高維列聯(lián)表獨立性與相關性

1、高維列聯(lián)表的獨立性 獨立性的定義可以使用概率方式，也可以采用期望頻數(shù)來定義。三維列聯(lián)表獨立性的定義與二維列聯(lián)表類似。 在三維列聯(lián)表中，令mijk為期望頻數(shù)，若存在i,j,k使任意格(ijk)都有： 則稱A、B、C相互獨立。 其中mijk的估計為：ijkijkm 2=jikijki jkijkijknnnmnpnpppnnnnnnnn 高維列聯(lián)表的獨立性 若存在i,jk使任意格都有： 則稱A和(B,C)相互獨立。 其中mijk的估計為： 與A和(B,C)相互獨立的情況類似，可以得到B和(A,C)以及C 和(A ,B)相互獨立的期望頻數(shù)的定義。 A給定后，B和C條件獨立意味著：ijkijkmijk

2、ijknmn(|)(|)(|)()()()( )( )( )P BC AP B AP C AP ABCP ABP ACP AP AP A高維列聯(lián)表的獨立性 即 用期望頻數(shù)定義條件獨立性的方法： 若存在ij,ik使任意格都有： 則稱A給定后B和C條件獨立。 其中mijk的估計為：ijkijikm iji kijkinmn=i jki jikiiii ji jkikipppppppppp高維列聯(lián)表的獨立性 與給定A后B和C條件獨立類似，可以得到給定B后A和C條件獨立、給定C后A和B條件獨立的期望頻數(shù)定義。 根據(jù)三維列聯(lián)表獨立性的三種情況下不同的期望頻數(shù)的估計，可以構造出似然比檢驗統(tǒng)計量：21112

3、ln2lnrctijkijkijkijkmGnn 高維列聯(lián)表的相關性 在三維列聯(lián)表中，前面所有的獨立性問題討論完后，可以進一步分析三個變量之間的相關關系。 相關關系有兩種情況： 一種是飽和模型，表示為(ABC)，即期望頻數(shù)不能分解，三個屬性之間不僅兩兩存在交互作用，而且三個之間也有交互作用；其期望頻數(shù)的估計就是實際頻數(shù)nijk。 另一種是齊次關聯(lián)模型，表示為(AB,AC,BC)，即期望頻數(shù)可分解，兩兩之間存在交互作用，但三個之間沒有交互作用；其期望頻數(shù)的估計需要使用迭代算法。 對相關關系的分析，還可以通過對數(shù)線性模型和統(tǒng)計軟件進行分析。高維列聯(lián)表的相關性 對期望頻數(shù)的迭代估計類似于二維不完備列

4、聯(lián)表中的迭代算法。 對僅有兩兩交互作用模型檢驗的原假設應為： 采用的似然比檢驗統(tǒng)計量與獨立性檢驗的統(tǒng)計量完全相同； 當檢驗統(tǒng)計量的卡方值較小時，不拒絕原假設；當卡方值較大時，拒絕原假設。ijkijjkikm 高維列聯(lián)表的優(yōu)比 期望頻數(shù)除用來描述列聯(lián)表的獨立性、相關性外，還可以描述優(yōu)勢比。 優(yōu)比不僅可以用于四格表，還可推廣到一般的二維列聯(lián)表。 可以取二維表的兩行兩列來構造一個四格表計算優(yōu)比，二維表有若干個優(yōu)比。 三維列聯(lián)表可以按某一屬性分層后形成若干二維列聯(lián)表再進行優(yōu)比分析。高維列聯(lián)表的優(yōu)比 四格表的優(yōu)比用期望頻數(shù)定義為： 其行與列分別是二維r*c列聯(lián)表的第i1和i2行與第j1和j2列，mij是

5、期望頻數(shù)：mij=E(nij) 對于三維r*c*t列聯(lián)表，我們按屬性A分層，將它變成r個二維c*t列聯(lián)表，對第i層二維c*t列聯(lián)表計算優(yōu)比：1 12 21 22 11212,1,1i ji ji ji jm miirjjcmm1 12 21 22 11212,1,1ij kij kij kij kmmjjckktmm高維列聯(lián)表的優(yōu)比 我們知道，在優(yōu)比等于1時，這兩個屬性相互獨立 所以，對于屬性A,B,C相互獨立時，不論按哪個屬性分層，各層二維表的優(yōu)比總等于1； 對于A與(B,C)相互獨立時，按屬性A分層后第i層二維ct列聯(lián)表的優(yōu)比與i無關，故各層B與C的相合程度相同；無論按B,或C分層，這些二維列聯(lián)表上的優(yōu)比總等于1；由期望頻數(shù)定義的獨立性可知：1 12 21 1221 1221 22 1122 1122 1()()()()ij kij kij kij kj kj kij kij kij kij kj kj kmmmm高維列聯(lián)表的優(yōu)比 對于A給定后B和C條件獨立時，按A分層的二維列聯(lián)表上的優(yōu)比總等于1；且按B分層各層A與C相合程度相同，按C分層各層A與B相合程度相同。 對于齊次關聯(lián)模型，各層二維列聯(lián)表的優(yōu)比都與在第幾層沒有關系。當以屬性A進行分層時，由下式可證得結論，以B，C進行分層的情形與此類似。1 12 211 1122 221 1