微分方程的基本概念,一階微分方程

1、常微分方程及其應(yīng)用常微分方程及其應(yīng)用一、一、二、二、微分方程的基本概念微分方程的基本概念一階微分方程一階微分方程三、三、四、小結(jié)四、小結(jié)0 x， 觀察模型，易發(fā)現(xiàn)（觀察模型，易發(fā)現(xiàn)（1 1）式是含有未知函）式是含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程 )2()0()1 (0 xxxdtdx 定義定義凡含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)凡含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù) ( (或微分或微分) ) 的方程的方程，稱為稱為微分方程微分方程， 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為為常微分方程常微分方程， 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為為偏微分方程偏微分方程. .注意：注意：本書僅討論

2、常微分方程，并簡稱微分方程本書僅討論常微分方程，并簡稱微分方程. .( y - - 2xy) dx + + x2 dy = 0；及及如如引引例例方方程程xdtdx ;05sin4 xyxyy042222 xyty都是微分方程，都是微分方程，其中最后一個(gè)是偏微分方程其中最后一個(gè)是偏微分方程 微分方程中出現(xiàn)的各階導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱微分方程中出現(xiàn)的各階導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的為微分方程的階階如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后，方如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后，方程兩端恒等，則此函數(shù)稱為該微分方程的程兩端恒等，則此函數(shù)稱為該微分方程的解解如果微如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且相互獨(dú)立的任意常數(shù)分方程的解中含有

3、任意常數(shù)，且相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同， 那么這樣的解稱為微那么這樣的解稱為微分方程的分方程的通解通解在通解中若使任意常數(shù)取某一定值，在通解中若使任意常數(shù)取某一定值，或利用附加條件確定任意常數(shù)應(yīng)取的值，這樣所得的或利用附加條件確定任意常數(shù)應(yīng)取的值，這樣所得的解稱為微分方程的解稱為微分方程的特解特解確定通解中任意常數(shù)的附加確定通解中任意常數(shù)的附加條件稱為條件稱為初始條件初始條件一個(gè)微分方程與其初始條件構(gòu)成一個(gè)微分方程與其初始條件構(gòu)成的問題，稱為的問題，稱為初值問題初值問題. . 例例1 1 驗(yàn)證驗(yàn)證 y = e x + e x 是方程是方程 y +

4、+ 2y + + y = 4e x 的解的解. .解解 由由 y =e x + e x 得，得，y = = e x - e - - x, y = e x + + e - - x,將將 y，y 及及 y 代入原方程的左邊，有代入原方程的左邊，有(e x + + e - - x) + + 2(e x - e - - x) + + e x + +e x =4 e x ,即函數(shù)即函數(shù) y = e x +e x 滿足原方程，所以滿足原方程，所以y =e x + e x是方程是方程y + + 2y + + y = 4e x的解的解. . 得得 C =1/3，故所求特解為故所求特解為 y = 1/3x3 .

5、 解解 由由 y = Cx3 得得 y = 3Cx2,將將y及及y 代入原方程的左邊，代入原方程的左邊， 有有 3Cx3 - x3Cx2 = 0，即函數(shù)即函數(shù) y = Cx3 滿足原方程滿足原方程. .又因?yàn)樵摵瘮?shù)含有又因?yàn)樵摵瘮?shù)含有一個(gè)任意常數(shù)，所以一個(gè)任意常數(shù)，所以 y = Cx3 是一階微分方程是一階微分方程將初始條件將初始條件 y(1) = 1/3代入通解，代入通解，例例2 驗(yàn)證驗(yàn)證 )(3為為任任意意常常數(shù)數(shù)CCxy 是方程是方程3y- 的通解的通解, ,并求滿足初始條件并求滿足初始條件 y(1) = 1/3 的特解的特解. .0 yx03 yxy的通解的通解. .引例引例已知一條曲

6、線在任一點(diǎn)已知一條曲線在任一點(diǎn) P( (x, y) ) 處的切處的切線斜率為線斜率為 ，且過點(diǎn)，且過點(diǎn) ( (1, 2) )，求此曲線方程，求此曲線方程.解解 設(shè)所求曲線的方程為設(shè)所求曲線的方程為 y = y(x)， 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及題設(shè)條件，幾何意義及題設(shè)條件，得得二、二、 )2(2)1(1xyxyyxy將（將（1 1）改寫為）改寫為,d1dxxyy 兩邊積分，得兩邊積分，得 ,e|1xyC ,ln|ln1Cxy 化簡得化簡得.0e2221 CxCyCC，則則令令,e1xyC 此外，易看出此外，易看出y = 0 也是方程的解，所以也是方程的解，所以,022可可等等于于中中的的C

7、xCy 即即C2 為任意常數(shù)為任意常數(shù))( 為為任任意意常常數(shù)數(shù)CCxy 故而方程的通解是故而方程的通解是 將（將（2）式代入上式，得）式代入上式，得. 2 C所以，所求曲線的方程為所以，所求曲線的方程為.2xy 的的方方程程，形形如如)()(ygxfdxdy 稱為稱為可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .定義定義分離變量法：分離變量法： ( (1) ) 分離變量分離變量.d)()(xxfygdy .d )()(xxfygdy ( (2) ) 兩邊積分兩邊積分,)()(CxFyG 求求出出積積分分得得通通解解.)()(1)()(的的原原函函數(shù)數(shù)，分分別別是是，其其中中xfygxFyG,

8、1ddxxyy 兩邊積分得兩邊積分得,lnlnlnCxy 所以方程的通解為所以方程的通解為,lnlnCxy ,Cxy ( (C 為任意常數(shù)為任意常數(shù)).).分離變量得分離變量得 對(duì)于積分后是對(duì)數(shù)的情形，按理都需作類對(duì)于積分后是對(duì)數(shù)的情形，按理都需作類似于上述的討論為了避免不必要的重復(fù)，今似于上述的討論為了避免不必要的重復(fù)，今后后對(duì)于積分后是對(duì)數(shù)的情形都作如下簡化處對(duì)于積分后是對(duì)數(shù)的情形都作如下簡化處理理（以引例作示范）（以引例作示范）例例3 3 求方程求方程 (1-y2)dx + + (xy-y)dy =0 滿足初始條滿足初始條件件 y(0) = - 2 的特解的特解. .解解分離變量，得分離

9、變量，得 ,1112dxxdyyy 兩邊積分，兩邊積分，得得.ln21)1ln()1ln(212Cxy 即即,)1(122 xCy所以方程的通解為所以方程的通解為1) 1(22 xCy（C為任意常數(shù)）為任意常數(shù)） 將初始條件將初始條件 y(0) = -2 代入，代入，. 1)1(322 xy得得 C = 3. .因此所求特解為因此所求特解為練習(xí)練習(xí)1 1. )(dd ) )( (均均是是正正的的常常數(shù)數(shù)與與其其中中的的通通解解求求方方程程akaykyxy 解解分離變量分離變量得得,d)(dxkayyy 即即.dd)11(xkayyay 兩邊積分，得兩邊積分，得.lnlnCkaxyay 經(jīng)整理，

10、得方程的通解為經(jīng)整理，得方程的通解為,e1kaxCay 也可寫為也可寫為.e1kaxCay 方程方程)()(xQyxPy 稱為稱為一階線性微分方程一階線性微分方程， 其中其中P(x)、Q (x) 都是都是x的連的連續(xù)函數(shù)續(xù)函數(shù). . 當(dāng)當(dāng)Q (x) 0時(shí)，方程時(shí)，方程(1)稱為稱為一階線性齊次微一階線性齊次微分方程分方程；當(dāng)；當(dāng)Q (x) 0時(shí)，時(shí)，( (1) ) 方程方程（1）稱為稱為一階線性一階線性非齊次微分方程非齊次微分方程 三、三、0)(sinsin22 yxyxxyxy，如如方方程程都是一階線性微分方程，其中第二個(gè)是齊次的都是一階線性微分方程，其中第二個(gè)是齊次的 當(dāng)當(dāng)Q (x) 0時(shí)

11、，方程時(shí)，方程(1)是可分離變量的是可分離變量的 分離變量，得分離變量，得 ,)(dxxPydy 兩邊積分，兩邊積分，得得,ln)(lnCdxxPy 1. )(ed)(為為任任意意常常數(shù)數(shù)CCyxxP 即得一階線性齊次微分方程的即得一階線性齊次微分方程的通解公式：通解公式： 例例4 4求方程求方程 (y - - 2xy) dx + + x2dy = 0 滿足初始滿足初始條件條件 y|x=1 = e 的特解的特解. .解解將所給方程化為如下形式：將所給方程化為如下形式：, 021dd2 yxxxy這是一個(gè)線性齊次方程，這是一個(gè)線性齊次方程，,21)(2xxxP 且且則則 ,1lnd12d )(2

12、2xxxxxxxP由通解公式得該方程的通解由通解公式得該方程的通解,e12xCxy 將初始條件將初始條件 y(1) = e 代入通解，代入通解，.e12xxy 得得 C = 1. .故所求特解為故所求特解為 當(dāng)當(dāng)Q (x) 0時(shí)，與齊次的情形相對(duì)照，猜時(shí)，與齊次的情形相對(duì)照，猜想方程想方程（1）的解為以下形式的解為以下形式 )()(d)(為為待待定定函函數(shù)數(shù)其其中中xCexCyxxP （2） dxxPdxxPexPxCexCy)()()()()(兩邊求導(dǎo)，兩邊求導(dǎo)，得得2. 將將 y 及及 y 代入方程代入方程（1），），得得 dxxPdxxPexPxCexC)()()()()()()()()

13、(xQexCxPdxxP ,)()()( dxxPexQxC即即,)()()(CdxexQxCdxxP 代入代入(4-3)(4-3)，即得即得 兩兩邊邊積積分分，得得一階線性非齊次微分方程的一階線性非齊次微分方程的通解公式：通解公式： CdxexQeyxxPxxPd)(d)()()( 為為任任意意常常數(shù)數(shù)C 說明：說明：通解公式的不定積分式表示通解公式的不定積分式表示被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù). . 上述討論中所用的方法，是將常數(shù)上述討論中所用的方法，是將常數(shù)C變?yōu)榇ê瘮?shù)變?yōu)榇ê瘮?shù)C(x)， 再通過確定再通過確定C(x)而而求得方程解的方法，稱為求得方程解的方法，稱為常數(shù)變易

14、法常數(shù)變易法. .解解 運(yùn)用常數(shù)變易法求解運(yùn)用常數(shù)變易法求解將所給的方程改寫成：將所給的方程改寫成：xxyxycos11 不難求出齊次方程不難求出齊次方程 設(shè)所給非齊次方程的通解為設(shè)所給非齊次方程的通解為,)(xxCy .01xCyyxy 的的通通解解為為例例5 5 求方程求方程 xy + + y = cosx 滿足滿足y( )=1的特解的特解. ,)()(2xxCxxCy 則則將將 y 及及 y 代入該方程，得代入該方程，得,cos1)(xxxxC ,sincos)(CxdxxxC 解解得得因此，原方程的通解為因此，原方程的通解為 為為任任意意常常數(shù)數(shù)，CCxxy sin1,1)( Cy得得

15、代代入入將將初初始始條條件件 .sin1 xxy因因此此所所求求特特解解為為解解運(yùn)用通解公式求解將所給方程改寫成運(yùn)用通解公式求解將所給方程改寫成 所以方程的通解為所以方程的通解為例例6 求方程求方程 的通解的通解. .01cossinsin xyeeyxxxexyysincos Cdxeeeydxxxdxxcossincos Cdxeeexxx sinsinsin 為為任任意意常常數(shù)數(shù)，CCxex sin，則則xexQxxPsin)(cos)( 解解 運(yùn)用通解公式求解運(yùn)用通解公式求解將所給的方程改寫成下列形式：將所給的方程改寫成下列形式：,e2121xyy ,e21)(,21)( xxQxP 則則練習(xí)練習(xí)2 求方程求方程 2y - - y = ex 的通解的通解.代入通解公式，得原方程的通解代入通解公式，得原方程的通解.)(222xxxxeeCCee CdxexQeyxxPxxPd)(d)()( Cdxeeexxxd21d2121 Cdxeeexxx2221四