第七章：彎曲變形

1、第七章：彎曲變形第七章：彎曲變形彎曲變形彎曲變形余余 輝輝 彎曲變形彎曲變形 對于工程中承受彎曲變形的構(gòu)件，設計時除了應使其工對于工程中承受彎曲變形的構(gòu)件，設計時除了應使其工作應力不超過材料的許用應力之外，還必須考慮由于變形過作應力不超過材料的許用應力之外，還必須考慮由于變形過大可能會出現(xiàn)的問題。例如大可能會出現(xiàn)的問題。例如7-1 引引 言言彎曲變形彎曲變形撓曲線撓曲線 撓曲線方程撓曲線方程 ：撓度撓度 ：轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 ： q x撓曲線Fxwwx wf xw逆時針的轉(zhuǎn)角為正，反之為負。逆時針的轉(zhuǎn)角為正，反之為負。 向上的撓度為正，反之為負。向上的撓度為正，反之為負。 ddwx（7-2） （7-1）

2、彎曲變形彎曲變形一、撓曲線的曲率公式一、撓曲線的曲率公式 1MEI 1M xxEI 22322d1dd1dwxxwx 22322ddd1dwM xxEIwx 22ddM xwxEI 7-2 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程 彎曲變形彎曲變形 22ddM xwxEIxwO0M 220ddxOwx0M 220ddx彎矩正負號規(guī)定高等數(shù)學知識討論：討論： 22ddM xwxEI 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程 （7-3） 彎曲變形彎曲變形 ddM xwxxCxDEI dddM xwxCxEI 22ddM xwxEI 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程 梁的轉(zhuǎn)角方程梁的轉(zhuǎn)角方程 梁的撓曲線

3、方程梁的撓曲線方程 （7-4） （7-5） 7-3 計算彎曲變形的積分法計算彎曲變形的積分法彎曲變形彎曲變形1、位移邊界條件、位移邊界條件 2、位移連續(xù)條件、位移連續(xù)條件xwBlA0000 xxwABlwx000 xx lww 積分常數(shù)積分常數(shù)C、D的確定的確定aFABCbxx ax awwx ax a彎曲變形彎曲變形例例 7-1如圖所示懸臂梁，自由端承受集中力如圖所示懸臂梁，自由端承受集中力 作用，作用，試建立梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并計算最大撓度試建立梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并計算最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。設彎曲剛度和最大轉(zhuǎn)角。設彎曲剛度 為常數(shù)。為常數(shù)。 FEIFxwxlAB M xF l

4、x2d1d2wFlxxCxEI解：解：（2）建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程）建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程 （a）（1）列彎矩方程）列彎矩方程將彎矩方程代入式（將彎矩方程代入式（7-4），積分一次得轉(zhuǎn)角方程），積分一次得轉(zhuǎn)角方程彎曲變形彎曲變形對式（對式（a）再積分一次，得撓曲線方程）再積分一次，得撓曲線方程23126FlwxxCxDEI （b）（3）確定積分常數(shù)）確定積分常數(shù)0000AxAxww位移邊界條件：固定端位移邊界條件：固定端橫截面上轉(zhuǎn)角和撓度均為零即橫截面上轉(zhuǎn)角和撓度均為零即將上述位移邊界條件代入分別代入式（將上述位移邊界條件代入分別代入式（a）、（）、（b），），解得積分常數(shù)解得積分常數(shù)彎曲

5、變形彎曲變形0C 0D 212FlxxEI23126FlwxxEI將所得積分常數(shù)代入式（將所得積分常數(shù)代入式（a）、（）、（b），梁的轉(zhuǎn)角方程和），梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別成為撓曲線方程分別成為 （c） （d）（4）計算最大撓度和最大轉(zhuǎn)角）計算最大撓度和最大轉(zhuǎn)角彎曲變形彎曲變形容易判斷，梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角均發(fā)生在容易判斷，梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角均發(fā)生在 的截面的截面 處。處。xlB故將故將 代入撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，即得梁的最大撓代入撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，即得梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角分別為度和最大轉(zhuǎn)角分別為xl3max3x lFlwwEI2max2x lFlEI所得所得 為正值，說明截面

6、為正值，說明截面 的撓度向上；的撓度向上；maxwB 為正值，說明截面為正值，說明截面 的轉(zhuǎn)角為逆時針。的轉(zhuǎn)角為逆時針。maxB彎曲變形彎曲變形例例 7-2受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，已知抗彎受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，已知抗彎剛度剛度 為常數(shù)，試求此梁的最大撓度為常數(shù)，試求此梁的最大撓度 以及截面以及截面A的的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 。 EImaxwA（1）列彎矩方程）列彎矩方程解：解：12ABFFql 21122M xqlxqx利用對稱關(guān)系易得梁的支座反力利用對稱關(guān)系易得梁的支座反力從而得梁的彎矩方程為從而得梁的彎矩方程為AqBBFAFlwxAx彎曲變形彎曲變形（2）建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程）建

7、立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程23d111d46wqlxqxCxEI341111224wqlxqxCxDEI將所得彎矩方程代入式（將所得彎矩方程代入式（7-4），積分一次，得轉(zhuǎn)角方程），積分一次，得轉(zhuǎn)角方程對式（對式（a）再積分一次，得撓曲線方程）再積分一次，得撓曲線方程（a）（b）彎曲變形彎曲變形000AxBx lwwww 0D 3124CqlEI （3）確定積分常數(shù)）確定積分常數(shù) 將上述位移邊界條件代入分別代入式（將上述位移邊界條件代入分別代入式（a）、（）、（b），），解得積分常數(shù)解得積分常數(shù)位移邊界條件：在兩端固定鉸支座處，撓度為零，即位移邊界條件：在兩端固定鉸支座處，撓度為零，即彎曲變形彎曲

8、變形23311114624qlxqxqlEI3431111122424wqlxqxql xEI將所得積分常數(shù)代入式（將所得積分常數(shù)代入式（a）、（）、（b），梁的轉(zhuǎn)角方程和），梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別成為撓曲線方程分別成為（c）（d）（4）計算最大撓度與）計算最大撓度與截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角作出梁的彎矩圖如下圖所示，全梁彎矩為正?？紤]到結(jié)作出梁的彎矩圖如下圖所示，全梁彎矩為正?？紤]到結(jié)構(gòu)與載荷的對稱性，可知梁的撓曲線是一條關(guān)于中間截構(gòu)與載荷的對稱性，可知梁的撓曲線是一條關(guān)于中間截面對稱的凹曲線。面對稱的凹曲線。 彎曲變形彎曲變形在中間截面，即在中間截面，即 處撓度處撓度 取極值。將取極值。將

9、 代入式代入式（d），得梁的最大撓度），得梁的最大撓度2xlw2xl4max25384lxqlwwEI 再將再將 代入式（代入式（c），即得截面），即得截面A的轉(zhuǎn)角為的轉(zhuǎn)角為0 x 3024AxqlEI maxw為負，說明其方向向下。為負，說明其方向向下。28qlMxA為負，說明截面為負，說明截面A的轉(zhuǎn)角為順時針轉(zhuǎn)向。的轉(zhuǎn)角為順時針轉(zhuǎn)向。彎曲變形彎曲變形例例 7-3如圖所示簡支梁，在無限接近右支座如圖所示簡支梁，在無限接近右支座B處受到矩為處受到矩為 的集中力偶作用，試計算梁的最大撓度。設彎曲剛度的集中力偶作用，試計算梁的最大撓度。設彎曲剛度 為常數(shù)。為常數(shù)。eMEIAeMBBFAFlwxx3

10、3lmaxw（1）列彎矩方程）列彎矩方程解：解：eAMFleBMFl eAMM xF xxl由梁的平衡方程，易得由梁的平衡方程，易得從而得梁的彎矩方程為從而得梁的彎矩方程為彎曲變形彎曲變形（2）建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程）建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程將所得彎矩方程代入式（將所得彎矩方程代入式（7-4），積分一次，得轉(zhuǎn)角方程），積分一次，得轉(zhuǎn)角方程對式（對式（a）再積分一次，得撓曲線方程）再積分一次，得撓曲線方程（a）（b）2edd2MwxCxEIl3e6MwxCxDEIl彎曲變形彎曲變形000AxBx lwwww （3）確定積分常數(shù)）確定積分常數(shù) 將上述位移邊界條件代入分別代入式（將上述位移邊界條件

11、代入分別代入式（a）、（）、（b），），解得積分常數(shù)解得積分常數(shù)位移邊界條件：在兩端固定鉸支座處，撓度為零，即位移邊界條件：在兩端固定鉸支座處，撓度為零，即0D e6MClEI 彎曲變形彎曲變形將所得積分常數(shù)代入式（將所得積分常數(shù)代入式（a）、（）、（b），梁的轉(zhuǎn)角方程和），梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別成為撓曲線方程分別成為（c）（d）22e36MxlEIl22e6M xwxlEIl（4）計算最大撓度與）計算最大撓度與截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角作出梁的彎矩圖如下圖所示，全梁彎矩為正。其最大作出梁的彎矩圖如下圖所示，全梁彎矩為正。其最大撓度處的轉(zhuǎn)角為零。故由式（撓度處的轉(zhuǎn)角為零。故由式（c）有）有22

12、ed30d6MwxlxEIl彎曲變形彎曲變形03lx 將上述將上述 值代入式（值代入式（d），即得梁的最大撓度），即得梁的最大撓度0 x2emax39 3lxM lwwEI 從而得最大撓度所在截面的坐標為從而得最大撓度所在截面的坐標為結(jié)果為負，說明撓度方向向下。結(jié)果為負，說明撓度方向向下。彎曲變形彎曲變形例例 7-4如圖所示簡支梁，在截面如圖所示簡支梁，在截面C 受集中力受集中力 作用，試作用，試計算梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。設彎曲剛度計算梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。設彎曲剛度 為常數(shù)。為常數(shù)。 FEIlaFABCxb2x1xBFAFw（1）列彎矩方程）列彎矩方程解：解：由梁的平衡方程，易得由梁的平

13、衡方程，易得從而得梁的彎矩方程為從而得梁的彎矩方程為AFbFlBFaFl111AFbM xF xxlAC 段段10 xa彎曲變形彎曲變形22222AFbM xF xF xaxF xalBC 段段2axl（2）建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程）建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程211111dd2wFbxCxEIl將將AC段的彎矩方程代入式（段的彎矩方程代入式（7-4），積分一次，），積分一次，得得AC段段轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程對式（對式（a）再積分一次，得撓曲線方程）再積分一次，得撓曲線方程（a）（b）10 xa3111 116FbwxC xDEIl10 xa彎曲變形彎曲變形將將BC段的彎矩方程代入式（段的彎矩方程代入

14、式（7-4），積分一次，得），積分一次，得BC段段轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程對式（對式（c）再積分一次，得撓曲線方程）再積分一次，得撓曲線方程（c）（d）10 xa22222222dd22wFbFxxaCxEIlEI3322222266FbFwxxaC xDEIlEIBC段段（3）確定積分常數(shù)）確定積分常數(shù)位移邊界條件：在兩端固定鉸支座處，撓度為零，即：位移邊界條件：在兩端固定鉸支座處，撓度為零，即：彎曲變形彎曲變形將上述位移邊界條件和位移連續(xù)條件分別代入將上述位移邊界條件和位移連續(xù)條件分別代入式式（a）、）、 （b）、（）、（c）、（）、（d），解得），解得4個積分常數(shù)分別為個積分常數(shù)分別為000Ax

15、Bx lwwww 12121212xaxaxaxaww120DD22126FbCCblEIl由于梁的撓曲線是一條光滑連續(xù)的曲線，故由于梁的撓曲線是一條光滑連續(xù)的曲線，故AC段和段和BC段在段在截面截面C處具有相同的撓度和轉(zhuǎn)角，即有位移連續(xù)條件：處具有相同的撓度和轉(zhuǎn)角，即有位移連續(xù)條件：彎曲變形彎曲變形將所得積分常數(shù)代入式（將所得積分常數(shù)代入式（a）、（）、（b） 、 （c）、（）、（d），），梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別成為梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別成為（e）（f）AC 段段10 xa2221136FbxblEIl3221116FbwxblxEIl10 xaBC段段2222222226FbF

16、FbxxablEIlEIEIl33222222666FbFFbwxxablxEIlEIEIl（g）（h）彎曲變形彎曲變形（4）計算最大撓度與）計算最大撓度與截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角顯然，最大轉(zhuǎn)角在兩端支座處取得，將顯然，最大轉(zhuǎn)角在兩端支座處取得，將 和和 分別代入式（分別代入式（e）、式（）、式（g），得），得A、B兩支座處的轉(zhuǎn)角兩支座處的轉(zhuǎn)角分別為：分別為：10 x 2xl1106AxFab lbEIl 226BxlFab laEIl假設假設 則則 ，故最大轉(zhuǎn)角，故最大轉(zhuǎn)角abBAmax6BFab laEIl彎曲變形彎曲變形由梁的撓曲線形狀可以判定最大撓度處的轉(zhuǎn)角為零。因由梁的撓曲線形狀可以判定

17、最大撓度處的轉(zhuǎn)角為零。因 ，當當 時，時， ；當；當 時，時， 。故知。故知 的位置的位置必定在必定在AC段內(nèi)。令式（段內(nèi)。令式（e）等于零，即有）等于零，即有ab10 x 01xa0022211306FbxblEIl解得最大撓度所在截面坐標為解得最大撓度所在截面坐標為2203lbx將上述將上述 值代入式（值代入式（f），得梁的最大撓度為），得梁的最大撓度為0 x2210322max139 3lbxxFblbwwEIl 彎曲變形彎曲變形結(jié)果為負，說明結(jié)果為負，說明 的方向向下。的方向向下。maxw當集中力當集中力 作用在梁的中點時，即作用在梁的中點時，即 ，易知梁，易知梁的最大撓度發(fā)生在梁的中

18、點，其值為的最大撓度發(fā)生在梁的中點，其值為F2abl3max48FlwEI 2max16BAFlEI此時的最大轉(zhuǎn)角此時的最大轉(zhuǎn)角積分法的優(yōu)點是可以建立梁的轉(zhuǎn)角和撓曲線的普遍方程，從積分法的優(yōu)點是可以建立梁的轉(zhuǎn)角和撓曲線的普遍方程，從而能夠方便獲得任意指定截面處的轉(zhuǎn)角和撓度。缺點是計算而能夠方便獲得任意指定截面處的轉(zhuǎn)角和撓度。缺點是計算繁瑣，不適宜求解梁上載荷比較復雜的情形。繁瑣，不適宜求解梁上載荷比較復雜的情形。彎曲變形彎曲變形)(22xMEIwdxwdEI 設梁上有設梁上有n 個載荷同時作用，任意截面上的彎矩個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為為M(x)，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為w，則

19、有：，則有： )(xMEIwii 若梁上只有第若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩個載荷單獨作用，截面上彎矩為為 ，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為 ，則有：，則有：i iy)(xMi由彎矩的疊加原理知：由彎矩的疊加原理知：所以，所以，)( )( 11xMwEIwEIniinii)()(1xMxMnii 7-4 計算彎曲變形的疊加法計算彎曲變形的疊加法彎曲變形彎曲變形故故 )( 1niiww由于梁的邊界條件不變，因此由于梁的邊界條件不變，因此,1niiniiww1重要結(jié)論：重要結(jié)論： 梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個載荷單獨作用時的撓

20、度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是這就是計算彎曲變形的疊加原理計算彎曲變形的疊加原理。彎曲變形彎曲變形例例7-57-5 已知已知簡支梁受力如圖示，簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。均為已知。求求C 截面的撓截面的撓度度wC ；B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角 B1 1）將梁上的載荷分解）將梁上的載荷分解321CCCCwwww321BBBBwC1wC2wC32 2）查表得）查表得3 3種情形下種情形下C C截面的截面的撓度和撓度和B B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlwC384541EIqlwC4842EIqlwC1

21、643解解彎曲變形彎曲變形wC1wC2wC33 3） 應用疊加法，將簡單載荷應用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果求和作用時的結(jié)果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlwwiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB彎曲變形彎曲變形 例例7-6 按疊加原理求按疊加原理求C點撓度。點撓度。 解：解：載荷無限分解如圖載荷無限分解如圖由梁的簡單載荷變形表，由梁的簡單載荷變形表， 查簡單載荷引起的變形。查簡單載荷引起的變形。疊加疊加bLbqdbbqxxqPd2)(d)(d0q00.5L0.5LxdxxwCdbEILbLbqEI

22、bLbdPwCdP24)43(48)43()(222022EILqdbEILbLbqwwLCdPC24024)43(40202220bdP彎曲變形彎曲變形 例例7-7-7 結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法) ) 原理說明。原理說明。PL1L2ABC等價等價xBCPL2w21wwwPL1L2ABC剛化剛化AC段段PL1L2ABC剛化剛化BC段段PL1L2ABCM彎曲變形彎曲變形例例7-87-8 已知：已知：懸臂梁受力如懸臂梁受力如圖示，圖示，q、l、EI均為已知。均為已知。求求C截面的撓度截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 C1 1）首先，將梁上的載荷變成）首先，將梁上的載荷變成有表可查

23、的情形有表可查的情形 為了利用梁全長承受均為了利用梁全長承受均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延長至梁的全長，為布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效了不改變原來載荷作用的效果，在果，在AB AB 段還需再加上集段還需再加上集度相同、方向相反的均布載度相同、方向相反的均布載荷。荷。 Cw彎曲變形彎曲變形2Cw1Cw2Bw,841EIqlwC,248128234222lEIqlEIqllwwBBCEIqlC631EIqlC4832EIqlwwiCiC384414213 3）將結(jié)果疊加）將結(jié)果疊加 EIqliCiC4873212 2）再將處理后的梁分解為簡單）再將處

24、理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自載荷作用的情形，計算各自C C截截面的撓度和轉(zhuǎn)角。面的撓度和轉(zhuǎn)角。 彎曲變形彎曲變形一、一、 梁的剛度條件梁的剛度條件在工程實際中，為保證梁能夠正常工作，除了要求滿在工程實際中，為保證梁能夠正常工作，除了要求滿足強度條件外，還需對梁的變形加以限制。通常是規(guī)足強度條件外，還需對梁的變形加以限制。通常是規(guī)定梁的最大撓度不能超過某一特定的許用值，即梁的定梁的最大撓度不能超過某一特定的許用值，即梁的剛度條件為剛度條件為 maxww（7-6） w式中，式中， 為梁的許用撓度。為梁的許用撓度。7-5 彎曲剛度計算彎曲剛度計算彎曲變形彎曲變形例例 7-9如圖簡支梁由

25、如圖簡支梁由18號工字鋼制成，長度號工字鋼制成，長度 ，受受 的均布載荷作用。材料的彈性模量的均布載荷作用。材料的彈性模量 ，許用應力，許用應力 ，梁的許用撓，梁的許用撓度度 。試對梁的強度和剛度進行校核。試對梁的強度和剛度進行校核。3ml 24kN mq 210GPaE 150MPa / 400wlAqBlwxx2lmaxw28qlMx作出梁的彎矩圖，由圖知，梁作出梁的彎矩圖，由圖知，梁的跨中截面處彎矩值最大，為的跨中截面處彎矩值最大，為 解解：（1）強度校核）強度校核2max8qlM23324 10 N m3m27 10 N m8彎曲變形彎曲變形由附錄型鋼表中查得，由附錄型鋼表中查得，18

26、號工字鋼的號工字鋼的 。代入。代入梁的正應力強度條件，得梁的正應力強度條件，得 3186cmzW 3maxmax6327 10 N m185 10 mzMW 6146 10 Pa146MPa 150MPa故梁的強度滿足要求。故梁的強度滿足要求。由附錄型鋼表查得，由附錄型鋼表查得，18號工字鋼的號工字鋼的 。梁的。梁的最大撓度發(fā)生在中間截面，由表最大撓度發(fā)生在中間截面，由表71查得查得41660cmzI （2）梁的剛度校核）梁的剛度校核彎曲變形彎曲變形 max7.26mm 7.5mm400lww 根據(jù)梁的剛度條件根據(jù)梁的剛度條件故梁的剛度滿足要求。故梁的剛度滿足要求。37.26 10 m = 7

27、.26mm 434max984524 10 N m3m5384384210 10 Pa1660 10 mqlwEI例例710 如圖所示，一用工字鋼制成的簡支梁，在跨度如圖所示，一用工字鋼制成的簡支梁，在跨度中點承受集中力中點承受集中力 。已知。已知 ，跨度，跨度 ，許，許用應力用應力 ，許用撓度，許用撓度 ，彈性模，彈性模量量 。試選擇工字鋼型號。試選擇工字鋼型號。F35kNF 4ml 160MPa /500wl200GPaE 彎曲變形彎曲變形ABCF2l2l4FlMx作出梁的彎矩圖，由圖作出梁的彎矩圖，由圖知，梁的跨中截面處彎知，梁的跨中截面處彎矩值最大，為矩值最大，為 解解：（1）強度校核）強度校核max4FlM3435 10 N4m3.5 10 N m4根據(jù)梁的正應力強度條件得根據(jù)梁的正應力強度條件得 443max63.5 10 N m2.19 10 m160 10 PazMW彎曲變形彎曲變形（2）梁的剛度校核）梁的剛度校核梁的最大撓度發(fā)生在中間截面，由表梁的最大撓度發(fā)生在中間截面，由表71查得查得3max48zFlwEI 代入梁的剛度條件，有代入梁的剛度條件，有 3max48500zFll