數(shù)學(xué)物理方程學(xué)習(xí)指導(dǎo)書 第5章行波法與積分變換法

1、第5章 行波法與積分變換法在第4章中，我們較為詳細(xì)地討論了分離變量法，它是求解有限域內(nèi)定解問題的一個(gè)常用方法，只要求解的區(qū)域很規(guī)則（其邊界在某種坐標(biāo)系中的方程能用若干個(gè)只含有一個(gè)坐標(biāo)變量的方程表示），對(duì)三種典型的方程均可運(yùn)用.本章我們將介紹另外兩個(gè)求解定解問題的方法：一是行波法，二是積分變換法.行波法只能用于求解無界域內(nèi)波動(dòng)方程的定解問題，積分變換法不受方程類型的限制，主要用于無界域，但對(duì)有界域也能應(yīng)用.5.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗倍爾公式我們知道，要求一個(gè)常微分方程的特解，慣用的方法是先求出它的通解，然后利用初始條件確定通解中的任意常數(shù)得到特解.對(duì)于偏微分方程能否采用類似的方法呢？一般說來是不

2、行的，原因之一是在偏微分方程中很難定義通解的概念，原因之二是即使對(duì)某些方程能夠定義并求出它的通解，但此通解中包含有任意函數(shù)，要由定解條件確定出這些任意函數(shù)是會(huì)遇到很大困難的.但事情總不是絕對(duì)的，在少數(shù)情況下不僅可以求出偏微分方程的通解，而且可以由通解求出特解.本節(jié)我們就一維波動(dòng)方程來建立它的通解公式，然后由它得到始值問題解的表達(dá)式.對(duì)于一維波動(dòng)方程 （5.1）我們作如下的代換（為什么作這樣的代換，學(xué)完本節(jié)后就會(huì)明白）： (5.2)利用復(fù)合函數(shù)微分法則得 (5.3)同理有 (5.4)將(5.3)及(5.4)代入(5.1)得 (5.5)將(5.5)式對(duì)積分得 是的任意可微函數(shù)）再將此式對(duì)積分得 (

3、5.6)其中都是任意二次連續(xù)可微函數(shù).(5.6)式就是方程(5.1)的通解.在各個(gè)具體問題中，我們并不滿足于求通解，還要確定函數(shù)和的具體形式.為此，必須考慮定解條件，下面我們來討論無限長弦的自由橫振動(dòng).設(shè)弦的初始狀態(tài)為已知，即已知定解條件 （5.7）將(5.7)中的函數(shù)代入(5.6)中，得 在(5.9)兩端對(duì)積分一次，得由(5.8)與(5.10)解出，得把這里確定出來的和代回到(5.6)中，即得方程(5.1)在條件(5.7)下的解為 （5.11）(5.11)式稱為無限長弦自由振動(dòng)的達(dá)郎倍爾（ DAlembert）公式.現(xiàn)在我們來說明達(dá)朗倍爾公式的物理意義.由于達(dá)朗倍爾公式是由（5.6

4、）式得來的，所以我們只須說明(5.6)式的物理意義.首先，考慮的物理意義.我們來說明這樣的函數(shù)是代表一個(gè)沿軸正方向傳播的行波.為了講清這一點(diǎn)，我們不妨考慮一個(gè)特例，假定的圖形如圖5-1(a)所示.則在時(shí)，；在時(shí)，其圖形如圖5-1(b)所示；在時(shí)，其圖形如圖5-1(c)所示；在時(shí)，其圖形如圖5-1(d)所示.這些圖形說明，隨著時(shí)間的推移，的圖形以速度向軸正方向移動(dòng).所以表示一個(gè)以速度沿軸正方向傳播的行波.同樣道理，就表示一個(gè)以速度沿軸負(fù)方向傳播的行波.達(dá)朗倍爾公式表明，弦上的任意擾動(dòng)總是以行波形式分別向兩個(gè)方向傳播出去，其傳播速度正好是弦振動(dòng)方程中的常數(shù)，基于上述原因，所以本節(jié)所用的方法就稱為行

5、波法.從達(dá)朗倍爾公式(5.11)還可以看出，解在點(diǎn)的數(shù)值僅依賴于軸上區(qū)間內(nèi)的初始條件，而與其他點(diǎn)上的初始條件無關(guān).區(qū)間稱為點(diǎn)的依賴區(qū)間.它是由過點(diǎn)的兩條斜率分別為的直線在軸所截得的區(qū)間（圖5-2（a）.對(duì)初始軸上的一個(gè)區(qū)間，過作斜率為的直線，過作斜率為的直線，它們和區(qū)一起構(gòu)成一個(gè)三角形區(qū)域（圖5-2（b），此三角形區(qū)域中任一點(diǎn)的依賴區(qū)間都落在區(qū)間的內(nèi)部，因此解在此三角形區(qū)域中的數(shù)值完全由區(qū)間上的初始條件決定，而與此區(qū)間外的初始條件無關(guān)，這個(gè)區(qū)域稱為區(qū)間x1,x2的決定區(qū)域.在區(qū)間上給定初始條件，就可以在其決定區(qū)域中決定始值問題的解.圖 5-2從上面的討論中，我們可以看到在平面上斜率為的直線對(duì)波

6、動(dòng)方程的研究起著重要的作用，我們稱這兩族直線為一維波動(dòng)方程的特征線，波動(dòng)實(shí)際上是沿特征線方向傳播的，有些書上又將行波法稱為特征線法.5.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式上節(jié)我們已經(jīng)討論了一維波動(dòng)方程的始值問題，獲得了達(dá)朗倍爾公式.只研究一維波動(dòng)方程還不能滿足工程技術(shù)上的要求，例如在研究交變電磁場(chǎng)時(shí)就要討論三維波動(dòng)方程，本節(jié)我們就來考慮在三維無限空間中的波動(dòng)問題.即求解下列定解問題這個(gè)定解問題仍可用行波法來解，不過由于坐標(biāo)變量有三個(gè)，不能直接利用5.1中所得的通解公式.下面先考慮一個(gè)特例.5.2.1 球?qū)ΨQ三維波動(dòng)方程的通解如果將波函數(shù)用空間球坐標(biāo)來表示，所謂球?qū)ΨQ就是指與都無關(guān)，在球坐標(biāo)系中，波動(dòng)方

7、程（5.12）為當(dāng)不依賴于時(shí)，這個(gè)方程可簡化為或 但 所以最后得到方程這是關(guān)于的一維波動(dòng)方程，其通解為,或 從5.1中所述的關(guān)于通解公式(5.6)的物理意義可知，函數(shù)是一個(gè)以速度沿球的半徑增加的方向向外傳播的波與一個(gè)以同樣速度自外沿減小的方向向內(nèi)傳播的波的疊加，而且這兩個(gè)波都是沿著球面=常數(shù)傳播的.5.2.2 三維波動(dòng)方程的泊松公式現(xiàn)在我們來考慮一般的情況，即要求問題(5.12)，(5.13)，(5.14)的解，從上面對(duì)球?qū)ΨQ情況的討論使我們產(chǎn)生這樣一個(gè)想法：既然在球?qū)ΨQ的情況，函數(shù)滿足一維波動(dòng)方程，可以求出通解，那末在不是球?qū)ΨQ的情況能否設(shè)法把方程也化成可以求通解的形式？由于在球?qū)ΨQ時(shí)波函數(shù)

8、只是與的函數(shù)，在非球?qū)ΨQ是不能寫成與的函數(shù)，而是的函數(shù)，所以對(duì)非球?qū)ΨQ情況，不可能滿足一維波動(dòng)方程，但是，如果我們不去考慮波函數(shù)本身，而是考慮在半徑為的球面上的平均值，則這個(gè)平均值就只與，有關(guān)了.這就啟發(fā)我們先引入一個(gè)函數(shù)，它是函數(shù)在以點(diǎn)為中心、以為半徑球面上的平均值，即 （5.15）其中是以為中心的單位球面，是單位球面上的面積元素，在球面坐標(biāo)系中從(5.15)及的連續(xù)性可知，當(dāng)時(shí)此處)表示函數(shù)在點(diǎn)及時(shí)刻的值，將記為則有下面來推導(dǎo)所滿足的微分方程，對(duì)方程(5.12)的兩端在所圍成的體積內(nèi)積分，并應(yīng)用奧-高公式可得 (5.16)其中是的外法同矢量.(5.16)式左端的積分也采用球面坐標(biāo)并交換微分

9、運(yùn)算和積分運(yùn)算的次序，得代回(5.16)中得在此式兩端對(duì)微分一次，并利用變量上限定積分對(duì)上限求導(dǎo)數(shù)的規(guī)則，得或 但 故得這是一個(gè)關(guān)于的一維波動(dòng)方程，它的通解為 （5.17）其中是兩個(gè)二次連續(xù)可微的任意函數(shù).下面的任務(wù)是由(5.17)確定原定解問題的解.首先，在(5.17)中令，得即 等式兩端微分一次得 （5.18）其次，在(5.17)兩端對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)： （5.19） （5.20）(5.19)式乘以后再與(5.20)式相加，得令，則有當(dāng)時(shí)，得但由(5.19)式令，得利用(5.18)得即 綜合上述，得到問題（5.12），(5.13)，(5.14) 的解為 （5.21）(5.21)式稱為三維波動(dòng)方程的

10、泊松方式.其中函數(shù)中的變量應(yīng)為此處為了書寫簡章，沒有把這些變量寫出來，請(qǐng)讀者注意.5.2.3 泊松公式的物理意義下面我們來說明解(5.21)的物理意義.從(3.21)式可以看出，為求出定解問題(3.12)，(3.13)，(3.14)的解在(x,y,z,t)處的值，只需要以M(x,y,z)為球心、以at為半徑作為球面，然后將初始擾動(dòng)代入(3.21)式進(jìn)行積分，因?yàn)榉e分只在球面上進(jìn)行，所以只有與M相距為at的點(diǎn)上的初始擾動(dòng)能夠影響u(x,y,z,t)的值.由于球面上的點(diǎn)到球心M的距離為at，t表示時(shí)間，這就表明擾動(dòng)是以速度a傳播的，為了明確起見，設(shè)初始擾動(dòng)只限于區(qū)域T0，任取一點(diǎn)M，它與T0的最小

11、距離為d，最大距離為D（圖3-3），由泊松公式(3.21)可知，當(dāng)，即時(shí)，u(x,y,z,t)=0，這表明擾動(dòng)的“前鋒”還未到達(dá)；當(dāng)，即時(shí)，u(x,y,z,t)0，這表明擾動(dòng)已經(jīng)到達(dá)；當(dāng)，即時(shí)，u(x,y,z,t)=0，這表明擾動(dòng)的“陣尾”已經(jīng)過去了.由于在點(diǎn)初始擾動(dòng)是向各方面?zhèn)鞑サ模跁r(shí)間t它的影響是在以為中心、at為半徑的一個(gè)球面上，因此解(5.21)稱為球面波.從(5.21)我們也可以得到二維波動(dòng)方程始值問題的解.事實(shí)上如果u與z無關(guān)，則=0，這時(shí)三維波動(dòng)方程的始值問題就變成二維波動(dòng)方程的始值問題： （5.22）要想從泊松公式(3.21)得到問題(3.22)解的表達(dá)式，就應(yīng)將(3.21)

12、中兩個(gè)沿球面的積分轉(zhuǎn)化成沿圓域內(nèi)的積分，下面以為例說明這個(gè)轉(zhuǎn)化方法.先將這個(gè)積分拆成兩部分： （5.23）其中S1，S2分別表示球面的上半球面與下半球面，在上半球面S1上外法向矢量的方向余弦在下半球面S2上外法向矢量的方向余弦其中為法矢量與z軸正向的夾角.將(3.23)右端兩個(gè)曲面積分化成重積分得同理有 將這兩個(gè)等式代入(3.21)，即得問題(3.22)的解為 （5.24）從(5.24)可以看出，要計(jì)算這個(gè)解在 (x,y,t)處的值，只要以M(x,y)為中心、以at為半徑作圓域，然后將初始擾動(dòng)代入（5.24）進(jìn)行積分，為清楚起見，設(shè)初始擾動(dòng)仍限于區(qū)域T0（參考圖5-3），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由于圓域包

13、含了區(qū)域T0，所以仍不為零，這種現(xiàn)象稱為有后效.這一點(diǎn)與球面波不同，球面波是無后效的，即波傳播過去了就不留痕跡.平面上以點(diǎn)為中心的圓周的方程在空間坐標(biāo)系內(nèi)表示母線平行于z軸的直圓柱面，所以在過點(diǎn)平行于z軸的無限長的直線上的初始擾動(dòng)，在時(shí)間t后的影響是在以該直線為軸、at為半徑的圓柱面內(nèi)，因此解(5.24)稱為柱面波.5.3 積分變換法舉例我們都知道，傅氏變換與拉氏變換可以用來解常微分方程，通過取積分變換可將未知函數(shù)的常微分方程化成象函數(shù)的代數(shù)方程，達(dá)到了消去對(duì)自變量求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的目的.基于這一事實(shí)，我們自然會(huì)想到積分變換也能用于解偏微分方程，在偏微分方程兩端對(duì)某個(gè)變量取變換就能消去未知函數(shù)對(duì)該自

14、變量求偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，得到象函數(shù)的較為簡單的微分方程.如果原來的偏微分方程中只包含有兩個(gè)自變量，通過一次變換就能得到象函數(shù)的常微分方程.下面通過例題來說明用積分變換法解定解問題的一般步驟.例1 無界桿上的熱傳導(dǎo)問題設(shè)有一根無限長的桿，桿上具有強(qiáng)度為的熱源，桿的初始溫度為，試求時(shí)桿上溫度的分布規(guī)律.解 這個(gè)問題可歸結(jié)為求解下列定解問題其中由于方程(3.25)是非齊次的，且求解的區(qū)域又是無界的，因此用分離變量法來解將導(dǎo)致比較復(fù)雜的運(yùn)算.現(xiàn)在我們用傅氏變換來解.用記號(hào)分別表示函數(shù)關(guān)于變量的傅氏變換，即對(duì)方程(5.25)的兩端取關(guān)于的傅氏變換，根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)，得到這是一個(gè)含參量的常微分方程，為了

15、導(dǎo)出方程(5.27)的定解條件，對(duì)條件(5.26)式的兩端也取傅氏變換，并且以表示的傅氏變換，得 方程(5.27)是一階線性常微分方程，它滿足初始條件(5.28)的解為 （5.29）為了求出原定解問題(5.25)，(5.26)的解還需要對(duì)取傅氏逆變換，由傅氏變換表可查得再根據(jù)傅氏變換的卷積性質(zhì)得 （5.30）這樣就得到原定解問題的解.通過這個(gè)例子可以看出，用積分變換法解定解問題的過程大體為：一、根據(jù)自變量的變化范圍以及定解條件的具體情況，選取適當(dāng)?shù)姆e分變換.然后對(duì)方程的兩端取變換，把一個(gè)含兩個(gè)自變量的偏微分方程化為含一個(gè)參量的常微分方程.二、對(duì)定解條件取相應(yīng)的變換，導(dǎo)出新方程的定解條件.三、解

16、所得的常微分方程，求得原定解問題解的變換式（即象函數(shù)）.四、對(duì)所得的變換式取逆變換，得到原定解問題的解.例2 一條半無限長的桿，端點(diǎn)溫度變化情況為已知，桿的初始溫度為0，求桿上溫度的分布規(guī)律.解 這個(gè)問題可歸結(jié)為求解下列定解問題這個(gè)問題顯然不能用傅氏變換來解了，因?yàn)閤,t的變化范圍都是（0,）.下面我們用拉氏變換來解.從x,t的變化范圍來看，對(duì)x與t都能取拉氏變換，但由于在x=0處未給出的值，故不能對(duì)x取拉氏變換，面對(duì)t來說，由于方程(5.31)中只出現(xiàn)關(guān)于t的一階偏導(dǎo)數(shù)，只要知道當(dāng)t=0時(shí)u的值就夠了，這個(gè)值已由(5.32)給出，故我們采用關(guān)于t的拉氏變換.用U(x,p)，F(xiàn)(p)分別表示函

17、數(shù)u(x,t),f(t)關(guān)于t的拉氏變換，即 首先，對(duì)方程(5.31)的兩端取拉氏變換，并利用條件(5.32)則得到新方程再對(duì)條件(5.33)取同樣變換，得方程(5.34)是關(guān)于U(x,p)的線性二階常系數(shù)的常微分方程，它的通解為 （5.36）由于當(dāng)時(shí)，u(x,t)應(yīng)該有界，所以U(x,p)也應(yīng)該有界，故C2=0.再由條件(5.35)得C1=F(p)，從而得 為了求得原定解問題的解u(x,t),需要對(duì)U(x,p)求拉氏逆變換，由拉氏變換表查得再根據(jù)拉氏變換的微分性質(zhì)可得最后由拉氏變換的卷積性質(zhì)得 (5.37)這便是所要求的解.通過上面兩個(gè)例子我們對(duì)用積分變換法解定解問題的步驟已有所了解，掌握這

18、些步驟并不困難，對(duì)初學(xué)者來說，使用這個(gè)方法時(shí)主要困難在于：（1）如何選取恰當(dāng)?shù)姆e分變換，對(duì)這個(gè)問題應(yīng)從兩方面來考慮，首先要注意自變量的變化范圍，傅氏變換要求作變換的自變量在內(nèi)變化*） 如果采用正弦或余弦傅氏變換，自變量的變化范圍就是（0.關(guān)于用正弦或余弦傅氏變換解數(shù)學(xué)物理方程，讀者可參閱C.J.特蘭臺(tái)爾爾著數(shù)學(xué)物理中的積分變換（潘德惠譯，高等教育出版社出版）第三章.，拉氏變換要求作變換的自變量在內(nèi)變化*）還有一種雙邊的拉氏變換，它的積分區(qū)是.本書所講的拉氏變換都限于單邊的.其次要注意定解條件的形式，根據(jù)拉氏變換的微分性質(zhì)可以看出，要對(duì)某自變量取拉氏變換，必須在定解條件中給出當(dāng)該自變量等于零時(shí)的函數(shù)值及有關(guān)導(dǎo)數(shù)值.（2）定解條件中哪些需要取變換，哪些不需要取變換.這個(gè)問題容易解決，凡是對(duì)方程取變換時(shí)沒有用到的條件都要對(duì)它取變換，使它轉(zhuǎn)化為新方程的定解條件.（3）如何順利地求出逆變換，解決這個(gè)問題主要是依靠積分變換表（見附錄B），以及運(yùn)用積分變換的有關(guān)性質(zhì)，有時(shí)還要用到計(jì)算反演積分的留數(shù)定理