第十一章 動(dòng)量矩定理

1、第十一章第十一章 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理Moment of Momentum Theorem11-1 動(dòng)量矩的概念一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩回顧：回顧：Mo(F)= rFxozyFrmMO(F)ZYXzyxkji大?。捍笮。篗o(F) =2SOAB方向：按右手螺旋規(guī)則定。方向：按右手螺旋規(guī)則定。BAkji)()()(yXxYxZzXzYyZ力對點(diǎn)的矩力對點(diǎn)的矩FrmMO(F)FrmMO(F)FrmMO(F)Concept of moment of momentumMo(mv)= rmvA(mv)xyxozymvrBB動(dòng)量對固定軸動(dòng)量對固定軸z的矩：的矩：zyxmvmvmvzyxkjiMo(mv)z= M

2、z(mv) 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)A的動(dòng)量對固定點(diǎn)的動(dòng)量對固定點(diǎn)O的矩：的矩：MO(mv)A(mv)xymvrBMO(mv)A(mv)xymvrBMO(mv)mvrMO(mv)A(mv)xyBA A A大小大小= mvrsin方位：過方位：過O且且OAB；指向：按右手螺旋規(guī)則定。指向：按右手螺旋規(guī)則定。 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量mv 在在Oxy平面內(nèi)的投影平面內(nèi)的投影(mv)xy對于點(diǎn)對于點(diǎn)O的矩定義為質(zhì)點(diǎn)對于的矩定義為質(zhì)點(diǎn)對于z軸的動(dòng)量矩。軸的動(dòng)量矩。Mo(mv)z= M z(mv)代數(shù)量代數(shù)量矢量矢量 質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)O的動(dòng)量矩矢在的動(dòng)量矩矢在z軸上的投影，等于質(zhì)點(diǎn)軸上的投影，等于質(zhì)點(diǎn)對對z軸的動(dòng)量矩，即軸

3、的動(dòng)量矩，即 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對點(diǎn)O的矩稱為質(zhì)點(diǎn)對于的矩稱為質(zhì)點(diǎn)對于O的動(dòng)量矩。的動(dòng)量矩。Mo（mv）= rmv結(jié)論結(jié)論：二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對同的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對同一點(diǎn)一點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和的動(dòng)量矩的矢量和:niiioom1)(vML質(zhì)點(diǎn)系對固定軸質(zhì)點(diǎn)系對固定軸z的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對同一的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對同一軸軸z的動(dòng)量矩的代數(shù)和，即的動(dòng)量矩的代數(shù)和，即niiizzmML1)(v對定點(diǎn)對定點(diǎn)對定軸對定軸矢量矢量代數(shù)量代數(shù)量例例 已知均質(zhì)桿質(zhì)量為已知均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長為，長為l，繞，繞z軸以勻角速度軸以勻角速度作圓作圓

4、錐擺動(dòng)，圓錐頂角為錐擺動(dòng)，圓錐頂角為2 。求該桿對。求該桿對z軸的動(dòng)量矩。軸的動(dòng)量矩。dxx解：沿桿軸線取坐標(biāo)軸解：沿桿軸線取坐標(biāo)軸x。則微元體則微元體dxlmmisinxviliizxvmL0sinldxxlm022sin22sin31lmOx質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩矢質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩矢Lo在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系Oxyz中中的投影為：的投影為：質(zhì)點(diǎn)系對某固定點(diǎn)的動(dòng)量矩矢在通過該點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系對某固定點(diǎn)的動(dòng)量矩矢在通過該點(diǎn)的軸上的投影等于質(zhì)點(diǎn)系對該軸的動(dòng)量矩。軸上的投影等于質(zhì)點(diǎn)系對該軸的動(dòng)量矩。)(mvMLxxxoL)(mvMLyyyoL)(mvMLzzzoL即即OAB問題問題： 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量

5、p =mivi 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 Lo = M o(Mvc) ？ ll例例 已知無重細(xì)桿已知無重細(xì)桿ABAB兩端各鉸接質(zhì)量為兩端各鉸接質(zhì)量為m m的小球，系統(tǒng)繞水平的小球，系統(tǒng)繞水平O O軸以角速度軸以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，求系統(tǒng)對轉(zhuǎn)動(dòng)，求系統(tǒng)對O O軸的動(dòng)量矩。軸的動(dòng)量矩。系統(tǒng)對系統(tǒng)對O軸的動(dòng)量矩為：軸的動(dòng)量矩為：22mllmllmlLo= Mvc= Mvc= Mvc= MvcvAvBvAvBvAvBvAvB= l= lA例例: :vCO已知均質(zhì)桿已知均質(zhì)桿m，l，p = mvc = ml/2桿對桿對O O軸的動(dòng)量矩為軸的動(dòng)量矩為Lo = M o(Mvc) = (ml/2)(l/2) =

6、ml2/4C ？則桿的動(dòng)量為則桿的動(dòng)量為vCCvCCvCC 如何計(jì)算如何計(jì)算OAOA桿對桿對O O軸的動(dòng)量矩？軸的動(dòng)量矩？特例：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩特例：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩令令mivizniiizzmML1)(vzniiiJrm12剛體對剛體對z z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Lz=Jziniiirm1vniiirm12iiniirrm1rimivimivimivimi11-4 剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念一、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的慣性度量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的慣性度量niiizrmJ12 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不僅與質(zhì)量的大小有關(guān)，而且與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不僅與質(zhì)量的大小有關(guān)，

7、而且與質(zhì)量的分布有關(guān)。質(zhì)量的分布有關(guān)。Moment of inertia of a rigid body with respect to an axis二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的確定二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的確定: :計(jì)算法和實(shí)驗(yàn)法計(jì)算法和實(shí)驗(yàn)法 積分法計(jì)算簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量積分法計(jì)算簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dmrrmJniiiz212xzoxlzc20 xdxlmJlz222llzcxdxlmJ對桿端軸對桿端軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為對質(zhì)心軸對質(zhì)心軸zC的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為C231ml2121mldxxCdxxCdxxCdx均質(zhì)薄圓環(huán)均質(zhì)薄圓環(huán)均質(zhì)圓輪（盤、柱）均質(zhì)圓輪（盤、柱）2mRJz221mRJzRR

8、RRRRRRzz 慣性半徑（回轉(zhuǎn)半徑）慣性半徑（回轉(zhuǎn)半徑） 對于均質(zhì)物體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量的比值對于均質(zhì)物體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量的比值僅與物體的幾何形狀和尺寸有關(guān)，例如僅與物體的幾何形狀和尺寸有關(guān)，例如mJzzmz均質(zhì)細(xì)直桿均質(zhì)細(xì)直桿,312mlJz,312lmJz均質(zhì)薄圓環(huán)均質(zhì)薄圓環(huán)2mRJz2RmJzz轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量的比值的平方根，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量的比值的平方根，即即mzmzmz常用常用 表示。表示。2zzmJ 慣性半徑僅與物體的形狀、尺寸有關(guān)，與材料慣性半徑僅與物體的形狀、尺寸有關(guān)，與材料無關(guān)。無關(guān)。 慣性半徑的慣性半徑的特點(diǎn)特點(diǎn) 查機(jī)械工程手冊中簡單幾何形狀或幾何形狀已查機(jī)械工程手冊中簡單

9、幾何形狀或幾何形狀已經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化的零件的慣性半徑，求經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化的零件的慣性半徑，求Jz 。慣性半徑不是物體的某一具體尺寸慣性半徑不是物體的某一具體尺寸 平行軸定理平行軸定理 剛體對任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對于通剛體對任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對于通過質(zhì)心、且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛過質(zhì)心、且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。2mdJJzcz剛體對于通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。剛體對于通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。zC2zC2zC2zC2 疊加法求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量舉例疊加法求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量舉例zxom1m2c1c221JJJz21131lml1l2例

10、例(1) 求該桿對于桿端軸求該桿對于桿端軸z的的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。當(dāng)物體由幾個(gè)物體組合而成時(shí)，可用疊加法計(jì)當(dāng)物體由幾個(gè)物體組合而成時(shí)，可用疊加法計(jì)算整體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即算整體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即先計(jì)算各部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，先計(jì)算各部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，然后再疊加起來。然后再疊加起來。2212222)21(121llmlmc1c2c1c2c1c2212222212131)3(31l lmlmlmm已知已知m1，m2 ，桿長為，桿長為 l；盤的半徑為；盤的半徑為R。桿與盤固結(jié)桿與盤固結(jié)為一體，求為一體，求JolRJo = Jo 桿桿+ Jo 盤盤Jo 桿桿=2131lm2222212131lmRmlmJo例例(2

11、)解：解：222lmJJcO盤222221lmRmC2C1OMoment of momentum theorem一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理xozymvBMO(mv)FMO(F)Fv )(mdtdFrvr)(mdtd根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理等式兩邊同時(shí)與等式兩邊同時(shí)與矢徑矢徑r作矢量積，作矢量積，mvMO(mv)FMO(F)mvMO(mv)FMO(F)mvMO(mv)FMO(F)r r r r即即A A A AMO(F)? ?11-2 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理：將上式向直角坐標(biāo)軸投影，并利用對點(diǎn)的動(dòng)量矩與對軸的將上式向直角坐標(biāo)軸投影，并利用對

12、點(diǎn)的動(dòng)量矩與對軸的動(dòng)量矩的關(guān)系，可得動(dòng)量矩的關(guān)系，可得)()(FMvMoomdtd)()()()()()(FvFvFvzzyyxxMmMdtdMmMdtdMmMdtd質(zhì)點(diǎn)對某軸的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)對某軸的動(dòng)量矩對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對于同一軸的矩。作用力對于同一軸的矩。關(guān)于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒 當(dāng)當(dāng)MO( F ) = 0 時(shí)，有時(shí)，有MO( mv ) = 常矢量。常矢量。 當(dāng)當(dāng)Mz( F ) = 0 時(shí)，有時(shí)，有Mz( mv ) = 常量。常量。r1r2ABz解：分析小球受力。解：分析小球受力。v2v1 思考題思考題： 小球系于線的一端，線穿過鉛直小孔，小球系于線的一端，線穿過鉛

13、直小孔，力力F將線緩慢將線緩慢向下拉。開始時(shí)，小球以勻速向下拉。開始時(shí)，小球以勻速v1沿半徑為沿半徑為r1的圓周運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)?shù)膱A周運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)小球被拉至小球被拉至B處處(2r2=r1)時(shí)的速度時(shí)的速度v2 。FmgTMZ(F(e) = 0， LZ = const !初瞬時(shí)初瞬時(shí)(A處處)，LZA = mv1r1，B處，處，LZB = mv2r2， mv1r1 = mv2r2得得v2 = 2v1mgTmgT而而 r1 =2r2 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，mi， vi，受力：外力受力：外力F Fi i(e) (e) 、內(nèi)力、內(nèi)力F Fi i( (i i) ) 二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理

14、二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理)()()()()(eioiioiiomdtdFMFMvMnieioniiioniiiomdtd1)(1)(1)()()(FMFMvM 對于對于n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，有個(gè)質(zhì)點(diǎn)，有n個(gè)這樣的方程，將這些方程求和，則個(gè)這樣的方程，將這些方程求和，則內(nèi)力系主矢 = 0nieioniiiomdtd1)(1)()(FMvM所以得所以得質(zhì)點(diǎn)系對定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理即即nieioniiiomdtd1)(1)()(FMvMnieioodtd1)()(FML 質(zhì)點(diǎn)系對某定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對某定點(diǎn)O O的動(dòng)量矩對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，的動(dòng)量矩對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對同一點(diǎn)的主矩。

15、等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對同一點(diǎn)的主矩。質(zhì)點(diǎn)系對定軸的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對定軸的動(dòng)量矩定理nieizznieixynieixxMLdtdMLdtdMLdtd1)(1)(1)()()()(FFF 質(zhì)點(diǎn)系對某定軸的動(dòng)量矩對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，質(zhì)點(diǎn)系對某定軸的動(dòng)量矩對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對同一軸的矩的代數(shù)和。等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對同一軸的矩的代數(shù)和。計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí)，符號規(guī)定應(yīng)一致計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí)，符號規(guī)定應(yīng)一致O例例：均質(zhì)滑輪：均質(zhì)滑輪M，r，兩重物質(zhì)量，兩重物質(zhì)量m1，m2 。試求重物的加速度。試求重物的加速度。m2m1解：解：以系統(tǒng)為研究對象，畫受力圖。以系統(tǒng)為研究對象，畫受力

16、圖。m1gMgXOYOvvLo = Lo輪輪+ Lo1+ Lo2oJ+m1vrm2g設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)如圖。設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)如圖。m1gMgXOYOvvm2gm1gMgXOYOvvm2gm1gMgXOYOvvm2g系統(tǒng)對定軸系統(tǒng)對定軸O的動(dòng)量矩為的動(dòng)量矩為221Mr根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系對定軸的動(dòng)量矩定理，有根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系對定軸的動(dòng)量矩定理，有g(shù)rmgrmrMmmdtd21221)21(rMmmgmmdtd)21()(2121+ m2vr+m1r2+ m2r2gMmmmmra212122)(2思考題O2O1QP12圖示兩均質(zhì)輪質(zhì)量均為圖示兩均質(zhì)輪質(zhì)量均為M，半徑均為，半徑均為R，且已知且已知PQ，則，則?12121 2 Q

17、PQP12QPQP12QPQP12QPRR對對O1輪：輪：QRPRRRgQJdtd111211)(RgQJRQPdtd11O1RQP對對O2輪：輪：QRPRRRgQRRgPJdtd22222222)(RgQRgPJRQPdtd2122O2RPQ 關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定律關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定律 當(dāng)當(dāng)Mo( Fi(e) ) = 0 時(shí)，有時(shí)，有Lo = 常矢量。常矢量。 當(dāng)當(dāng)Mz( Fi(e) ) = 0 時(shí)，有時(shí)，有Lz = 常量。常量。例：圖示水平圓盤重為例：圖示水平圓盤重為P，半徑為，半徑為R，可繞，可繞 z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)物重軸轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)物重為為Q，按，按S=at2/2的規(guī)律沿盤緣行走。若開始

18、時(shí)盤的角速度為的規(guī)律沿盤緣行走。若開始時(shí)盤的角速度為o，求任意瞬時(shí)求任意瞬時(shí)t，盤的角速度和角加速度。盤的角速度和角加速度。SABS S S221atzyxAB研究系統(tǒng)，畫受力圖。研究系統(tǒng)，畫受力圖。 Mz(F(e) = 0 系統(tǒng)對系統(tǒng)對z軸的動(dòng)量矩守恒，軸的動(dòng)量矩守恒，初瞬時(shí)，動(dòng)物相對于盤速度為零，初瞬時(shí)，動(dòng)物相對于盤速度為零， 只是與盤一起繞只是與盤一起繞z z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸轉(zhuǎn)動(dòng)，RRgQoZAYAXAXBYB0 0)2(22PQgRoPQZAYAXAXBYBPQZAYAXAXBYBPQZAYAXAXBYBPQ系統(tǒng)對系統(tǒng)對z z軸的動(dòng)量矩為軸的動(dòng)量矩為ozogPRL22S 即即Lz=常量！常量

19、！續(xù)：續(xù)：zyxABS設(shè)瞬時(shí)設(shè)瞬時(shí)t，盤的角速度為，盤的角速度為，角加速度為，角加速度為，絕對速度為絕對速度為reavvvatdtdsvr動(dòng)物相對于盤的速度為動(dòng)物相對于盤的速度為系統(tǒng)對系統(tǒng)對z軸的動(dòng)量矩為軸的動(dòng)量矩為RvgQgPRLaz22由由 Lzo=Lz 得得RQPQato)2(2RQPQadtd)2(2vrvevrvevrvevrve對上式求導(dǎo)對上式求導(dǎo) 得得atR RatgQPQgR)2(2211-3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程Lz=Jz根據(jù)根據(jù)nieizzdtd1)()(FMLFnF1F2zxy且軸承反力對且軸承反力對z軸的矩為零，所以有軸的矩為零，所以有nii

20、zzdtdJ1)(FMFN2或或)(izzJFMFiFN1Differential equations for the rotation of a rigid body around a fixed-axis結(jié)論：剛體對定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等于剛體對定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體的主動(dòng)力對該軸的矩的代數(shù)和。作用于剛體的主動(dòng)力對該軸的矩的代數(shù)和。zzdtdJMzzdtdJM22zzJM或或或或剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程。微分方程。根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程可知根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程可知： 作用于剛體的主動(dòng)力對轉(zhuǎn)軸的作用于剛體的主動(dòng)力對轉(zhuǎn)軸的矩使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀

21、態(tài)矩使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化；發(fā)生變化； 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。的難易程度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的慣性度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的慣性度量。量。請比較請比較 Jz = Mz 與與 m a = F 。 如果作用于剛體的主動(dòng)力對轉(zhuǎn)軸的如果作用于剛體的主動(dòng)力對轉(zhuǎn)軸的矩的代數(shù)和等矩的代數(shù)和等于零，則剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)；于零，則剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)； 如果主動(dòng)力對轉(zhuǎn)軸的如果主動(dòng)力對轉(zhuǎn)軸的矩為常量，則剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)；矩為常量，則剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)； 飛輪通常安裝在經(jīng)常受到?jīng)_擊的機(jī)器上，如往復(fù)式飛輪通常安裝在經(jīng)常受到?jīng)_擊的機(jī)器上，如往復(fù)式活塞發(fā)動(dòng)機(jī)、沖床

22、和剪床等?；钊l(fā)動(dòng)機(jī)、沖床和剪床等。制造飛輪時(shí)，要求盡可制造飛輪時(shí)，要求盡可能將質(zhì)量分布在輪緣上，以使轉(zhuǎn)動(dòng)慣量盡可能大，能將質(zhì)量分布在輪緣上，以使轉(zhuǎn)動(dòng)慣量盡可能大， 從轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念，看飛輪的作用從轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念，看飛輪的作用這這樣，機(jī)器受到?jīng)_擊時(shí)，角加速度很小，從而可以保持比樣，機(jī)器受到?jīng)_擊時(shí)，角加速度很小，從而可以保持比較穩(wěn)定的運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)。較穩(wěn)定的運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)。已知均質(zhì)輪已知均質(zhì)輪O1，R1，m1; 均質(zhì)輪均質(zhì)輪O2，R2，m2，主動(dòng)力矩，主動(dòng)力矩M，阻力矩，阻力矩Mf，求，求1。M思考題MfO1O2122111JJLofoMMJJdtdL22111問此種解法是否問此種解法是否正確？為什么？正確

23、？為什么？2正確解法正確解法 對對O1輪，有輪，有MMfO1O212T1T1T2T2121111RTRTMJ 對對O2輪，有輪，有fMRTRTJ222122R2R1; , 2211TTTT2211RR 補(bǔ)充方程：補(bǔ)充方程：且：且：2222211121,21RmJRmJ將將R2+R1可解得：可解得：22121121)()(2RRmmMRMRfMMfT1T1T2T2MMfT1T1T2T2MMfT1T1T2T2121212一、質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)一、質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)O O與對質(zhì)心與對質(zhì)心C的的動(dòng)量矩之間的關(guān)系動(dòng)量矩之間的關(guān)系11-5 11-5 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 質(zhì)點(diǎn)系

24、對任一點(diǎn)的動(dòng)量矩等于集中于質(zhì)點(diǎn)系對任一點(diǎn)的動(dòng)量矩等于集中于系統(tǒng)質(zhì)心的動(dòng)量對該點(diǎn)的動(dòng)量矩再加上系統(tǒng)質(zhì)心的動(dòng)量對該點(diǎn)的動(dòng)量矩再加上此系統(tǒng)對于質(zhì)心的動(dòng)量矩（矢量和）此系統(tǒng)對于質(zhì)心的動(dòng)量矩（矢量和）。Lo=rcmvc+LcMoment of momentum theorem for a system with respect to its center of massC例：已知兩均質(zhì)輪例：已知兩均質(zhì)輪O、C重量分別為重量分別為P、Q，半徑均為，半徑均為r。O輪上作用主動(dòng)力偶輪上作用主動(dòng)力偶M，C輪在斜面上純滾動(dòng)，斜面傾輪在斜面上純滾動(dòng)，斜面傾角為角為。求。求C輪輪心的加速度。輪輪心的加速度。OMMMM

25、分析分析 本題可考慮用質(zhì)點(diǎn)系對定軸的本題可考慮用質(zhì)點(diǎn)系對定軸的動(dòng)量動(dòng)量 矩定理求解；矩定理求解； 問題的關(guān)鍵是如何求平面運(yùn)動(dòng)問題的關(guān)鍵是如何求平面運(yùn)動(dòng)的的C輪對輪對O軸的動(dòng)量矩。軸的動(dòng)量矩。COQPM解：解：由于由于C輪在斜面上純滾動(dòng)，瞬心為輪在斜面上純滾動(dòng)，瞬心為D，XoYoNF系統(tǒng)對系統(tǒng)對O O軸的動(dòng)量矩為軸的動(dòng)量矩為cccJrvgQcorvgQrrvgQrvgccc22Pr22vc所以，所以，vc = r c=r oQPMXoYoNFcovcQPMXoYoNFcovcQPMXoYoNFcovcD瞬心D D DooJL)3(2QPgrvcsin)3(2QrMQPgrvdtdcgrQPQrM

26、dtdvaCc)3()sin(2nieiCCdtd1)()(FML 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩對時(shí)間質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對質(zhì)的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對質(zhì)心的矩的矢量和（主矩）。心的矩的矢量和（主矩）。三、質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理三、質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理11-6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程分析：分析：在動(dòng)力學(xué)的研究中，必須將剛體的運(yùn)動(dòng)與它所受的力在動(dòng)力學(xué)的研究中，必須將剛體的運(yùn)動(dòng)與它所受的力聯(lián)系起來。聯(lián)系起來。 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理將剛體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)與將剛體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)與外力系的主矢外力系的主矢聯(lián)系起來；聯(lián)系起來； 相對于

27、質(zhì)心的動(dòng)量矩定理相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理將剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)與將剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)與外力系的主矩外力系的主矩聯(lián)系起來。聯(lián)系起來。所以：所以：在動(dòng)力學(xué)中，在動(dòng)力學(xué)中，選取質(zhì)心為基點(diǎn)選取質(zhì)心為基點(diǎn)，從而得到，從而得到剛剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程。Differential equations of plane motion of a rigid body OxyyxDLc=Jc)()()(eCccecJJdtdmFMFaF1F2FiFnCCD與與x軸的夾角為軸的夾角為，則剛體的位置可由，則剛體的位置可由xC，yC，確定。剛體的運(yùn)動(dòng)分解為確定。剛體的運(yùn)動(dòng)分解為隨同隨同質(zhì)心質(zhì)心C的平動(dòng)的平動(dòng)和和相對質(zhì)心相

28、對質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體對質(zhì)心剛體對質(zhì)心C的動(dòng)量矩為的動(dòng)量矩為JC 剛體對過質(zhì)心且于與運(yùn)動(dòng)平面垂剛體對過質(zhì)心且于與運(yùn)動(dòng)平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。DCDCDC剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程)()(22)(22eCcecdtdJdtdmFMFr矢量方程代數(shù)方程矢量方程代數(shù)方程矢量方程代數(shù)方程矢量方程代數(shù)方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程的投影式CcecyecxMJYmaXma)()(或或CcnnccMJYmaXma)()(當(dāng)質(zhì)心軌跡已知時(shí)例例 繞線輪質(zhì)量繞線輪質(zhì)量M=50Kg，半徑為，半徑為 R=100mm 和和 r=60mm，對質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為對質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為 =70mm；輪與地面的靜、動(dòng)；

29、輪與地面的靜、動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)分別為滑動(dòng)摩擦系數(shù)分別為 f=0.20和和f =0.15，水平繩的拉，水平繩的拉力為力為T=200N，求輪心，求輪心C的加速度和輪的角加速度。的加速度和輪的角加速度。CTRrTRrTRrTRrT T T TRrCPFN解：解：繞線輪作平面運(yùn)動(dòng)，繞線輪作平面運(yùn)動(dòng)， 受力如圖，受力如圖，aC列出輪的平面運(yùn)動(dòng)微分方程式列出輪的平面運(yùn)動(dòng)微分方程式FTaMCMgN 0TrFRM2輪作純滾動(dòng)，則有輪作純滾動(dòng)，則有aC= R此時(shí)此時(shí)F為靜摩擦力，應(yīng)滿足為靜摩擦力，應(yīng)滿足F f N ,XMaCx,YMaCy,CCMJN = 490N = 10.74rad/s2F= 146.3N最大

30、靜摩擦力最大靜摩擦力Fmax = f N =0.2490=98N。F= 146.3NFmax PFNaCPFNaCPFNaC設(shè)設(shè)RrCFNTaC說明前面的假設(shè)：說明前面的假設(shè)：實(shí)際上，實(shí)際上，其中其中F = f N 為動(dòng)摩擦力。為動(dòng)摩擦力。,XMaCx,YMaCy,CCMJFTaMCMgN 0TrRFM2補(bǔ)充方程F = f NN = 490N = 18.95 rad/s2F = f N=73.6NaC= 2.53 m/s2PFNTaCPFNTaCPFaC輪作純滾動(dòng)不符合實(shí)際！輪作純滾動(dòng)不符合實(shí)際！輪既滾又滑！輪既滾又滑！BO例例：圖示擺由均質(zhì)細(xì)桿：圖示擺由均質(zhì)細(xì)桿(質(zhì)量為質(zhì)量為m1 =m，長度

31、為，長度為l=3r) 和和均質(zhì)圓盤均質(zhì)圓盤(質(zhì)量為質(zhì)量為m2 =2m，半徑為，半徑為r) 固結(jié)而成，求固結(jié)而成，求B端端繩子突然斷裂瞬時(shí)，軸承繩子突然斷裂瞬時(shí)，軸承O處的約束反力。處的約束反力。C1m2rC2m1l=3r分析分析求軸承反力用動(dòng)量矩定理顯然不行！求軸承反力用動(dòng)量矩定理顯然不行！應(yīng)考慮用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。應(yīng)考慮用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。擺的質(zhì)心的加速度必須先求出。擺的質(zhì)心的加速度必須先求出。B端繩斷開瞬時(shí)，擺的受力如圖。端繩斷開瞬時(shí)，擺的受力如圖。BOn解：解：C1m2grC2根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，Jo=mo(F)rgmrgmJO42321acacn于是得擺的角加速

32、度為于是得擺的角加速度為rg7219m1g研究擺，研究擺，rcFnCFnFnFn l=3rFFFF2131lmJO2222)(21rlmrm236mr擺質(zhì)心的加速度為擺質(zhì)心的加速度為acn = 0，grrC7219ccraacacnrcCacacnrcCacacnrcCm2gm1gm2gm1gm2gm1g再由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，再由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，,)(enncFManncFamm)(21,)(ecFMaFgmgmammc2121)(gracc432361解得解得,0nF根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)公式，有根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)公式，有rmmrlmlmrc619)(22121BOnC12mgrC2acacnmgrcFnC l=

33、3rFmgF14471 例例 兩根質(zhì)量各為兩根質(zhì)量各為8 kg8 kg的均質(zhì)細(xì)桿固連成的均質(zhì)細(xì)桿固連成T T 字型，可繞通過字型，可繞通過O O點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)OAOA處于水平位置時(shí)處于水平位置時(shí), , T T 形桿具有角速度形桿具有角速度 =4rad/s =4rad/s 。求該瞬時(shí)軸承。求該瞬時(shí)軸承O O的反力。的反力。解：選解：選T 字型桿為研究對象。字型桿為研究對象。受力分析如圖示。受力分析如圖示。 rad/s 20.75 5 . 08 . 9825. 08 . 98 5 . 081217225 . 025. 0 mgmgIO2222121712131mlmlmlml

34、IO由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程，得根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程，得OxCxCXmama21mgmgYmamaOyCyC21N 96) 5 . 04 25. 04( 8)( 2221xCxCOaamXN 3 .32 ) 5 . 075.20 25. 075.20 ( 88 . 982OY關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理的說明關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理的說明質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理（相對于慣性參考系）：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理（相對于慣性參考系）：質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理： 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理的形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理的形式nieioodtd1)()(FMLnieizzMLdtd1

35、)()(F固定點(diǎn)：固定點(diǎn)：固定軸：固定軸：nieiCCdtd1)()(FMLnieiCzCzMdtdL1)()(F對質(zhì)心：對質(zhì)心：對質(zhì)心軸：對質(zhì)心軸：例例 均質(zhì)圓柱體均質(zhì)圓柱體A和和B的重量均為的重量均為P，半徑均為，半徑均為r，一繩纏在，一繩纏在繞固定軸繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱上，繩的另一端繞在圓柱B上，繩重上，繩重不計(jì)且不可伸長，不計(jì)軸不計(jì)且不可伸長，不計(jì)軸O處摩擦。處摩擦。求：求： 圓柱圓柱B下落時(shí)質(zhì)心的加速度。下落時(shí)質(zhì)心的加速度。 若在圓柱體若在圓柱體A上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩M，試問在什么，試問在什么條件下圓柱條件下圓柱B的質(zhì)心將

36、上升。的質(zhì)心將上升。選圓柱選圓柱B為研究對象為研究對象rTrgPB212TPagPC運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：BACrra TrrgPA221解：選圓柱解：選圓柱A為研究對象為研究對象由由 、 式得：式得：BA, 52rgBAgaC54 代入代入 、 式得：式得：由動(dòng)量矩定理：由動(dòng)量矩定理：rPMMrgPrvgPrgPdtdeOBCA2)222()(22rPMrgPragPrgPBcA222222(1)補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式：補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式：BACrra代入(1)式，得grPrPMarPMargPargPCCC5)2(2 ; 222當(dāng)當(dāng)M 2Pr 時(shí)，時(shí)， ，圓柱，圓柱B的質(zhì)心將上升。的質(zhì)心將上升。

37、0Ca再取系統(tǒng)為研究對象再取系統(tǒng)為研究對象BCAOrgPrvgPrgPL22222rPMMeO2)(例均質(zhì)細(xì)桿均質(zhì)細(xì)桿AB長長2l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，B端擱在光滑的地板上，端擱在光滑的地板上，A端靠在光滑的墻壁上，端靠在光滑的墻壁上，A、B均在垂直墻壁的同一鉛直平面內(nèi)。均在垂直墻壁的同一鉛直平面內(nèi)。初瞬時(shí)，桿與墻壁的夾角為初瞬時(shí)，桿與墻壁的夾角為 0，由靜止開始運(yùn)動(dòng)。求桿的角加，由靜止開始運(yùn)動(dòng)。求桿的角加速度、角速度及墻壁和地面的反力（表示成速度、角速度及墻壁和地面的反力（表示成 的函數(shù)）的函數(shù)）BACAB解：以桿為研究對象，進(jìn)行受力分析。NANB列出桿的平面運(yùn)動(dòng)微分方程式ACNxm mgNy

38、mBC cossinlNlNJABC 上列三方程中未知量數(shù)必須找補(bǔ)充方程。根據(jù)幾何關(guān)系，有xC=lsin,yC=lcos,對時(shí)間t求二階導(dǎo)數(shù)，得sincos2 llxCcossin2 llyCll又桿對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2231)2(121mllmJCCmg5個(gè)。NANBmgNANBmgNANBmg)coscos6cos71 (402mgNB聯(lián)立求解 式，得代入式，得sin43lg sincossin432mlmgNAcossin4322mlmgmgNBABCmgNANBll現(xiàn)在求桿的角速度，dtd sin43lgdd0sin430dlgd)cos(cos230lg式代入式、，得)cos2cos

39、3(sin430mgNAdtddddd例12-8續(xù) 已求得ABCmgNANBll)coscos6cos71 (402mgNB)cos(cos230lg)cos2cos3(sin430mgNA討論問：AB桿什么時(shí)候開始脫離墻壁？AB桿脫離墻壁的條件是什么？桿脫離墻壁的條件是什么？此時(shí)，令0)cos2cos3(sin430mgNA得AB桿開始脫離墻壁的角度為)cos32arccos(0N NA= 0 !N NA= 0 !N NA= 0 !N NA= 0 ! 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理在解決剛體平面運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)問題時(shí)，選取具備以下條件之一的動(dòng)點(diǎn)為矩心，則動(dòng)量矩定理仍然具有簡單的形式，剛體的質(zhì)心，（即相對質(zhì)心的動(dòng)

40、量矩定理）；質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理應(yīng)用于剛體的平面運(yùn)動(dòng)問題瞬時(shí)加速度中心，即aO=0；當(dāng)aO rC時(shí)瞬時(shí)速度中心。其中， rC為質(zhì)心相對于O點(diǎn)的矢徑。請參閱清華大學(xué)編理論力學(xué) 或天津大學(xué)編理論力學(xué)剛體的速度瞬心到質(zhì)心的距離保持不變，速度瞬心O滿足條件aO rC的實(shí)例均質(zhì)圓輪C沿軌道純滾動(dòng)OABvBvAOCCrCvCOCrCvCOCrCvCOCrCvCvBvAOCvBvAOCvBvAOCrCrCrCrC易知,輪和桿的動(dòng)瞬心O的軌跡是以質(zhì)心C為中心的圓，均質(zhì)桿AB兩端分別沿鉛直和水平方向滑動(dòng)即任何瞬時(shí)，速度瞬心到質(zhì)心的距離都相等，這時(shí)，瞬心的加速度指向質(zhì)心， 于是條件aO rC必能滿足。所以，前述的條件

41、可改為，均質(zhì)圓輪或直桿作平面運(yùn)動(dòng)時(shí),如果 則可以選取這樣的瞬心為矩心，直接應(yīng)用動(dòng)量矩定理。剛體的速度瞬心到質(zhì)心的距離保持不變，剛體的速度瞬心到質(zhì)心的距離保持不變，剛體的速度瞬心到質(zhì)心的距離保持不變，aOaOaOaOaOaOaOaO不妨再來看例12-8 前面已列出的桿的平面運(yùn)動(dòng)微分方程為已知桿m，2l；0，求時(shí)桿、及A、B處的反力。ABCmgNANBllOACNxm mgNymBC cossinlNlNJABC 式動(dòng)量矩方程的矩心為質(zhì)心， 方程中包含未知力NA、NB。根據(jù)約束條件，在A點(diǎn)尚未離開墻面之前，桿的速度瞬心正是NA、NB的交點(diǎn)O，sin)31(22mglmlml, )(FOOMJ 于是

42、直接求得sin43lg 且在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)O到質(zhì)心C的距離始終保持為l，所以，可選點(diǎn)O為矩心列出動(dòng)量矩方程。l l l l本章小結(jié)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對于某點(diǎn)（或某軸）的矩稱為質(zhì)點(diǎn)對于該點(diǎn)（或該軸）的動(dòng)量矩。質(zhì)點(diǎn)系對于某點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對點(diǎn)O的矩的矢量和，即niiioom1)(vMLniiizzmML1)(v質(zhì)點(diǎn)系對于某軸z的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對軸z的矩的代數(shù)和，即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理（相對于慣性參考系）： 若z軸通過點(diǎn)O，則質(zhì)點(diǎn)系對于點(diǎn)O的動(dòng)量矩在z軸上的投影等于質(zhì)點(diǎn)系對于z軸的動(dòng)量矩，即zzoLL)()(FMvMoomdtd)()(FvzzMmMdtd質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理（相對于慣性參考系）：nieioodtd1)()(FMLnieizzMLdtd1)()(F質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩為：nieiCCdtd1)()(FMLnieiCzCzMdtdL1)()(FzzJL 剛體繞定軸或通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程在 形式上相同，即：)()(ezzMJF 剛體對于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量，計(jì)算公式為 式中JzC是剛體對于通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。dmrrmJni