淺談伯努利方程的幾種解法與應(yīng)用

1、 本科畢業(yè)論文 題目： 淺談伯努利方程的幾種解法與應(yīng)用 學(xué)院： 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 班級： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2011級專升本班 姓名： 張麗傳 指導(dǎo)教師： 王 通 職稱： 副教授 完成日期： 2013 年 5 月 25 日 淺談伯努利方程的幾種解法與應(yīng)用摘要: 本文在研究已經(jīng)公認(rèn)的多種伯努利方程解法的前提下,把這些方法進行整合.首先,將各種解法進行分析歸類,并總結(jié)出幾種常見的求解伯努利方程的方法;其次,比較各種解法的優(yōu)缺點;再次,利用一題多解來鞏固文中所介紹的各種解法;最后,略談伯努利方程在求解里卡蒂方程中的重要應(yīng)用.關(guān)鍵詞: 伯努利方程;變量代換法;常數(shù)變易法;積分因子法 目 錄引言11 伯

2、努利方程的解法11.1 代換法11.1.1 變量代換法、常數(shù)變易法的混合運用11.1.2 函數(shù)代換法21.1.3 求導(dǎo)法31.1.4 恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)法31.2 直接常數(shù)變易法41.2.1 對的通解中的常數(shù)進行常數(shù)變易41.2.2 對通解中的常數(shù)進行常數(shù)變易41.3 積分因子法51.4 各種方法的比較61.5 解法舉例62 伯努利方程在里卡蒂方程中的應(yīng)用103 總結(jié)11參考文獻12 引言在高等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)分析科學(xué)體系中,微分方程是其中非常重要的一個組成部分,而伯努利方程又是一類很重要的一階非線性常微分方程,在很多學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用, 尤其是在物理和化工方面應(yīng)用非常廣.伯努利方程的表達式:,這里、是關(guān)于的

3、連續(xù)函數(shù),為不等于0和1的任意常數(shù).一般地,該方程可以通過一些特殊的方法轉(zhuǎn)化為線性微分方程,進而用解線性微分方程的方法來求解.許多學(xué)者在探求伯努利方程解法這方面做出了卓著的貢獻,本文在充分分析這些貢獻的基礎(chǔ)上,根據(jù)各種解法的特點,將它們進行了歸類總結(jié),有利于我們對各種解法進行深刻的理解和認(rèn)識.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,一題多解不僅能幫助學(xué)生很好地掌握所學(xué)知識,而且還能擴散學(xué)生的思維,進而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、提高創(chuàng)新能力,這正符合新課標(biāo)對學(xué)生的要求.為了更進一步地掌握各種解法,在本文中我采用了一題多解,上下對比,一目了然.同時,探討了伯努利方程在求解里卡蒂方程中的應(yīng)用.本文主要有兩大板塊構(gòu)成,具體如下:

4、首先,是伯努利方程的解法及舉例,主要淺談了伯努利方程的變量代換法、常數(shù)變易法、積分因子法三種方法;其次,是伯努利方程的應(yīng)用,主要淺談了伯努利方程在里卡蒂方程求解中的應(yīng)用.1 伯努利方程的解法 1.1 代換法 1.1.1 變量代換法、常數(shù)變易法的混合運用 伯努利方程 （0，1）. (1.0)求解步驟如下(1) (1.0)式兩端同除以得 . (*)(2) 變量代換令即可將上式化為一階線性非齊次微分方程 . (1.1) (3) 常數(shù)變易首先,通過對(1.1)式所對應(yīng)的齊次方程通解中的常數(shù)進行常數(shù)變易變?yōu)?然后,經(jīng)過一系列的求解過程求得方程(1.1)式的通解 先求的通解.經(jīng)變量分離后對方程兩邊一起積分

5、求得一階線性齊次微分方程的通解 . (a) 再對(a)式中的進行常數(shù)變易變?yōu)?得(1.1)式的通解,將此通解代入(1.1)式得,從而得(1.1)式通解. (4) 變量代換令,接下來將代到上式得(1.0)式的通解 （為任意常數(shù)）當(dāng)時,方程還有解.1.1.2 函數(shù)代換法定理 若是(1.0)式的通解且,則(1.0)式的通解為.證明 對兩邊求導(dǎo)得,將上式代入(1.0)式得,整理得 . (1.2)因為,所以.將上式代入(1.2)式得 ,整理得 , 兩邊積分得 ,則(1.0)式的通解為 （為任意常數(shù)）當(dāng)時,方程還有解.1.1.3 求導(dǎo)法 令,則.對上式兩邊求導(dǎo)得,即有,代入(*)式得令 ,.則上式變?yōu)?解

6、得解得 , 從而 ,令則(1.0)式的通解為 （為任意常數(shù)）當(dāng)時,方程還有解.1.1.4 恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)法令,有,即 , 則(1.0)式變形為,設(shè)得 ,兩邊積分解之得,則(1.0)式的通解為 （為任意常數(shù)）當(dāng)時,方程還有解.1.2 直接常數(shù)變易法1.2.1 對的通解中的常數(shù)進行常數(shù)變易 的通解為,經(jīng)常數(shù)變易得.令上式為(1.0)式的通解,將其代入(1.0)式得,即得,兩邊同時積分得 ,則(1.0)式的通解為 （為任意常數(shù)）當(dāng)時,方程還有解.1.2.2 對通解中的常數(shù)進行常數(shù)變易該方法的獨特之處是先解方程 , (1.3)再經(jīng)常數(shù)變易求(1.0)式的通解. 基本步驟為(1) 利用變量分離法解式(1.3)

7、得 .(2) 經(jīng)常數(shù)變易后(1.0)式的通解為 . (1.4)(3) 同時對 (1.4) 式兩邊進行求微分得 . (1.5) (4)將 (1.4)、(1.5)代入(*)式得 . (5)仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)上式為關(guān)于的一階線性非齊次方程,則 . (1.6) (6)將(1.6)式代到 (1.4) 式得. () (7)由數(shù)學(xué)分析中常用的分部積分公式 ,令, ,則(1.0)式的通解為 (為任意常數(shù)). 當(dāng)時,方程還有解.1.3 積分因子法對(1.0)式兩端同乘以,經(jīng)過一系列的整理得 , (1.7) 從而有 , 則 .則由課本所學(xué)知(1.7)式的積分因子為,將乘以(1.7)式得 , (1.8)對(1.8)式右

8、邊進行湊微分得 ,兩邊同時積分得,整理得 .令,則(1.0)式的通解為 （為任意常數(shù)）當(dāng)時,方程還有解.1.4 各種方法的比較 由上述講解可以看出:總的來說講解了三種方法.1.1.1所介紹的解法的解題思路是:首先,將伯努利方程（一階非線性微分方程）化為我們比較熟悉的一階線性非齊次方程;其次,通過一階線性非齊次方程的求解步驟求其通解,然后再將變量回代,求伯努利方程的通解.1.2.1介紹的解法解題思路是把伯努利方程所對應(yīng)的齊次方程的通解中的常數(shù)變成,將其代到(1.0)式,經(jīng)過一系列的計算求出,再把帶回去求出伯努利方程的通解;1.2.2介紹的解法關(guān)鍵是利用分部積分法將通解簡化.1.3介紹的解法關(guān)鍵就

9、是找到積分因子,將伯努利方程進行湊微分,然后再求解.在前面七種解法中,最容易先想到的就是1.1.1和1.2.1所介紹的解法,1.1.1介紹的方法計算過程稍微有點復(fù)雜,1.2.1介紹的方法則相對簡單一些;1.2.2介紹的這種方法雖然簡單,但一般由于思維定勢我們不容易想到這種方法;而1.1.4所介紹的方法計算過程復(fù)雜且不易想到.1.1.2、1.1.3所介紹的這兩種方法雖然計算過程稍微簡單些但技巧性比較強.1.3所介紹的方法使用比較巧妙,它的巧妙之處在于將(1.0)式化為(1.7)式,其計算過程簡潔,方法簡單.本人推薦大家使用積分因子法和第一種常數(shù)變易法,或者第一種方法. 1.5 解法舉例 例1 利

10、用上面所介紹的不同方法求的通解.解 現(xiàn)將方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型的伯努利方程,即 , 則有 , . 解法一（變量代換法、常數(shù)變易法的混合運用） 在兩邊同除以得.令,則.將通解中的常數(shù)變易后得的通解 ,即 ,故原方程的通解 （為任意常數(shù)）.解法二（函數(shù)代換法） 令為式的通解,由上述講解知,.令,則,故原方程的通解 （為任意常數(shù)）. 解法三（求導(dǎo)法） 令,由上述講解知 ,.從而.故原方程的通解 （為任意常數(shù)）. 解法四（恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)法） 令 ,由上述講解知.令,則.從而.故原方程的通解 （為任意常數(shù)）. 解法五（直接常數(shù)變易法）（一）、對式所對應(yīng)的齊次方程的通解中的常數(shù)進行常數(shù)變易得式的通解 由于的通解為.經(jīng)常

11、數(shù)變易后則為式的通解從而.整理得 ,即,從而 . 故原方程的通解 （為任意常數(shù)）.(二)、先解方程,然后經(jīng)常數(shù)變易求式的通解 由上述講解知 （為任意常數(shù)）. 解法六（積分因子法） 整理得方程 . , . , . . .式的積分因子為.式乘以積分因子得.經(jīng)湊微分得.所以 （為任意常數(shù)）.注 由以上例題的各種解法的解題過程可以清晰的看出解法二、三、四的解題步驟均很少,但它們的技巧性比較強,一般我們不容易想到;解法一、五(一)、六我們在學(xué)習(xí)其它微分方程時有涉略,我們很容易接受;解法五(二)雖然也是常數(shù)變易法,但是由于我們之前都是對一階線性齊次微分方程的通解中的常數(shù)進行常數(shù)變易,所以不太容易想到這個辦

12、法.總之,最好用的是解法五(一)、六,實在想不到就直接用解法一.2 伯努利方程在里卡蒂方程中的應(yīng)用 里卡蒂方程 , (2.0)其中,都是連續(xù)函數(shù).當(dāng)時, (2.0)式是伯努利方程,由前面幾種方法均可求得其通解.當(dāng)時,若(2.0)式的一個特解為,作變量替換,則,代入原方程得 .所以是原方程的特解. 上式是一個關(guān)于的伯努利方程且,則上式的通解為,這里,.可求得,即 .從而原方程的通解為 （為任意常數(shù)）. 例2 解 整理得 由式, . 原方程的一個特解為,作變量代換,則有,將上式代入得.整理得 為伯努利方程,由伯努利通解公式得,即.令,從而.又由得原方程的通解為 （其中是任意常數(shù)）.3 總結(jié) 文中所

13、闡述的解法對一般伯努利方程都適用.在使用變量代換法時,可根據(jù)實際采用合適的變量替換.由于變量代換法、常數(shù)變易法的混合運用法我們在課本中學(xué)習(xí)伯努利方程時就已經(jīng)講過如何使用常數(shù)變易法解一階線性非齊次方程,從而用變量代換法、常數(shù)變易法的混合運用法解伯努利方程也就比較容易.對于積分因子法,它對伯努利方程來說是一種獨特的方法,具有較好的實際應(yīng)用價值.總之,在求解方程時,可采用簡單的解法或你熟練掌握的解法.關(guān)于應(yīng)用方面,本文只是給出了在求解一階非線性微分方程里卡蒂方程中的應(yīng)用,但在實際生活中,伯努利方程在物理和化工方面都有很廣泛的應(yīng)用,這些都有待于我們進一步去探討,從而進一步了解伯努利方程在常微分方程這門

14、學(xué)科中的重要地位,只有很好地掌握了伯努利方程的各種解法才能很好地解決一些用到伯努利方程的實際問題.參考文獻1 艾英.伯努利(Bernoulli)方程的幾種解法J.焦作大學(xué)學(xué)報(綜合版),1997,34(3):57-582 李信明.Bernoulli方程通解的一種簡捷求法J.昌濰師專學(xué)報,2000,19(2):873 常季芳,李高.關(guān)于伯努利方程的幾種新解法J.雁北師范學(xué)院學(xué)報,2007,23(2):89-914 王高雄,周之銘,等.常微分方程(第三版)M.北京:高等教育出版社,2006:45-48.5 王克,潘家齊.常微分方程M.北京:高等教育出版社,2005:27.6 胡勁松,鄭克龍.用“積

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