第3節(jié) 行列式按行列展開

1、,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa第三節(jié)第三節(jié) 行列式按行列展開行列式按行列展開可見一個(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式的計(jì)算?？梢娨粋€(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式的計(jì)算。1、行列式按某一行（列）展開行列式按某一行（列）展開 問題：一個(gè)問題：一個(gè)n 階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為

2、若干個(gè)階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè) n1 階階行列式來計(jì)算？行列式來計(jì)算？在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.Mij ，記ijjiijMN1叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MN.23M 定義定義44434241343332312423

3、222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MN12M 33323123222113121144aaaaaaaaaM 444444441MMN注：注：行列式的每個(gè)元素都分別對應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)行列式的每個(gè)元素都分別對應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè) 代數(shù)余子式。代數(shù)余子式。 三階行列式三階行列式 D D等于它的任一行（列）的各元等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即第一張第一張幻燈片幻燈片D=3,2, 13,2, 1ji或簡寫為131312121111NaN

4、aNaD232322222121NaNaNaD333332323131NaNaNaD313121211111NaNaNa323222221212NaNaNa333323231313NaNaNaijijiNa31ijijjNa31引理引理 一個(gè)一個(gè) 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都為零，那末這行列式等于外都為零，那末這行列式等于 與它的與它的代數(shù)余子式的乘積，即代數(shù)余子式的乘積，即 niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例

5、如例如ijijNaD 證證當(dāng)當(dāng) 位于第一行第一列時(shí)位于第一行第一列時(shí),ijannnnnaaaaaaaD21222211100 即有即有.1111MaD 又又1111111MN,11M 從而從而.1111NaD 在證一般情形在證一般情形, 此時(shí)此時(shí)nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 ,1,2,1行對調(diào)行對調(diào)第第行行第第行行行依次與第行依次與第的第的第把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 ijaija,1,2,1對對調(diào)調(diào)列列第第列列第第列列列列依依次次與與第第的的第第再再把把 jjjD得得 nnjnnjnijijiijjiaa

6、aaaaaD1, 11, 1, 1110011 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 ijaijannnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijaija故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 .1ijijjiMa 于是有于是有nnjnnjnijijiija

7、aaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijMa ijaija定理定理3 3 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即ininiiiiNaNaNaD2211 ni, 2 , 1 證證nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 njnjjjjjNaNaNaD2211nj,2,1nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiNaNaNa2211 ni, 2 , 1

8、 推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即., 02211jiNaNaNajninjiji證證行展開，有行展開，有按第按第把行列式把行列式j(luò)aDij)det( ., 02211jiNaNaNanjnijiji,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaNaNa,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaNaNa可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ji ).(, 02211jiNaN

9、aNajninjiji同理同理).(, 02211jiNaNaNanjnijiji相同相同該行列式中有兩行對應(yīng)元素相等該行列式中有兩行對應(yīng)元素相等.關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì);,0,1jijiDDNaijnkkjki當(dāng)當(dāng);,0,1jijiDDNaijnkjkik當(dāng)當(dāng) .,0,1jijiij當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)其中其中#25. 幻燈片幻燈片 25綜上，得公式綜上，得公式inknikikNaNaNa2211 ），（當(dāng)，（當(dāng)）（當(dāng)（當(dāng)ikikD0 ,njnljljlNaNaNa2211 ），（當(dāng)，（當(dāng)）（當(dāng)（當(dāng)jljlD0 ,在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí)，直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定在計(jì)算數(shù)字行

10、列式時(shí)，直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡化計(jì)算，因?yàn)榘岩粋€(gè)簡化計(jì)算，因?yàn)榘岩粋€(gè)n階行列式換成階行列式換成n個(gè)（個(gè)（n1）階行列階行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量，只是在行列式中某一行或某一式的計(jì)算并不減少計(jì)算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時(shí)，應(yīng)用展開定理才有意義。但展開定理列含有較多的零時(shí)，應(yīng)用展開定理才有意義。但展開定理在理論上是重要的。在理論上是重要的。利用行列式按行按列展開定理，并結(jié)合行列式性質(zhì)，可簡利用行列式按行按列展開定理，并結(jié)合行列式性質(zhì)，可簡化行列式計(jì)算：計(jì)算行列式時(shí)，可化行列式計(jì)算：計(jì)算行列式時(shí)，可先用行列式的性質(zhì)將某先用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為僅含一行（列）化為

11、僅含1個(gè)非零元素個(gè)非零元素，再按此行（列）展開再按此行（列）展開,變?yōu)榈鸵浑A的行列式變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式。二階行列式。(降階法）降階法）按行（列）展開法（降階法）按行（列）展開法（降階法） 先利用行列式的性質(zhì)將某行（列）盡可能較多地消成零，先利用行列式的性質(zhì)將某行（列）盡可能較多地消成零，（最好只有一個(gè)非零元素），再按該行（列）展開（最好只有一個(gè)非零元素），再按該行（列）展開例例13351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 注意：注意：1 1、盡量選擇、盡量選擇1 1或或-1-

12、1所在的行或列，所在的行或列，2 2、盡量選擇、盡量選擇0 0多的行列。多的行列。0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 .40 12rr 29031132434124141 214rr 232rr 29035500341281707 按第二列展開按第二列展開2935508177)1(122 32cc 21135008257 按第二行展開按第二行展開113257)1(532 10)7577(5 思考練習(xí)思考練習(xí)0532004140013202527102135 D例例2 計(jì)算行列式計(jì)算行列式解解0532004140013202527102135 D2311007

13、2066 6627210 .1080124220 2312 5414235 53204140132021352152 13rr 122 rr 用降階法用降階法 （按行按列展開）（按行按列展開） 計(jì)算行列式的值。計(jì)算行列式的值。2421164214112111 =57思考練習(xí)思考練習(xí)例例3 已知4階行列式解解(方法1)(方法2)利用行列式的按列展開定理，簡化計(jì)算.它是D中第2列元素與第4列元素的代數(shù)余子式的乘積之和，故有.,521534120813171144342414的代數(shù)余子式為其中的值求ijijaNNNNND.044342414NNNN44342414443424141111NNNNNN

14、NN.,)4 , 3 , 2 , 1(4然后相加（略）的值直接計(jì)算iNi例例4 計(jì)算n階行列式解解11212111111) 1 (nnnNaNaNaD列展開按第yxyyxyyxyxyxyxxn00000000000000) 1(0000000000000) 1(111nnnyx1) 1(!) 1(1000020000200001) 1(11nnnnnn解解11212111111)2(nnnNaNaNaD列展開按第000100002000010)2(000000000000) 1 (nnDxyyxyxyxDnn例例5 計(jì)算行列式計(jì)算行列式1221100001000001nnnxxDxaaaaax

15、Hessenberg型行列式，可直接展開得到遞推公式，型行列式，可直接展開得到遞推公式，也可利用行列式性質(zhì)化簡并降階。也可利用行列式性質(zhì)化簡并降階。1221112211000010000011001 000000100( 1)001001001nnnnnnnnxxDxaaaaaxxxxxaxaaaaxx解解按第一列展開按第一列展開1111( 1)( 1)nnnnnnnDxDaxDa212211111112121()nnnnnnnnnnnnnnnx xDaax DxDaxDxaxaaxa xxaxaa遞推法遞推法遞推公式遞推公式) 1(1) 2(2221111321nnnnnD練習(xí)練習(xí)Hesse

16、nberg型行列式型行列式將第將第1，2，n-1列分別加到第列分別加到第n列列01)2(222112)1(1321nnnnnnD2)!1()1(1)2(211)1(2)1(11nnnnnnn例例6:6:證明范德蒙德證明范德蒙德( (VandermondeVandermonde) )行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1( 證明：證明：用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法21211xxD 12xx , )(12 jijixx(1) 當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)時(shí),結(jié)論成立。結(jié)論成立。(2) 設(shè)設(shè)n1階范德蒙德行列式成立，往證階范德蒙德行列式成立，往證n階也成

17、立。階也成立。112112222121111 nnnnnnnxxxxxxxxxD11 nnrxr211 nnrxr112rxr )()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn ,)(11提提出出因因子子列列展展開開，并并把把每每列列的的公公按按第第xxi 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式)()()(211312jjininxxxxxxxx ).(1jjinixx 證畢。證畢。323232)2()2(212221)

18、1()1(111111 D（考慮（考慮范德蒙德行列式）范德蒙德行列式）33332222) 2(2) 1(1) 2(2) 1(122111111 TDD)(14jjiixx 72)22)(12)(12)(12)(12)(11( 2、拉普拉斯定理、拉普拉斯定理定義：在定義：在n階行列式階行列式D中，任意選取中，任意選取k行行k列（列（kn），），位于這些行列交叉點(diǎn)上的元素，按照原來的排列順序位于這些行列交叉點(diǎn)上的元素，按照原來的排列順序組成一個(gè)組成一個(gè)k階行列式，稱為行列式階行列式，稱為行列式D的一個(gè)的一個(gè)k階子式，階子式，記為記為N。在在D中劃去這中劃去這k行行k列后余下的元素按照原來的列后余下的元素按照原來的排列順序所組成一個(gè)排列順序所組成一個(gè)n-k階行列式，稱為階行列式，稱為k階子式階子式N的的余子式，記作余子式，記作M。若若k階子式在行列式階子式在行列式D中的行標(biāo)為中的行標(biāo)為 為為N的代數(shù)余子式。的代數(shù)余子式。12,.kqqq12,.kppp列標(biāo)為列標(biāo)為，則稱，則稱1212( 1).kkqqqpppAM 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 若選取第若選取第1行、第行、第3行