tǒng)在開(kāi)環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的 ， 則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： 它的開(kāi)環(huán)幅相頻率特性曲線不包圍（-1， j0）點(diǎn)。 反之， 若曲線包圍（-1， j0）點(diǎn)， 則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的; 若曲線穿過(guò)（-1， j0）點(diǎn)， 則閉環(huán)系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界, 參見(jiàn)圖6 - 30。 圖6 - 30 用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 (a) 穩(wěn)定; (b) 穩(wěn)定邊界; (c) 不穩(wěn)定G(j)( 1, j0)Im0gReIm( 1, j0)g0G(j)Reg( 1, j0)0ReG(j)(a)(b)(c)Im 表6 - 3為常見(jiàn)二階和三階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性。 應(yīng)用奈氏穩(wěn)定性判據(jù)

37、， 可以很直觀地判斷它們的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 由表6-3可見(jiàn)， 系統(tǒng)的穩(wěn)定狀況大致有三類(lèi)情況： (1) 穩(wěn)定系統(tǒng)： 其特點(diǎn)是不論系統(tǒng)的參數(shù)怎樣改變， 系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。 一般的二階系統(tǒng)都是穩(wěn)定系統(tǒng)， 如表6 - 3中的(a)和(b)。 (2) 不穩(wěn)定系統(tǒng)： 其特點(diǎn)是不論系統(tǒng)的參數(shù)怎樣調(diào)整， 系統(tǒng)仍將是不穩(wěn)定的。 如表6 - 3 中的(e)， 這種系統(tǒng)又稱(chēng)為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。 (3) 系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的， 也可能是不穩(wěn)定的： 如表6 - 3中的(c)和(d)， 當(dāng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K小于臨界放大倍數(shù)Kc時(shí)， 系統(tǒng)穩(wěn)定; 反之， 當(dāng)K大于Kc時(shí)， 系統(tǒng)將變?yōu)椴环€(wěn)定。表6 - 3 奈氏穩(wěn)定性判據(jù)應(yīng)用舉例

38、含 有 環(huán) 節(jié)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)奈氏圖（極坐標(biāo)圖）穩(wěn) 定 性Kc臨 界 增 益(a) 兩 個(gè) 慣 性(b) 一 個(gè) 慣 性 一 個(gè) 積 分穩(wěn) 定穩(wěn) 定) 1)(1()(21KsTsTKsG) 1()(1KsTsKsGReIm0( 1, j0)ImRe( 1, j0)0(c) 三 個(gè) 慣 性(d) 兩 個(gè) 慣 性 一 個(gè) 積 分(e) 一 個(gè) 慣 性 兩 個(gè) 積 分K1 Kc為 穩(wěn) 定 ；K2 Kc為 不 穩(wěn) 定 ；K Kc穩(wěn) 定 邊 界K1 Kc為 穩(wěn) 定 ；K2 Kc為 不 穩(wěn) 定 ；K Kc穩(wěn) 定 邊 界不 穩(wěn) 定) 1)(1)(1()(321KsTsTsTKsG) 1)(1()(21KsTsT

39、sKsG) 1()(12KsTsKsGReIm( 1, j0)K1K2K2 K1K2K100ReImK2 K1( 1, j0)( 1, j0)0ReIm2 2. 伯德圖下的表述 奈氏判據(jù)是在奈氏圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行的， 而作奈氏圖一般都比較麻煩， 所以在工程上一般都是采用系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性來(lái)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的， 這就是對(duì)數(shù)頻率判據(jù)。 它實(shí)質(zhì)上是奈氏穩(wěn)定它實(shí)質(zhì)上是奈氏穩(wěn)定性判據(jù)在伯德圖上的表示形式性判據(jù)在伯德圖上的表示形式。 伯德圖與奈氏圖有下列對(duì)應(yīng)關(guān)系(參見(jiàn)圖6 - 31)。 圖6 - 31 奈氏穩(wěn)定性判據(jù)在奈氏圖和伯德圖上的對(duì)照 (a) 奈氏圖判據(jù); (b) 伯德圖判據(jù)ImRe0c(c)g

40、( 1, j0)L()0()0180c20 lg Kgg0(a)(b) (1) 奈氏圖上以原點(diǎn)為圓心的單位圓對(duì)應(yīng)于伯德圖上的0 dB線(M()=1時(shí)， L()=0)。 L()在c處穿越0 dB線， 因此又稱(chēng)c為穿越頻率(CrossOver Frequency)。 (2) 奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于伯德圖上的()=-180線。 這樣， 奈氏圖上的(-1, j0) 點(diǎn)便和伯德圖上的0 dB線及-180線對(duì)應(yīng)了起來(lái)。 某系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性的奈氏圖和伯德圖的對(duì)照如圖6 - 31所示。 從Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)沒(méi)有右半平面的極點(diǎn)且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-

41、1,j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點(diǎn)越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低，這就是通常所說(shuō)的相對(duì)穩(wěn)定性通過(guò)乃氏曲線對(duì)點(diǎn)(-1,j0)的靠近程度來(lái)度量其定量表示為相角裕量和增益裕度Kg 6.4 穩(wěn)定裕量與系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性 增益裕度意義：增益裕度用于表示G(j)H(j)曲線在負(fù)實(shí)軸上相對(duì)于(-1,j0)點(diǎn)的靠近程度定義：G(j)H(j)曲線與負(fù)實(shí)軸交于G點(diǎn)時(shí)，G點(diǎn)的頻率g稱(chēng)為相位穿越頻率，此時(shí)g處的相角為-180，幅值為|G(jg)H(jg)|，開(kāi)環(huán)頻率特性幅值|G(jg)H(jg)|的倒數(shù)稱(chēng)為增益裕度增益裕度(或幅值裕度)，用Kg表示 。見(jiàn)下圖（a）（

42、a） 最小相位系統(tǒng)的Nyquist圖（b） 對(duì)數(shù)頻率特性表示： 式中g(shù)滿足下式G (jg) H(jg)= -180 增益裕度用分貝數(shù)來(lái)表示: Kg=-20lg|G(jg)H(jg)|dB 見(jiàn)上圖（b）)()(1gggjHjGK應(yīng)用： 對(duì)于最小相位系統(tǒng) 當(dāng)|G(jg)H(jg)|1或20lg |G(jg)H(jg)|1或20lg| G(jg)H(jg)|0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 當(dāng)|G(jg)H(jg)|=1或20lg |G(jg)H(jg)|=0時(shí)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài) 對(duì)于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，那么為使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，G(j)H(j)曲線應(yīng)包圍(-1,j0)點(diǎn)，此時(shí) Kg=-20lg |G(jg)H(jg)

43、|0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定結(jié)論 增益裕度Kg表示系統(tǒng)到達(dá)臨界狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)增益所允許增大的倍數(shù) 相角裕量意義：為了表示系統(tǒng)相角變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，引入相角裕量的概念引入c：c稱(chēng)增益穿越頻率，也稱(chēng)剪切頻率或截止頻率，在（a）圖中G(j)H(j)與單位圓相交于c點(diǎn)，c點(diǎn)處的頻率為c。此時(shí)|G(jc)H(jc)|=1定義：使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)，尚可增加的滯后相角 ，稱(chēng)為系統(tǒng)的相角裕度或相角裕量，表示為）（c180應(yīng)用： 相角裕量 為增益穿越頻率c處相角 與 -180線之距離 對(duì)于最小相位系統(tǒng) 當(dāng)0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 當(dāng)0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 增益裕度和相角裕度通常作為設(shè)計(jì)和分析控制系統(tǒng)的頻域指標(biāo)，如果僅用其

44、中之一都不足以說(shuō)明系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 用幅相頻率特性曲線分析系統(tǒng)穩(wěn)定性采用幅相頻率特性曲線時(shí)，當(dāng)G(j)H(j)的開(kāi)環(huán)增益變化時(shí)，曲線僅是上下簡(jiǎn)單平移，而當(dāng)對(duì)G(j)H(j)增加一恒定相角，曲線為水平平移，這對(duì)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性和系統(tǒng)參數(shù)之間的相互影響是很有利的。6.5 應(yīng)用MATLAB進(jìn)行頻域分析 1. Bode函數(shù) 功能： 求連續(xù)系統(tǒng)的Bode(伯德)頻率響應(yīng)。 格式： MAG， phase， wBode（a， b， c，d， iu， w） MAG， phase， wBode（nun， den） MAG， phase， wBode（nun， den， w） 【例1】 有一個(gè)二階系統(tǒng)， 其自然頻率

45、n=1， 阻尼因子=0.2， 要繪制出系統(tǒng)的幅頻和相頻曲線， 可輸入： %This program display bode graph a,b,c,d=ord2(1,0.2); bode(a,b,c,d); grid on; title(bode Plot); 執(zhí)行后得到如圖4 - 45所示的bode圖。 圖4 - 45 連續(xù)系統(tǒng)的bode圖 Bode PlotFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)101100101-40-30-20-10010-180-135-90-450 【例2】 典型二階系統(tǒng)： 2222)(nnnKsssG繪制出取不同

46、值時(shí)的bode圖。 解 取n=6， 取0.1 : 1.0 時(shí)二階系統(tǒng)的bode圖可直接采用bode得到。 MATLAB程序(因程序無(wú)下標(biāo)、 斜體和希臘字母， 所以不能和正文嚴(yán)格保持一致)為： wn=6; kosi=0.1 : 0.2 : 1.0; w=logspace(-1,1,100); figure(1); num=wn.2; for kos=kosi den=1,2*kos*wn,wn.2; m a g , p h a , w 1 = bode(num,den,w); subplot(2,1,1);hold on semilogx(w1,mag); subplot(2,1,2);hold

47、 on semilogx(w1,pha); end subplot(2,1,1);grid on title(bode Plot); xlabel(Frequency(rad/sec); ylabel(gain db); subplot(2,1,2);grid on xlabel(Frequency(rad/s); ylabel(Phase deg) hold off 執(zhí)行后得如圖4 - 46所示的bode圖。 圖4 - 46 典型二階系統(tǒng)的bode圖0123456789100246Bode PlotFrequency(rad/sec)Gain dB0123456789100Frequency

48、 (rad/s)Phasedeg20015010050圖4 - 47 系統(tǒng)bode圖 Bode PlotFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)1011001011026040200204018013590 【例3】 某系統(tǒng)： ) 105. 0)(1() 15 . 0(10)(sssssGK繪制出系統(tǒng)的Bode圖。 解 MATLAB程序?yàn)椋?k=100; z=-2; p=0,-1,-20; num,den=zp2tf(z,p,k); bode(num,den); title(bode Plot); 執(zhí)行后得如圖4 - 47所示的Bode圖。 2.

49、 nyquist函數(shù) 功能： 求連續(xù)系統(tǒng)的Nyquist（奈奎斯特）頻率曲線。 格式： re， im， w=nyquist（a， b， c， d， iu， w） re， im， w=nyquist（num， den） re， im， w=nyquist（num， den， w） 【例4】 某二階系統(tǒng)： ) 12(10)(sssGK繪制系統(tǒng)的Nyquist曲線， 并繪制單位負(fù)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。 解 MATLAB程序?yàn)椋?k=5; z= ; p=0,-0.5; num,den=zp2tf(z,p,k) figure(1) nyquist(num,den); title(Nyquist

50、 Plot); figure(2) n u m 1 , d e n 1 =cloop(num,den); step(num1,den1); title(Step Response); 執(zhí) 行 后 得 如 圖 4 - 4 8 所 示 的Nyquist曲線和如圖4 - 49所示的閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)。 由于曲線沒(méi)有包圍(-1, j0)點(diǎn)且開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)位于s平面右半部分的極點(diǎn)個(gè)數(shù)為0， 所以由g(s)構(gòu)成的單位負(fù)反饋閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 這可從圖4 - 49得到證實(shí)。 圖4 - 48 二階系統(tǒng)的Nyquist曲線 Nyquist PlotReal AxisImaginary Axis202 0400300

51、200100010020030040018 16 144681012圖4 - 49 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線Step ResponseTime (sec)Amplitude051015202500.20.40.60.811.21.41.61.8 【例5】 某開(kāi)環(huán)系統(tǒng)： ) 12)(1(10)(sssGK繪制系統(tǒng)Nyquist曲線， 判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性， 并繪制出單位負(fù)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。 解 根據(jù)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)， 利用nyquist函數(shù)繪出系統(tǒng)的Nyquist曲線， 并根據(jù)奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性， 最后利用cloop函數(shù)構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)， 并用step函數(shù)求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)以驗(yàn)證

52、系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論。 MATLAB程序?yàn)椋?k=5; z= ; p=-1,- 0.5; num,den=zp2tf(z,p,k); figure(1) nyquist(num,den); title(Nyquist Plot); figure(2) n u m 1 , d e n 1 =cloop(num,den); step(num1,den1); title(Step Response); 執(zhí)行后得如圖 4 - 50 所示的Nyquist曲線和如圖4 - 51所示的閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)。 從圖4 - 50中可以看出， 系統(tǒng)的Nyquist曲線沒(méi)有包圍(-1, j0)點(diǎn)且開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)位于s平面

53、右半部分的極點(diǎn)個(gè)數(shù)為0， 因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 這可由圖4 - 51中得到證實(shí)。 圖4 - 50 系統(tǒng)Nyquist曲線 -6Nyquist PlotReal AxisImaginary Axis0246810420246圖4 - 51 閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)Step ResponseTime (sec)Amplitude01234567800.20.40.60.811.21.4 【例6】 某開(kāi)環(huán)系統(tǒng)： ) 12 . 0)(11 . 0(2) 1( 5)(sssssGK繪制系統(tǒng)Nyquist曲線， 判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性， 并繪制出單位負(fù)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。 解 MATLAB程序?yàn)椋?k=25

54、0; z=-1; p=0, 0,-10,-5; num,den=zp2tf(z,p,k); figure(1) nyquist(num,den); titleNyquist Plot); figure(2) n u m 1 , d e n 1 = cloop(num,den); step(num1,den1); title(Step Response); 執(zhí) 行 后 得 如 圖 4 - 5 2 所 示 的Nyquist曲線和如圖4 - 53所示的閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)。 該系統(tǒng)為型系統(tǒng)， 從圖4 - 52中可以看出， 系統(tǒng)的Nyquist曲線沒(méi)有包圍（-1, j0）點(diǎn)， 增加輔助曲線后， Nyq

55、uist曲線仍沒(méi)有包圍（-1, j0）點(diǎn)， 且開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)沒(méi)有位于右半s平面的極點(diǎn)， 因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 這可由圖4 - 53中得到證實(shí)。 圖4 - 52 系統(tǒng)Nyquist曲線 Nyquist PlotReal AxisImaginary Axis0.10.0500.050.11.510.500.51圖4 - 53 閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) Step ResponseTime (sec)Amplitude012345678900.20.40.60.811.21.41.61.8 【例7】 某開(kāi)環(huán)系統(tǒng)： ) 12 . 0)(101. 0(25)(ssssGK繪制系統(tǒng)Nyquist曲線， 判斷閉環(huán)系統(tǒng)

56、穩(wěn)定性， 并繪制出單位負(fù)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。 解 MATLAB程序?yàn)椋?k=12500; z= ; p=0, -100, -5; n u m , d e n =zp2tf(z,p,k); figure(1) nyquist(num,den); title(Nyquist Plot); figure(2) n u m 1 , d e n 1 =cloop(num,den); step(num1,den1); title(Step Response); 圖4 - 54 系統(tǒng)Nyquist曲線 Nyquist PlotReal AxisImaginary Axis54015010050050

57、100150321 圖4 - 55 閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)Step ResponseTime (sec)Amplitude00.511.522.5300.20.40.60.811.21.41.6 執(zhí) 行 后 得 如 圖 4 - 5 4 所 示 的Nyquist曲線和如圖4 - 55所示的閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)。 該系統(tǒng)為型系統(tǒng)， 從圖4 - 54中可以看出， 系統(tǒng)的Nyquist曲線沒(méi)有包圍（-1, j0）點(diǎn)， 增加輔助曲線后， Nyquist曲線仍沒(méi)有包圍（-1, j0）點(diǎn)， 且開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)沒(méi)有位于右半s平面的極點(diǎn)， 因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 這可由圖4 - 55中得到證實(shí)。 習(xí) 題 4 - 1 應(yīng)用

58、頻率特性來(lái)描述系統(tǒng)（或元件）特性的前提條件是什么？ 4 - 2 頻率特性有哪幾種分類(lèi)方法？ 4 - 3 采用半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙有哪些優(yōu)點(diǎn)？ 4 - 4 從伯德圖上看， 一個(gè)比例加微分的環(huán)節(jié)與一個(gè)比例加積分的環(huán)節(jié)串聯(lián)， 兩者是否有可能相抵消。 若系統(tǒng)中有一個(gè)慣性環(huán)節(jié)使系統(tǒng)性能變差， 那再添加一個(gè)怎樣的環(huán)節(jié)（串聯(lián)）可以完全消除這種影響， 它的條件是什么？ 4 - 5 幾個(gè)放大器的增益分別為60 db、 35 db、 0 db和-20 db， 問(wèn)這幾個(gè)放大器的放大倍數(shù)各為多少? 4 - 6 在調(diào)試中， 發(fā)現(xiàn)采用PI調(diào)節(jié)器控制的調(diào)速系統(tǒng)持續(xù)振蕩， 試分析可采取哪些措施使系統(tǒng)穩(wěn)定下來(lái)？ 4 - 7 為什么要求

59、在c附近l()的斜率為-20 db/dec？ 4 - 8 調(diào)試時(shí)， 若將雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)的速度調(diào)節(jié)器（PI調(diào)節(jié)器）的反饋電容Cn短接， 對(duì)系統(tǒng)的階次和傳遞函數(shù)產(chǎn)生怎樣的影響？ 對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性又會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響？ 為什么？ 4 - 9 已知放大器的傳遞函數(shù)為 1)(TsKsG并測(cè)得=1 rad/s、 幅頻|g(j)|=12 / 、 相頻g(j)=/4。 試問(wèn)放大系數(shù)K及時(shí)間常數(shù)T各為多少？2 4 - 10 當(dāng)頻率1=2 rad/s、 2=20 rad/s時(shí)， 試確定下列傳遞函數(shù)的幅值和相角:) 11 . 0(1)2(10) 1 (21ssGsG 4 - 11 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為g(s)=1/(s+1)， 試求下列輸入信號(hào)作用時(shí)， 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)。 (1) r(t)=sin5t (2) r(t)=sin(t+30) (3) r(t)=sin5t+sin(t+30) 4 - 13 若某系統(tǒng)在輸入信號(hào)r(t)=1(t)的作用下， 其輸出量c(t)為 c(t)=1-1.8e-4t+0.8e-9t t0 試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)g(s)和頻