概率論與數(shù)理統(tǒng)計(2.3 隨機變量的分布函數(shù)與連續(xù)型隨機變量

1、返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一1第三節(jié)第三節(jié) 隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù) 與連續(xù)型隨機變量與連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的定義及其性質(zhì)分布函數(shù)的定義及其性質(zhì)連續(xù)型隨機變量的定義及其概率密度的性質(zhì)連續(xù)型隨機變量的定義及其概率密度的性質(zhì)幾種重要的連續(xù)型隨機變量幾種重要的連續(xù)型隨機變量 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一2一、分布函數(shù)的定義及性質(zhì)由于1221()()()P xXxP XxP Xx為此我們引入隨機變量的分布函數(shù)的概念如下：定義： 設(shè)X是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)( )()F xP Xx稱為隨機變量X的分布函數(shù)分布函數(shù)。從而1

2、221()()()P xXxP XxP Xx21()()F xF x也就是說，可以通過分布函數(shù)，計算隨機變量落在任意一個區(qū)間的概率。返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一3不加證明地給出分布函數(shù)的一些性質(zhì):(1)(單調(diào)性) 對于任意實數(shù) ，有1212,()x xxx12()()F xF x(2)(有界性)0( )1, lim( )0, lim( )1xxF xF xF x(3)(右連續(xù)性)00lim( )()xxF xF x() FP X不可能事件() FP X必然事件返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一4例：例：若隨機變量X的分布律為12341111

3、4288kXp則隨機變量X的分布函數(shù)為( )F x1x0,12x1 ,P X23x12P XP X34x123P XP XP X4 x1234P XP XP XP X返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一5即0,1,1,12,43( ),23,47,34,81,4.xxF xxxx分布函數(shù)的圖像如下： 分布函數(shù)的圖像是一個右連續(xù)的階梯形。且在間斷點處的跳躍值等于X取這個值的概率。例如 )F xx311(2)442P X 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一6二、連續(xù)型隨機變量的定義及其概率密度的性質(zhì) 定義：設(shè)F(x)是隨機變量

4、X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),使得對任意實數(shù)x，有( )( )dxF xf tt稱X為連續(xù)型隨機變量，稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，或密度函數(shù)，也稱概率密度。返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一7 性質(zhì)：1.( )0f x 2.( )d1f x x從圖形上來看，性質(zhì)1表示X的概率密度f(x)位于x軸上方， 性質(zhì)2表示f(x)與x軸所圍區(qū)域面積等于1.返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一8 3.對于任意實數(shù) ，有1212,()x xxx211221()()()( )dxxP xXxF xF xf xx從圖形上來看，性質(zhì)3表示X落在區(qū)域 的概

5、率等于相應(yīng)的曲邊梯形的面積。12( ,x x 4.若f(x)在點x處連續(xù)，則( )( )F xf x對于連續(xù)型隨機變量X 來說，通過F(x)求導(dǎo)得f(x) ，通過f(x)積分得F(x)。返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一9 5.連續(xù)型隨機變量取任一指定實數(shù)值的概率為零 即00P Xx由性質(zhì)5，易得：121212()()()P xXxP xXxP xXx2112()( )dxxP xXxf xx注：對離散型隨機變量，上式不成立。返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一10例：例：若隨機變量X的概率密度為2(42),02,( )0,Cxxxf x其它.(1

6、)求C的值； (2)X的分布函數(shù)；(3)PX1.解：解：(1)由于 ，有( )d1f x x220(42)d1Cxxx得38C 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一11(2)由 ，有( )( )dxF xf tt202200200d ,0,3( )0d(42)d ,02,830d(42)d0d ,2.8xxxxxF xxxxxxxxxxxx230,0,31( ),02,441,2.xF xxxxx即分段分段討論討論返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一12(3)1P X1( )df xx2213(42)d8xxx12111111(1)122P XP X

7、F 或返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一13幾種常見的連續(xù)型隨機變量的分布幾種常見的連續(xù)型隨機變量的分布一、均勻分布一、均勻分布定義：若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為1,( )0,axbf xba其它.則稱X服從 上的均勻分布。, a b記為,XU a b 意義：意義：X“等可能等可能”地取區(qū)間地取區(qū)間 中的值，這里的中的值，這里的“等可等可能能”理解為：理解為： X落在區(qū)間落在區(qū)間 中中任意等長度任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的。即等長度，等概率。性是相同的。即等長度，等概率。, a b, a b1()d, , , dcdcP cXdxc da bb

8、aba返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一14均勻分布的概率密度和分布函數(shù)圖形如下：0,( ),1,.xaxaF xaxbbaxb分布函數(shù)：返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一15 例：例：設(shè)某公共汽車站從早上7:00開始每隔15分鐘到站一輛汽車，即7:00，7:15，7:30，7:45等時刻有汽車達(dá)到此站如果一個乘客到達(dá)該站的時刻服從7:00到7:30之間的均勻分布求他等待時間不超過5分鐘的概率 解：解：設(shè)X表示乘客到達(dá)該車站的時間，則0,30XU 乘客等待時間不超過5分鐘當(dāng)且僅當(dāng)他在7:10到7:15之間或在7:25到7:30之間到達(dá)車站 因此所

9、求概率為10152025PXPX1,030,( )300,xf x其它.1525102011dd3030 xx13返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一16設(shè)在-1，5上服從均勻分布，求方程2210 xx 有實根的概率。解 方程有實數(shù)根 2440即 1而 的密度函數(shù)為 1 ( 15)( )60 xf x 其它故所求概率為 1121( )( )3Pf x dxf x dx返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一17二、指數(shù)分布二、指數(shù)分布定義：若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為e,0,( )0,0.xxf xx其中 0,則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。 記為 XE(

10、) 背景：在實際應(yīng)用中，到某個特定事件發(fā)生所需等待的時間在實際應(yīng)用中，到某個特定事件發(fā)生所需等待的時間往往服從指數(shù)分布例如，從現(xiàn)在開始到下一次地震發(fā)生、到爆往往服從指數(shù)分布例如，從現(xiàn)在開始到下一次地震發(fā)生、到爆發(fā)一場新的戰(zhàn)爭、到一個元件的損壞、到你接到一次撥錯號碼的發(fā)一場新的戰(zhàn)爭、到一個元件的損壞、到你接到一次撥錯號碼的電話等所需的時間，都服從指數(shù)分布指數(shù)分布在排隊論、保險電話等所需的時間，都服從指數(shù)分布指數(shù)分布在排隊論、保險和可靠性理論中有廣泛的應(yīng)用和可靠性理論中有廣泛的應(yīng)用返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一18分布函數(shù)：1 e,0,( )0,0.xxF xx 例：例

11、：設(shè)某人到銀行取款時的排隊時間X (分鐘)服從指數(shù)分布，其概率密度為110e,0,( )0,0.xxf xx1.試確定常數(shù);2.計算排隊時間超過10分鐘的概率;3.計算排隊時間在10分鐘到20分鐘的概率返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一19 解：解：1.由1100( )ded101xf x xx得：110 2.10P X110101ed10 xx1e 3.1020PX12010101ed10 xx12ee返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一20例：例： 設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為1.求常數(shù)A,B；2. 求X的概率密度函數(shù) 。e( ),xA BxF

12、 xx 2000， 解：解：1.由分布函數(shù)的性質(zhì)：()F 1即1)e(lim2xxBA所以1A又因為F(x)在點x=0處連續(xù) (事實上連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)在任意點連續(xù))， 所以lim( )( )xF xF00BA0即所以1B返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一21從而分布函數(shù)為e( ),xxF xx 21000， 2.由密度函數(shù)和分布函數(shù)之間的關(guān)系 ，有)()(xFxf2e( ),xxf xx2000，返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一22指數(shù)分布的無記憶性：對于一個非負(fù)的隨機變量，如果對于一切s,t0，有|P Xst XtP Xs則稱這個隨機

13、變量具有無記憶性無記憶性。 直觀理解：若X表示儀器的壽命，那么上式說明:已知此儀器已使用t時，它總共能工作s+t小時的概率等于從開始使用時算起，它至少能工作s小時的概率 也就是說：它對之前工作過t小時無記憶。容易驗證：指數(shù)分布是無記憶的。返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一23三、正態(tài)分布三、正態(tài)分布定義：若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為22()21( )e,2xf xx 其中， 為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為和 的正態(tài)分布2(0)2記為2( ,) XN 正態(tài)分布正態(tài)分布最早由最早由Gauss在在研究測量誤差時所得到，所以正態(tài)分布研究測量誤差時所得到，所以正態(tài)分布又稱為又稱為Ga

14、uss分布分布。正態(tài)分布是正態(tài)分布是概率概率論論中最具有應(yīng)用價值的分布之一，大量的隨機變中最具有應(yīng)用價值的分布之一，大量的隨機變量都服從正態(tài)分布量都服從正態(tài)分布 如人的身高、體重，氣體分子向任一方向運如人的身高、體重，氣體分子向任一方向運動的速度，測量誤差等許多隨機變量，都服從正態(tài)分布動的速度，測量誤差等許多隨機變量，都服從正態(tài)分布大量相互獨立且有相同分布的隨機變量的累積也近似服從正態(tài)分大量相互獨立且有相同分布的隨機變量的累積也近似服從正態(tài)分布（第四章的大數(shù)定律和中心極限定理）布（第四章的大數(shù)定律和中心極限定理）返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一24x( )fxaa1(

15、 )2f 正態(tài)分布的圖形具有如下特點：1. f(x)為關(guān)于x=的對稱鐘形曲線2. f(x)為在x=取得最大值，對概率密度曲線的影響返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一25正態(tài)分布的分布函數(shù)：22()21( )ed2txF xt特別地，當(dāng) 時，20,1稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。記為(0,1)XN其概率密度為：221e,2( )xxx 221ed2()txtx相應(yīng)的分布函數(shù)記為：返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一26()1( )xx 1(0)2(0,1)XN若( )( )P aXbba （）則( )P Xbb （）1( )P Xaa （）12PX（）1P

16、X （）(1)( 1)2 (1) 10.6826 (2)(1)0.97720.84130.1359( 1)1(1)1 0.84130.1587 1P X （）例：例：若(0,1)XN返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一27一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化2( ,),( )xXNF x 如果則定理：()()()baP aXb 2( ,)XN 若查標(biāo)準(zhǔn)正查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表態(tài)分布表概率計算：返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一28例：例：若2(3,3 )XN，試求：1.25 ; 2.0 ; 3.36 .PXP XP X解：解：1.25PX2133 21133 0.748

17、6(10.6293)0.37792.0P X 10P X 1( 1) (1) 0.84133.36P X 93P XP X 193P XP X 1(2)( 2) 21(2)2(1 0.9972)0.0456返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一291.5, 4 ,XN設(shè) 試計算3P X 解：解：313P XP X 3 1.53 1.5122 10.752.25 20.77340.98780.2388133PX 133FF 10.7512.25 2 13F返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄2022年5月30日星期一30例例： 某零件寬度20.9000, 0.0030,XN現(xiàn)規(guī)定限度是0.90000.0050. （1）求零件的廢品率。 （2）若要求每 100 個產(chǎn)品中廢品不多于一個，可允許的最大 值是多少？解：解：（1）正品率0.90000.0050P X 000.00502190.440.0030 （2）設(shè)廢品率0.01,p 0.0050210.99 即正品