湘教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《數(shù)軸、相反數(shù)與絕對(duì)值》

1、數(shù)軸、相反數(shù)與絕對(duì)值本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.21.2.1 數(shù)數(shù) 軸軸 我們看到的刻度尺的邊緣上都有一些點(diǎn)我們看到的刻度尺的邊緣上都有一些點(diǎn)，并且并且這些點(diǎn)在一條直線上，它們分別表示一些數(shù)這些點(diǎn)在一條直線上，它們分別表示一些數(shù). .由此由此聯(lián)想聯(lián)想，能不能用一條直線上的點(diǎn)來表示數(shù)能不能用一條直線上的點(diǎn)來表示數(shù)？讓出發(fā)點(diǎn)讓出發(fā)點(diǎn)O表示表示0，向，向東走東走1m到達(dá)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)A，就就讓點(diǎn)讓點(diǎn)A表示表示1；向東走向東走3m到達(dá)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C，就讓點(diǎn)就讓點(diǎn)C表示表示3；向西走向西走1m到達(dá)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)B，就就讓點(diǎn)讓點(diǎn)B表示表示-1.向西走向西走3m到達(dá)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)D，就讓點(diǎn)就讓點(diǎn)D表示表示-3. 從上面的例子受到啟發(fā)從上

2、面的例子受到啟發(fā)，我們可以用一我們可以用一條直線上的點(diǎn)來直觀地表示數(shù)條直線上的點(diǎn)來直觀地表示數(shù). .結(jié)論結(jié)論 畫一條直線畫一條直線( (通常把它水平放置通常把它水平放置) )，O0 在直線在直線上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)O，把點(diǎn)把點(diǎn)O叫做叫做原點(diǎn)原點(diǎn)， 用原點(diǎn)表示數(shù)用原點(diǎn)表示數(shù)0. . 規(guī)定直線的規(guī)定直線的正方向正方向（標(biāo)上箭頭標(biāo)上箭頭）. .O0 通常把直通常把直線上從原點(diǎn)向右的方向規(guī)定為正方向線上從原點(diǎn)向右的方向規(guī)定為正方向，從原點(diǎn)從原點(diǎn)向左的方向規(guī)定為負(fù)方向向左的方向規(guī)定為負(fù)方向. . 選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度. .O012-1-2 從原點(diǎn)向右從原點(diǎn)向右，距原點(diǎn)距原點(diǎn)1個(gè)單

3、位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示數(shù)個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示數(shù)1， 距原點(diǎn)距原點(diǎn)2個(gè)單個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示數(shù)位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示數(shù)2，； 從原點(diǎn)向左從原點(diǎn)向左，距原點(diǎn)距原點(diǎn)1個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示數(shù)個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示數(shù)- -1， 距原點(diǎn)距原點(diǎn)2個(gè)單位長(zhǎng)度個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示數(shù)的點(diǎn)表示數(shù)- -2，. 像這樣，規(guī)定了原點(diǎn)像這樣，規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸的直線叫做數(shù)軸. .任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個(gè)點(diǎn)來表示任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個(gè)點(diǎn)來表示. .結(jié)論結(jié)論正方向正方向數(shù)軸的三要素?cái)?shù)軸的三要素單位長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度原點(diǎn)原點(diǎn) 數(shù)軸的引入，使我們能用直觀圖形來理解數(shù)的數(shù)軸的引入，使我們能用直觀圖形來理解

4、數(shù)的有關(guān)概念，這就是有關(guān)概念，這就是“數(shù)數(shù)”與與“形形”的結(jié)合，數(shù)形結(jié)的結(jié)合，數(shù)形結(jié)合是一種重要的方法，我們應(yīng)注意掌握。合是一種重要的方法，我們應(yīng)注意掌握。本本 章章 小小 結(jié)結(jié)例例1 如圖如圖1- -7，數(shù)軸上的點(diǎn)，數(shù)軸上的點(diǎn)M，P，Q分別表示哪分別表示哪 個(gè)有理數(shù)個(gè)有理數(shù)？圖圖1- -7解：解：M ， P ，Q分別表示分別表示- -3，- -0.5，2.5.舉舉例例例例2 畫一條數(shù)軸，畫一條數(shù)軸， 并標(biāo)出表示下列各數(shù)的點(diǎn)并標(biāo)出表示下列各數(shù)的點(diǎn)：解：解：所畫數(shù)軸及各數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所畫數(shù)軸及各數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖. .17-5 1.5 -3.5 4.5 -210, , , , , ,

5、 , , , , 1. 把下列各數(shù)和數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)用線連起來把下列各數(shù)和數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)用線連起來：練習(xí)練習(xí)0-23-3.54.25 2.填空填空： （1） 數(shù)軸上在原點(diǎn)右邊距原點(diǎn)數(shù)軸上在原點(diǎn)右邊距原點(diǎn)3.7個(gè)單位長(zhǎng)度個(gè)單位長(zhǎng)度 的點(diǎn)表示的數(shù)是的點(diǎn)表示的數(shù)是 ； （2） 數(shù)軸上在原點(diǎn)左邊距原點(diǎn)數(shù)軸上在原點(diǎn)左邊距原點(diǎn) 個(gè)單位長(zhǎng)度個(gè)單位長(zhǎng)度 的點(diǎn)表示的數(shù)是的點(diǎn)表示的數(shù)是 ；58 （3） 數(shù)軸上距原點(diǎn)數(shù)軸上距原點(diǎn)2個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)有個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)有 個(gè)，個(gè)， 它們分別表示數(shù)它們分別表示數(shù) . .3.72和和- -258- -兩兩 3.畫一條數(shù)軸，并標(biāo)出表示下列各數(shù)的點(diǎn)：畫一條數(shù)軸，并標(biāo)出表示下列各數(shù)的點(diǎn)

6、： - -2， - -0.8， 0.8， 2.012- -1- -2- -0.80.81、填空：、填空： 數(shù)軸上表示數(shù)軸上表示2的點(diǎn)在原點(diǎn)的的點(diǎn)在原點(diǎn)的 側(cè)，距原側(cè)，距原 點(diǎn)的距離是點(diǎn)的距離是 ，表示，表示6的點(diǎn)在原點(diǎn)的點(diǎn)在原點(diǎn) 的的 側(cè)，距原點(diǎn)的距離是側(cè)，距原點(diǎn)的距離是 。6個(gè)單位個(gè)單位左左右右2個(gè)單位個(gè)單位拓展練習(xí)拓展練習(xí)3、下列命題正確的是（、下列命題正確的是（ ）A：數(shù)軸上的點(diǎn)都表示整數(shù)。：數(shù)軸上的點(diǎn)都表示整數(shù)。B：數(shù)軸上表示：數(shù)軸上表示5與與-5的點(diǎn)分別在原點(diǎn)的的點(diǎn)分別在原點(diǎn)的 兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離都等于兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離都等于5個(gè)個(gè) 單位長(zhǎng)度。單位長(zhǎng)度。C：數(shù)軸包括原點(diǎn)與正方

7、向兩個(gè)要素。：數(shù)軸包括原點(diǎn)與正方向兩個(gè)要素。D：數(shù)軸上的點(diǎn)只能表示正數(shù)和零。：數(shù)軸上的點(diǎn)只能表示正數(shù)和零。B1.2.2 相反數(shù)相反數(shù) 如圖如圖1- -9，點(diǎn)點(diǎn)A和點(diǎn)和點(diǎn)B表示的有理數(shù)之間有什表示的有理數(shù)之間有什么關(guān)系么關(guān)系？觀察觀察圖圖1- -9 點(diǎn)點(diǎn)A與原點(diǎn)的距離與原點(diǎn)的距離是是5，點(diǎn)，點(diǎn)B與原點(diǎn)的距與原點(diǎn)的距離也是離也是5. 點(diǎn)點(diǎn)A表示表示-5，點(diǎn)，點(diǎn)B表示表示5，它們只有符號(hào)，它們只有符號(hào)不同不同. . 像像5和和- -5這樣，如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那這樣，如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的么其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)相反數(shù)，也稱這兩個(gè)也稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)數(shù)互為

8、相反數(shù). .例如例如，2.6的相反數(shù)是的相反數(shù)是- -2.6， - -2.6的相反數(shù)是的相反數(shù)是2.6. 我們把數(shù)我們把數(shù)a的相反數(shù)記做的相反數(shù)記做- -a于是于是“- -2.6 的相的相反數(shù)是反數(shù)是2.6”就可以記做就可以記做“- -( (- -2.6) )= 2.6”求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)即在這個(gè)數(shù)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)即在這個(gè)數(shù)的前面加上的前面加上“”號(hào)。號(hào)。0 的相反數(shù)是的相反數(shù)是 0.結(jié)論結(jié)論 表示互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)，在數(shù)軸上分表示互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)，在數(shù)軸上分別位于原點(diǎn)的兩側(cè)，別位于原點(diǎn)的兩側(cè)， 并且與原點(diǎn)的距離相等并且與原點(diǎn)的距離相等. .例例3 畫一條數(shù)軸，畫一條數(shù)軸， 并標(biāo)出表示

9、下列各數(shù)的相反并標(biāo)出表示下列各數(shù)的相反 數(shù)的點(diǎn)數(shù)的點(diǎn)：解：解：3的相反數(shù)是的相反數(shù)是- -3；1.5的相反數(shù)是的相反數(shù)是- -1.5；- -6 的的 相反數(shù)是相反數(shù)是6，且且- -3，- -1.5，6在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的 點(diǎn)分別為點(diǎn)分別為A，B，C，如圖所示如圖所示3，1.5，-6 .判斷題判斷題1.兩個(gè)符號(hào)相反的數(shù)叫做相反數(shù)兩個(gè)符號(hào)相反的數(shù)叫做相反數(shù).()2. 只有只有0的相反數(shù)是它本身的相反數(shù)是它本身.( )3.一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一定是負(fù)數(shù)一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一定是負(fù)數(shù).( )4.數(shù)軸上位于原點(diǎn)的兩側(cè)且到原點(diǎn)的數(shù)軸上位于原點(diǎn)的兩側(cè)且到原點(diǎn)的距離相等的兩點(diǎn)所表示的兩個(gè)數(shù)互為距離相等的兩點(diǎn)所表示

10、的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)相反數(shù).( )說一說說一說:下列各數(shù)表示的意義下列各數(shù)表示的意義(1) -(-7.5)表示表示_(2) -(+100)表示表示_(3) +(-0.5)表示表示_-7.5的相反數(shù)的相反數(shù)+100的相反數(shù)的相反數(shù)-0.5通常通常在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“”號(hào)，號(hào)，它表示原來那個(gè)數(shù)的相反數(shù)，它表示原來那個(gè)數(shù)的相反數(shù)，在一個(gè)數(shù)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)的前面添上一個(gè)“”號(hào)，它仍表示原號(hào)，它仍表示原來那個(gè)數(shù)。來那個(gè)數(shù)。- -( (+1) )= ? 說一說說一說- -( (- -1) )= ? 因?yàn)橐驗(yàn)?1的相反數(shù)是的相反數(shù)是- -1，所以所以- -( (+ +1) )=

11、- -1.因?yàn)橐驗(yàn)? -1的相反數(shù)是的相反數(shù)是1，所以所以- -( (- -1) )=1.(1) -(+1)表示表示 +1相反數(shù)相反數(shù)(2) -(-1-1)表示表示 - -1相反數(shù)相反數(shù)通常通常在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“”號(hào)，號(hào)，它表示原來那個(gè)數(shù)的相反數(shù)，它表示原來那個(gè)數(shù)的相反數(shù)，在一個(gè)數(shù)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)的前面添上一個(gè)“”號(hào)，它仍表示原號(hào)，它仍表示原來那個(gè)數(shù)。來那個(gè)數(shù)。例例4 填空填空：- -( (+0.8) )= ；- -( (- -3) )= .解：解： - -( (+0.8) )= ；- -0.8- -( (- -3) )= .31. 把右邊各數(shù)中互為相反數(shù)的兩

12、個(gè)數(shù)用線連起把右邊各數(shù)中互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)用線連起 來，并在一條數(shù)軸上標(biāo)出表示它們的點(diǎn)來，并在一條數(shù)軸上標(biāo)出表示它們的點(diǎn). .練習(xí)練習(xí)92.51-2.500-9-12. 填空：填空：- -( (+6.7) )= ；- -( (+8）= ；- -( (- -4) )= ； = .53- - - -6.7- -84533. 已知已知a的相反數(shù)是的相反數(shù)是3.5，則，則a等于多少等于多少？答：答：a 是是- -3.5 . 做一做：做一做：化簡(jiǎn)下列各數(shù)化簡(jiǎn)下列各數(shù)(1)-(+2) (2)-(-2.3) (3)-(+8) (4)-(-3.6) (5)-+-(+6) 你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎

13、？對(duì)于多重符號(hào)的化簡(jiǎn)對(duì)于多重符號(hào)的化簡(jiǎn),可根據(jù)可根據(jù)“-”號(hào)的個(gè)號(hào)的個(gè)數(shù)確定數(shù)確定. 如果如果“-”號(hào)是奇數(shù)個(gè)，結(jié)果為號(hào)是奇數(shù)個(gè)，結(jié)果為負(fù)；如果負(fù)；如果“-”號(hào)是偶數(shù)個(gè)，結(jié)果為正。號(hào)是偶數(shù)個(gè)，結(jié)果為正。1.2.3 絕對(duì)值絕對(duì)值 小明家、學(xué)校、小李家在數(shù)軸上的位置分別如圖小明家、學(xué)校、小李家在數(shù)軸上的位置分別如圖中點(diǎn)中點(diǎn)A， O， B所示所示.動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 若數(shù)軸的單位長(zhǎng)度表示若數(shù)軸的單位長(zhǎng)度表示1km，則則A，B兩點(diǎn)表示的有理數(shù)分別是多少兩點(diǎn)表示的有理數(shù)分別是多少？1km 小明、小李各自小明、小李各自從家到學(xué)校要走多遠(yuǎn)從家到學(xué)校要走多遠(yuǎn)？點(diǎn)點(diǎn)A表示表示- -4，小明從小明從家到學(xué)校要走家到學(xué)校

14、要走4km點(diǎn)點(diǎn)B表示表示2，小李從家小李從家到學(xué)校要走到學(xué)校要走2km. 我們把我們把4叫做叫做- -4的的絕對(duì)值絕對(duì)值，記做，記做“|-|-4|=|=4”；把把2叫做叫做2的絕對(duì)值，記做的絕對(duì)值，記做“| |2|=|=2”.”.正數(shù)的絕對(duì)值是它本身正數(shù)的絕對(duì)值是它本身. .結(jié)論結(jié)論負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù).0 的絕對(duì)值是的絕對(duì)值是0.從而，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等從而，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等. . 從上述例子看到從上述例子看到，- -4的絕對(duì)值等于數(shù)軸上表的絕對(duì)值等于數(shù)軸上表示示- -4 的點(diǎn)的點(diǎn)A與原點(diǎn)之間的距離與原點(diǎn)之間的距離， 2的絕對(duì)值等于的絕對(duì)

15、值等于數(shù)軸上表示數(shù)軸上表示2的點(diǎn)的點(diǎn)B與原點(diǎn)之間的距離與原點(diǎn)之間的距離，如圖所示如圖所示. .一般地，有下述結(jié)論：一般地，有下述結(jié)論： 一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離與原點(diǎn)的距離. . 例例5 求下列各數(shù)的絕對(duì)值：求下列各數(shù)的絕對(duì)值： 12， ， - -7.5， 0.35- -舉舉例例解解| 12 |12是正數(shù)，正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身是正數(shù)，正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身. .= 1235- - 是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù). .35- -=35| - -7.5 |- -7.5是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)絕對(duì)值等于它相反

16、數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)絕對(duì)值等于它相反數(shù). .= 7.5| 0 |0 的絕對(duì)值等于的絕對(duì)值等于0.= 0 如果如果 a 表示一個(gè)數(shù)，則表示一個(gè)數(shù)，則| |a| |等于多少等于多少？ （1）當(dāng)）當(dāng)a是正數(shù)時(shí)，是正數(shù)時(shí)，| a |= a； （3）當(dāng)）當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，是負(fù)數(shù)時(shí)，| a |= - -a. （2）當(dāng)）當(dāng)a=0時(shí)，時(shí)，| a |=0 ；說一說說一說 一般地，一般地，如果如果 a 表示一個(gè)數(shù)，則表示一個(gè)數(shù)，則即即| a |是指是指a和和- -a中非負(fù)數(shù)的另一個(gè)中非負(fù)數(shù)的另一個(gè). 例例6 若若| |a| |= 8.7, ,求求a.解解互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等.因?yàn)榻^對(duì)

17、值等于因?yàn)榻^對(duì)值等于8.7的有理數(shù)有的有理數(shù)有8.7和和- -8.7兩個(gè)，兩個(gè)，所以所以a=8.7或或a=- -8.7. 1.求下列各數(shù)的絕對(duì)值：求下列各數(shù)的絕對(duì)值：3，3.14， ，- -2.8. .15解解| 3 |=3；| 3.14 |=3.14； ；| - -2.8 |=2.8 .11=55- -練習(xí)練習(xí)2. 填空填空：- -|- -2010|= ；- -| - -2.8 | = ； = . 5 8- -2010- -2.85 83. 畫一條數(shù)軸，并標(biāo)出表示絕對(duì)值等于畫一條數(shù)軸，并標(biāo)出表示絕對(duì)值等于2，3.5 的數(shù)的點(diǎn)的數(shù)的點(diǎn). .中考中考 試題試題例例1 在一條東西走向的馬路上，有青

18、少年宮、學(xué)校、商場(chǎng)、醫(yī)院四家公在一條東西走向的馬路上，有青少年宮、學(xué)校、商場(chǎng)、醫(yī)院四家公共場(chǎng)所共場(chǎng)所.已知青少年宮在學(xué)校東已知青少年宮在學(xué)校東300米，商場(chǎng)在學(xué)校西米，商場(chǎng)在學(xué)校西200米，醫(yī)院在學(xué)校米，醫(yī)院在學(xué)校東東500米米.若將馬路近似地看成一條直線，以學(xué)校為原點(diǎn)，向東方向?yàn)檎饺魧ⅠR路近似地看成一條直線，以學(xué)校為原點(diǎn)，向東方向?yàn)檎较?，用向，?個(gè)單位長(zhǎng)度表示個(gè)單位長(zhǎng)度表示100米米. . 1.在數(shù)軸上表示出四家公共場(chǎng)所的位置在數(shù)軸上表示出四家公共場(chǎng)所的位置. 2.列式計(jì)算青少年宮與商場(chǎng)之間的距離列式計(jì)算青少年宮與商場(chǎng)之間的距離. 畫數(shù)軸要注意數(shù)軸的三要素，選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)（學(xué)校）為坐標(biāo)原點(diǎn)，求數(shù)軸畫數(shù)軸要注意數(shù)